(建筑工程管理)吉林大学工程数学计算方法(第三章习题答案)精编

（建筑工程管理）吉林大学工程数学计算方法(第三章

习题答案)

第三章习题答案

1.分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分计误差。解：1）用梯形公式有：

事实上，

2）Simpson公式

事实上，

3）由Cotes公式有：

事实上，

2．证明Simpson公式具有三次代数精度。

证明：

而当时

左侧：

右侧：

左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.

3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分. (1)，（3），

解：（1）用复化梯形公式有：

，由复化Simpson公式有：

解：删去

解（3）：由复化梯形公式有：

由复化公式有：

（4）解：

由复化梯形公式：

由复化Simpson公式：

4．给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式，且写出它的截断误差。

解：

考虑到对称性，有，于是有求积公式

由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。考虑到其对称性，能够猜想到它可能有3阶精度。事实上，对原式左右俩端相等：

此外，容易验证原式对不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。

5．给定积分。

（1）利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过

（2）取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时，截断误差是多少？

（3）如果要求截断误差不超过，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分区间分成多少等分？

解：(1)

=,

当误差时，25.6,所以取=26。

（2）

6．用Romberg求积方法计算下列积分，使误差不超过。

（1）；（2）；（3）;(4)

解（1）：

计算能够停止。

解（2）：

（3）解:

7．推导下列三种矩形求积公式：

证明：将在处Taylor展开，得

俩边在上积分，得

将在处Taylor展开，得

俩边在上积分，得

将在处Taylor展开，得

俩边在上积分，得

8．如果证明用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大，且说明其几何意义。

证明：复化梯形公式为

若在上连续，则复化梯形公式的余项为

由于且

所以使

则(1)式成为：

又因为所以

即用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大。

其几何意义：曲线在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任俩点连线的下方。

9．对构造壹个至少具有三次代数精度的求积公式。

解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。如果在上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为：

其中系数为

同理求得

10．判别下列求积公式是否是插值型的，且指明其代数精度：

解：插值型求积公式

其中

则

因此，是插值型的求积公式。

因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。

对于时，

可见它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。

11．构造下列求积公式，且指明这些求积公式所具有的代数精度：

解（1）：令原式对于准确成立，于是有

解之得，于是有求积公式

容易验证，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。

解（2）：令原式对于准确成立，于是有

解之得于是有求积公式

容易验证当时，而

可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。

解(3)：令原式对于准确成立，于是有

解得:

于是有求积公式

容易验证，当时，而

可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。

12.利用代数精度方法构造下列俩点Gauss求积公式：

解（1）：令原式对于准确成立，于是有

利用的第1式，可将第2式化为

同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得

由式消去得

进壹步整理

由此解出

解得：

因此所求的俩点Gauss求积公式：

或依下面的思想：

解（2）：令原式对于准确成立，于是有

利用的第1式，可将第2式化为

同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得

由式消去得

进壹步整理

由此解出

解得：

因此所求的俩点Gauss求积公式：

或依下面的思想：

13．分别用三点和四点Gauss－Chebyshev求积公式计算积分，且估计误差。解：用三点Gauss-Chebyshev求积公式来计算：

此时，

由公式可得：

由余项可估计误差为

用四点Gauss-Chebyshev求积公式来计算：此时，

由余项可估计误差为

14．用三点求积公式计算积分，且估计误差。解：作变换则得

由三点Gauss-Legendre公式：

其估计误差为：

,（）。其准确值

其准确误差等于：