高斯公式和格林公式的运用分部积分法

1

第八节 高斯公式和格林公式的运用

1、（空间Green 第一公式）设S 为光滑闭曲面，S 围成区域为V ，u 在V ，S 上有二阶连续的偏导数，w 有连续的偏导数，证明：

1)

V

S V

u w

w

dxdydz uwdydz u dxdydz x x ??=-??????????ò； 2)

V

S

V u

u w u w u w w udxdydz w

dS dxdydz n x x y y z z ??????????=-++ ?????????

?????????ò. 2、.V,S 条件同上题，0u ?=，0S

u

=，函数u 为V 上有连续的二阶偏导数，证明：

()0,,,u x y z V =∈.

3、V,S 条件同上题，0u ?=，函数,u v 为V 上有连续的二阶偏导数，且0S

v

=.

证明：0V u v u v u v dxdydz x x y y z z ??

??????++= ????????

????

4、 V,S 条件同上题，0u ?=，

函数,u w 为V 上有连续的二阶偏导数，且()0S

w u -=

证明：

222222V V u u u w w w dxdydz dxdydz x y z x y z ????

??????????????????++≤++???? ? ? ? ? ? ???????????????????????????

??????。

2

证明 在第 3题公式中,取u w v -=，

得到

()0V

u w u d μ???-=?，

从而

2||||V u d μ??V u wd μ=????21||||2

V

u d μ≤??21

||||2V

w d μ+

??， 故成立2||||V

u d μ??2||||V

w d μ≤??

5.（空间Green 第二公式）dxdydz v

u v u dS v

u n v n u

V S

?????

??=????，

这里区域V 的边界为S ，,u v 在V+S 有二阶连续的偏导数，n v

为S 的单位外

法线方向.

例1. 设3R Ω?是高斯公式中的闭区域，)(,2Ω∈C v u ，n 表示Ω?的单位外法向量场.

求证：（1）μσd u d n u

??

Ω

Ω??=??； （2）μμσd u v vd u d n

u

v

???ΩΩΩ

??+???=??；

（3）μσd v u u v d n

v

u n u v

)()(?-?=??-????ΩΩ

?，

（此公式称为格林第二公式，非常有用.这三个公式实质上多重积分的分部积分公

3

式.）

证明（1）应用高斯公式，得

σσd z n z

u y n y u x n x u d n u )),cos(),cos(),cos((??Ω?Ω???+??+??=?? μd z

u

y u x u )(222222?Ω??+??+??=μd u ?Ω?=；

（2）应用高斯公式，得

σσd z n z u

v y n y u v x n x u v d n u v

)),cos(),cos(),cos((??

Ω?Ω

???+??+??=??

μd z

u

v z y u v y x u v x ))()()([

?Ω

????+????+????=μμd u v vd u ??ΩΩ?+???=；

（3）利用（2）的结果，得μμσd u v vd u d n

u

v

???ΩΩΩ

??+???=??，

μμσd v u vd u d n

v

u

???

ΩΩΩ

??+???=??，

此两式两边分别相减，

即得

μσd v u u v d n

v

u n u v

)()(?-?=??-????

ΩΩ

? .

例 2. 设(,)u x y 在单位圆盘22:1D x y +≤上具有连续的二阶偏导数，

且2222()

22x y u u e x y -+??+=??，证明()2D

u u x y dxdy x y e π??+=???? .

4

证明 取221()2v x y =+，显然1

|2

D v ?=；

利用格林公式，并利用条件，得

()D

D

u u

x

y dxdy v udxdy x y ??+=?????????D D u v ds v udxdy n ??=-??????12D D u ds v udxdy n ??=-?????? 12D D udxdy v udxdy =

?-?????2222()22()

11()22x y x y D D

e dxdy x y e dxdy -+-+=-+???? 222121300001122r r d e rdr d e r dr ππθθ--=

-????222121

00|()|222r r r e r e e e

πππ---=----= . 例3. 设(,)f x y 是22{(,)1}D x y x y =+≤上二次连续可微函数，

满足222222f f

x y x y

??+=??，

计算积分2222(

D

I dxdy x y x y x y

=??++??.

解 设22(,)x y x y υ=+,

并利用条件，得

(

)D

f f I dxdy x x y y υυ????=+?????? D D

f ds fdxdy n υυ??=-?????

D D f

ds fdxdy n υ??=

-????? D D

fdxdy fdxdy υ=?-????? 222222D

D

x y dxdy x y x y dxdy =-+??

5

21

21

222222220

cos sin cos sin r r rdrd r r r rdrd π

π

θθθθθθ=??-????

?

?

?

2200111cos 4111cos 4642742d d ππθθθθ--=-??116474ππ=?-?168π

=

. 例4. 设(,)u x y 在单位圆盘22:1D x y +≤上具有连续的一阶偏导数，

且|0D u ?=，

试证 成立 22

01(0,0)lim 2x y

D xu yu u dxdy x y εεπ+→+-=+??， 其中222{(,)|1}D x y x y εε=≤+≤.

证明 取22v x y =+0,(,)(0,0)v x y ?=≠；

记222:L x y εε+=，

利用格林公式，并利用条件|0D u ?=，得

22

x y D D xu yu dxdy u vdxdy x y ε

ε

+=???+??

??D D v

u

ds u vdxdy n ε

ε

??=

-?????? 11

2(0,0),(0)L L L v u ds u ds uds u n εε

ε

πεεε+?=-=-=-→-→????蜒?， 即结论得证.

或者利用在极坐标表示下有2221,x y x y xu yu u

u r

xu yu r r x y r r

+??=+=?+?，