陕西师范大学数科院

陕西师范大学数科院

2003年研究生各专业复试试题

《数学分析》与《高等代数》部分为必做题，其它三门中任选一门。

一． 数学分析部分(每题10分,共40分)

1. 设)(2R M 是实数域R 上的全体２阶矩阵之集，对任一)(][2R M x X ij ∈=，记∑==

2

1,2||j i ij x X . 对)(),(}{221R M A R M A n n ∈?∞=, 规定:A A n n =∞

→lim 指)(0∞→→-n A A n . 证明: (1) )2,1,(lim lim )(==?=∞

→∞→j i a a A A ij n ij n n n ,其中][],[)(ij n ij n a A a A ==; (2) ?????

?+∞→n n n n n 111cos sin 1lim 存在且求其值; (3) AB B A B A B A B B A A n n n n n n n n n n =+=+?==∞

→∞→∞→∞→lim ,)(lim lim ,lim . 2. 设],[],,[b a C b a R 分别表示],[b a 上的全体Riemann 可积函数与全体连续函数之集.

（1） 说明],[],[b a C b a R 与的关系;

（2） 说明],[],[b a C b a R 与关于函数的运算是R 上的线性空间；

（3） 定义?=x

a dt t f x Tf )())((，说明：（a ）T 是从],[],[

b a C b a R 到中

的线性映射；（b ）],[b a R f ∈是T 的不动点（即f Tf =）当且仅当0=f .

3. Let E be a dense subset of an interval ],[b a (i.e. every point of

],[b a is the limit of a sequence in E ). Show that if g f , are continuous functions on ],[b a , then g f = if and only if ))(()(E x x g x f ∈?=.

4. 给出数学分析中你认为最重要最基本的五个定理的名称,并说明它们之间的关系及各自的意义.

二． 高等代数部分(共40分)

1．（10分）已知矩阵

????? ??=100210321A , ????? ??=001012123B , ????? ??=100110111C 满足T T BC AXB )(=，求矩阵X .

2. (15分)设m ααα,,,21 线性无关，问:

113221,,,,,αααααααα+++++m i i

是否也线性无关，试给予分析.

3．（15分）设A 是一个反对称实矩阵, 证明：

（1）A I +可逆；

（2）1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.

三． 实变函数论部分(每题5分,共20分)

1. 试述Lebesgue 积分与Riemann 积分的关系.

2. 试述Lebesgue 积分的几何意义并举例说明.

3. 设R b a f →],[ :为非负连续函数, 证明:曲边梯形)}(0 :),{()(x f y y x f G ≤≤=是2R 中的Lebesgue 可测集,并且?=b

a dx x f f mG )()(. 4. 设],[

b a F 为],[b a 上全体实值函数之集，],[b a C 为],[b a 上全体实值连续函数之集，用基数的观点说明],[b a F 远大于],[b a C .

四． 常微分方程部分(每题10分,共20分)

1. 解方程.22d d 2d d 3222

x y x y x x

y x =+- 2. 试讨论方程组???????=+=cy t

y by ax t x d d d d 的奇点类型，其中c b a ,,为常数且0≠ac . 五． 近世代数部分(共20分)

设p 为素数，令R ={ p b

a |不整除

b }为有理数域的子环，证明： （1）R b

a ∈为R 的单位（或可逆元）当且仅当p 不整除a ; （2）若I 为R 的理想，则存在非负整数k 使得)(k p I =；

（3）R 有唯一的最大理想.