线性代数证明题
1、试题序号：321
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：矩阵秩的性质 8、试题内容：
设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且2A E =，证明：()()R A E R A E n ++-=. 9、答案内容：
证明:
2
2
2
0()()0,()()()().().()().
A E A E A E A E R A E R A E R A E R E A n R A E R E A R A E E A n R A E R A E n =?-=?+-=++-=++-≤≥++-=∴++-= 由矩阵秩的性质则有同时,有
(+)+(-)
10、评分细则：由题设推出()()0A E A E +-=得2分;由矩阵秩的性质推出
()()R A E R A E n ++-≤得2分;推出()()R A E R A E n ++-≥得2分;因而推出()()R A E R A E n ++-=得
2分. ----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：322 2、题型：证明题 3、难度级别：3
4、知识点： 第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：正交矩阵的特征值 8、试题内容：
设A 为一个n 阶正交矩阵，且1A =-.证明：1λ=-是A 的特征值. 9、答案内容： 证明：
,.1,
(1)()()0(1)0.1.
T
T
T
T
T
T
T
T
A A A E A A E A E A A A E A A E A A
E A
E A
E A E A
A E A E A λ∴==-∴--=+=+=+=+=-+=-+=-+=-+∴+=?--=∴=- 是正交矩阵又是的特征值
10、评分细则：推出()1T A E A AA --=+(2分)T E A =-+(2分)E A =-+(2分) 推出()10A E --=并说明1λ=-是A 的特征值(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：323 2、题型：证明题
3、难度级别：4
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：
已知,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：分块矩阵00
A B ??
???
也为正定矩阵. 9、答案内容：
()12112212,00.0
00
00000.00
T
T T
T T A B A B A
A B B A B X A A
f X X X B B X X X f A X B X A B ∴??????∴== ?
? ?????
????
∴ ???
??????
?
?
?????
?????≠? ???
>∴??
???
T
T 1
2T
T
12证明
是正定矩阵，，是对称矩阵.A 00B 是对称矩阵.令=,此为所确定的二次型.0,X 中至少有一个不为0,则有=X +X 此二次型为正定二次型，则为正定矩阵.
10、评分细则：由题设中条件推出00A B ??
???是对称矩阵(2分);令
()
112200T T X A f X X X B ????=
? ?????(2分);由()120T T
X X ≠推出12,X X 中至少有一个不为零
(2分).则有11220T T f X AX X BX =+>,推出f 1122T T
X AX X BX =+为正定二次型(2分).
因而有00A B ??
???为正定矩阵(2分).
----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：324
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：
设,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：A B +也为正定矩阵. 9、答案内容： 证明：
,.()().0,.,,.0.()T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
A B A A B B A B A B
A B
A B f x A B x x f x A x x B x A B x A x x B x f x A x x B x f x A B x ∴+=+=+?+=+?≠=+∴=+>∴=+ 都是正定矩阵,=,=为对称矩阵.令则有是正定矩阵
是正定二次型则有为正定二次型.则A+B 也为正定矩阵.
10、评分细则：由题设中条件推出A B +为对称矩阵(2分);令()T
f x A B x =+(2
分);00T T x f x Ax x Bx ?≠?=+>(2分);推出()T
f x A B x =+为正定二次型(2分);因
而有A B +为正定矩阵(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：325 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系 8、试题内容：
若向量β可由向量组12,,,r ααα 线性表示，但β不能由121,,,r ααα- 线性表示，试证：r α可由121,,,,r αααβ- 线性表示.
9、答案内容： 证明：
2.
0,.1.
,.
r r r r r r r r r βααααααββαααβαααααααβααααβ----∴==∴≠?=-
---
∴ １２１２r １１２２r １１２２r-１１１２１１２r-１r １１r
r
r
r
１２１可以由，，线性表示，存在一组数Ｋ，Ｋ，Ｋ,使得Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ＝若Ｋ则Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ这与不能由，，线性表示矛盾.ＫＫＫＫ０ＫＫＫＫ可由，，线性表示
10、评分细则：由题设中条件令1122r r k k k αααβ+++= (2分);假设0r k =推出β不能
由121,,,r ααα- 线性表示矛盾(2分);0r r k α∴≠?可以由121,,,r ααα- ,β线性表示(4分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：326 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
如果向量组12,,,s ααα 线性无关，试证：向量组,,,s αααααα++++ 线性无
关.
9、答案内容： 证明：
()()()()()(),.
.
111011.0
11110
11.0
1B R R A S αααααααααααααααααααααααα=++++∴==?? ? ?++++= ? ???
?? ?
? ? ???
12S 1
12
12S 12S 1
2
S 112
12S 1
2
S 令A= ,,线性无关，
令C=则有B=AC ，显然C 可逆.
10、评分细则：令()12s A ααα= ,()112
12s B αααααα=+++
(1分);
由题设条件推出()R A s =(1分);
令1111011
00
1C ??
? ?= ?
???
推出B A C =(2分);推出()()1A BC R B R A s -=?≥=(2分)
又()()1121,,s R B s R B s ααααα≤?=?++ 线性无关(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：327 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：奇异矩阵 8、试题内容：
已知矩阵22,A E B E ==，且0A B +=证明：A B +为奇异矩阵. 9、答案内容： 证明：
2
2
2
2
1, 1.01, 1.().()..
0,A E A B E B A B A B A A B A B AB B A A A B B B A A A B B A B A B A B =?=±=?=±+=?=±=+=+=+∴+=+∴+=+∴-+=+ 又若则而则为奇异矩阵.
10、评分细则：由题设中条件推出1,1A B =±= (1分);推出()A A B B B A +=+(3分);推出A A B B B A +=+(2分);推出0A B A B +=?+为奇异矩阵(2分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：328 2、题型：证明题 3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
设n 维基本单位向量组12,,,n εεε 可由n 维向量组12,,,n ααα 线性表示，证明：12,,,n ααα 线性无关.
9、答案内容： 证明： ()()()()()()1
2
1,.,,,,..
,,,n a
B AB R R n R A n R A n αααεεεεεεαααααα=∴=?≥=≤∴=?
1
2
n n n 2n 12n n 12n 令A=且E ,,可以由线性表示.存在一个n 阶方阵使得E A E 同时线性无关.
10、评分细则：令()()1
2
1
2
,n n A E αααεεε==
(2分);由题设条件推出
存在一个n 阶矩阵B (2分);使得()AB E R A n =?=(4分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：329 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
设12,,,m ααα 线性无关，1β可由12,,,m ααα 线性表示，2β不可由12,,,m ααα 线性表示，证明：1212,,,,m αααλββ+ 线性无关（其中λ为常数）. 9、答案内容： 证明:
11122m m k k k βααα=++ ，
()()1
2
121
2
2m
m
αααλββαααβ∴+
.
假设()1
22M
R m αααβ≤
,则有
122,,,,m αααβ 线性相关,因而与2β不能由12,,,m ααα 线性表示矛盾. ()1
2
2m
R m αααβ∴>
,()1
2
121m
R m αααλββ∴+=+
1212,,,,m αααλββ∴+ 线性无关.
10、评分细则：由
题设中条件推出()()
121212
2m m αααλββαααβ+
(2
分
);
假
设
()1
2
2
m
R m αα
αβ
≤ 由题设推出2β能由12,,m ααα 线性表示,与题设矛盾(2分);()122m R m αααβ∴>
推出()12121m R m αααλββ+=+ (3
分);推出1212,,,m αααλββ+ 线性无关(1分). ----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：330
2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组与矩阵的秩
8、试题内容：
设A 为n m ?矩阵，B 为m n ?矩阵，n m <,若AB E =，证明B 的列向量组线性无关.
9、答案内容：
证明:A 为n m ?矩阵,B 为m n ?矩阵,且AB E =,E 为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有 ()()R B R E n ≥=.
又(),.n m R B n <∴≤ ()R B n ∴=
B ∴ 的列向量组线性无关.
10、评分细则：由题设推出()()R B R E n ≥=(2分);又有题设中()n m R B n
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：331 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
设121,,,n ααα- 为1n -个线性无关的n 维列向量，12,ηη与121,,,n ααα- 均正交，证明：12,ηη线性相关.
9、答案内容：
证明:12,ηη 分别与121,,,n ααα- 均正交,
()11
2
1200T n T ηαααη-????
∴= ? ???
??
令()1
2
1n A ααα-=
,12T T B ηη??
= ???
,()()011BA R A n R B =?=-?≤
12,ηη∴线性相关.
10、评分细则：令()()1
2
112,T
n A B αααηη-==
(1分);由题设中条件推得
()()0BA R A R B n =?+≤(2分);()()11R A n R B ∴=-?≤(1分);若()1200,0
R B ηη=?==(1
分
);
12
,ηη∴线性相关
(1
分
);
若
()()12112R B R ηη=?=<(1分),所以12,ηη线性相关(1分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：332 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：正交向量组 8、试题内容：
已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，12,,,n ααα 为n 维正交单位向量组，证明：
12,,,n A A A ααα 也是n 维正交单位向量组.
9、答案内容：
证明:A 是阶正交矩阵,则有
12,,,n ααα 是维正交向量组
()
()0,0,0T
i i j T
T T T
i j
i
j i i j
A A A A αααααα
ααα∴≠=≠===
12,,n A A A ααα∴ 是正交向量组.
10、评分细则：由题设中条件推出0,0,T
i i j i j ααα≠=≠(2
分);()()0j T T T T T
i j i j i j i A A A A E αααααααα====(2分);0i α≠且A 可逆,推得0i A α≠(2分);推得12,,,n A A A ααα 是正交向量组(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：333 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的秩与方程组的解 8、试题内容：
设12,,,s ααα 是0A x =的一个基础解系，β不是0A x =的解，证明：12,,,,s ββαβαβα+++ 线性无关.
9、答案内容： 证明:假设()12
1s R s β
ααα<+
.这与β不是0A x =的解矛盾
()12
1s R s βααα∴=+
()1
1s R s β
βαβα++=+
即1,,s ββαβα++ 线性无关. 10、评分细则：由题设推出()()11s s R R ββαβαβαα++= (2分);假
设()11s R s βαα<+ ,由题设中条件推出β可以由12,,,s ααα 线性表示,与β不是0
A x =的解矛盾(2分);()11s R s ββαβα∴++=+ (2
分);1,,,s ββαβα∴++ 线性无关(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：334 2、题型：证明题 3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：
设A 为n 阶矩阵，若0A x =只有零解，证明：方程组0k A x =也只有零解，其中k 为正整数.
9、答案内容：
证明:0Ax = 只有零解?()R A n =
A 为n 阶矩阵,
A ∴ 可逆0.A ?≠
则k
k
A
A =0≠
即k A 为可逆矩阵
()0k
k
R A
n A x ∴=?
=只有零解.
10、评分细则：由题设推出()R A n A =?可逆(3分);推出0k
k
A A
=≠(2分);推得
()0k
k
R A
n A x =?
=只有零解(3分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：335 2、题型：证明题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解
8、试题内容：
设A 是m n ?矩阵，D 是m n ?矩阵，B 为m m ?矩阵，求证：若B 可逆且B A 的行向量的转置都是0D x =的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解. 9、答案内容：
证明：设A 的行向量组为12,,,m ααα （I ）
设B 的行向量组为12,,,m βββ （II ） 则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组
,BA C B =可逆1
A B C -?=
令11121212221
1
2
m m
m m m m k k k k k k B
k k k -??
? ?=
?
???
，则有
111121
12
2122
221
2
m m m
m m m m m k k k
k k k k k k αβαβ
αβ?????? ?
? ?
? ? ?= ? ? ? ? ? ???????
∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示
向量组（II ）是0D x =的解
∴向量组（I ）也是0D x =的解
10、评分细则：令A 的行向量组12,,,m ααα (I),C 的行向量组为12,,,m βββ (II)(1分);1
BA C A B C -=?=(2分); 推得1111211
22122221
2
m m m
m m m m m
k k k k k k k k k αβαβ
αβ?????? ?
? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ???????
,111212122211
2
2m m
m m m k k k k
k k B k k k -??
? ?= ?
???
(2分) 所以(I)可以由(II)线性表示(2分);由(II)是0D x =的解推出(I)也是0D x =的解(1分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：336 2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系 8、试题内容：
设非齐次线性方程组A x b =的系数矩阵的秩为r ，12,,,n r ηηη- 是其导出组的一个基础解系，η是A x b =的一个解，证明：12,,,,n r ηηηη- 线性无关. 9、答案内容：
证明：假设12,,,,n r ηηηη- 线性相关，
12,,,n r ηηη- 是0A x =的基础解系， 12,,,n r ηηη-∴ 是线性无关的.
由以上可得η可以由12,,,n r ηηη- 线性表示. 则η是0A x =的解,与η是A x b =的解矛盾.
∴假设不成立,即,η12,,,n r ηηη- 线性无关.
10、评分细则：假设12,,,n r ηηηη- 线性相关,由题设推得η可以由121,,r ηηη- 线性表示(3分);所以η是0A x =的解与η是A x b =的解矛盾(3分);所以12,,,n r ηηηη- 线性无关(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：337 2、题型：证明题 3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵 8、试题内容：
设*A 为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证*A 及1A -均为正定的. 9、答案内容： 证明：
∵A 为正定矩阵， ∴A 的特征值全为正数。 设A 的特征值为λ，则有
11
1
1
*
*
*
*
*
1
,0.
0,0,.
0,Ax x x A Ax A x x A x A Ax A x A A A
A Ex A x A x x A
A A λλλ
λ
λλλλ
λ
----=≠?=?=∴>≠?=?>∴=?=∴> -1
*
1
的特征值
则A 为正定矩阵.
同理:Ax=x,x 0A 正定的特征值
则为正定矩阵.
10、评分细则：设A 的特征值为λ,由题设推得0λ>(2分);由A 的特征值为λ推得1A -的特征值为
1
λ
(1分),则有
1
1
0A
λ
->?为正定矩阵(2分);A 正定0A ?>(1分)*A ?的
特征值
*
0A
A λ
>?为正定矩阵(2分).
----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：338
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：正定矩阵
8、试题内容：
若A 为实对称矩阵，证明：当t 充分大时，tE A +为正定矩阵. 9、答案内容：
证明：
{}2.().,,,m in ,1,2,,..
0,,.
T
T
n i i A A tE A tE A tE A tE A i n t tE A t tE A tE A λλλλλλλλ∴=+=+=+∴+==++>?>-+∴+ T
1为实对称矩阵.A 则有
也为实对称矩阵.
设A 的特征值为最小值记为
均为的特征值当t+时的全部特征值均为正数.t 充分大时为正定矩阵
10、评分细则：由题设推得tE A +为实对称矩阵(2分);说明,1,2,,i t i n λ+= 均为tE A +的特征值(2分);当0,t λλ+>为最大特征值,推得t λ>-时,tE A +的特征值全为正数(2分);所以t 充分大时, tE A +为正定矩阵(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：339 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：正定二次型
8、试题内容：
设C 为n 阶实可逆矩阵，E 为单位矩阵，0λ>,证明：T E C C λ+为正定的. 9、答案内容： 证明：
(),()().0,
0,0,()()0.().
T
T
T
T
T
T T
T
T
T
T
T
T
T
T T E C C E C C E C C E C C x Ex x C C x x x C x C x C x x x x C x C x x f x E C C x E C C λλλλλλλλλλλ+=+=+∴++?+>∴?≠=>=>∴=+∴+ 为对称矩阵.
令f=为实可逆矩阵,有为正定二次型为正定矩阵
10、评分细则：由题设推得T
E C C λ+为对称矩阵(2
分);令
()()
()
T
T
T
T
f x
E C
C x f x x Cx Cx λλ=+?=+(2分
);
A
可
逆,0,00x f x Cx λλ>?≠?=+>(2分);f ∴为正定二次型T
E C C λ?+为正定矩
阵(2分).
---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：340 2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算
5、分值：8
6、所需时间：7分钟
7、试题关键字：求解逆矩阵
8、试题内容：
若3阶实对称矩阵A 满足3261160A A A E -+-=，E 为单位矩阵.试证:A 为正定矩阵. 9、答案内容： 证明：
3
2
3
2
2
2
2226116061260()(6)660()6()6()0(66)()0(56)()0(3)(2)()0320
31,2,3.,.
A A A E A A A A E A A E A A A E A A E A A E A E A A A E A E A A E A E A E A E A E A E A E A E A A -+-=∴--+-=∴---+-=∴---+-=∴+-+-=∴-++=∴---=∴---=∴ 则阶实对称矩阵的全部特征值为的特征值全为正数即为正定矩阵
10、评分细则：由题设推得32
61260
A A A E E --+-=(2
分)()()()320A E A E A E ---=(2分)320A E A E A E A ?---=?的特征值为1,2,3(2分);所以A 为正定矩阵(2分).
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线性代数的一些证明题
线性代数一些证明题 1 题目 设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。 知识点 特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题过程 解：因为A 2=A 所以A 2－A =0 所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0 所以A 的特征值为1. 常见错误 设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x ) =det(λx ) =n λdet(x ) (错误在于向量取行列式) 所以 有)det(A n =λ成立. 又因为A 2=A det(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.
由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=1 1=n λ 当n 为奇数时，λ=1. 当n 为偶数时，λ=±1. 相关例题 设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目 设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点 ①正交矩阵的定义：A T A=E ②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E ③矩阵运算规律 ④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T ⑤det(A )=det(A T ) ⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A ) 解题过程 ∵A 是正交矩阵 ∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1
线性代数基本定理-新版.pdf
线性代数基本定理一、矩阵的运算 1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A 也可以不等于 O 11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è?? ? ÷ 2.矩阵不可交换 (A+B)2=A 2+AB+BA+B 2 (AB)k =ABABABAB ...A B 3.常被忽略的矩阵运算规则 (A+B)T =A T +B T (l A)T =l A T
4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a 1,a 2 ,...,a n ))-1=diag( 1 a 1 , 1 a 2 ,..., 1 a n ) (kA)-1=1 k A-1 方法 1.特殊矩阵的乘法 A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且： B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断 A@B?R(A)=R(B) 任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n 的矩阵，左乘 m 阶为行变换，右乘 n 阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A 2 -A-2I =O ，证明(A+2I)可逆。把2I 项挪到等式右边，左边凑出含有 A+2I 的一个多项式， 在确保A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I 项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同 矩阵乘法（以A*B 为例）：A 的列的分法要与B 行的分法一 致，如： 如红线所示：左边矩阵列分块在第 2列与第3列之间，那么，右边矩阵分 块在第二行与第三行之间 1-1003-1000100002-1 é? êêêêù?úúúú1000-1000013-1021 4 é? ê êêêù? úúúú
线性代数证明题
线性代数证明题 1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知 0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系. 2.设A 是n 阶矩阵，且0n A =，则A E n -必是可逆矩阵。 3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1 PAP -的后n r -行全为零. 6．设矩阵,m n n m A B ??，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关. 7．如果,2 A A =称A 为幂等矩阵.设 B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB 8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11 , 证明：A 可逆且T -+=）（C B A 1 。 10.设0=k A ，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E 11.设方阵A 满足A 2 -A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求1 1 2--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， T A A -为反对称矩阵。 13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量T β，使T A αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C A B =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ?矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =?)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B) 17.设B A ,分别为m n n m ??,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。 18、设，，，，144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组
线性代数常见证明题型及常用思路
线性代数常见证明题型及 常用思路 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
《线性代数》常见证明题型及常用思路 二、证明题 题型1．关于1, ,m αα线性相关性的证明中常用的结论 （1）设110m m λαλα++=，然后根据题设条件，通过解方程 组或其他手段：如果能证明1,,m λλ必全为零，则1,,m αα线性 无关；如果能得到不全为零的1, ,m λλ使得等式成立，则1,,m αα线性相关。 （2）1,,m αα线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表 示。 （3）如果1, ,n m F αα∈，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 （4）如果我们有两个线性无关组， 11,,,m W αα∈12,,,t W ββ∈且12,W W 是同一个线性空间的两 个子空间，要证11, ,,,,m t ααββ线性无关。这种情况下，有些时候我们设 111111110,,m m t t m m t t λαλαμβμβαλαλαβμβμβ+ ++++==++=++。 根据题设条件往往能得到0αβ==，进而由 11,,,m W αα∈12,,t W ββ∈的线性无关得到系数全为零。 题型2. 关于欧氏空间常用结论
（1）内积的定义 （2）单位正交基的定义 （3）设1{,,}n B αα=是单位正交基， 11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==。则 11(,)n n u v x y x y =++ 5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩 （2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩 （4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()()(); ()min{(),()}; ()()(); max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n ?+≤+≤==??≤=≤+ ??? ??=+ ??? ??+≤≤++ ??? =?+≤ （5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式） 例：证明：()()()m n r A r B n r AB ?+≤+。 证：
线性代数详细答案
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数常见证明题型及常用思路
《线性代数》常见证明题型及常用思路 、证明题 题型1关于1,K , m 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设1 1 L m m 0，然后根据题设条件，通过解方程组 或其他手段：如果能证明 1，K , m 必全为零，则1，K , m 线性无 关；如果能得到不全为零的1 ,K , m 使得等式成立，贝S 1，K , m 线 性相关。 2) 1,K , m 线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。 时候我们设 0, 根据题设条件 1,K , m W 1, 1,K , t W 2的线性无关得到系数全为零。 题型2.关于欧氏空间常用结论 (1) 内积的定义 (2) 单位正交基的定义 (3)设B { 1,K , n }是单位正交基, (3)如果 1，K , m F “，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 4 ) 一如果 有两个线性无关组， 1，K , m W 1， 1,K , t W 2,且W 1,她是同一个线性空间的两 个子空间，要证 1,K , 1,K , t 线性无关。这种情况下，有些 0 ，进而由
U B (X i,K,X n),V B (y i,K,y n)。则(u,v) x$ L x“y n5 题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩 (2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式 r(A B) r(A) r(B); r(AB) min{ r(A),r(B)}; r(A) r(A T) r(A T A); A T 计")'")} "A? r B T r(A) r(B)； A r(A)r(B); r B A r(A) r(B) r(C); B r(A)r(B)r C B0r(A)r(B) n A m n (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例：证明：r(A m n) r(B) n r(AB)。 证:
考研线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
《线性代数》常见证明题型及常用思路
《线性代数》常见证明题型及常用思路 二、证明题 题型1.关于1,,m ααK 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设110m m λαλα++=L ,然后根据题设条件,通过解方程组或其她手段:如果能证明1,,m λλK 必全为零,则1,,m ααK 线性无关;如果能得到不全为零的1,,m λλK 使得等式成立,则1,,m ααK 线性相关。 (2)1,,m ααK 线性相关当且仅当其中之一可用其她向量线性表示。 (3)如果1,,n m F αα∈K ,则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 (4)如果我们有两个线性无关组,11,,,m W αα∈K 12,,,t W ββ∈K 且12,W W 就是同一个线性空间的两个子空间,要证11,,,,,m t ααββK K 线性无关。这种情况下,有些时候我们设 111111110, ,m m t t m m t t λαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++L L L L 。 根据题设条件往往能得到0αβ==,进而由11,,,m W αα∈K 12,,t W ββ∈K 的线性无关得到系数全为零。 题型2、 关于欧氏空间常用结论 (1)内积的定义 (2)单位正交基的定义 (3)设1{,,}n B αα=K 就是单位正交基, 11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==K K 。则11(,)n n u v x y x y =++L 5 题型3、 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩
(2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明):常用来证明关于秩的不等式 ()()(); ()min{(),()}; ()()(); max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n ?+≤+≤==??≤=≤+ ??? ??=+ ??? ??+≤≤++ ??? =?+≤ (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例:证明:()()()m n r A r B n r AB ?+≤+。 证: ()()()0n n n E E n r AB r r AB A AB E B r r A r B A ????+== ? ?????-??=≤+ ??? 上面第二个等号就是用A 左乘第一个分块矩阵的第一行,然后加到第二行所得;第三个等号就是用B -又乘第二个分块矩阵的第一列,然后加到第二列所得。
线性代数考试题型及范围【超完整版】
线性代数考试题型及范围： 一、填空 1、已知矩阵A或B，求A与B之间的运算，如AB，A逆B逆，kA 2、已知方阵A，求A的行列式，A的伴随矩阵，A的伴随矩阵的行列式 3、求向量组的秩 4、求矩阵A的相似矩阵B的行列式 5、其次线性方程组有非零解的充要条件 二、选择 1、同阶方阵A、B的运算性质 2、两个相似矩阵A B的性质 3、关于向量线性相关性的选择题 4、非齐次方程组的特解与其齐次方程组的基础解系之间的关系 5、二次型正定性的判定 三、计算题 1、行列式的计算 2、求A的逆矩阵 四、解答题 1、求向量组的极大线性无关组 2、用基础解析求方程组的通解 五、给定实对称矩阵A，求可逆阵P，使P-1AP为对角阵 六、证明题：（关于矩阵，具体内容未知） 记住这些话： 第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。 第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE 再说。 第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αs线性无关，先考虑用定义再说。
第五句话：若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。第七句话：若已知A的特征向量p，则先用定义Ap=λp处理一下再说。 第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识
线性代数证明题解析
1、试题序号：321 2、题型：证明题 3、难度级别：3 4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：8 6、所需时间：8分钟 7、试题关键字：矩阵秩的性质 8、试题内容： 设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且2A E =，证明：()()R A E R A E n ++-=. 9、答案内容： 证明: 2220()()0,()()()().().()(). A E A E A E A E R A E R A E R A E R E A n R A E R E A R A E E A n R A E R A E n =?-=?+-=++-=++-≤≥++-=∴++-=由矩阵秩的性质则有同时,有 (+)+(-) 10、评分细则：由题设推出()()0A E A E +-=得2分;由矩阵秩的性质推出 ()()R A E R A E n ++-≤得2分;推出()()R A E R A E n ++-≥得2分;因而推出()()R A E R A E n ++-=得2分. ----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：322 2、题型：证明题 3、难度级别：3 4、知识点： 第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8 6、所需时间：6分钟 7、试题关键字：正交矩阵的特征值 8、试题内容： 设A 为一个n 阶正交矩阵，且1A =-.证明：1λ=-是A 的特征值. 9、答案内容： 证明：
,.1, (1)()()0(1)0.1. T T T T T T T T A A A E A A E A E A A A E A A E A A E A E A E A E A A E A E A λ∴==-∴--=+=+=+=+=-+=-+=-+=-+∴+=?--=∴=-是正交矩阵又 是的特征值 10、评分细则：推出()1T A E A AA --=+(2分)T E A =-+(2分)E A =-+(2分) 推出()10A E --=并说明1λ=-是A 的特征值(2分). ---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：323 2、题型：证明题 3、难度级别：4 4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：8 6、所需时间：10分钟 7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容： 已知,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：分块矩阵00A B ?? ??? 也为正定矩阵. 9、答案内容：
线性代数证明题
4. 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，并且B 是可逆矩阵，证明：11AB B A --+是对称矩阵. 证明：因为A 、B 为对称矩阵，所以B B A A T T ==, 1111111111()()()()()T T T T T T T AB B A AB B A B A A B B A AB AB B A ----------?+=+=+=+=+ 则矩阵 11AB B A --+ 是对称矩阵。 5. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*n -A =A . 证明：因为 *AA =A E ⑴当0A =时，*0AA =. 用反证法：假设 *0A ≠，则知*A 可逆， 在等式*O AA =左右两边同时右乘()1*-A ，得到O A =， 于是*O A =，这与假设矛盾， 可知当0A =时, 有1*0n -A ==A ； ⑵ 当0A ≠时，在等式*AA =A E 两边同时取行列式，得 **n A A =AA =A E =A 两边同时约去A ，得1*n -A =A . 6. 设向量b 能由321,,ααα这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组321,,ααα线性无关。 证明：（反证法）如果321,,a a a 线性相关，则有一组不全为0的系数321,,λλλ使33221 1a a a λλλ++=0 （1）， 由已知设332211αβαβαβ++=b ，结合（1）式得 333222111)()()(0a a a b b λβλβλβ+++++==+ （2） 由于321,,λλλ不完全为零，则11 λβ+，22λβ+，33λβ+与321,,βββ不同，这与b 表示法惟一相矛盾，故向量组321,,ααα线性无关。 7. 设321,,ααα是n 阶方阵A 的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123βααα=++，证明：β不是A 的特征向量。 证明：假设()123123112233A A A A A A βλββααααααλαλαλα=?=++=++=++， 又： 123112233A λβλαλαλαβλαλαλα=++==++ 从而： ()()()1122330λλαλλαλλα-+-+-=， 由于特征值各不相等，所以321,,ααα线性无关，
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案 第一部分 选择题 (共28分) 一、单项选择题（本大题共 14小题，每小题2分，共28分）在每小题 列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 111221 22 =m ，a a a a 131123 21 =n ，则行列式a a a a a a 11121321 2223 ++等于（ ） A. m+n B. -(m+n) C. n -m D. m -n 2.设矩阵 A =100020003?? ? ? ? ??，则A -1等于（ ） A. 13 000 12000 1?? ?? ?????? B. 1000 12000 13?? ?? ?????? C. 130********?? ? ?????? D. 1 2000 130001?? ?? ? ???? ? 3.设矩阵 A =312101214---?? ? ? ? ??，A *是A の伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元
素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ +λ2β2+…λsβs=0 1β1 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
线性代数习题集(带答案)
. . 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
《线性代数》习题集与答案 行列式计算证明题
1. 设 计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式. 解. A41 + A42 + A43 + A44 = 2. 计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式. 解. 3. 计算n阶行列式(n 2). 解. 当
+ =+ ++ =－ =－－= 0 当 4. 设a, b, c是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式即为y2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 5. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 证明: (n为奇数). 所以|A| = 0. 6. 设 证明: 可以找出数δ(0 < δ < 1), 使(提示: 使用罗尔定理). 证明: ,
由罗尔定理, 存在数δ(0 < δ < 1), 使. 7. 试证: 如果n次多项式对n+ 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明) 证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, x n. 将它们代入多项式, 得关于C i方程组 ………… 系数行列式为x0, x1, …, x n的范德蒙行列式, 不为0. 所以 8. 设 解. === =
1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______. 解. = = 2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______. 解. 假设, αi是A的列向量. 对于j = 1, 2, …, m, 令, 第j个元素不为0. 所以(j = 1, 2, …, m). 所以A = 0. 3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是______. 解. 由AB = 0, 而且B为非零矩阵, 所以存在B的某个列向量b j为非零列向量, 满足Ab j= 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A| = 0; 反之: 若|A| = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B, 满足AB = 0. 所以, AB = 0的充分必要条件是|A| = 0. 4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB= AC的充分条件是______. 解.
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）
线性代数试题及答案
线性代数（试卷一） 一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若 122 21 12 11 =a a a a ，则=1 6 030 322211211 a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为 __2___________。 6. 设A 为三阶可逆阵，??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数）______________ 。 10.若()T k 11=α与()T 121-=β正交，则=k 二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s < 2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ．8 Ｂ．8-
Ｃ． 3 4 Ｄ．3 4- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A * kA )(B * A k n )(C *-A k n 1 )(D *A 5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。 )(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)( )(D 2 2 ))((B A B A B A -=-+ 三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分） 1. 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2 -n n 2 222 。 2．设A 为三阶矩阵，* A 为A 的伴随矩阵，且2 1=A ，求*A A 2)3(1--. 3．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ??? 4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2 123123123 1x x x x x x x x x λλλλλ?++=? ++=??++=? ① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。 5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
线性代数
线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意, 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念, 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合, 然而它以力或速度作为直接的物理意义, 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度, 散度, 旋度就更有说服力。同样, 行列式和矩阵如导数一样（虽然dy/dx 在数学上不过是一个符号, 表示包括△y/△x的极限的长式子, 但导数本身是一个强有力的概念, 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“ 解行列式问题的方法” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz ，1693 年）。1750 年克莱姆（Cramer ）在他的《线性代数分析导言》（Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer 克莱姆法则）。1764 年, Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n 个未知量的n 个齐次线性方程, Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述( 即把行列' 式理论与线性方程组求解相分离) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。Laplace 在1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中, 证明了Vandermonde 的一些规则, 并推广了他的展开行列式的方法, 用r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（Jacobi ）也于1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西(Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace 的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（Lagrange ）在1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯（Gauss ）大约在1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯- 约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家Camille Jordan 误认为是“高斯- 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。1848 年英格兰的J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855 年矩阵代数得到了Arthur Cayley 的工作培育。Cayley 研
【线性代数】常见证明题型及常用思路
《线性代数》常见证明题型及常用思路 仅供参考！！！！ 二、证明题 题型1．关于1, ,m αα线性相关性的证明中常用的结论 （1）设110m m λαλα++=，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明1, ,m λλ必全为零，则1,,m αα线性无关；如果能得到不全为零的1, ,m λλ使得等式成立，则1,,m αα线性相关。 （2）1,,m αα线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。 （3）如果1, ,n m F αα∈，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 （4）如果我们有两个线性无关组，11,,,m W αα∈12,,,t W ββ∈且12,W W 是同一个线性空间的两 个子空间，要证11, ,,,,m t ααββ线性无关。这种情况下，有些时候我们设 111111110, ,m m t t m m t t λαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++。 根据题设条件往往能得到0αβ==，进而由11,,,m W αα∈12,,t W ββ∈的线性无关得到系数全为零。 题型2. 关于欧氏空间常用结论
（1）内积的定义 （2）单位正交基的定义 （3）设1{,,}n B αα=是单位正交基， 11(,,),(, ,)B n B n u x x v y y ==。则11(,)n n u v x y x y =++ 5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩 （2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩 （4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()()(); ()min{(),()}; ()()(); max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n ?+≤+≤==??≤=≤+ ??? ??=+ ??? ??+≤≤++ ??? =?+≤ （5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式） 例：证明：()()()m n r A r B n r AB ?+≤+。 证：