“截长补短法”证明线段的和差问题

“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析 河大附中 桑静华

线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．在无法进行直接证明的情形下，利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。 例1、如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别 平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ， 则AB 与AC+BD•相等吗？请说明理由．

分析：证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：

（1）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短 线段，这种方法叫“截长法”

（2）在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．

34

D

C

A

B

6

5(1)

F E

1

2

34

D

C

A

B

6

5

(2)

E

F

12

证法一：如图（1）在AB 上截取AF=AC ，连结EF ． 在△ACE 和△AFE 中

D

C

A

B

E

12AC AF AE AE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ACE ≌△AFE （SAS ）

∵

,∴

,又

,∴∠6=∠D

在△EFB 和△BDE 中

634D BE BE ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△EFB ≌△EDB （AAS ） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE ，与AC 的延长线相交于点F

∵ ∴4∠=∠F ,又∵43∠=∠ ∴∠F=∠3 在△AEF 和△AEB 中

312F AE AE ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AEF ≌△AEB （AAS ）, ∴AB=AF ，BE=FE 在△BED 和△FEC 中

564BE FE F ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

∴△BED ≌△FEC （ASA ） ∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD ． 例2、如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，

∠BAC 的平分线交BC 于D ，求证：AB +BD =AC ． 分析1： 因为∠B =2∠C ，所以AC ＞AB ， 可以在AC 上取一点E ，使得AB =AE ，

构造△ABD ≌△AED ，把AB 边转移到AE 上， BD 转移到DE 上，要证AB +BD =AC ． 即可转化为证AE +BD =AE +EC ， 即证明BD =EC ．

A

B

C

D

证明：在AC 上取一点E ，使AB =AE ，连结DE ．

在△ABD 和△AED 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AD AD DAE BAD AE AB ∴△ABD ≌△AED （SAS ）． ∴ BD =DE ，∠B =∠AED ．

又∠AED =∠EDC +∠C =∠B =2∠C ，

∴ ∠EDC =∠C ．

∴ ED =EC ． ∴ AB +BD =AC ．

分析2： 因为∠B =2∠C ，所以AB ＜AC ，

可以在AB 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ， 构造△AED ≌△ACD ，把AC 边转移到AE 上， DC 转移到DE 上，要证AB +BD =AC

． 即可转化为证AB +BD =AB +BE ， 即证明BD =BE ． 证明：在AB 的延长线上取一点E ， 使AC =AE ，连结DE ． 在△AED 和△ACD 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AD AD DAC BAD AC AE ∴ △AED ≌△ACD （SAS ）．∴∠C =∠E ． 又∠ABC =∠E +∠BDE =2∠C =2∠BDE ， ∴ ∠E =∠BDE ．∴ BE =BD ． ∴ AB +BD =A E ＝AC ． 分析3：若延长DB 到点E ， 使得AB =BE ，有AB +BD =ED ， 只要证出ED =AC 即可． 证明：延长DB 到点E ， 使AB =BE ，连结AE ，

则有∠EAB =∠E ，

∠ABC =∠E +∠EAB =2∠E ．

又∠ABC =2∠C ， ∴ ∠E ＝∠C ． ∴ AE =AC ．

又∠EAD =∠EAB +∠BAD =∠E +∠DAC =∠C + ∠DAC =∠ADE ，

A

B C

D E

A

B C

D E

A B C

D E

∴AE=DE．

∴AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．

学以致用：

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠BCD=180°

A

B C

D