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判定函数单调性的几种方法-模板

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判定函数单调性的几种方法

函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质。从高中接触函数单调性开始。我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法。关键词:函数,单调性,判定函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质,从高中接触函数单调性开始,我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法,本文将判定函

数单调性的多种方法给出,由于通过抽象函数来考察函数单调性的题目常常出现在各级数学试题中,这种题型比较抽象,综合性较强,对学生的能力要求较高,学生往往难解其意,不能沟通数学符号及数学语言之间的内在,本文也将给出几种判定抽象函数单调性的方法。

⒈判定函数单调性的几种方法

利用函数单调性的定义

一般地,设函数的定义域为:如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有(或),那么就说在这个区间上是增(或减)函数。给出定义后,我们就可利用定义判定函数的单调性。

例1 讨论函数的单调性。

解:函数的定义域为,任取两个实数

故在上是增函数。参考。

例2 讨论函数的单调性。

解:指数函数的定义域为,任取两个实数,=

当时,, 此时函数为增函数。

当时, 此时函数为减函数。

利用反函数的单调性

我们知道,一个函数若为严格增(或减)函数,则其反函数也为严格增(或减)函数。那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。

例3 讨论反余弦函数的单调性

解:因为是余弦函数在的反函数,已知在上为严格减函数,故在定义域上为严格减函数

利用基本初等函数的性质

幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数是五种基本初等函数,它

们各有增减区间。那么我们就借助基本初等函数的性质来判定函数的单调性。

例4 判断函数的增减性

解:依据指数函数单调性可知:在上是增函数

例5 判断函数在上的单调性

解:依据幂函数单调性知:在上是减函数

利用复合函数的单调性

定理 1 设有复合函数,当与同时为增(或减)函数时,函数为增函数,否则为减函数。参考。

例6 讨论函数的单调性。参考。

解:先求出函数定义域: 解得:或

函数的定义域为,令为减函数,在区间上为减函数,故在上为增函数,而在区间上为增函数,故在上为减函数

利用的单调性

定理 2 若函数为增(或减)函数,则函数,当时为增(或减)函数,当时为减(或增)函数。

例7 讨论函数的单调性

解: 而为减函数,由定理2可知,为增函数

利用倒函数的单调性

定理 3 正(或负)值函数若为增(或减)函数,则其倒函数在其公共定义域内为减(或增)函数。

例8 讨论函数在区间上的单调性

解:在区间上是减函数,由定理3知,在区间上为增函数

利用函数的单调性判定函数和的单调性

定理4 两个具有公共定义域的增(或减)函数之和仍为增(或减)函数

例9 讨论函数的单调性

解:函数定义域为在此区间内,为增函数,由定理3知,为减函数,由定理2知,为增函数,由定理4知为增函数

利用函数的单调性判定函数积的单调性

定理 5 两个正值增(或减)函数之积为增(或减)函数;两个负值增(或减)函数之积为减(或增)函数

例10 讨论函数的单调性

解:函数在区间均为正值增函数,由定理5知在区间上均为增函数

利用导数

定理6 设在区间上可导,则在上递增(或递减)的充要条件是。

例11 讨论函数的单调性

解:函数的定义域为,由复合函数可导性可知在定义域上可导。

令得,它将定义域分为两个区间: ,在区间内函数在此区间内是增函数,在区间内函数在此区间内是减函数

⒉判定抽象函数单调性的几种方法

对于未给出具体函数式的抽象函数,需充分挖掘题目条件所提供的信息,具体方法如下:

定义法

通过作差(或作商),结合已知条件进行变形(分解因式,配方等),再与0(或1)的比较来判断其单调性。

例1 设函数对任意都有,且时,试讨论函数的单调性

解:当时,得,当时有,由知是奇函数,又因时,,任取有,所以在上是减函数

这类题通常用赋值法取特征值“探路故是增函数的区间是,

参考文献:

华东师范大学数学系.数学分析(上册)第三版[M]高等教育出版社(20XX)

任亲谋.数学分析习题解析华东师大第三版上册[M]陕西师范大学出版社:P177

函数单调性的判定方法(高中数学)

函数单调性的判定方法 学生： 日期; 课时： 教师： 1.判断具体函数单调性的方法 定义法 一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； . （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3 R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212 221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 22 11221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。 ~ 例2.用定义证明函数x k x x f + =)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。

函数的单调性 知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1

2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是增函数；

3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 10，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数． 注意：(补充) （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，

高中一年级函数单调性完整版

函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f =

函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则

).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我

复合函数单调性的判断

复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log （4x-x 2）的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________； （2）函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ） （A ）)(1 x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2 1x f y = （D ）2 )]([x f y =

7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ） （A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1 2+- =x y （D ）x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2] 21.函数y= 在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2 )的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。 分析如下： 令u=x 2-ax+3a ，y= u 。 因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。

高中数学函数单调性的判断方法

高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；

用函数单调性定义证明

用函数单调性定义证明 例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数，且， 则 = 由得，由得， . ，，即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数，且， 则 由得，由得

.又 ， . 于是 即 . 在 上是减函数. 小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数 例1、函数 在 上是减函数，求 的取值集合. 分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究. 解：当 时，函数此时为 ，是常数函数，在 上不 具备增减性. 当 时， 为一次函数，若在 上是减函数，则有 ，解得 .故所求 的取值集合为 . 小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、 设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ，求a 的取值范围，使函数)(x f 在 区间[]+∞,0上是单调函数． 分析：由于函数的单调性不易直接判断，而且含有字母系数，求解过程中需要讨论字母的范围，因此可以从单调性定义出发，从定义求解释一种基本的方法，不可忽视． 解： 在[]+∞,0上任取1x ，2x ，使得21x x < )()(21x f x f -

)(11212 221x x a x x --+-+= )(1 12122 212 2 21x x a x x x x --+++-= )1 1)( (22 21 2121a x x x x x x -++++-= （Ⅰ）当1≥a 时，因为11 122 21 21<++++x x x x ， 01 122 21 21<-++++a x x x x ，又 021<-x x ， 所以0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f > 所以当1≥a 时，函数)(x f 在区间[]+∞,0上是单调递减函数 （Ⅱ）当10<

函数单调性方法和各种题型

(一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3：y＝|x2＋2x－3| 练习：

(二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论： （1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 （2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题： 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1

(完整版)复合函数单调性的判定方法

复合函数单调性的判定方法 定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同． 证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b， 则有m＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x 1 )] ＞f[g(x 2 )]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数． (2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b，则有m ＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x 1 )]＜ f[g(x 2 )]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数． 由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性． 例1讨论函数f(x)＝log 0.5 (x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为 y＝log 0.5 u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋ ∞)上为增函数．又y＝log 0.5 u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间． 解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数． 推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．

证明函数单调性的方法总结

证明函数单调性的方法总结 导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，

则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的'单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思

定义法判断函数的单调性

2.1定义判别法 使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义： 一般的，设函数)(x f 的定义域为I ： 1）、如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时都有)()(21x f x f <.那么就说)(x f 为D 上的增函数； 2）、如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时都有)()(21x f x f >，那么就说D x f 为)(上的减函数。 例1：已知βα、是方程)(01442R k kx x ∈=--的两个不等实根，函数1 2)(2+-=x k x x f 的定义域为[]βα，，判断函数)(x f 在定义域内的单调性，并证明。 证：令144)(2--=kx x x g ，则函数图象为开口向上的抛物线。 设βα≤<≤21x x ，则01440144222121≤--≤--kx x kx x ， ； 将上述两个式子相加得： 02)(4)(4212221≤-+-+x x k x x ， 由均值不等式，可得 2221212x x x x +≤； 02 1)(22121<-+-∴x x k x x ， 则[]) 1)(1(22)()(1212)()(222121211221122212+++-+-=+--+-=-x x x x x x k x x x k x x k x x f x f 又02 12)(22)(21212121>+-+>+-+x x x x k x x x x k ，

所以0)()(12>-x f x f ，故)(x f 在区间[]βα,上是增函数。 例2、求证x x x f -+=2)(在??? ? ?∞-47,上为增函数。 解：取2121212122)()()(4 7x x x x x f x f x x ---+-=-≤<，则， 分子、分母同时乘以2122x x -+-，得 2121212122) 122)(()()(x x x x x x x f x f -+---+--=-， 由2 12,212,02121≥->-<-x x x x ，所以0)()(21<-x f x f ， 函数在??? ? ?∞-47，为单调递增函数。 从上面两个例子可以看出，在应用定义判别法的时候，首先取定定义域中不等两点，对其函数值作差，判断其大小。但是，在做题过程中，不乏对不等式的灵活应用，因此，需熟练掌握一些常用的不等式。 知识链接： 常用的基本不等式 （1）、设R b a ∈、 ，则0)(022≥-≥b a a ，（当且仅当b a a ==,0时取等号）。 （2）、设R b a ∈、，则2 222222,2??? ??+≥+≥+b a b a ab b a （当且仅当b a =时取等号）。 （3）、设R c b a ∈、、，则ca bc ab c b a ++≥++222； ()32222c b a c b a ++≥++ （当且仅当c b a ==时取等号）。 （4）、均值不等式： a 、设)0(∞+∈，、 b a ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号）。

高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案

高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案： 函数的单调性 课题：函数的单调性 课时：一课时 课型：新授课 一、教学目标 1.知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念。 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。 3.情感态度价值观：

通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数 学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小。在此基础上描述y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在

（0，+∞）上y随x增大而增大。理解单调性是函数的局部性质，在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数。 设计意图：数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。 （二）初步探索，形成概念 教师活动：（以y=x2+1在（0，+∞）上单调性为例）让学生理解如何用精确的数学语言（随着、增大、任取）来描述函数的单调性，进而得到增（减）函数的定义。并进一步提出如何判断的问题。 学生活动：通过交流、提出见解，提出质疑，相互补充理解函数定义的解释，讨论表示大小关系时，理解如何取值，明白任取的意义。 设计意图：通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。 （三）概念深化，延伸扩展 教师活动：提出下面这个问题：能否说f（x）=在它的定义域上是减函数从这个例子能得到什么结论并给出例子进行说明： 进一步提问：函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数，最后再一次回归定义，强调任意性。

《函数的单调性》教材分析

《函数的单调性》教材分析 一、内容结构 1、通过观察几个不同的函数图像，直观感受图像的变化 教材中通过以下三个不同的函数图像，让学生去发现它的变化规律，从而体验函数图像的上升与下降的变化。 2、结合直观图像和列表，归纳函数值的变化规律 教材中以二次函数为例，先从图像直观函数图像的上升与下降的变化，再结合列表归纳函数在某个区间上函数值与自变量的变化规律。 3、由特殊过渡到一般，得出增（减）函数的定义 教材中先由函数在某个区间上函数值与自变量的变化规律定义出该函数在某个区间是增函数还是减函数，再由特殊向一般转变，从而得出一般的增（减）函数的定义。 4、利用增（减）函数的定义，证明函数的单调性 教材中通过证明玻意耳定理，让学生得知如何利用定义证明函数的增减性，从而归纳证明函数单调性的一般证明方法与步骤。 二、教学目标与教学重、难点 依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为： 1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数的单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。 3.能够用函数的性质解决生活中简单的实际问题，使学生感受到学习单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发其积极性。

在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下 教学重点：函数的单调性的判断与证明； 教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。 三、地位与作用 《函数的单调性》选自人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性。这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高。这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 四、教学建议 函数的单调性是描述函数的整体特征之一，因此观察函数的图像时，首先应注意图像的升降变化，还有某些特殊位置的函数值的状态。让学生观察图像获得图像的变化规律时，应注意使用数形结合的思想。此外教学时，要特别重视从几个实例的共同特征过渡到一般性质的概括过程，引导学生用数学语言表示出来，生成数学概念。具体的，研究函数单调性应遵循“三步曲”： 第一步：观察图像，直观感知图像的变化 第二步：结合图表，用自然语言描述函数图像的变化规律 第三步：用数学语言定义函数的单调性

函数单调性地判断或证明方法

函数单调性的判断或证明方法. （ 1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、 配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。 例 1. 判断函数在(－1，＋∞ )上的单调性，并证明． 解：设－ 10， x2＋ 1>0. ∴当 a>0 时， f(x 1) － f(x 2)<0 ，即 f(x 1)0 ，即 f(x 1)>f(x ∴函数 y＝ f(x) 在 ( － 1，＋∞ ) 上单调递减． 2)，2)， 例 2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。（增两端，减中间） 证明：设，则 因为，所以, 所以，

所以 所以 设 则， 因为， 所以 所以 所以 ， 同理，可得 （2）运算性质法 . ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增 +增=增；减 +减 =减；增 -减=增，减 -增=减） ②若. ③当函数 ④ 函数 . 二者有相 反的单调性。 ⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（ 3）图像法 . 根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例 3. 求函数的单调区间。 解：

判断函数单调性知识点及练习题

判断函数单调性的常用方法一、定义法 设x 1，x 2 是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x 1 ＜x 2 ，若f(x 1 )＜f(x 2 )，则此函数为增函数； 反知，若f(x 1)＞f(x 2 )，则此函数为减函数. 【例1】证明：当1≤X时，f(x)=x2-2x是增函数。 二、性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性； ⑵ f(x)与c?f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 三、同增异减法(适用于复合函数) 这是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数. 注：奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； 设单调函数y=f(x)为外层函数，y=g(x)为内层函数 (1) 若y=f(x)增，y=g(x)增，则y=f﹝g(x)﹞增. (2) 若y=f(x)增，y=g(x)减，则y=f ﹝g(x)﹞减. (3) 若y=f(x)减，y=g(x)减，则y=f﹝g(x)﹞增. (4) 若y=f(x)减，y=g(x)增，则y=f ﹝g(x)﹞减. 例1. 求函数 2 2 2 ) (-+ =x x x f的单调区间. 四、图像法

证明函数单调性的方法总结归纳

证明函数单调性的方法总结归纳 1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，

则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改

函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；

（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 由于04 3)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122 211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f +=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x << 所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f +=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。

判定函数单调性的几种方法

判定函数单调性的几种方法 函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质。从高中接触函数单调性开始。我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法。:函数,单调性,判定函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质,从高中接触函数单调性开始,我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法,本文将判定函 数单调性的多种方法给出,由于通过抽象函数来考察函数单调性的题目常常出现在各级数学试题中,这种题型比较抽象,综合性较强,对学生的能力要求较高,学生往往难解其意,不能沟通数学符号及数学语言之间的内在联系,本文也将给出几种判定抽象函数单调性的方法。 ⒈判定函数单调性的几种方法 1.1利用函数单调性的定义 一般地,设函数的定义域为:如果对于属于定义域内某个区 间上的任意两个自变量的值,当时,都有(或),那么就说在这个区间上是增(或减)函数。给出定义后,我们就可利用定义判定函数的单调性。 例1讨论函数的单调性。 解:函数的定义域为,任取两个实数 故在上是增函数。参考。 例2讨论函数的单调性。

解:指数函数的定义域为,任取两个实数,= 当时,,此时函数为增函数。 当时,此时函数为减函数。 1.2利用反函数的单调性 我们知道,一个函数若为严格增(或减)函数,则其反函数也为严格增(或减)函数。那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。 例3讨论反余弦函数的单调性 解:因为是余弦函数在的反函数,已知在上为严格减函数,故在定义域上为严格减函数 1.3利用基本初等函数的性质 幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数是五种基本初等函数,它们各有增减区间。那么我们就借助基本初等函数的性质来判定函数的单调性。 例4判断函数的增减性 解:依据指数函数单调性可知:在上是增函数 例5判断函数在上的单调性 解:依据幂函数单调性知:在上是减函数 1.4利用复合函数的单调性 定理1设有复合函数,当与同时为增(或减)函数时,函数为增函数,否则为减函数。参考。 例6讨论函数的单调性。参考。

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