高数各章综合测试题与答案

第十一章 无穷级数测试题

一、单项选择题 1、若幂级数

1

(1)n

n

n a x ∞

=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定.

2、下列级数条件收敛的是( ).

(A) 1(1);210

n n n

n ∞

=-+∑

(B) 1

n n -∞

= (C)

1

1

1

(1)

();2

n

n n ∞

-=-∑

(D) 1

1

(1)n n ∞

-=-∑ 3、若数项级数

1

n

n a

∞

=∑收敛于S ，则级数

()121

n

n n n a

a a ∞

++=++=∑( )

(A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a

为正常数，则级数

21sin n na n ∞

=???

∑( ).

(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关. 5、设2

(),01f x x x =<≤，而1

()sin π,n

n S x b

n x x ∞

==-∞<<+∞∑，

其中10

2

()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==?L ，则1

()2

S -等于( ) (A) 1;2- (B) 1

;4

- (C) 1;4 (D) 12.

二、填空题 1、 设

14n n u ∞==∑，则1

11

()22n n

n u ∞

=-=∑( ) 2、 设

()

1

1

1n n n a x ∞

+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数

()

1

1n

n

n na x ∞

=+∑的收敛区间为( )

3、 设3

2,10

(),01x f x x x -

≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ) 4、 设2

()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为

()01

cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 则3b =( )

5、级数()1(1)221!

n n n

n ∞

=-+∑的和为( )

三、计算与应用题 1、求级数

()1

13;3n

n

n x n ∞

=-?∑的收敛域 2、求

()211

12

n

n n ∞

=-?∑的和 3、将函数()

2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)

0n f

+

4、求20

12!n

n

n n x n ∞

=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n x

n n f x f x x -'=+，n 为正整数，且e

(1)n f n

=

，求函数项级数()1

n n f x ∞

=∑的和函数.

6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当

1α> 时，级数1n

n x α

∞

=∑收敛. 四、证明题

设π

40

tan d n n a x x =

?

（1） 求

()211

n n n a a n

∞

+=+∑ （2） 试证：对任意常数0λ>，级数

1

n

n a n λ∞

=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n

∞

+=+=∑.

因为2

11n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111n

n n a n n

λλ∞∞

+==<∑∑ 第十一章 无穷级数测试题答案与提示

一、

1、A ；

2、D ；

3、B ；

4、C ；

5、B. 二、

1、1；

2、()4,2-；

3、32；

4、2π3

；5、cos1sin1-. 三、

1、答案：[)0,6.

2、答案：

53

ln 284

- 提示：原式为级数()

211n n x n ∞

=-∑的和函数在1

2x =点的值.

而()

22221121211n n n

n n n x x x n n n ∞

∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可. 3、答案：110

(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞

+=--??

=∈-??+??∑

()1

(1)

(1)20!1

n n n f

n n ++--=?

+. 提示: ()

()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++

4、答案：222

011e 1,2!42x

n n

n n x x x x n ∞

=??+=++--∞<<+∞ ???

∑ 提示：()2011112!1!2!2n

n

n n n n n n n x x x n n n ∞

∞∞===+????

=+ ? ?-????

∑∑∑，

而()1011e ,e 1!!

x

n x

n n n x x x n n ∞

∞

====-∑∑

5、答案：

()()[)1

e ln 1,

1,1x

n n f x x x ∞

==--∈-∑

提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()e x

n x f x n

=

()1

11e e x x

n n n n x x f x n n ∞

∞

∞=====∑

∑∑，记1()n x S x n

∞

==∑，则可得()ln(1)S x x =--

6、提示:设()1n

n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正根.

而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,

00110n x x n n -<=<,故当1α> 时，级数1

n n x α

∞

=∑收敛.

四、提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()211

1n n n a a n

∞

+=+=∑.

因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111n

n n a n n

λλ∞∞

+==<∑∑

第十章 曲线积分与曲面积分测试题

一、单项选择题

1、已知()()

2

d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于( ) (A) 1;- (B) 0; (C) 1; (D) 2.

2、设闭曲线c 为1x y +=的正向，则曲线积分

d d c

y x x y

x y -++??的值等于( ) (A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 6.

3、设∑为封闭柱面()22203x y a z +=≤≤，其向外的单位法向量为

{}cos ,cos ,cos n αβγ=r

，则()cos cos cos d x y z s αβγ∑

++??ò等于( )

(A) 2

9π;a (B) 2

6π;;a (C) 2

3π;a (D) 0.

4、设曲线c 为2222

0x y z a x y z ?++=?++=?，则d c

x s ??等于( ) (A) 2

3;a (B) 0; (C) 2

;a (D)

213

a . 5、设∑

为下半球z =Ω是由∑和0z =所围成的空间闭区域，则

d d z x y ∑

??不等于( )

(A) d ;v Ω

-

???

(B) 2π

d d r θ?

?

;

(C) 2π

d d ;r θ-?

?

(D)

()d d z x y x y ∑++??.

二、填空题

1、设c 是圆周222

x y a

+=，则

()2

d c

x y s -=??( )

2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-u r r r 的作用下沿椭圆22

44x y +=的逆时针方向运动

一周，则F u r

所做的功等于( )

3、设∑是平面6x y z ++=被圆柱面2

2

1x y +=所截下的部分，则d z s ∑

??等于( )

4、设∑是球面2

2

2

1x y z ++=的外侧，则

()

23

2

2

2d d x

y z x

y z

∑

++??

ò等于( )

5、设

22()

d ()d 1c

xf x y x f x y x -++?与路径无关，其中()f x '连续且(0)0f =，则()f x =( ) 三、计算与应用题 1、求()()x

y sin d cos d L

I e

y b x y x e y ax y ??=

-++-???，其中,a b 为正常数，L 为从点

()2,0A a

沿曲线y =()0,0O 的弧.

2、计算2

d L

I y s =?，其中L 为圆周2222

x y z a x y z ?++=?++=?.

3、在变力F yzi zx j xyk =++u r r r r

的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

222

222

1x y z a b c ++=上第一卦挂线的点(),,M ξηζ，问,,ξηζ取何值时，力F u r 所做的功W 最大？并求出W 最大值.

4、设S 为椭球面22

2122

x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，求

()

d ,,S

z

s x y z ρ??

.

5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑

=++??，其中∑为曲面()2

2

1014y z x x =--≤≤的上

侧.

6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，

2()d d ()d d e

d d 0x

S

xf x y z xyf x z x z x y --=??ò，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的

一阶导数，且0

lim ()1x f x +

→=，求()f x . 答案：()e ()e 1x x

f x x

=- 提示：由题设和高斯公式得

220()d d ()d d e d d ()()()e d x x

S

xf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v Ω

'??=--=±+--???????òó

由S 的任意性，知2()()()e 0x

xf x f x xf x '+--=，解此微分方程即可.

四、证明题 已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证：

（1）

sin sin sin sin e d e d e d e d y x

y x

L

L

x y y x x y y x ---=-??蜒； （2）

2

sin sin 5πe d e d 2y x L

x y y x --?≤? 第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示

一、

1、D ；

2、C ；

3、A ；

4、B ；

5、B. 二、

1、3πa -；

2、4π-；

3、；

4、4π3；

5、2

1

1x

+. 三、

1、答案：23ππ222I a b a ??

=+-

???

.

提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式. 2、答案：3

2π3

I a =

. 提示：利用变量“对等性”22231

d d d d 3L

L

L

L

I y s x s z s a s ====

?

????. 3、答案：

ξηζ=

==

max 9

W abc =

. 提示：直线段:,,OM x t y t z t ξηζ===，t 从0变到1，功W 为 1

20

d d d 3d OM

W yz x zx y xy z t t ξηζξηζ=

++==?

?

再求W ξηζ=在条件222

2221x y z a b c

++=下的最大值即可.

4、答案：

()3d π,,2

S

z s x y z ρ=??

.

提示：曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ，

切平面方程为：

022

x y

X Y zZ ++=， 点()0,0,0O 到平面π的距离()1

22

2

2,,44x y

x y z z ρ-

??=++ ???

. 5、答案：d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y ∑

=

++=??.

提示：添加曲面1∑为平面xoy 上被椭圆()2

2

1014

y x x +=≤≤所围的下侧，在∑和1∑所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在1

d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++??的积分等于3d d D

xy x y ??为0.

6、提示： （1） 左边=

()π

0π

sin sin sin sin 0

π

πe d πe d πe +e d y x x x y x x ---=?

??，同理，

右边=()π

sin sin 0

π

e

+e d x x x -?

（2） 由（1）得

sin sin e

d e

d y

x

L

x y y x --??=()πsin sin 0

πe +e d x x x -?，而由sin e x 和sin e x -泰勒展开

式知道

()π20

π2sin d x x +?≤()π

sin sin 0

πe +e d x x x -?，

而()π

2

2

5π

2sin d π2

x x +=?.

第九章 重积分测试题

一、选择题

1、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限中的部分，则(cos sin )D

xy x y dxdy +=??( ).

(A) 12cos sin D x ydxdy ??;(B) 2cos sin D

x ydxdy ??

(C) 1

4

(cos sin )D xy x y dxdy +??(D) 0

2、设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d D

f x y xy f x y x y =+

??

，其中D 是xoy 平面上由2

0,y y x ==

和1x =所围区域，则(,)f x y 等于( ).

(A) xy ; (B) 2xy ; (C) 1xy + ; (D) 18

xy + 3

、设22222

123d ,cos()d d ,cos()d d ,D

D

D

I x y I x y x y I x y x y =

=+=+??????其中(){}

2

2,1D x y x

y =

≤+，则( ).

(A) 321I I I >>; (B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ; (D) 312I I I >>

4、设空间闭区域Ω由2

2

2

1x y z ++≤及z 0≤确定，1Ω为Ω在第一挂限的部分，则( ). (A) 1

d 4d x v x v Ω

Ω=??????; (B) 1

d 4d y v y v Ω

Ω=??????;

(C)

1

d 4d z v z v Ω

Ω=??????; (D) 1

d 4d xyz v xyz v Ω

Ω=??????

5、设空间闭区域(

{,,z x y z Ω=

，d I z v Ω

=???，则下列将I

化为累次积分中不正确的是( ).

(A) 2

2π

1

00d d d r

I r r z θ=?

?;

(B) π

2π

240

d d cos sin d I θ??ρ?ρ=???;

(C) 1

22

2

1

πd π(2)d I z z z z z =

+-??

;

(D) 2

2

1

4d d x y I x y z z +=?

二、填空题

1、设区域D 为2

2

2

x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b ??

=+ ??

???的值等于( )

2、设(){}22,1D x y x y =

≤+，则2

2

2

1lim ln(1)d d πx y r D

e x y x y r -→++??的值等于( )

3、积分2

2

2

d e d y

x

I x y -=??的值等于( )

4、积分2

222

222()d x y z R I f x y z v ++=

++???≤可化为定积分0

()d R

x x ??，则()x ?等于( )

5、积分2

2221

()d x y z I ax by v ++=

+???

≤的值等于( )

三、计算与应用题 1

、求)

d d D

I y x y =

??，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平

面区域. 2、求{}

22

max ,e

d d x y D

I x y =

??，其中(){},1,1D x y x y =

≤≤≤≤00.

3、计算2

2

()d I x y z v Ω

=++???，其中Ω由曲线220y z

x ?=?=?绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面

与平面4z =所围的立体.

4、计算()d I x z v Ω

=

+???，Ω由z =

z =确定.

5、计算1121112

2

4

d e d d e d y y

x

x

y

I y x y x =

+?

??.

6、设有一高度为()h t （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程

222()

()()

x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧

面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？

四、证明题

设函数()f x 在[]0,1上连续，并设

1

()d f x x A =?

，证明11201

d ()()d 2

x I x f x f y y A ==??.

第九章 重积分测试题答案与提示

一、

1、A ；

2、D ；

3、A ；

4、C ；

5、B. 二、

1、22222πR 4x y a b ??+ ???

；2、1；3、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b .

三、 1、答案：()16

3π-29

I =

. 提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：e 1I =-

提示：为确定{}

22max ,x y ，必须将D 分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可. 3、答案：256

π3

I =

提示:旋转曲面的方程为2

2

2x y z +=,用柱面坐标计算22π

4

20

2

d d ()d r I r r z z θ=+?

?

?即

可.

4、答案：π8

I =

. 提示:

d 0x v Ω

=???,

π

π1

2

240

d 4d d cos sin d z v θ?ρ?ρ?ρΩ

=???????.

5

、答案：3e 82

I =

-. 提示：交换积分次序. 6、答案：100t =小时

提示：先利用三重积分求出雪堆的体积222()

3

1

()()2πd d d ()4

h t x y h t h t z V z

x y h t ??

+-?

?=

=?

??

≤；

再求出雪堆的侧面积2

2

22

1

()

2

13πd ()12

x y h t S x y h t +=

=

??

≤； 由题意

d 0.9d V S t =-，所以d ()13

d 10

h t t =-，解出()h t 并令其等于0，则可得结果. 四、提示：交换积分次序， 并利用1

11

10

01d ()()d d ()()d d ()()d 2y

x

y f x f y x x f x f y y x f x f y y ==??

??

??.

第八章 多元函数微分法及应用测试题

一、选择题

1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()x

y

f t dt x ?=??( ).

(A)(sin )(cos )f x f y - (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - (C) (sin )cos f x x ; (D) (cos )sin f y y

2、在矩形域00:,D x x y y δδ-<-<内，(,)(,)0x y f x y f x y =≡是(,)f x y c ≡（常数）

的（ ）.

(A) 充要条件； (B)充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件 3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在，则（ ）

（A ） (,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立； （B ）(,),(,)x y f x y f x y 在D 内连续；

（C ） (,)f x y 在D 内可微分； （D ）以上结论都不对

4、4200

2lim

3x y xy

x y →→+的值为（ ）

(A)∞ ； (B) 不存在； (C)

2

3

； (D) 0. 5、设有三元函数ln e

1xz

xy z y -+=，据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在

此邻域内该方程（ ）.

（A ）只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；

（B ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =； （C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =； （D ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =.

二、填空题

1、设(,)cos(

)(2

xy f x y e x y π

=+-,则(1,1)x f 的值为（ ）. 2、设(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,1)1,(1,1),(1,1)x y f f a f b ''===，令

[]{}(),,(,)x f x f x f x x ?=，则(1)?'的值为（ ）.

3、设2(,,)x f x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则

(0,1,1)x f '-=（ ）.

4、曲线2223

20

x y z x y z ?++=?-+=?在点()1,1,1M 处的切线方程为（ ）.

5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处 沿（ ）方向的方向导数最大？ 三、 计算和应用题

1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y -+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求

a 和

b 的值

2、设()()ky x g y x y x f z +++-=,，g f ,具有二阶连续偏导数，且0≡/''g ，如果

22

2

222242f y z

y x z x z ''=??+???+??，求常数k 的值. 3、在椭球222

2221x y z a b c

++=内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体

积最大?

4、设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求

d d z

x

5、设

),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy +=, 且

))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是

极大值还是极小值, 并求出此极值.

6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为

(){}

2

2,75D x y x

y xy =

≤+-，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+

（1） 设()000,M x y 为区域D 上一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导

数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式.

（2） 现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀

登的起点，试确定攀登起点的位置.

四、证明题

设(,)F u v 可微，试证曲面(

,)0x a y b

F z c z c

--=--上任一点处的切平面都通过定点. 第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示

一、

1、C ；

2、A ；

3、D ；

4、B ；

5、D.

二、

1、πe 2

-；2、23

(1)a b b b +++；3、1；4、111101x y z ---==

-；5、326o gradu i j k =--r r r . 三、

1、答案：2,2a b ==-.

提示： 利用xy

yx f f ''''=这一条件. 2、答案：1k =-. 提示:

g f f x

z

'+'+'=??21，g k f f y z '+'+'-=??21， g f f f x z ''+''+''+''=??221211222，g k f f f y

z ''+''+''-''=??2

2212112

22， g k f f y x z ''+''+''-=???22112，()

g k k f y z

y x z x

z ''+++''=??+???+??222

222222142， 又因为0≡/''g ，所以0212=++k k ，1-=k .

3

,,. 提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ，则求体积8V xyz =在条件

222

222

1x y z a b c ++=下的极值就可. 4、答案：

1221

122

d d f yf xf g z x f xf g ''''++='''-.

5、答案：故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.

提示：由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f f

x f y e f g xy x 221?'+?'=' y f x e f g xy y 221?'+?'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g

2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xy

xy xy xy x '+?''+?''+?'+?''+?''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy

xy

xy

xy

xy

xy 2)2()()2(222111211?''+?''++?'+?''+?''=''

2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xy xy xy xy y '+?''+?''+?'+?''+?''='' A=2)0,1(2)0,0(22

-='=''f g x 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy 2)0,1(2)0,0(22

-='=''=f g C y 032>=-B AC , 且0

6、答案: 00(,)g x y =

=

攀登起点的位置: ()()125,5,5,5M M --.

提示: 沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模. 然后再求(,)g x y 在条件2

2

750x y xy --+=下的极大值点就可. 四、答案: 通过定点(),,M a b c .

第六章 微分方程测试题

一、选择题

1、设()y f x =是240y y y '''-+=的解,若0()0f x >且0()0f x '=,则在0x 点()f x ( ). (A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在0x 某邻域内单增; (D) 在0x 某邻域内单减.

2、微分方程2448x

y y y e

'''-+=的一个特解应具有形式 ( ) (,,,a b c d 为常数).

(A) 2;x

ce (B) 22;x

dx e (C) 2;x

cxe (D) 2

2().x

bx cx e +

3、微分方程2

1sin y y x x ''+=++的特解形式可设为( ). (A) *

2

(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ (B) *

2

(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ (C) *

2

sin ;y ax bx c d x =+++

(D) *2

ecos .y ax bx c x =+++

4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，

12,c c 是任意常数，则该方程的通解为( ).

(A) 11223;c y c y y ++ (B) ()1122123;c y c y c c y +-+ (C) ()11221231;c y c y c c y +--- (D) ()11221231.c y c y c c y ++--

5、方程0xy y '+=满足(1)2y =的特解为( ).

(A) 2

1;xy = (B) 2

2;x y = (C) 2;xy = (D) 1.xy = 二、填空题

1、已知微分方程23e

x

y y y -'''--=有一个特解1e 4

x

y x *-=-

,则其通解为( ). 2、以12e ,e x x

y y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是( ).

3、若连续函数()f x 满足()

()e x

f t f x dt =?，则()f x 等于( ).

4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2

1y x

y x α??=++，其中α是比x ?(0)x ?→高阶的无穷小，且(0)πy =，则(1)y 等于( ). 5、2e x

y y y x '''++=的通解为( ). 三、计算和应用题 1、 设2e

(1)e x

x y x =++是二阶常系数线性微分方程e x y y y αβγ'''++=的一个特解，

求该微分方程的通解.

2、 设函数()y y x =在(),-∞+∞内具有二阶导数，且()0,y x x y '≠=是()y y x =的反函

数.

(1) 试将()x x y =所满足的微分方程()3

22d d sin 0d d x

x y x y y ??++= ???

变换为()y y x =所

满足的微分方程;

(2) 求变换后的微分方程满足条件3

(0)0,(0)2

y y '==

的解.

3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x x

y x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微

分方程的解，试求此微分方程 4、 已知连续函数()f x 满足320

()()d e 3

x

x t

f x f t =+?

，求()f x . 5、 已知连续函数()f x 满足()1

00

()()d e 2()d x

x

f x x u f u u x f xu u +

-=+??，求()f x . 6、设函数()f x 在[)1,+∞上连续恒正，若曲线()y f x =，直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为

2

π()(1)3

t f t f ??-??，试求()y f x =所满足的微分方程，并求该方程满足2

(2)9

f =

的特解. 四、证明题

证明方程()y y f x ''+=（其中()f x 连续）的通解为

()120

cos sin ()sin d x

y c x c x f t x t t =++-?，其中为任意常数.

第六章 微分方程测试题答案与提示

一、

1、A ；

2、B ；

3、A ；

4、D ；

5、C. 二、

1、3121

e e e 4

x

x

x c c x --+-；2、20y y y '''++=；3、ln(1)x +；4、π

4πe ；

5、()()121

e 1e 4

x x y c c x x -=++-. 三、 1、答案：2212e

e e (1)e x

x x x c c x ++++.

提示：将2e

(1)e x

x y x =++代入原方程，比较同类项系数，求出,,αβγ的值，然后再去求

解微分方程.

2、答案: (1) sin y y x ''-=;

(2) 1

e e sin 2

x x y x -=--

. 3、答案: 2e 2e x

x

y y y x '''--=-.

提示: 21312e ,=e x x

y y y y --=-是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方

程为20y y y '''--=, 设非齐次线性微分方程为2()y y y f x '''--=,再将其中任意个非齐次特解代入,得出()e 2e x

x

f x x =-.

4、答案: 32()3e

2e x

x f x =-.

5、答案: 21()12e 2x f x x x ??=++

??

?

. 提示：作代换xu t =，则1

2()d 2()dt x

x f xu u f t =?

?.

6、答案: 3

()1x

f x x =

+. 提示：依题意可得：22

1π()(1)π()d 3

t t f t f f x x ??-=???，然后两边求导. 四、略.

第五章 定积分及应用测试题

一、选择题

1、设()f x 连续，0

()d ,0,0s

t

I t

f tx x t s =>>?

，则I 的值是( ).

（A ） 依赖于s 和t ； （B ）是一个常数；

（C ）不依赖于s 但依赖于t ； （D ）依赖于s 但不依赖于t . 2、下列积分中,等于零的是( ). (A)

12

212

cos ln(1)d x x x -+?

(B)

2

3

3

(1)e d x x x -+?

(C) 4

222

sin cos d 1x x

x x π

π-+?

(C) 2

1

1

(d x x -?

3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>， 令()[]()1231

()d ,(),()()2

b

a

S f x x S f b b a S f a f b b a ==-=

+-?

，则( ).

(A) 321S S S >>; (B) 312S S S >>; (C) 213S S S >> ; (D) 132S S S >>.

4、已知

sin π

d 2

x x x +∞

=?

，则2

20sin d x x x +∞?的值等于( ). (A) π;2

(B) π; (C) 2

π;4 (D) π-1.

5、设()f x 在0处可导，且(0)0f =，则极限0

2

()dt lim

x

x f x t x →-?的值等于( ).

(A)不存在； (B) 0; (C) (0);f ' (D) 1

(0).2

f ' 二、填空题

1、设()f x 连续，31

()dt x f t x -=?

，则(7)f 等于( ).

2

、定积分

3π43π4(1arctan x x -+?的值为( ).

3、定积分1

1()e d x

x x x -+?

的值为( ).

4、若积分

(21)d 4a

a

x x --=-?

,则常数a 的值等于( ).

5、曲线3

2

2y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( ). 三、计算和应用题 1、已知(π)1f =，且[]0

()()sin d 3f x f x x x π

''+=?，求(0)f .

2

、计算

21

x x x --?

3、设2π

20sin ()d 12cos t f x t x t x =++?，求(1)

(0)

f f

4、 计算

π320

sin d sin cos x

x x x

+?

.

5、设3

e e

()ln ()d xf x x f x x =+

?

，求()f x .

6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]1

()()d f x xf xt t +?与x 无关，求()f x .

四、证明题

设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内()0f x '>，证明存在唯一的(),a b ξ∈使曲线

()y f x =和(),y f x a ξ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b ξ==所围面积2S 的3

倍.

第五章 定积分及应用测试题答案与提示

一、

1、D ；

2、C ；

3、B ；

4、A ；

5、D. 二、 1、

112；2

、2；3、2；4、2；5、3712

. 三、

1、答案：(0)2f =. 提示：用分部积分.

2、答案：4π-.

提示：利用奇偶对称性. 3、答案：1.

提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可. 4、答案：

()1

π14

-. 提示：

πππ3333

2220

00sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x x

x x x x x x x x x

+==+++?

??.

5、答案：ln 4()x f x x x

=

-. 6、答案：()e x

f x -=. 提示：令()[]11

()()d ()()d ()()d x

F x f x xf xt t f x x f xt t f x x f u u =

+=+=+??

?，

由()0F x '=得()()0f x f x '+=，所以e ()0x

f x '

??=??.

四、提示：()()()10

,,()()d t

t a b S t t a f t f x x ?∈=--

?

，()()2()d ,b

t

S t f x x b t =--?

令()()12()3t S t S t ?=-，用零点定理和单调性证明即可.

第一章综合测试题

一、单项选择题

1、()f x 当0x x →时的左极限和右极限都存在且相等是0

lim ()x x f x →存在的( )条件.

(A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 无关. 2、设222

12lim(

)n n

n n n →∞+++=L ( ).

(A) 22212lim lim lim 0n n n n

n n n →∞→∞→∞+++=L ; (B) ∞;

(C) 21+2+1

lim 2

n n n →∞+=L ; (D) 极限不存在. 3、设()=232x

x

f x +-，则当0x →，有 ( ).

(A) ()f x 与x 是等价无穷小; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小; (D) ()f x 是比x 低阶的无穷小.

4、设1

1e 1()e 1

x

x

f x -=

+，则0x =是()f x 的( ).

(A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 第二类间断点; (D) 连续点.

5、方程4

10x x --=至少有一个根的区间是( ).

(A) 1(0,)2; (B) 1(,1)2

; (C) (1,2); (D) (2,3).

二、填空题

7、 若2211

()3f x x x

x +=+

+，则()f x =(

)． 8、 已知函数2

(cos ), 0() , 0

x x x f x a x -?≠?

=?=??在0x =连续，则a = ( )．

9、

n →∞

(

)．

10、

设201

3sin cos

lim (1cos )(e 1)

x x x x x x →+=+- ( )． 5、已知25

lim

232n a bn n →∞++=-，则a = ( )，

b = ( )．

三、计算与应用题 1、设0, 0(), 0x f x x x ?=?

>?≤，20, 0

(), 0x g x x x ?=?->?≤，求函数项级数[()]f f x ，

[()],g g x

[()],[()]f g x g f x .

2、设21sin ,0(),0

x x f x x

a x x ?>?

=??+?≤，要使()f x 在(,)-∞+∞内连续，应当怎样选择数a ？ 3、设1

1e , 0()ln(1), 10

x x f x x x -??>=??+-

2

lim(sin )x x x →

．

5、计算极限1

23lim(

)21

x x x x +→∞

++ 6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22

f x f x ++-的定义域. 四、证明题

证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ

(,)22

-

内至少有一个根. 第一章综合测试题答案与提示

一、

1、C ；

2、C ；

3、B ；

4、B ；

5、C. 二、

1、21x +；

2、1；

3、32；

4、3

2

；5、任意常数，6. 三、

1、答案：[()] = (),f f x f x

[()]0,g g x = [()]0,f g x = [()]()g f x g x =.

2、答案：0a =．

3、答案： 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．

4、答案： 1．

5、答案：e .

6、答案: 12

x =

. 四、提示：利用零点定理．

第二章综合测试题

一、单项选择题

1、若 e , 0

()sin 2, 0ax x f x b x x ?<=?+?

≥在0x =处可导，则a b 、的值应为( ).

(A) 2,1a b ==; (B) 1,2a b ==; (C) 2,1a b =-=; (D)

2,1a b ==-.

2、设222, 1() 1 , 1

x x x f x x ?-+>=??≤ ( ).

(A)不连续; (B)连续，但不可导;

(C)连续，且有一阶导数; (D) 有任意阶导数. 3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数，则()f x ' ( ).

(A) 必为(,)l l -内的奇函数; (B) 必为(,)l l -内的偶函数;

(C) 必为(,)l l -内的非奇非偶函数; (D) 在(,)l l -内，可能为奇函数，也可能为偶函数. 4、()f x 在0x 处可导，则000

()()

lim

x f x x f x x

?→-?-=? ( ).

(A) 02()f x '; (B)

0()f x '-; (C) 0()f x '; (D) 0()f x '-.