幂零矩阵和幂零变换

n阶幂零矩阵的判别及构建_吴险峰

第23卷第4期齐齐哈尔大学学报 Vol.23,No.4 2007年7月 Journal of Qiqihar University July,2007 n 阶幂零矩阵的判别及构建吴险峰（齐齐哈尔大学理学院，黑龙江齐齐哈尔 161006）摘要：利用幂零矩阵的特征值、特征多项式、相似性等性质，给出构建幂零矩阵的几种方法。关键词：幂零矩阵；严格三角形矩阵；主子式中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2007)04-0072-04 对于有限维的线性空间，在给定基下线性变换与矩阵有着一一对应关系, 而线性变换是比较抽象的，不如矩阵容易理解，因此总是借助于矩阵来研究有限维线性空间的线性变换。幂零变换是一种特殊的线性变换，有许多特殊的性质可以利用，但除了用定义外，怎样判定所给的线性变换是否为幂零变换，又如何构建幂零变换。因为在有限维的线性空间中，幂零变换对应着幂零矩阵，由此幂零矩阵的判定和构建是解决这一问题的关键。因此本文给出了n 阶幂零矩阵的判定方法和构建方法。文中所指的矩阵均为数域F 上的矩阵，数均为数域F 上的数。 1 幂零矩阵的判别引理1 n 阶矩阵A 是幂零矩阵，当且仅当A 的所有特征根都是零。引理2 设n 阶矩阵)(ij a A =的特征多项式为 n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=?=??111)(" 则k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(?，n k ,,2,1"=，即 ∑ ≤<<≤?=n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k k k a a a a a a a a a b ""# ###""12 122 21 212 11 11) 1( 定理1 数域F 上n 阶矩阵A 为幂零矩阵，当且仅当A 的一切k (n k ,,2,1"=)阶主子式之和为零。证必要性：设)(ij a A =，则由引理2有 n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=?=??111)(" 其中系数k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(?，n k ,,2,1"=，即 ∑ ≤<<≤?=n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k k k a a a a a a a a a b ""# ###""12 122 21 212 11 11) 1( 收稿日期：2006-11-23 基金项目：黑龙江省教育厅科研项目（11521313）作者简介：吴险峰（1970-），女，黑龙江省拜泉县人，副教授，大学本科，现主要从事李代数及李超代数，E-mail：wuxianfenglaoshi@https://www.360docs.net/doc/e418671768.html,。

矩阵的若尔当标准型及简单应用

哈尔滨师范大学学年论文题目矩阵的若尔当标准型及简单应用学生李小琴指导老师穆强年级 2005级专业数学与应用数学系别数学系学院数学与计算机科学学院哈尔滨师范大学 07年6月

矩阵的及若尔当标准型及简单应用李小琴摘要：复数域上的每一n 阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用. 关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1 设λ是一个复数，矩阵????? ?? ? ??λλλλ1 ..................00 (10) 00 0 1 00 (00) （ 1 ）其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ???? ?? ? ??k B B B 002 1 （ 2 ）这里i B =???? ?? ? ? ?i is i i J J J 002 1 ，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设 i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{) (｜0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解 V =....1k V V ⊕⊕ 对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：i is i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间

幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。证明：? A Q 为幂零矩阵 k Z +∴?∈ .0k s t A = 令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα?≠= 由引理7知，0k λ为k A 的特征值 00 .k k s t A ββλβ∴?≠= 从而有0k λ=0即有00λ= 又有0k A =，知00k k A A A ==?= 0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-?= 00λ∴=为A 的特征值。由0λ的任意性知，A 的特征值为0。 ?A Q 的特征值全为0 A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-= 由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。得证性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +?∈=。证明：?A Q 为幂零矩阵，由性质1，知： A 的特征值全为0 即120n λλλ====L 由引理7，知 k A 的特征值为120k k k n λλλ====L 从而有 120k k k k n trA λλλ=+++=L ?由已知，120 k k k k n k Z trA λλλ+ ?∈=+++=L (1.1) 令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)i n i t =L L 由（1.1）式及引理7，得方程组

1122222 1122333 112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=??? ?+++=? L L L L L L (1.2) 由于方程组（1.2）的系数行列式为 12222 121 2 1212121211 11 () t t t t t t t t t t t t t i j j i t B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤= ==∏-L L L L L M M L M M M L M L L L 又(1,2,)i i t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠ 从而知，方程（1.2）只有0解，即0 (1,2,,)i n i t ==L L 即A 没有非零的特征值 A ∴的特征值全为0，由性质1，得 A 为幂零矩阵得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵，由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得 12 1 s J J T AT J -?? ? ?= ? ?? ? O 其中11 i i i J λλ?? ? ?= ? ?? ? O O O 阶数为(1,2,,)i n i s =L 由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n n i i J E J i s -===g L 12,,,s J J J L L 为幂零矩阵得证

复矩阵若当标准形的性质与应用

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：复矩阵若当标准形的性质与应用姓名：廉换霞学号：410401143 莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级 2007年6 月 25 日

复矩阵若当标准形的性质与应用数本041 廉换霞 410401143 摘要：若当标准形有广泛的应用。本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些性质及相关例题。然后讲到其应用。若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”，在解线性递推关系式等等中都有它的应用，我们通过一些例题来说明。最后，利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。关键词：若当形矩阵若当标准形初等因子可逆阵哈密尔顿——凯莱定理一、定义及性质 1、若当形矩阵的定义形式为 1(,)1t t J t λλλλ??? ? ?= ? ? ?? 的矩阵称为若当块，其中λ是复数。由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。特别地一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵包括对角矩阵。 2、若当标准形的性质性质一若当形矩阵除去其中若当块排列次序外，被它的初等因子惟一决定。此性质可用于求矩阵的若当标准形。例1 求矩阵 126103114A --?? ?=- ? ?--?? 的若当标准形解：首先求E A λ-的初等因子 22212601321001301101111411401321001 00011010002100(1)E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ??+--+-+-???? ? ? ? -=-→--+→--+ ? ? ? ? ? ?---+-+-?????????? ? ?→--+→- ? ? ? ?-+--???? 因此，A 的初等因子是1λ-，2(1)λ-，A 的若当标准形是

浅谈幂等矩阵的性质

万方数据

浅谈幂等矩阵的性质作者：侯君芳，黄丽莉作者单位：郑州旅游职业学院,河南郑州,450009 刊名：科技风英文刊名：TECHNOLOGY TREND 年，卷(期)：2009，""(13) 被引用次数：0次相似文献(6条) 1.期刊论文高灵芝幂等矩阵秩试题求解及其结论的推广-中国科教创新导刊2008,""(31) 本文从高等代数课本中的一道习题入手,从不同的角度给出这道习题的不同解法,并把其结论进行了推广. 2.期刊论文邹本强.ZOU Ben-qiang特殊矩阵的特征值性质-重庆职业技术学院学报2006,15(5) 在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具,在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义,但对矩阵特征值的性质研究很少,对特殊矩阵的特征值性质的研究更少,而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义.我们在研究矩阵及学习有关数学知识时,经常要讨论一些特殊矩阵的性质.为此,本文围绕幂等矩阵、反幂等矩阵、对合矩阵、反对合矩阵、幂零矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明,为广大读者学习矩阵时提供参考. 3.期刊论文孙莉.陈传良.王品超分块矩阵的理论应用-曲阜师范大学学报(自然科学版)2002,28(1) 分块矩阵的理论在高等代数中有着广泛的应用,用这一理论解决问题简明而清晰,该文是本理论的具体应用. 4.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.林国钦.Yang Zhongpeng.Chen Meixiang.Lin Guoqin关于三幂等矩阵的秩特征的研究-数学研究2008,41(3) 本文对已有的关于三幂等矩阵秩的等式作了进一步研究,指出其中有些可以作为判定三幂等矩阵的充要条件,即三幂等矩阵的秩特征等式.本文还证明了有无穷多种三幂等矩阵的秩特征等式形式. 5.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.YANG Zhong-peng.CHEN Mei-xiang关于矩阵秩等式研究的注记-莆田学院学报2008,15(5) 最近一些文献应用自反广义逆和广义Schur补得到了一些重要的矩阵秩的恒等式.对这些结果,给出了只用分块初等变换的简单证法;作为应用对 k(k=2,3,4)幂等矩阵的秩等式作进一步讨论,还给出了打洞技巧在求秩上应用的例子. 6.期刊论文林志兴.杨忠鹏.LIN Zhi-xing.YANG Zhong-peng与给定矩阵A的可交换子环C(A)的一些探讨-莆田学院学报2010,17(2) 收集整理现在常用的高等代数与线性代数材料中与给定矩阵A可交换的矩阵所构成的全矩阵空间pn×n的子空间C(A)的习题.指出C(A)的交换性及用 A的多项式表示问题同C(A)的维数与n有密切关系,得到n(n≥3)阶幂等矩阵A或对合矩阵A的C(A)都是不可交换的结论. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/e418671768.html,/Periodical_kjf200913005.aspx 授权使用：洛阳工学院（河南科技大学）(wflskd)，授权号：d7e0c32f-0155-4388-9ee0-9dde00edfb00 下载时间：2010年8月26日

复矩阵的Jordan标准形的性质及应用

复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用学生姓名：李英红指导教师：周芳（太原师范学院数学系0802班 2008101217）摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。关键词：对角矩阵若当标准形幂零矩阵相似正文 1、定义形如1 1i i i i i i m m J λλλ??? ? ?= ? ?? ? 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ. 2、定义若当形由若干个Jordan 块组成的准对角阵1 2 s J J J J ?? ? ?= ? ? ?? ? 称为Jordan 标准形。定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ?--与等价证明 ""?若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1 ()E B T E A T λλ--=-, 因而E A E B λλ--与等价. ""?E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似. 定理2 (Jordan 标准形定理) 每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J . 证明设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的初等因子为1212(),(),,() s k k k s λλλλλλ--- (2.1) 令1 1i i i i i i m m J λλλ??? ? ?= ? ?? ? 并令12s J J J J ?? ? ?= ? ? ??? ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式则A 和J 相似推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似?E A λ-的初等因子都是一次的。

幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用数本041 严益水学号：410401109 摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。关键词：幂零矩阵若当块特征值幂零指数一、预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》李师正高等教育出版社、《高等代数》（第二版）北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等教育出版社、《高等代数选讲》陈国利中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册）杨子胥山东科学技术出版社）（一）一些概念 1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。 2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。 3、设1111n n nn a a A a a ?? ? = ? ? ?? ，称1111n n nn a a A a a ?? ?'= ? ??? 为A 的转置，称111*1n n nn A A A A A ?? ? = ? ? ?? 为A 的伴随矩阵。其中(,1,2,,)ij A i j n = 为A 中元素ij a 的代数余子式 4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。 5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。 6、形为

幂零矩阵迹的特征

幂零矩阵迹的特征严文（061114228）（孝感学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间， -=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf f g和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA =，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量. 关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量 Features of Nilpotent matrix trace Y AN Wen (Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China) Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation, and satisfies fg gf f -=, Then all the eigenvalues of f are 0, Between f and g there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BA AB=, V erify:A and B have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public. Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.

矩阵理论2014-2015

2014‐2015学年度上学期《矩阵理论》期末试题一. 选择题: 1. n 2 阶实奇异矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,则A的伴随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定 2. 设是n维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不同的是( ) A. σ是单映射 B. dim Im σ n C. σ是一一对应 D. σ适合条件σ 0 3. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是( ) A. e 是实的反对称矩阵 B. e 是正交矩阵 C. cos A是实的反对称矩阵 D. sin A是实的对称矩阵 4. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法 ① |B| 0 ②B是幂等矩阵 ③ AB BA B ④r A r B 正确的有( )个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11?1 ,n 2, B I xx ,其中I为单位5. 设n维向量x √ 矩阵,则下列选项正确的是( ) A. ‖B‖ 1 B. ‖B‖ 1 C. ‖B‖ 1 D. ‖B‖ 1

二. 填空题: 1.设e e e e 0e ,则A . 2.设n 阶方阵A 的最小多项式为λ λ λ ? λ λ , 其中n k 2,λ ,λ ,…,λ 全不为0, 则 dim R A = ; 3. 设A 1 100 01001 ,矩阵 sinA 的Jordan 标准形J . 4. 矩阵A 111 122123 ，A 的Cholesky 分解A LL ，下三角矩阵 L . 5. 设给定矩阵A 2012 ，B 102 1 , 矩阵空间R 上线性变换T 为: T X kX AXB , ?X ∈R . T 是可逆变换当且仅当参数k 满足条件 . 三. 设V 是有限维欧氏空间, u ∈V 是一个单位向量, V 上线性变换σ定义为: 对任意x ∈V , σ x x a x,u u . (1) 试求非0实数a,使得σ是V 上正交变换. (2) 多项式空间R x 中的内积定义如下: 对任意f x ,g x ∈R x , f x ,g x f x g x dx . 试求R x 中向量α 1和β x 的长度; 并求正实数k 和单位向量u ∈R x , 使得上述正交变换σ将向量α变成kβ. 四. 设A 0010 11 1011 111 1 21 1110

Jordan标准形汇总

Jordan 标准型与矩阵可对角化摘要：本文归纳总结矩阵论书本中的内容，以矩阵论的性质为基础，简单介绍了Jordan 标准型定理以及定理的证明，再用Jordan 标准型定理去解决Hamilton-Cayley 定理的证明，以及在求解线性微分方程组中的应用。关键词：矩阵对角化；λ -矩阵；Jordan 标准型；线性微分方程； 1 引言矩阵表示方法贯穿于高等代数的各个章节，通过矩阵表示，许多高等代数中的问题都可归结为矩阵问题，而矩阵标准形的方法又是解决矩阵问题的重要方法之一，它的核心思想就是删简就繁，充分体现了解决数学问题的“转化思想”。矩阵的Jordan 标准形问题的讨论，源于如何选择线性空间的基，使得线性变换在该基下的矩阵具有尽可能简单的形式完成这一问题。矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！ Jordan 标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan 标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan 标准型，比如用Jordan 标准型求解线性微分方程组。 Jordan 标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例。此外，Jordan 标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley 定理的证明，矩阵分解，线性微分方程组的求解等等。 2 λ-矩阵由于Jordan 标准型的求解与特征多项式有关，而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵），这就引出对λ-矩阵的研究。 2.1 λ-矩阵及其标准型定义1 称矩阵()(())ij A f λλ=为λ-矩阵,其中元素 ()(1,2, ,;1,2,,)ij f i m j n λ==，为数域F 上关于λ的多项式。定义2 称n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的，如果有 ()()()()n A B B A I λλλλ==，并称B λ()为()A λ的逆矩阵，反之亦然。定义3 如果矩阵()A λ经过有限次的初等变换化成矩阵B λ()，则称矩阵() A λ与 B λ()等价，记为 ()() A B λλ?。 2．2 λ-矩阵的性质

幂零矩阵迹的特征

幂零矩阵迹的特征摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间， -=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf f g和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA =，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量. 关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量 Features of Nilpotent matrix trace YAN Wen (Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China) Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation, and satisfies fg gf f -=, Then all the eigenvalues of f are 0, Between f and g there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BA AB=, Verify:A and B have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public. Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.

矩阵期末试题,2014-2015

2014-2015学年度上学期《矩阵理论》期末试题一. 选择题: 1. n(≥2)阶实奇异矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,则A的伴随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定 2. 设是n维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不同的是( ) A. σ是单映射 B. dim(Im(σ))=n C. σ是一一对应 D. σ适合条件σn=0 3. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是( ) A.e A是实的反对称矩阵 B. e A是正交矩阵 C.cos A是实的反对称矩阵 D.sin A是实的对称矩阵 4. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法 ①|B|=0②B是幂等矩阵 ③AB=BA=B④r(A)≥r(B) 正确的有( )个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设n维向量x=11?1)T,n≥2, B=I?xx T,其中I为单位矩阵,则下列选项正确的是( ) A. ‖B‖1=1 B. ‖B‖∞=1 C. ‖B‖2=1 D. ‖B‖F=1

二. 填空题: 1.设e A =(e e 2?e 0e 2 ),则A = . 2.设n 阶方阵A 的最小多项式为λk (λ?λ1)?(λ?λn?k ), 其中n ≥k ≥2,λ1,λ2,…,λn?k 全不为0, 则 dim R(A k?1)= ; 3. 设A =(1 100 01001),矩阵 sinA 的Jordan 标准形J sinA = . 4. 矩阵A =(1 111 221 23 )，A 的Cholesky 分解A =LL T ，下三角矩阵L . 5. 设给定矩阵A =(2012)，B =(?102 ?1), 矩阵空间R 2×2上线性变换T 为: T (X )=kX +AXB , ?X ∈R 2×2. T 是可逆变换当且仅当参数k 满足条件 . 三. 设V 是有限维欧氏空间, u ∈V 是一个单位向量, V 上线性变换σ定义为: 对任意x ∈V , σ(x )=x ?a(x,u)u . (1) 试求非0实数a,使得σ是V 上正交变换. (2) 多项式空间R[x]3中的内积定义如下: 对任意f (x ),g (x )∈R [x ]3, (f (x ),g(x))=∫f (x )g(x)dx 1 . 试求R[x]3中向量α=1和β=x 的长度; 并求正实数k 和单位向量u ∈R[x]3, 使得上述正交变换σ将向量α变成kβ. 四. 设A =(0010?1 1?1011?111?1?2 1?1110)

幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。证明：? A 为幂零矩阵 k Z + ∴?∈ .0 k s t A = 令0 λ为A 任意一个特征值，则 0,.s t A ααλα?≠= 由引理7知，0 k λ为k A 的特征值 00.k k s t A ββλβ ∴?≠= 从而有0 k λ=0即有 0λ= 又有0k A =，知00 k k A A A ==?= 0*(1)(1) 00 k k E A A A ∴-=-=-=-?= λ∴=为A 的特征值。由0 λ的任意性知，A 的特征值为0。 ? A 的特征值全为0 A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-= 由引理2知，()0 n f A A == 所以A 为幂零矩阵。得证性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0 k k Z trA + ?∈=。证明：? A 为幂零矩阵，由性质1，知： A 的特征值全为0 即1 20 n λλλ==== 由引理7，知 k A 的特征值为 1 2 0k k k n λλλ====

从而有 120 k k k k n trA λλλ=++ += ? 由已知，120 k k k k n k Z trA λλλ+ ?∈=+++=(1.1) 令1 2,, ,t λλλ为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2, ,) i n i t = 由（1.1）式及引理7，得方程组 11222221122333 112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=??? ?+++=? (1.2) 由于方程组（1.2）的系数行列式为 12222121212 12121211 11 () t t t t t t t t t t t t t i j j i t B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤= ==∏- 又(1,2,) i i t λ =互不相同且不为0， B ∴≠ 从而知，方程（1.2）只有0解，即 0(1,2,,)i n i t == 即A 没有非零的特征值 A ∴的特征值全为0，由性质1，得 A 为幂零矩阵得证性质3：若A 为幂零矩阵

幂零矩阵的性质及应用

编号：08005110138 xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：幂零矩阵的性质及应用完成人：xxx 班级：2008- 01 学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：xxxx 完成日期：2012-03-31

目录摘要 (1) 0引言 (1) 1预备知识 (1) 1.1幂零矩阵的相关概念 (1) 1.2幂零矩阵的基本性质 (1) 2 主要结论 (4) 3 应用 (6) 3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用 (6) 3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用 (8) 3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用 (9) 3.2.2幂零矩阵的若尔当标准形的应用 (10) 3.2.3幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用 (11) 参考文献 (13) Abstract (14)

第 1 页（共 14 页）幂零矩阵的性质及应用作者：xxxxx 指导老师：xxx 摘要：本文从幂零矩阵的定义出发,总结了幂零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幂零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幂零矩阵的考查. 关键词：幂零矩阵;幂零指数;若尔当形;特征根 0 引言在高等代数中,矩阵是研究问题的很重要的工具,在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少.幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面,还是在实际应用方面都有很重要的意义,而且在一些交叉学科如密码学中,都有广泛的应用.目前,国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究,本文在他们研究的基础上,进一步探讨幂零矩阵的性质. 1 预备知识为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的有关概念. 1.1幂零矩阵的有关概念定义1 设A 是n 阶矩阵,若存在一个自然数k ,使0k A =,则A 为幂零矩阵. 定义2 设A 是幂零矩阵,满足0k A =的最小自然数k 称为A 的幂零指数. 1.2幂零矩阵的基本性质在给出了幂零矩阵的相关概念之后,我们容易得到幂零矩阵的一些基本性质. 性质1 若A 是幂零矩阵,则*,,,T mA A A A -都是幂零矩阵.

研究生矩阵理论知识重点

《矩阵理论》知识重点一．概况 1．开课学院（系）和学科：理学院数学系 2．课程代码： 3．课程名称：矩阵理论 4．学时/学分：51学时/3学分 5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程） 6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。 7．教材/教学参考书：《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006 《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。二、课程的性质和任务矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。三、课程的教学内容和要求矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 (数字表示供参考的相应的学时数) 第一章矩阵代数（复习，2） 1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2）

矩阵的若尔当标准型及简单应用

矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。关键词：若尔当线性变换矩阵标准

定义1：设λ是一个复数，矩阵 ??? ? ? ??? ? ?λλλ λ1000 0..................00 (1000) ...0100 (00) ，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式 ??????? ? ?k B B B 002 1 这里i B = ??????? ? ?i is i i J J J 002 1 ，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证：设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值， k r r r ,...,,21是正整数。又i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{)(｜ 0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕

Jordan标准形及其应用

Jordan 标准形及其应用摘要：关于矩阵的Jordan 标准形最常见的求法是通过初等因子来求解，本文介绍了有关矩阵Jordan 标准形的基本概念，包括多项式矩阵、多项式矩阵的标准形、Jordan 块、Jordan 标准形，同时介绍了Jordan 标准形的相关定理．还主要介绍了Jordan 标准形的三种求法：初等因子法、计算的方法以及幂零矩阵的Jordan 标准形的求法．关键词：初等因子；Jordan 块；Jordan 标准形． The Jordan canonical form and its application Abstract: Finding the solution to the matrix Jordan canonical form through the elementary divisor is the most common ．This article introduces several basic concepts about the matrix Jordan canonical form ，including polynomial matrix ，the canonical form of polynomial matrix,，Jordan block and the Jordan canonical form ．In the meantime ，it introduces the related theories of the Jordan canonical form ．3 methods of Jordan canonical form which still be mostly introduced ：elementary divisor method ，method of computing and method to the Jordan canonical form of nilpotent matrix ． Keywords: Elementary divisor ；Jordan block ；Jordan canonical form 定义1 设λ是一个复数，矩阵????? ?? ? ??λλλλ1 ..................00 (10) 00 0 1 00...00 （ 1 ）其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ???? ?? ? ??k B B B 002 1 （ 2 ）这里i B =???? ?? ? ? ?i is i i J J J 002 1 ，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约

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