习题9 电磁感应与电磁场
习题9
9-1在磁感应强度B 为0.4T 的均匀磁场中放置一圆形回路，回路平面与B 垂直，回路的面积与时间的关系为：S=5t 2+3(cm 2),求t=2s 时回路中感应电动势的大小？ 解：根据法拉第电磁感应定律得
dt
d m Φ-
=εdt dS
B =210Bt = V 4108-?=ε
9-2 如题9-2图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压U M －U N .
题9-2
解: 作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v
方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ?
+-<+-=
=b
a b
a MN b
a b
a Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向，
大小为
b
a b
a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势，即
b
a b
a Iv U U N M -+=
-ln 20πμ
题9-3
9-3 如题9-3图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电
流方向相反、大小相等，且电流以d I
d t
的变化率增大，求：
(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则
(1) ]ln [ln
π2d π2d π2000d
a
d b a b Il
r l r I
r l r I
a
b b a
d d m +-+=
-=
??
++μμμΦ (2) t
I
b a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε
题9-4
9-4 如题9-4图所示，长直导线通以电流I ＝5 A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈长b ＝0.06 m ，宽a ＝0.04 m ，线圈以速度v ＝0.03 m/s 垂直于直线平移远离.求：d ＝0.05 m 时线圈中感应电动势的大小和方向.
解: AB 、CD 运动速度v
方向与磁力线平行，不产生感应电动势． DA 产生电动势
?==??=A
D
I
vb
vBb l B v d
2d )(01πμε
BC 产生电动势
)
(π2d )(02d a I
vb
l B v C
B
+-=??=?
με
∴回路中总感应电动势
8021106.1)11
(π2-?=+-=
+=a
d d Ibv μεεε V 方向沿顺时针．
9-5 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动.已知导轨处于均匀磁场B 中，B 的方向与回路的法线成60°角(如题9-5图所示)，B 的大小为B ＝kt (k 为正常数).设t ＝0时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向.
题9-5图
解: ?==?=?=2
22
12160cos d klvt lv kt Blvt S B m Φ
∴ klvt t
m
-=-
=d d Φε
即沿abcd 方向顺时针方向．
题9-6图
9-6 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，B 的方向如题9-6图所示.取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t ＝0). 解: 如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时
0d d <Φ
t
,0>ε； 题9-6图(a)题9-6图(b)
在磁场中时0d d =t
Φ
,0=ε； 出场时0d d >t
Φ
，0<ε，故t I -曲线如题9-6图(b)所示.
9-7 导线ab 长为l ，绕过O 点的垂直轴以匀角速ω转动.aO=3
l
，磁感应强度B 平行于转轴，如题9-7所示.试求：
(1) ab 两端的电势差；
(2) a ，b 两端哪一点电势高？
题9-7图
解: (1)在Ob 上取dr r r +→一小段 则 ?
=
=
320
2
92d l Ob l B r rB ωωε 同理 ?
=
=
30
218
1
d l Oa l B r rB ωωε ∴ 226
1
)92181(l B l B Ob aO ab ωωεεε=+-
=+= (2)∵ 0>ab ε 即0<-b a U U ∴b 点电势高．
9-8 北半球某地的磁场为4?10-5T ，磁场方向与水平方向成60o ,现将一根长1m 东西方向水平放置的均匀金属棒自由落下，求t=3s 时金属棒中感应电动势大小？ 解：根据动感电动势定义l d B v L
??=?
)(ε
自由下落，速度大小 gt v =，方向与重力加速度方向相同
??=??=L
L
dl Bv l d B v 030sin )(
ε
当t=3s 时，V L Bv 4010630sin -?==ε
9-9 两根平行长直导线，横截面的半径都是a ，中心相距为d ，两导线属于同一回路.设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l 的一段自感为
0L=
In l d a a
μπ-
.
题9-9图
解： 如题9-9图所示，取r l S d d = 则 ?
?
-----=--=
-+
=
a
d a
a
d a
a
d d
a a d Il r r r Il
r l r I
r π
I
)ln (ln 2πd )d 11(π
2d ))
d (π22(
0000μμμμΦ a
a
d Il
-=
ln
π
0μ ∴ a
a
d l
I
L -=
=
ln
π
0μΦ
9-10 两线圈顺串联后总自感为1.0 H ，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4 H.试求：它们之间的互感. 解： ∵顺串时 M L L L 221++= 反串联时M L L L 221-+='
∴ M L L 4='-
15.04
='
-=
L L M H
题9-11图
9-11 一矩形截面的螺绕环如题7-11图所示，共有N 匝.试求：
(1)此螺绕环的自感系数；
(2)若导线内通有电流I ，环内磁能为多少？ 解：如题7-11图示 (1)通过横截面的磁通为 ?=
=b
a
a
b NIh
r h r NI
ln π2d π
200μμΦ 磁链 a
b Ih
N N ln π
220μΦψ=
= ∴ a
b h
N I
L ln π
220μψ
=
=
(2)∵ 22
1LI W m = ∴ a
b h
I N W m ln π
4220μ=
9-12 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I .求：导线内部单位长度上所储存的磁能. 解：在R r <时 2
0π2R
I B r
μ=
∴ 4
222002
π82R r I B w m μμ=
= 取 r r V d π2d =(∵导线长1=l ) 则 ?
?
=
==
R
R
m I R
r
r I r r w W 0
2
04
320π
16π4d d 2μμπ
9-13 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R 1和R 2(R 1＜R 2)，中间充满介电常数为ε的电介质.当两极板间的电压随时间的变化为=k dU
dt
时(k 为常数)，求介质内距圆柱轴线为r 处的位移电流密度.
解：圆柱形电容器电容 1
2ln 2R R l
C πε=
1
2ln 2R R lU
CU q πε=
= 1
2
12ln ln 22R R r U R R r lU S q D εππε===
∴ 1
2
ln R R r k
t
D j ε=??=
9-14 试证：平行板电容器的位移电流可写成d I =C
dU
dt
.式中C 为电容器的电容，U 是电容器两极板的电势差.如果不是平板电容器，以上关系还适用吗？ 解：∵ CU q =
S
CU
D =
=0σ ∴ CU DS D ==Φ
不是平板电容器时 0σ=D 仍成立 ∴ t
U
C
I D d d =还适用．
9-15 半径为R ＝0.10 m 的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中.今对电容器匀速充电，使两极板间电场的变化率为
13=1.010dE
dt
?V/(m·s).求两极板间的位移电流，并计算电容器内离两圆板中心联线r (r ＜R )处的磁感应强度B r 以及r ＝R 处的磁感应强度B R . 解: (1) t
E
t D j D ??=??=
0ε 8.22≈==R j S j I D D D πA
(2)∵ S j I l H S
D l
d d 0?+=??∑?
取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周r l π2=，则
t
U
C t I
D D d d d d ==
Φ
2
2d d 2r t
E r j r H D πεππ== ∴ t
E r H d d 20ε=
t
E
r H B r d d 2000εμμ==
当R r =时，600106.5d d 2
-?==t
E
R B R εμ T
电磁场与电磁波习题及答案
1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+? ,B E t ???=-? ,0B ?= ,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? S D d s ρ=? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?= D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.0 0n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H 4.D E ε= ,B H μ= ,J E σ= 5. J t ρ ??=- ? 6.2ρ?ε?=- 12??= 12 12n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =?? 的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-? 其振幅值为：304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510 .dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()()2220x C x D x x a ?=+< <
高中物理第二章 电磁感应与电磁场单元测试题及解析
第二章电磁感应与电磁场章末综合检测 (时间：90分钟；满分100分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确) 1．下列过程中一定能产生感应电流的是( ) A．导体和磁场做相对运动 B．导体一部分在磁场中做切割磁感线运动 C．闭合导体静止不动，磁场相对导体运动 D．闭合导体内磁通量发生变化 2．关于磁通量的概念，下列说法中正确的是( ) A．磁感应强度越大，穿过闭合回路的磁通量也越大 B．磁感应强度越大，线圈面积越大，穿过闭合回路的磁通量也越大 C．穿过线圈的磁通量为零时，磁感应强度不一定为零 D．磁通量发生变化时，磁感应强度一定发生变化 3．如图2－3，半径为R的圆形线圈和矩形线圈abcd在同一平面内，且在矩形线圈内有变化的磁场，则( ) 图2－3 A．圆形线圈有感应电流，矩形线圈无感应电流 B．圆形线圈无感应电流，矩形线圈有感应电流 C．圆形线圈和矩形线圈都有感应电流 D．圆形线圈和矩形线圈都无感应电流 4．以下叙述不正确的是( ) A．任何电磁波在真空中的传播速度都等于光速 B．电磁波是横波 C．电磁波可以脱离“波源”而独自存在 D．任何变化的磁场都可以产生电磁波 5．德国《世界报》曾报道过个别西方发达国家正在研制电磁脉冲波武器——电磁炸弹．若一枚原始脉冲波功率10 kW、频率5千兆赫的电磁炸弹在不到100 m的高空爆炸，它将使方圆400 m2～500 m2地面范围内电场达到每米数千伏，使得电网设备、通信设施和计算机中的硬盘与软盘均遭到破坏．电磁炸弹有如此破坏力的主要原因是( ) A．电磁脉冲引起的电磁感应现象 B．电磁脉冲产生的动能 C．电磁脉冲产生的高温 D．电磁脉冲产生的强光 6．在图2－4中，理想变压器的原副线圈的匝数比为n1∶n2＝2∶1，A、B为完全相同的灯泡，电源电压为U，则B灯两端的电压有( ) 图2－4 A．U/2 B．2U
电磁场与电磁波习题及答案
. 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε==
习题9电磁感应与电磁场
习题9 9-1在磁感应强度B 为0.4T 的均匀磁场中放置一圆形回路，回路平面与B 垂直，回路的面积与时间的关系为：S=5t 2+3(cm 2),求t=2s 时回路中感应电动势的大小？ 解：根据法拉第电磁感应定律得 dt d m Φ- =εdt dS B =Bt 10= V 4108-?=ε 9-2 如题9-2图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压U M －U N . 题9-2 解: 作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v 方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ? +-<+-= =b a b a MN b a b a Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向， 大小为 b a b a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势，即 b a b a Iv U U N M -+= -ln 20πμ
题9-3 9-3 如题9-3图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面有一矩形线圈.两导线中的电流 方向相反、大小相等，且电流以d I d t 的变化率增大，求： (1)任一时刻线圈所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则 (1) ]ln [ln π2d π2d π2000d a d b a b Il r l r I r l r I a b b a d d m +-+= -= ?? ++μμμΦ (2) t I b a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε 题9-4 9-4 如题9-4图所示，长直导线通以电流I ＝5 A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈长b ＝0.06 m ，宽a ＝0.04 m ，线圈以速度v ＝0.03 m/s 垂直于直线平移远离.求：d ＝0.05 m 时线圈中感应电动势的大小和方向. 解: AB 、CD 运动速度v 方向与磁力线平行，不产生感应电动势．
电磁场与电磁波波试卷3套含答案
《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件
习题9电磁感应与电磁场
习题9 9-1在磁感应强度B 为的均匀磁场中放置一圆形回路，回路平面与B 垂直，回路的面积 与时间的关系为：S=5t 2+3(cm 2 ),求t=2s 时回路中感应电动势的大小 解：根据法拉第电磁感应定律得 dt d m Φ- =εdt dS B =Bt 10= V 4108-?=ε 9-2 如题9-2图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线 共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压U M －U N . 题9-2 解: 作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v 方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ? +-<+-= =b a b a MN b a b a Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向， 大小为 b a b a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势，即 b a b a Iv U U N M -+= -ln 20πμ 题9-3
9-3 如题9-3图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中 的电流方向相反、大小相等，且电流以d I d t 的变化率增大，求： (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则 (1) ]ln [ln π2d π2d π2000d a d b a b Il r l r I r l r I a b b a d d m +-+= -= ?? ++μμμΦ (2) t I b a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε 题9-4 9-4 如题9-4图所示，长直导线通以电流I ＝5 A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈长b ＝0.06 m ，宽a ＝0.04 m ，线圈以速度v ＝0.03 m/s 垂直于直线平移远离.求：d ＝0.05 m 时线圈中感应电动势的大小和方向. 解: AB 、CD 运动速度v 方向与磁力线平行，不产生感应电动势． DA 产生电动势 ?==??=A D I vb vBb l B v d 2d )(01πμε BC 产生电动势 ) (π2d )(02d a I vb l B v C B +-=??=? με ∴回路中总感应电动势 8021106.1)11 (π2-?=+-= +=a d d Ibv μεεε V 方向沿顺时针． 9-5 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动.已知导轨处于均匀磁场B 中，B 的方向与回路的法线成60°角(如题9-5图所示)，B 的大小为B ＝kt (k 为正常数).设t ＝0时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向. 题9-5图 解: ?==?=?=2 22 12160cos d klvt lv kt Blvt S B m Φ ∴ klvt t m -=- =d d Φε
大物B课后题08-第八章 电磁感应 电磁场
习题 8-6 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。 解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 02m i d B dS ldx x μφπ=?= 通过矩形面积CDEF 的总磁通量为 0000ln ln sin 222b m a i il I l b b ldx t x a a μμμφωπππ===? 由法拉第电磁感应定律有 00ln cos 2m d I l b t dt a φμωεωπ=- =- 8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt ，球小 线圈中感应的电动势。 解 无限长直螺线管内部的磁场为 0B nI μ= 通过N 匝圆形小线圈的磁通量为 2 0m NBS N nI r φμπ== 由法拉第电磁感应定律有 20m d dI N n r dt dt φεμπ=- =- 8-8 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为 0m BS niS φμ== 由法拉第电磁感应定律有 000cos m d di nS nSi t dt dt φεμμωω=- =-=- 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD 放在1 6.010B T -=?的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=?，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。若令AB 边以速率 15.0v m s -=?向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。 解 利用动生电动势公式
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。
大学物理(少学时)第9章电磁感应与电磁场课后习题答案
9-1两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且R >>r ，x >>R ．若大线圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率v 运动，试求小线圈回路中产生的感应电动势的大小． 解：在轴线上的磁场 () ()2 2 003 3 2 2 2 22IR IR B x R x R x μμ= ≈ >>+ 3 2 202x r IR BS πμφ= = v x r IR dt dx x r IR dt d 4 22042202332πμπμφ ε=--=-= 9-2如图所示，有一弯成θ 角的金属架COD 放在磁场中，磁感强度B ? 的方向垂直于金属架 COD 所在平面．一导体杆MN 垂直于OD 边，并在金属架上以恒定速度v ?向右滑动，v ? 与 MN 垂直．设t =0时，x = 0．求当磁场分布均匀，且B ? 不随时间改变，框架内的感应电动势i ε． 解：12m B S B xy Φ=?=?,θtg x y ?=,vt x = 22212/()/i d dt d Bv t tg dt Bv t tg ε?θθ=-=-=?，电动势方向：由M 指向N 9-3 真空中，一无限长直导线，通有电流I ，一个与之共面的直角三角形线圈ABC 放置在此长直导线右侧。已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ，如图所示。若线圈以垂直于导线方向的速度v 向右平移，当B 点与直导线的距离为d 时，求线圈ABC 内的感应电动势的大小和方向。 解：当线圈ABC 向右平移时，AB 和AC 边中会产 生动生电动势。当C 点与长直导线的距离为d 时，AC 边所在位置磁感应强度大小为：02() I B a d μπ= + AC 中产生的动生电动势大小为： x r I R x v C D O x M θ B ? v ?
电磁感应电磁场习题
第十三章 电磁感应 电磁场习题 （一） 教材外习题 电磁感应习题 一、选择题： 1．一块铜板放在磁感应强度正在增大的磁场中时，铜板中出现涡流（感应电流），则涡流将 （A ）加速铜板中磁场的增加 （B ）减缓铜板中磁场的增加 （C ）对磁场不起作用 （D ）使铜板中磁场反向 （ ） 2．在如图所示的装置中，当把原来静止的条形磁铁从螺线管中按图示情况抽出时， （A ）螺线管线圈中感生电流方向如A 点处箭头所示。 （B ）螺线管右端感应呈S 极。 （C ）线框EFGH 从图下方粗箭头方向看去将逆时针旋转。 （D ）线框EFGH 从图下方粗箭头方向看去将顺时针旋转。 （ ） 3．在无限长的载流直导线附近放置一矩形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈中两条边与导线平行，当线圈以相同的速率作如图所示的三种不同方向的平动时，线圈中的感应电流 （A ）以情况Ⅰ中为最大 （B ）以情况Ⅱ中为最大 （C ）以情况Ⅲ中为最大 （D ）在情况Ⅰ和Ⅱ中相同 （ ） 4．如图所示，一矩形金属线框，以速度v 从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中 出来，到无场空间中。不计线圈的自感，下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对
时间的函数关系？（从线圈刚进入磁场时刻开始计时，I 以顺时针方向为正） 5．如图，一矩形线框（其长边与磁场边界平行）以匀速v 自左侧无场区进入均匀磁场又穿出，进入右侧无场区，试问图（A ）—（E ）中哪一图象能最合适地表示线框中电流i 随时间t 的变化关系？（不计线框自感） （ ） 6．在一个塑料圆筒上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa '和bb '，当线圈aa '和bb '如图（1）绕制时其互感系数为M 1，如图（2）绕制时其互感系数为M 2，M 1与M 2的关系是 （A ）M 1 = M 2 ≠ 0 （B ）M 1 = M 2 = 0 （C ）M 1 ≠ M 2，M 2=0 （D ）M 1≠M 2，M 2≠0 （ ） 7．真空中两根很长的相距为2a 的平行直导线与电源组成闭合回路如图。已知导线中的电流强度为I ，则在两导线正中间某点P 处的磁能密度为 （A ）200)2(1a I πμμ （B ）200)2(21 a I πμμ （C ）200)2(21 a I πμμ （D ）0 （ ）
电磁场与电磁波复习题(含答案)
电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度 在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ?? ????++=??= div ； 散度在圆柱坐 标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。 二者的关系 n dS dC e A ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该点最 大环量密度的方向。
4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u l ??的数学表达式是cos cos cos l αβγ????????ｕｕｕｕ＝＋＋ｘｙｚ ，梯度的表达式x y z G e e e grad x y z φφφφφ???=++=?=???； 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。
习题9 电磁感应与电磁场
习题9 9-1在磁感应强度B 为0、4T 的均匀磁场中放置一圆形回路,回路平面与B 垂直,回路的面积与时间的关系为:S ＝５t 2＋3(cm 2),求t=2s 时回路中感应电动势的大小？ 解:根据法拉第电磁感应定律得 dt d m Φ- =εdt dS B =Bt 10= V 4108-?=ε ９-2 如题9－２图所示,载有电流I 的长直导线附近,放一导体半圆环Ｍe Ｎ与长直导线共面,且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ,环心O 与导线相距a 、设半圆环以速度ｖ平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小与方向及MN 两端的电压U M -ＵN 、 题９-2 解: 作辅助线MN ,则在MeNM 回路中,沿v 方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ?+-<+-= =b a b a MN b a b a Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向, 大小为 b a b a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势,即 b a b a Iv U U N M -+= -ln 20πμ 题9－3
9-３ 如题9-3图所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈、两导线中的电流方向相反、大小相等,且电流以错误!的变化率增大,求: (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量; (２)线圈中的感应电动势、 解: 以向外磁通为正则 (1) ]ln [ln π2d π2d π2000d a d b a b Il r l r I r l r I a b b a d d m +-+= -= ?? ++μμμΦ (2) t I b a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε 题9-４ 9-４ 如题９-4图所示,长直导线通以电流Ｉ=5 A,在其右方放一长方形线圈,两者共面、线圈长ｂ=0．06 m,宽a ＝0.04 m,线圈以速度v ＝0.0３ m ／s 垂直于直线平移远离、求:d ＝0．05 ｍ时线圈中感应电动势的大小与方向、 解: AB 、CD 运动速度v 方向与磁力线平行,不产生感应电动势. DA 产生电动势 ?==??=A D I vb vBb l B v d 2d )(01πμε BC 产生电动势 ) (π2d )(02d a I vb l B v C B +-=??=? με ∴回路中总感应电动势 8021106.1)11 (π2-?=+-= +=a d d Ibv μεεε V 方向沿顺时针、 9-5 长度为l 的金属杆ａb 以速率v 在导电轨道a ｂｃｄ上平行移动、已知导轨处于均匀磁场Ｂ中,B 的方向与回路的法线成60°角(如题9-5图所示),Ｂ的大小为Ｂ＝kt (k 为正常数)、设t ＝０时杆位于cd 处,求:任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小与方向. 题9－5图 解: ?==?=?=2 22 12160cos d klvt lv kt Blvt S B m Φ ∴ klvt t m -=-=d d Φε 即沿abcd 方向顺时针方向.
电磁感应习题解答电磁场习题解答
第十三章 电磁感应 一 选择题 3．如图所示，一匀强磁场B 垂直纸面向内，长为L 的导线ab 可以无摩擦地在导轨上滑动，除电阻R 外，其它部分电阻不计，当ab 以匀速v 向右运动时，则外力的大小是： R L B R L B R L B R BL L B 222222222 E. D. 2 C. B. A.v v v v v 解：导线ab 的感应电动势v BL =ε，当 ab 以匀速v 向右运动时，导线ab 受到的外力与安培力是一对平衡力，所以R L B L R B F F v 22===ε 安外。 所以选（D ） 4．一根长度L 的铜棒在均匀磁场B 中以匀角速度ω旋转着，B 的方向垂直铜棒转动的平面，如图，设t = 0时，铜棒与Ob 成θ角，则在任一时刻t 这根铜棒两端之间的感应电动势是：（ ） A. )cos(2θωω+t B L B. t B L ωωcos 2 12 C. )cos(22θωω+t B L D. B L 2ω E. B L 22 1ω 解：???= ==??=L L BL l l B l B )00221d d d ωωεv l B v （ 所以选（E ） 6．半径为R 的圆线圈处于均匀磁场B 中，B 垂直于线圈平面向上。如果磁感应强度为B =3 t 2+2 t +1，则线圈中的感应电场为：（ ） A ． 2π(3 t + 1)R 2 ,顺时针方向； Ｂ． 2π(3 t + 1)R 2 ,逆时针方向； C ． (3 t + 1)R ,顺时针方向； D ． (3 t + 1)R ,逆时针方向； 解：由??? ???-=?S B l E d d i t ，则感应电场的大小满足 选择题4图 选择题3图 v
电磁场与电磁波练习题.doc
. 电磁场与电磁波练习题 1、直角坐标系中，两个矢量A 与B ，其中x y z A e e e =-+， x y z B e e e =++，则：A e = ； A B ?= ； A B ?= 。 2、在有限的区域V 内，任一矢量场由它的 、 和 唯一地确定。 3、标量场u 的梯度、矢量场F 的散度、旋度可用哈密顿算符?表示为 、 、 。 4、已知磁感应强度为 (3)(32)()x y z x y z y mz =+--+B e e e ，则m 的值为____。 : 5、 写出电流连续性方程的微分形式 。 6、从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为 、 和 三种现象。 7、一个点电荷q 放在两相交0 60的导体平面内，则存在 个镜像电荷。 8、写出电磁能量守恒关系的坡印廷定理的表达式 。 9、均匀平面波在良导体中传播时，磁场的相位滞后电场 度。 10、反射系数的定义式为 。 11对于矢量A ，若 =++x x y y z z A e A e A e A ，则：z x e e ?= ；x x e e ?= ；z y e e ?= 。 12、直角、圆柱、球坐标系下体积元分别为 、 、 。 （ 13、矢量(cos sin )y x y A e x x -=-e e ，则A ?= 。 14、对于线性和各向同性的媒质，这些方程是 、 、 ，称为媒质的本构关系。 15、理想介质的电导率σ= ，而理想导体的电导率σ= 。 16、电场强度E 电位函数?的关系为 。 17、在电磁场工程中，通常规定矢量位A 的散度为 ，此式称为洛伦兹条
件。 18、电磁波的波长不仅与 有关，还与媒质的参数 、 有关。 19、电场强度矢量 ()()m x xm z z jE cos k z E =e ，写出其瞬时值矢量(,)z t E = 。 20、对于导电媒质的垂直入射，反射系数Γ与透射系数τ之间的关系为 。 《 21、旋涡源与通量源不同在于前者不发出矢量线也不汇聚矢量线。（正确、错误） 22、位移电流密度是磁场的旋涡源，表明时变磁场产生时变电场。（正确、错误） 23、理想导体内部不存在电场，其所带电荷只分布于导体表面。（正确、错误） 24、当感应电动势 0in ξ<时，表明感应电动势的实际方向与规定方向相同。（正确、错 误） 25、电容的大小与电荷量、电位差无关。（正确、错误） 26、当12()jkz jkz x E z Ae A e -=+时，第一项代表波沿+z 方向传播，第二项代表沿-z 方向传播。（正确、错误） 27、矢量函数E 满足真空中的无源波动方程一定满足麦克斯韦方程。（正确、错误） 28、电磁波的趋肤深度随着波频率、媒质的磁导率和电导率的增加而增加。（正确、错误） | 29、反射系数与投射系数之间的关系为1τ+Γ=。（正确、错误） 30、驻波的电场强度与磁场强度不仅在空间位置上错开 1/4λ，在时间上也有/2π的相移。 （正确、错误） 31、方向导数的定义是与坐标无关，但其具体计算公式与坐标系有关。（正确、错误） 32、亥姆赫兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件惟一地确定。（正确、错误） 33、在静电场中的电感与导体系统的几何参数和周围媒质无关，与电流、磁通量有关。（正确、错误） 34、不管是静态还是时变情况下，电场和磁场都可以相互激发。（正确、错误） 35、接地导体球上的感应电荷的分布是不均匀的，靠近点电荷的一侧密度小。（正确、错误） 36、任一线极化波，都可将其分解为两个振幅相等、旋向相反的圆极化波。
ch9+电磁感应和电磁场+习题及答案Word版
第9章 电稳感应和电磁场 习题及答案 1. 通过某回路的磁场与线圈平面垂直指向纸面内，磁通量按以下关系变化： 23(65)10t t Wb -Φ=++?。求2t s =时，回路中感应电动势的大小和方向。 解：310)62(-?+-=Φ -=t dt d ε 当s t 2=时，V 01.0-=ε 由楞次定律知，感应电动势方向为逆时针方向 2. 长度为l 的金属杆ab 以速率υ在导电轨道abcd 上平行移动。已知导轨处于均匀磁场B 中， B 的方向与回路的法线成60°角，如图所示，B 的大小为B =kt (k 为正常数)。 设0=t 时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向。 解：任意时刻通过通过回路面积的磁通量为 202 1 60cos t kl t Bl S d B m υυ==?=Φ 导线回路中感应电动势为 t kl t m υε-=Φ- =d d 方向沿abcda 方向。 3. 如图所示，一边长为a ，总电阻为R 的正方形导体框固定于一空间非均匀磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，其大小沿x 方向变化，且)1(x k B +=，0>k 。求： （1）穿过正方形线框的磁通量； （2）当k 随时间t 按t k t k 0)(=(0k 为正值常量)变化时，线框中感生电流的大小和方向。 解：（1）通过正方形线框的磁通量为 ??=?=Φa S Badx S d B 0 ?+=a dx x ak 0)1()2 1 1(2a k a += （2）当t k k 0=时，通过正方形线框的磁通量为 )2 1 1(02a t k a + =Φ 正方形线框中感应电动势的大小为 dt d Φ= ε)2 1 1(02a k a += 正方形线框线框中电流大小为 )2 11(02a R k a R I +==ε ，方向：顺时针方向 4.如图所示，一矩形线圈与载有电流t I I ωcos 0=长直导线共面。设线圈的长为b ，宽为a ； 0=t 时，线圈的AD 边与长直导线重合；线圈以匀速度υ 垂直离开导线。求任一时刻线圈中的感 应电动势的大小。 解：建立图示坐标系，长直导线在右边产生的磁感应强度大小为 x I B πμ20= t 时刻通过线圈平面的磁通量为 ???=ΦS S d B bdx x I a t t ?+=υυπμ20 t a t I b υυπμ+=ln 20 I A B C D b a υ t υ O x
电磁场与电磁波习题集
电磁场与电磁波 补充习题 1 若z y x a a a A -+=23，z y x a a a B 32+-=,求： 1 B A +；2 B A ?；3 B A ?；4 A 和B 所构成平面的单位法线；5 A 和B 之间较 小的夹角；6 B 在A 上的标投影和矢投影 2 证明矢量场z y x a xy a xz a yz E ++=是无散的，也是无旋的。 3 若z y x f 23=，求f ?，求在)5,3,2(P 的f 2?。 5 假设0
电磁感应_电磁场-答案
电磁感应 电磁场 一、 选择题 1.在赤道平面上空沿东西方向水平放置一根直导线，如果让它保持水平位置自由下落，那么导线两端的电势差（ B ） （A ）为零 （B ）不为零 （C ）恒定不变 （D ）以上说法均不对 2.如图所示，边长为h 的矩形线框从初始位置由静止开始下落，进入一水平的匀强磁场，且磁场方向与线框平面垂直。H>h ，已知线框刚进入磁场时恰好是匀速下落，则当线框出磁场时将做（ B ） （A ）向下匀速运动 （B ）向下减速运动 （C ）向下加速运动 （D ）向上运动 3.如图所示，a 、b 圆形导线环处于同一平面，当a 环上的电键S 闭合的瞬时，b 环中的感应电流方向及b 环受到的安培力方向：( A ) （A ）顺时针，沿半径向外 （B ） 顺时针，沿半径向里 （C ）逆时针，垂直纸面向外 （D ）逆时针，垂直纸面向里 4.如图所示，两个闭合铝环A 、B 与一个螺线管套在同一铁芯上，A 、B 可以左右摆动，则( A ) （A ）在S 闭合的瞬间，A 、B 相吸 （B ）在S 闭合的瞬间，A 、B 相斥 （C ）在S 断开的瞬间，A 、B 不动 （D ）在S 断开的瞬间，A 、B 相斥 5.如图所示，水平放置的两平行导轨左侧连接电阻，其它电阻不计.导体MN 放在导轨上，在水平恒力F 的作用下，沿导轨向右运动，并将穿过方向竖直向下的有界匀强磁场，磁场边界PQ 与MN 平行，从MN 进入磁场开始计时，通过MN 的感应电流i 随时间t 的变化不可能是下图中的（ B ） 6.将形状完全相同的铜环和木环静止放置，并使通过两环面的磁通量随时间的 变化率相等，则不计自感时（ D ） (A) 铜环中有感应电动势，木环中无感应电动势． (B) 铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小． (C) 铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大． (D) 两环中感应电动势相等． 7.如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B 中以速度v 移动，直导线ab 中的电动势为（ D ） t i Ａ t i Ｂ t i D t i C h H ×××××× ×××××× a b S N R M P Q F