高中数学-柯西不等式的应用(整理篇)
柯西不等式的证明及相关应用
摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：
()2
2211n n b a b a b a +++ ()()2
222122221n
n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i
i
2,1,,=∈
等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数
()()()2
2
222
11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=
=()()()
2
222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++
由构造知 ()0≥x f 恒成立 又
22
120n
n a a a ++
+≥
()()()
0442
2221222212
2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a
即()()()
22221222212
2211n
n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即12
12
n
n
a a a
b b b ===
时等号成立 方法2 证明:数学归纳法
（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2
11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 (
)()()()2
2
22
22222212
1
211222112a a b
b a b a b a b a b =++=+++
()()()2
2
2
1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立
（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立
即 ()()()
22
221222212
2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++
当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立
设A=22221k a a a +++ B=2
2221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =++
+
2
C AB ≥∴
则()()
2
12121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A
()2
2
2
2
1111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+
()()22
2222
22121121k k k k a a a a b b b b ++∴++
++++
++()2
112211k k k k a b a b a b a b ++≥++
++
当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的简单应用
柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：
1、证明相关数学命题
（1）证明不等式
例1 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
证明：利用柯西不等式
()
23131312
2
22222222a
b c
a a
b b
c c ??
++=++ ???[]222333222a b c a b c ??????????≤++++ ? ? ???????????
(
)()2333
a b c
a b c =++++ (
)1a b c ++=
又因为 2
2
2
a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上2
2
2
a b c ++得：
()
()2
222222c b a 222c b a c b a 3++=+++++≥++ac bc ab
()()()()()
2223332
3332
222
c b a 3c b a c b a c b a c b a
++?++≤++++≤++
故222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
（2）三角形的相关问题
例2 设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，
≤
证明：由柯西不等式得：
=111
a b c
≤++记S 为ABC 的面积，则
22
42abc abc
ax by cz S R R
++===
≤
=≤
故不等式成立。
2、求解有关数学问题 常用于求最值
例3 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 2
2
2
2
2365a b c d +++=试求a 的最值
解：由柯西不等式得，有 (
)()2
222
111236236b c d
b c d ??++++≥++ ???
即由条件可得， ()2
2
53a a -≥-
解得，12a ≤≤
==
时等号成立， 代入11
1,,36b c d ===时， max 2a = 21
1,,33b c d ===时 min 1a =
例4 空间中一向量a
与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为α，β，γ（α，β，γ 均非象限角），
求
γ
βα2
22sin 9
sin 4sin 1++的最小值。 解 : 由柯西不等式得： )sin sin ](sin )sin 3()sin 2()sin 1[(
2222
22γβαγβα++++ ≥ 2)sin sin 3
sin sin 2sin sin 1(
γγ
ββαα?+?+? 22222
22)321()sin sin )](sin sin 9
()sin 4()sin 1(
++≥++++?γβαγ
βα ∵ sin 2
α+ sin 2
β + sin 2
γ = 2
∴ 236)sin 9sin 4sin 1(
222≥++γβα 18)sin 9
sin 4sin 1(2
22≥++?γ
βα ∴
γ
βα222sin 9
sin 4sin 1++的最小值为18
三、巧用柯西不等式的变形解题
很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题．
柯西不等式的变形公式： 约定n i R b i 2,1,=∈+
有 ()n
n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≥+++ 212
2
1222
2
121 当且仅当n n b a b a b a === 2211等号成立 分析：由柯西不等式可得 ()()22121222
2121n n n n a a a b b b b a b a b a +++≥+++???? ??+++ 例1 设1,,,,2121=+++∈+
n n x x x R x x x 且，
证明2
112121
322
22121≥++++++++--x x x x x x x x x x x x n n n n n
证明：由变形公式得：12121
322
22121x x x x x x x x x x x x n n n n n ++
++++++-- ()()()()2
1
132212
21=+++++++++≥x x x x x x x x x n n
例2 (2007年广州市一模理科) 已知a ，b>0，且a+b=1，求1／2a+1／b 的最小值 解析： a ，b>0，且a+b=1，由柯西不等知:
(
)
(
)
22
3
12/21
2/21212
2
2
+=++≥+=+b a b
a b
a
当且仅当
b a 12/2=即22,12-=-=b a 时等号成立 22
3121min +=???
??+∴b a 练习 设且各不相同*
∈N a a a n ,,,21 ，证明n
n a a a a n 1
3121132223221++++≥++++
证明：将n a a a ,,,21 从新排序设为
'
'2'1n a a a <<<
则有n a a a n
≥≥≥''2
'
1
,,2,1 ∴∑∑==≥n k k
n
k a k 111
1
而所需证目标：∑∑==≥n
k n
k k k k a 1121 2
111211??
?
??≥??? ????? ???∑∑∑===n k n k n k k k k k a
结合柯西不等式得：
??
?
????? ??≤???? ????? ??≤???
? ???
=??? ??∑∑∑∑∑∑======n k n k k n k k n k k n
k k k n
k k k a a k a a k a k 1121122
12
11111 得结论∑∑==≥n
k n
k k k
k a 1121
柯西不等式在解题中的几点应用
一、引言
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式
人民教育出版社高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P 、15练习第2题）： 求证：ac+bd ≤
22b a +*22d c +这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。
证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立；
假设2a +2b ≠0 且2c +2
d ≠0,则
2
2
2
2
*d
c b a b
d ac +++≤
2
2
2
2
*d
c b a b
d ac +++
=
2
2
2
2
2
2
2
2
**d
c b a bd
d
c b a ac
+++
++
=222
222222222**d c d b a b d c c b a a +++++ ≤???
?
??++++???? ?
?+++2
22222222
2
222121d c d b a b d c c b a a =1
故ac+bd ≤2222*d c b a bd ac bd ac ++≤
+≤+
(1) 式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。 柯西不等式的一般形式为：
对任意的实数有及n n b b b a a a ,,,,,,2121
(2)
或
,*
1
21
2
1
∑∑∑===≤
n
i i
n
i i
n
i i
i b
a
b
a (3)
,12122
1??
? ????? ??≤??? ??∑∑∑===n i i n i i n i i i i b a b a
其中等号当且仅当
n
n b a b a b a === 22
11时成立（当0=k b 时，认为).1,0n k a k <≤= 柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。
二、柯西不等式在解题中的应用
a) 利用柯西不等式证明恒等式
利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。
例、已知,11122=-+-a b b a 求证：12
2
=+b a 。 证明：由柯西不等式，得
()[]()[]
11111222222=-+-+≤-+-b b a a a b b a
当且仅当a b a
b
2211-=-时，上式取等号， ,1122b a ab -?-=∴
()()
,112222b a b a --=
于是 12
2
=+b a 。
b) 利用柯西不等式解无理方程（或方程组）
用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。
例：解方程
()()()
11
211
112
222++=++
+?+
x x x x x x 。
解：
()()
2
22
211
11++
+?+
x x x x
=
()()2
2
22111
1+++?+
x x x
x
由柯西不等式知
()()
x
x x x x x x
x 11111
12
2
22+++≥
+++?+
即+
x
,
)1(12)1()1(112
2
22++≥+++?+
x x x x x x )
1(12)1(1)1(12
2
22++
≥+++?+∴x x x x x x
当上式取等号时有)
1(1
)1(+=
+x x x x 成立，即
012=++x x （无实根） 或012=-+x x ，即 2
5
1±-=
x ，经检验，原方程的根为 2
5
1±-=
x 用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。 例：解方程组
486
)()(6
922222224=+++++=+=++w y w w z y x x w x z y x
解：原方程组可化为
486
))((6
922222=+++=+=++w x z y x w x z y x
运用柯西不等式得
27
3
9)(2
22
2
=≥++z y x , 182
62
2
2
=≥+w x 两式相乘，得
()()
48622222
≥+?++w x z y x
当且仅当x=y=z=w=3时取等号。 故原方程组的解为x=y=z=w=3.
c) 柯西不等式证明不等式。
很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。
有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。
例：设,121+>>>>n n a a a a 求证：
01
1111
113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n
分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：
(),111113221
11>??????-++-+-?-++n n n a a a a a a a a
证明：为了运用柯西不等式，我们将11+-n a a 写成
()()()1322111++-++-+-=-n n n a a a a a a a a 于是
()()()[].
11
1121322113221>≥????
??
-+
+-+-?-++-+-++n a a a a a a a a a a a a n n n n
即(),111111
111
11322113
22111++++->-++-+-∴>????
??
-++-+-?-n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a
故
.01
1111
113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n
我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。
例：求证：()().2222112
2212
22
1y x y x y y x x +++≥
+++
证明：()()()()()
2
221222122212221
2
2
2
21222
12y y x x y y x x
y y x x
+?+++++=+++
由柯西不等式得
()()
()2
221122212221
y x y x y y x x
+≥+?+
其中等号当且仅当11ky x = ，22ky x = 时成立。
()()
221122212221y x y x y y x x
+≥++∴
(
)
()()
()
()()()().
22
222
112
2212
2212
222
1122112
22122212
2
2
212
221y x y x y y x x y x y x y x y x y y x x y y x x +++≥
++
+∴
+++=+++++≥++
+∴
其中等号当且仅当11ky x = ，22ky x = 时成立。 巧拆常数：
例：设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：
c b a a c c b b a ++>+++++9
222 分析：∵a 、b 、c 均为正
∴为证结论正确只需证：9]1
11)[
(2>+++++++a
c c b b a c b a 而)()()()(2a c c b b a
d b a +++++=++ 又2
)111(9++=
)
1
11)](()()[( )1
11)(
(2a
c c b b a a c c b b a a
c c b b a c b a ++++++++++=+++++++ 证明：
9)111(2
=++≥又a 、b 、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 重新安排某些项的次序：
例：a 、b 为非负数，a +b =1，+
∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++
分析：不等号左边为两个二项式积，+-∈∈R x x R b a 21,,,，每个两项式可以使柯西
不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。
2
12122212112212121)( )())(( )
)((x x x x b a x x b x x a bx ax bx ax ax bx bx ax =+=+≥++=++证： （∵a +b =1）
结构的改变从而达到使用柯西不等式：
例若a >b >c
求证：
c
a c
b b a -≥
-+-4
11 分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了
)()(c b b a c a -+-=- c a > ∴ 0>-c a
∴结论改为4)1
1)(
(≥-+--c
b b a
c a 4
)11( )1
1)](()[()11)(
(2=+≥-+--+-=-+--c b b a c b b a c b b a c a 证明：
∴ c
a c
b b a -≥-+-4
11 添项：
例：+
∈R c b a ,, 求证：
2
3≥+++++b a c a c b c b a
分析：左端变形
111++++++++b
a c a c
b
c b a )1
11)((b a a c c b c b a +++++++=
∴只需证此式2
9
≥即可
2
3
329 29
)111(21 )
1
11)](()()[(21 )
1
11)(( )1()1()1(32=
-≥+++++∴=
++≥++++++++++=+++++++=++++++++=++++++b a c c a b c b a b a a c c b b a a c c b b
a a c c
b
c b a b
c c c a b c b a b C c a c b c b a
证明 注：柯西不等式：a 、+
∈R b ，则ab b a 2≥+
推论：2)11(4)11)((+=≥++b a b a 其中a 、+∈R b
2)111(9)1
11)((++=≥++++c
b a
c b a 其中a 、b 、+∈R c
例.已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：
证明：左边=
例.对实数a 1,a 2,…,a n ,求证：
证明：左边=
例.设a ,b ,c 为正数，且a +b +c =1,求证：
证明：左边=
=
=
=
例.若n是不小于2的正整数，试证：
证明：
所以求证式等价于
由柯西不等式有
于是：
又由柯西不等式有
<
例.设x1,x2,…,x n都是正数(n32)且，求证：
证明：不等式左端即 (1) ∵，取则(2) 由柯西不等式有 (3)
即
综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：
d) 用柯西不等式证明条件不等式 柯西不等式中有三个因式
∑=n
i i
a
1
2 ，
∑=n
i i
b
1
2 ，
∑=n
i i
i b
a 1
而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不
等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量i a ，i b 具有广泛的选择余地，任意两个元素 i a ，j a （或i b ，j b ） 的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。
例：已知a,b +∈R ，a+b=1,,,21+
∈R x x 求证：()()212121x x ax bx bx ax ≥+?+
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。
证明：()()2121ax bx bx ax +?+ =()()1221bx ax bx ax +?+ ()2
2
121x x b x x a +≥
=()21212
x x x x b a =+ 。
例、设,,,,21+
∈R x x x n 求证：
n n
n x x x x x x x x x x x +++≥++++ 211
2
3221 （1984年全国高中数学联赛题）
证明：在不等式的左端嵌乘以因式()132x x x x n ++++ ，也即嵌以因式
()n x x x +++ 21，由柯西不等式，得
(
))(1321
23221x x x x x x x x x x x x n n
n ++++?++++
()()()() ()
22
22
2222
1
231
1
1
2
12
,
n n
n
n
n
n
n
x x x x
x x
x
x x x
-
-
??
????
??????
??
=++++?++++
? ???
?
?????
??
??
??
?
≥+?
=+++
于是
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
≥
+
+
+
+
2
1
1
2
3
2
2
1.
e)利用柯西不等式求函数的极值
有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。
例设非负实数
n
α
α
α???
2
1
,满足,1
2
1
=
+???+
+
n
α
α
α求
1
2
1
3
`1
2
2
1
1
1
_
1
-
+
+
+
+
???+
+
+
+
+???+
+
n
n
n
n
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
的最小值。（1982年西德数学奥林匹克度题）解：易验证
n
α
α
α
+???+
+
2
1
1
+1=
1
1
2
1
2
2
2
)
(
1
α
α
α
α
α
-
=
-
???+
+
+
n
同理可得
n
α
α
α
α
+???+
+
+
3
1
1
1
+1=
2
2
2
α
-
,
,???
1
2
1
-
+???+
+
n
n
α
α
α
+1=
n
α
-
2
2
令
1
2
1
3
`1
2
2
1
1
1
_
1
-
+
+
+
+
???+
+
+
+
+???+
+
=
n
n
n
n
y
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
故+
-
=
+
1
2
2
α
n
y
2
2
2
α
-
++???
n
α
-
2
2
为了利用柯西不等式，注意到
,1
2
)
(
2
)
2(
)
2(
)
2(
2
1
2
1
-
=
+???+
+
-
=
-
+???+
-
+
-n
a
a
a
n
a
a
a
n
n
∴)1
2(-
n+
-
1
2
1
(
α
2
2
1
α
-
++???)
2
1
n
α
-
=[]?
-
+???+
-
+
-)
2(
)
2(
)
2(
2
1n
a
a
a+
-
1
2
1
(
α
2
2
1
α
-
++???)
2
1
n
α
-
.
1
2122,122212212212222
2
2211-=--≥-=≥+∴=???
????
?-?
-+???+-?-+-?-≥n n
n n n y n n n y n a a a a a a n n
等号当且仅当n a a a n 121=
=???==时成立，从而y 有最小值1
2-n n
例 设n x x x ,,,21???都是正数，,2≥n 且
,11
=∑=n
i i
x
求证：
.1
11
1
-≥
-∑∑
==n x
x x n
i i
n
i i
i （1989年全国数学冬令营试题）
证明：令),,2,1(1n i x y i i ???=-=由柯西不等式，得
,)(1
2
1
n x n x n
i i n i i =?≤∑∑== 即
.1
n x n
i i ≤∑
=
同理，得),1()1()(
1
1
2
1
-=-?=?≤∑∑∑
===n n x n y n y n
i i n
i i n
i i
即
.)1(1
-≤∑=n n y
n
i i
又由柯西不等式，得
224
1
41
1
)1
(1n y y y y i
n
i i n
i i
n
i i =?
≥?∑∑
∑
===
故
,)
1(1
121
2
1
-≥
?
≥∑∑
==n n n y
n y n
i i
n
i i
从而
.
1
1
)
1(11111
1
1
1
1
-≥
-=---≥-=-=-∑
∑∑
∑
∑
=====n x n n n n n n n y y y y x x n
i i
n
i i
n
i i
n
i i
i
n
i i i
6，利用柯西不等式解三角问题。
三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。
例 在ABC ?中 ，求证： 40
)
3201(2012198sin 5sin sin ++≤
++C B A
证明：C B A sin 5sin sin ++
).
2sin 51(2cos 2)2sin 52(cos 2cos 22cos 2sin 102cos 2sin
2C C C B A C C
C B A B A +≤+-=+-+=
当且仅当A=B 时等号成立。 令)2
0)(sin 51(cos π
<
<+=x x x y ，于是引进参,0>t 求
222)sin 51(cos x x y +的最值。
由柯西不等式，
()
2
2
2
2
2
sin 51cos 25sin 51cos ?
??
??+=+=x x x x y
=2
2
2sin 51cos 25??
?
??+?x t t x ()
()
.sin cos 125sin 51cos 252222
22
222
2
2x t x t
t x t t t x ++=+????????+??? ???≤
又由平均值不等式(),4
2
b a ab +≤
得 2
22222
2
2sin cos 125???
?
?
?+++≤x t x t t y =
()()
.41
1252
2
22
t
t t ++ （1） 当且仅当2
cos x =2
2
sin t x +时等号成立。 例、已知a,b 为正常数，且0 π ,求x b x a y cos sin +=的最小值。 解：利用柯西不等式，得 ()( )( ) 2 3 3 22323 2 323 2cos sin cos sin x b x a x x b a b a +≥ ++= + 等号成立的当且仅当3 3 cos sin b x a x =时； 即 3 b a arctg x = 时，于是 x b x a b a cos sin 33323 2+≥+ 再由柯西不等式，得 323 2b a +?? ? ??+x b x a cos sin ≥( ) x b x a cos sin 33 +?? ? ??+x b x a cos sin ( ).cos cos sin sin 2 3 23 22 66 ??? ? ?? +=+≥b a x b x b x a x a 等号成立也是当且仅当3 b a arctg x =时。 从而x b x a y cos sin + =.2 33 23 2 ??? ? ? ?+≥b a 于是x b x a y cos sin += 的最小值是.2 33 23 2??? ? ??+b a 在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新. 三、排序不等式 设a 1￡a 2￡…￡a n ,b 1￡b 2￡…￡b n ;r 1,r 2,…,r n 是1,2,…,n 的任一排列，则有： a 1 b n + a 2b n -1+…+ a n b 1￡a 1b r 1+ a 2b r 2+…+ a n b rn ￡ a 1b 1+ a 2b 2+…+ a n b n 反序和￡乱序和￡同序和 例1.对a ,b ,c ?R + ,比较a 3 +b 3 +c 3 与a 2 b +b 2 c +c 2 a 的大小 解：取两组数a , b , c ；a 2 ,b 2 ,c 2 ，则有a 3 +b 3 +c 3 3a 2 b +b 2 c +c 2 a 例2.正实数a 1,a 2,…,a n 的任一排列为a 1/ ,a 2/ ,…a n / ，则有 证明：取两组数a1,a2,…,a n； 其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有例3.已知a,b,c?R+求证： 证明：不妨设a3b3c>0,则 >0且a123b123c12>0 则 例4.设a1,a2,…,a n是1,2,…,n的一个排列，求证： 证明：设b1,b2,…,b n-1是a1,a2,…,a n-1的一个排列，且b1 则且b131,b232,…,b n-13n-1；c1￡2,c2￡3,…,c n-1￡n 利用排序不等式有： 例5.切比雪不等式：若a1￡a2￡…￡a n且b1￡b2￡…￡b n,则 a1￡a2￡…￡a n且b13b23…3b n,则 证明：由排序不等式有： a1b1+a2b2+…+a n b n= a1b1+a2b2+…+a n b n a1b1+a2b2+…+a n b n3 a1b2+a2b3+…+a n b1 a1b1+a2b2+…+a n b n3 a1b3+a2b4+…+a n b2………………………………………… a1b1+a2b2+…+a n b n3 a1b n+a2b1+…+a n b n-1 将以上式子相加得： n(a1b1+a2b2+…+a n b n)3 a1(b1+b2+…+b n)+ a2(b1+b2+…+b n)+…+ a n(b1+b2+…+b n) ∴ 柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴ 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑ 柯西不等式的证明及其应用 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b a b +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2．2a b a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若a b 是定值，那么当且仅当a b =时，()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 m a x 2a b a b +??= ??? ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ，当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1m x n y +=上，则m n 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=，明显，和为 定，根据和定积最大法则可得：2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ，当且仅当12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =，当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式：已知2x >-，则12 x x + +的最小值为 。 解析：由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++，当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号，此时可得 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc ≥ =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑ 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x 均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥. 柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |= 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==??==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 2 22 111n n n k k k k k k k a b a b ===??≥ ??? ∑∑∑ 高中数学-不等式的解法 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数 的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不 等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得∴时函数取最大值，最大值 为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一： 由柯西不等式 于 是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值． 【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积， ，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 ∴ 即（3）改变结构：4、若>>，求证： 思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。 ，，∴，∴所证结论改为证 浅谈柯西不等式的应用及推广 【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方 面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。 【关键词】柯西（Cauchy ）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学 【Abstract 】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of function.Then Cauchy-inequality's some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed. 【Key words 】Cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangle's proving 引言 中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此，本文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳，并谈谈它在中学数学中的一些应用.。 1 柯西不等式的证明[1][2] 对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指 ()n i n i i n i i n i i i b a b a , ..., 2,11 2 1 2 2 1====∑ ∑ ∑≤?? ? ?? 当且仅当 n n b a b a b a = == ...2 21 1时，等号成立。 1.1 构造二次函数证明 当021====n a a a 或021===n b b b 时，不等式显然成立 令∑ == n i i a A 1 2 ∑ == n i i i b a B 1 ∑ == n i i b C 1 2 ， 当n a a a ,,,21 中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数()C Bx Ax x f ++=2 2 2，展开得： 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 高中数学不等式的解法 复习目标 1．掌握一元一次不等式（组） ，一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的 无理不等式的解法． 2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集． 3．培养运算能力． 知识回顾 一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax b(a 0) 的解集情况是 b b （1）当 a 0 时，解集为 { x | } （2）当 a 0时，解集为 { | } x x x a a 二、一元二次不等式的解法 2 bx c 2 的有 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax 0与二次函数 y ax bx c 关性质求解，具体见下表： 2 0 0 0 a 0 ， b 4ac 二次函数 y 2 ax b x c 的图象 一元二次方程 有两个相等的实根 有两实根 2 bx c ax 的根 x x 或 1 x x 2 x x 1 x 2 b 2a 无实根 不等式 一 式 元 的 2 bx c ax {x| x x 1或x x 2} { x | x x 1 } R 二 解 次 集 不 的解集 不等式 等 2 bx c ax {x|x 1 x x 2} Φ Φ 的解集 注：1．解一元二次不等式的步骤： （1）把二次项的系数a变为正的．（如果a 0，那么在不等式两边都乘以1，把系 数变为正） 1 （2）解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 2．当a 0 且0 时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边”． 三、含有绝对值的不等式的解法 1．绝对值的概念 a (a 0) a 0 a 0 a a 0 2．含绝对值不等式的解： （1）| x | a(a 0) a x a （2）| x | a(a 0) x a或x a （3）| f (x) | a(a 0) a f (x) a （4）| f (x) | a(a 0) f (x) a或f (x) a 注：当a 0时，| x | a 无解，| x | a的解集为全体实数． 四、一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f ( x) 0（或 f (x) 0），一般用数轴标根法求解，其步骤是： （1）将 f ( x) 的最高次项的系数化为正数； （2）将 f ( x) 分解为若干个一次因式的积； （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； （4）根据曲线显现出 f (x) 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 如：若a1 a2 3 ，则不等式(x a1)(x a2) (x a n) 0 a a n 或(x 1)(x a ) (x a n ) 0的解法如下图（即“数轴标根法”）： a 2 五、分式不等式的解法 ' ' f (x) f ( x) 对于解 a a 或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成 ' g ( x) g'( x)柯西不等式的应用(整理篇)
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