975_高二数学竞赛辅导：曲线系
曲线系
曲线系是具有某种性质的曲线集合，利用曲线系解题体现了参数变换的数学思想，整体处理的钥匙策略，以及“基本量”和“待定系数”等重要的解题方法。
结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则
方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).
此结论即由联立方程??
?==)
2(0
),()1(0
),(21y x f y x f
得到 )3(0
),(),(21=+y x f y x f λ
只须将（x 0,y 0）代入（3），可立即证明。
有了这个结论，有些题目可快速求解。过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。
曲线系方程(3)不能包含过两曲线(1)(2)公共点的所有曲线，那么使用时怎么知道所求方程在不在方程(3)中呢?
mf 1(x,y)+nf 2(x,y)=0
一般,我们对所求方程结果的形式应该认识,所构造的方程中有所求结果的形式就可用,否则不可用。有三点是可以肯定的：
I. 如果(1)(2)是直线，则(3)是直线；
II.如果(1)(2)是圆，则(3)是圆或公共弦所在直线方程。 将此推广，可得
III. 如果(1)是圆，(2)是直线,则(3)是圆。
①设圆C 1∶x 2
+y 2
+D 1x+E 1y+F 1=0和圆C 2∶x 2
+y 2
+D 2x+E 2y+F 2=0．若两圆相交， 则过交点的圆系方程为x 2
+y 2
+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2
+y 2
+D 2x+E 2y+F 2)=0
(λ为参数，圆系中不包括圆C 2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)． ②设圆C∶x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0与直线l ：Ax+By+C=0，若直线与圆相交， 则过交点的圆系方程为x 2
+y 2
+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．
例如：求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程.
解: 构造方程 x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2
+6y -28)=0
即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0
此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λ
λ
λ+-+-
当该圆心在直线x -y -4=0上时,即
.7,041313-==-+++-λλ
λ
λ得 ∴ 所求圆方程为 x 2+y 2
-x+7y -32=0
例如：求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程。 解：设(b 2x 2+a 2y 2－a 2b 2)+λ(a 2x 2+b 2y 2－a 2b 2)=0 令λ=1
将已知的两椭圆方程相加，得 2
2
222
22b
a b
a y x +=
+
此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点。 即原题得证。
注意：由以上分析可以看出,利用曲线系解题,可以快速求解,但有时却是失效的.
例如：求以圆x 2+y 2=5与抛物线y 2
=4x 的公共弦为直径的圆的方程.
常规解法:联立方程 ?????==+x
y y x 45
222
.21
;212
211??
?-==??
?==y x y x 解得
以这两点为直径的圆的方程是
4)1(2
2
=+-y
x
如果用曲线系分析，构造方程 0)4()5(222=-+-+x y y x λ 即 054)1(22=--++x y x λλ (*)
显然,λ=0不是所求圆方程,而在λ≠0时,方程(*)已不是圆方程了。
∴ 由(*)得不出所求结果。
例如：求与圆x 2+y 2－4x －2y －20=0切于A(―1,―3)，且过B(2,0)的圆的方程。 解法一：视A(―1,―3)为圆(x+1)2+(y+1)2=r 2，当r →0时，极限圆(x+1)2+(y+3)2=0 构造圆系：(x 2+y 2―4x ―2y ―20)+λ[(x+1)2+(y+3)2]=0
∵曲线过B(2,0) ∴λ=
3
4
∴所求的方程为：7x 2+7y 2－4x+18y －20=0
解法二：过A(―1,―3)的圆的切线为：3x+4y+15=0与已知圆构造圆系：
x 2+y 2－4x －2y －20+λ(3x+4y+15)=0 ∵曲线过B(2,0) ∴λ=
7
8
∴所求的方程为：7x 2+7y 2－4x+18y －20=0
一般地。取曲线方程中的特征量（如直线方程中的斜率k ，截距b 等）为变数时，便可得出曲线系。
例1已知有向线段PQ 的起点P 的终点Q 的坐标分别为(－1,1)和(2,2)，若直线l ：x+my+m=0与PQ 的延长线相交，求m 的取值范围。 分析：直线l 变形为x=0(m=0)或y=－m
1x －1(m ≠0)是过(0,－1)斜率为
－
m
1的直线，只须找到与Q 点相交、与PQ 平行的直线的夹角范围即
可。
解： ∵
x+my+m=0
∴直线l 经过M(0,－1) ∴
3
1<－
m
1<
2
3?－3 3 2 学生思考：用定比分点的思想可以吗？ 例2平面上有两个圆，它们的方程分别是x 2+y 2=16和x 2+y 2－6x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。 分析：由x 2+y 2－6x+8y+24=0?(x －3)2+(y+4)2=1,显然这两圆的关系是外切。 解： ∵x 2+y 2－6x+8y+24=0?(x －3)2+(y+4)2=1 ∴这两圆是外切 ∴(x 2+y 2－6x+8y+24)－(x 2+y 2－16)=0?3x －4y －20=0 ∴所求的两圆内公切线的方程为：3x －4y －20=0 学生注意：对于不同心的两个圆C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0, C 2：x 2+y 2 +D 2x+E 2y+F 2=0，圆系方程C 1+λC 2=0 例3求证：如果两条抛物线有四个交点且对称轴垂直，则此四点共圆。 分析：证明四点共圆，可以利用曲线系，得出一个四点满足的圆的方程即可。 证明：取一条抛物线的顶点为原点，对称轴为x 轴，则它的方程为：y 2 =2px ① ∴另一条抛物线的方程为：(x －a)2=2k(y －b) ② ∴①+②得：y 2+(x －a)2－2px －2k(y －b)=0 ③ ∵若①和②有四个解，即两条抛物线有四个交点时，这四个交点坐标一定满足方程③ ∴命题成立 例4A 、B 为定二次曲线ax 2+bxy+cy 2+ex+fy+g=0 (a ≠0)上的两点，过A 、B 任作一圆，设该圆与定二次曲线交于另外两点C 、D ，求证CD 有定向。 分析：可以把过A 、B 的曲线系表示出来，得到C 、D 满足的方程。 解：取A 点为坐标原点，AB 为x 轴，设B 点的坐标为(l ,0)，不妨假定a=1， ∴ax 2+bxy+cy 2+ex+fy+g=0? x 2+bxy+cy 2－l x+fy=0 ① 过A 、B 的圆的方程为：x 2+y 2－l x+ky=0 ② ∴过A 、B 的曲线系方程为：(x 2+bxy+cy 2－l x+fy)+λ(x 2+y 2－l x+ky)=0 ∵曲线也过C 、D ∴取λ=－1可得y[bx+(c －1)y+(f －k)]=0 ③ ∵A 、B 、C 、D 的坐标必须满足③ ∵C 、D 不在AB （即x 轴）上 ∴y ≠0 ∴CD 的方程为：bx+(c －1)y+(f －k)=0 ∵b, c －1都是定值 ∴直线CD 有定向 例5设0 分析：本题的关键是如何利用四点共圆的条件。思路一：设定点的两条直线方程，引进参数k 和k '，代入y 2=x ，求出四个交点，由三个交点确定一个圆，代入第四点，化简，或求出定点的两条直线的交点，用相交弦定理求解，但计算量太大、太烦。思路二：利用直线系和圆系知识求解。 解：设l 的的方程为：y －kx+ka=0, m 的的方程为：y －k 'x+k 'b=0 ∴过l,m 与y 2=x 的四个不同交点为的二次曲线的方程为：(y 2－x)+λ(y －kx+ka)( y －k 'x+k 'b)=0 ?(1+λ)y 2－λ(k+k ')xy+λkk 'x 2+λ(ka+k 'b)y －[λkk '(a+b)+1]x+λkk 'ab=0 ① ∵①成为圆的条件是： ?? ?'=+='+k k k k λλ10 ∴两条直线的交点坐标为P( 2 b a +, 2 k (b －a)) ∴P 点在AB 线段的中垂线上 ∴点P 的轨迹是直线x= 2 b a +除去与y=0或y 2 =x 的三个交点 例6给定曲线族2(2sin θ－cos θ+3)x 2 －(8sin θ+cos θ+1)y=0，θ为参数，求该曲线族在直线y=2x 上截得的弦长的最大值。 分析：显然此曲线族是过原点的抛物线系 解：∵曲线族是过原点 ∴直线y=2x 也过原点 ∴曲线族在y=2x 上所截得的弦长公取决于曲线族与y=2x 的另一个交点的坐标 ∴将y=2x 代入曲线系得 (2sin θ－cos θ+3)x 2 －(8sin θ+cos θ+1)x=0 ∵2sin θ－cos θ+3=5sin(θ－arctan 2 1)+3>0 ∴当x ≠0时，x= 3 cos sin 21cos sin 8+-++θθθθ 令sin θ= 1 22 +u u , cos θ= 2 211u u +- u=tan 2 θ ∴x= 1 22182 +++u u u ?2xu 2+2(x －4)u+(x －1)=0 ∵u ∈R x ≠0 ∴⊿≥0?[2(x －4)]2－8x(x －1)≥0?x 2+6x －16≤0?－8≤x ≤2 ∴|x|max =8 ∵y=2x ∴|y|max =16 ∴所求弦长的最大值为2 2168+＝85 练习： 1、 对于边长a 、b 、c(对角依次是A 、B 、C)不定且⊿C 是钝角的⊿ABC 和直线l ：ax+by+c=0，给出以下四个命题：①l 的倾斜角是钝角；②l 不穿过第一象限；③l 和单位圆相切；④l 过定点；其中，正确命题的个数是（）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、 在平面直角坐标系中，若方程m(x 2+y 2+2y+1)=(x －2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为（） A ．(0,1) B ．(1,+∞) C ．(0,5) D ．(5,+∞) 3、 设P 1、P 2是抛物线x 2=y 的一条弦，如果P 1P 2的垂直平分方程是y=－x+3，则弦P 1P 2所在直线的方程是 A ．y=x+3 B ．y=x －3 C ．y=x+2 D ．无法确定 4、 过圆x 2+y 2－4x+2y=0的圆心，并且和点A(―1,―2)、B(5,3)距离相等的直线l 的方程是 。 5、 从点A(4,3)向圆(x －2)2+(y －1)2=1作切线，设两切点分别为M 和N ，则过点M ，怕直线方程是 。 6、 从点A(－1, 2 1)向圆4x 2+4y 2－8x+4y －21=0引两条切线，则过切点弦的方程是 。 7、 对于任意的a ∈R ，曲线ax 2－2xy ―ax ―y ―2a+1=0的所有曲线都经过两个定点，这两个定点的坐标 是 。 8、 已知k ∈R ，关于x,y 的方程y 4 +4y 3 +(2x+2kx －kx 2 )y 2 +8xy+(4kx 2 －2kx 3 )=0表示一组曲线，其中有一条是固 定的抛物线，试讨论k 值与曲线形状的关系。 答案： 1、B 2、D 3、C 4、x=2或5x ―6y ―16=0 5、2x+2y －7=0 6、不存在 7、(―1,―1)和(2, 5 1) 8、 ①当k=－1时，表示圆和抛物线；②当k>0且k ≠4时，表示双曲线和抛物线；③当k<0且k ≠－1时，表示椭圆和双曲线。 2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1 一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中 统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了 （）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽 种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数 的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必 胜的策略 A．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分） 1．当整数m ＝_________时，代数式 13m 6 -的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且| abc |abc |c |c |b |b |a |a + ++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004 ＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2 +2=0｝的子集的个数 是 三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积. 日照实验高级中学高一数学竞赛辅导班选拔考试 2013年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况通报2013年全国高中数学联赛、2013年广西高一、高二数学竞赛结果已揭晓，现将我市考生获奖 情况通报如下（合浦县自治区、市级奖情况由合浦教研室另行通报），请各有关学校查阅。 附件一：2013年全国高中数学联赛获奖名单 附件二：2013年广西高二数学竞赛获奖名单 附件三：2013年广西高一数学竞赛获奖名单 北海市数学学会 二O一三年十一月 附件一：2013年全国高中数学联赛获奖名单 全国二等奖（7名） 叶太智（北海中学）罗乃荣（廉州中学）吴钟豪（廉州中学）叶发科（廉州中学） 何文栋（北海中学）吴文龙（石康中学）易阳德（廉州中学） 自治区三等奖（30名） 戴霖（北海中学）刘亚佩（北海二中）何丹昀（北海中学）陈颖睿（北海中学） 苏玮钊（北海中学）向凌君（北海中学）陈梓宁（北海中学）劳显东（北海中学） 赖柏君（北海中学）邱天怡（北海七中）庞坤振（北海中学）陶威宏（北海中学） 钟云肖（北海中学）冯歆骅（北海中学）刘颖（北海七中）陈昱蓉（北海中学） 蒋裕园（北海二中）黄春梅（南康中学）马月晗（北海九中）林益民（北海中学） 符开亮（北海中学）何汉铭（北海中学）刘振涛（北海中学）陈达武（北海二中） 杜苹苹（南康中学）袁崇恩（北海二中）李秋荷（北海七中）黄永吉（北海七中） 黄以胜（北海七中）叶佳朋（北海二中） 北海市三等奖（12名） 朱定诚（北海七中）苏文富（北海七中）郑可新（国发高中）付艳芳（国发高中） 钟世军（北海五中）裴文璇（北海九中）李鸿羽（国发高中）黄群芳（国发高中） 李艳鸿（国发高中）潘小芳（北海五中）文永芳（北海五中）许晖（北海五中） 附件二：2013年广西高二数学竞赛获奖名单 自治区一等奖（16名） 陈星寰（北海中学）郑蕾（北海七中）王田源（北海七中）郭鑫（北海七中） 黄安民（北海七中）杨有杰（北海七中）张俊滔（北海中学）欧连云（北海二中） 2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 一、填空题：（本大题共8个小题,每小题8分,共64分．） 1．已知数列，，，…，，…满足关系式，且，则的值是． 2．圆锥曲线的离心率是． 3．设的定义在上的奇函数，，当时，是增函数，且对任意的、，都有 ，则函数在上的最大值是． 4．设，均为正整数，则． 5．已知点在圆：上运动，点在曲线（，）上运动，且的最大值为，则． 6．已知，，是一个三角形的三个内角，如果取得最大值，则 ． 7．从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数，则2017被取到的可能性为． 8．已知是正整数集合的无穷子集，满足对任何，，，，将中的元素按照由小到大的顺序排列 成的数列记为，且已知，，则． 二、解答题（本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 9．设直线：与椭圆：不相交.过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结. （1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点； （2）当时，定点平分线段. 10．已知函数，数列、满足，，，，. （1）讨论数列的单调性； （2）求证：，. 11．（1）求使方程 （*） 有正整数解的最大正整数. （2）用表示方程（*）的所有正整数解（）构成的集合，当为奇数时，我们称中的每一个元素为方程（*）的一个奇解；当为偶数时，我们称中的每一个元素为方程（*）的一个偶解.证明：方程（*）中所有奇解的个数与偶解的个数相等. 2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 参考答案及评分标准 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9．证明：（1）设、、.则椭圆过点、的切线方程分别为 ，.因为两切线都过点，则有，. 这表明、均在直线①上，由两点决定一条直线知，式①就是直线的方程，其中满足 高二年级学科知识竞赛数学试卷 第I 卷（选择题） 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题:p 方程 11 52 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53< 1．高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps 高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷 （第二轮 考试时间60分钟，满分100分） 班级 姓名 得分 一、选择题（每题６分，36分） 1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是 （ ） （A ）16 （B ）15 （C ）8 （D ）7 ２．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910 - --- 等于( ). (A)125 (B)21 (C)2011 (D)10 7 3 ．某公司从2001年起每人的年工资 主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2005年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2005年底这位职工的工龄至少是 （ ） （A ）2年（B ）3年（C ）4年（D ）5年 4.若F( 11x x -+)=x 则下列等式正确的是（ ）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x)（B ）F(-x)=11x x +-（C ）F(x -1 )=F(x)（D ）F （F （x ））=-x 5．已知c b a 、、是实数，条件0:=abc p ；条件0:=a q ，则p 是q 的（ ） (A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件 6．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形 D C B A ''''。四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（ ） A ．9 B ．26 C ．34 D ．6 二、填空题（每题5分，25分） 7．如果}66{}42,3,2,1{}2,{22--=-a a a a ，则a 的值是 。 8. Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and 0)1(≠f , then (2005)f is equal to _____________. 9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E 被读了______次。 高二数学试题 一,选择题(每题5分) 1.在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是 ( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121 2.若(1-2x )9 展开式的第3项为288，则∞→n lim (n x x x 1112?++)的值是 ( ) （A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）52 3.整数组﹛X1,X2,X3,X4﹜适合0 高二趣味数学竞赛试题 班级 姓名 考号 一、选择题(9×3分=27分) 1、猩猩最讨厌什么线（ ） A 中位线 B 平行线 C 角平分线 D 射线 2、衣柜里有6只白色袜子，6只黑色袜子。它们除颜色不同之外，其它都一样。如果身处漆黑中，由衣柜取出两只颜色相同的袜子，最少要从衣柜中拿出几只袜子，才能确保其中有两只袜子颜色相同呢？（ ）A 1次 B 2次 C 3次 D 4次 3、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上。就在人们认为数学的基础已经很牢固的时候，集合论出现了一系列自相矛盾的结果，即悖论！于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。请选出下面哪个选项不属于悖论（ ） A 有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？” B 英国数学家罗素构造了一个集合S ：S 由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S 是否属于S 呢？ C “今天天气很好，是不是？” D 一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不是自己理发的男人都由我给他们理发。于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。 4、勾股定理还有一种叫法（ ） A 毕达哥拉斯定理 B 孙子定理 C 欧拉定理 D 祖冲之定理 5、祖冲之是我国古代伟大的数学家，他在公元前400多年计算出了圆周率π的近似值，这个近似值精确到小数的7位，这个记录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。祖冲之还给出了π的分数形式，那么下面那个是他给的分数形式（ ） A 103 B 333107 C 355113 D 10399333102 6、数学史上曾经发生过三次数学危机，其中第3题中的集合悖论的发现称之为第三次危机，那么前两次危机时什么（ ） A 第一次危机是无理数的出现，第二次危机是十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，也就是无穷小到底是不是0 B 第一次危机是无理数的出现，第二次危机是π能不能用分数表示 C 第一次危机是费马提出的猜想：当n>2()n N ∈时，方程n n n x y z +=没有正整数解，第二次危机是十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，也就是无穷小到底是不是0 7、你目前有27枚金币，但有一枚较轻的伪币混在其中，现在想要用天平秤出伪币。最少用天枰称几次就可以确定伪币（ ） A 2次 B 3次 C 4次 D 5次 8、、某地有两个村庄王庄和李庄，王庄的人在星期一、三、五说谎，李庄的人在星期二、四、 六说谎。在其他日子他们说实话。一天，外地来的游客来到这里，见到两个人，分别向他们提 出关于日期的问题，两个人都回答说，“前天是我说谎的日子。” 已知被问的两个人分别来自王庄和李庄，以下哪项判断是对的（ ） A 这一天是星期五或星期日 B 这一天是星期二或星期四 C 这一天是星期一或星期三 D 这一天是星期四或星期五 9、有一个两人做的游戏：轮流报数，报出的数不能超过8（也不能是0），把两个人报出的数连加起来，谁报数后使和为88，谁就获胜。如果让你先报数，你第一次应该报几才能一定获胜（ ） A ．5 B ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ 二、填空题（8×4分=32分） 10、猜数学名词： （1）考试不作弊： （2）剑穿楚霸王： （3）一分钱一分货： （4）坐船须知： 从下面备选数学名词中，选择合适的一个词填入上面的横线中： 恒等 运算 绝对值 配方 真分数 公差 分母 乘法 对顶角 通项 11、有只兔子掉进30公尺深的干井里。它并不习惯待在这种地方，因此决定奋力往上爬。但兔子爬墙的能力不太好，它发现自己努力往上爬了一天，上升了3公尺却又滑下2公尺。休息了一夜之后，它又继续努力，结果一样。它要几天才能爬出干井？ 答： 12、在横线中填入适当的数。定义一种对应关系：“ ”， 1 5 2 50 3 500 4 5000 5 13、4张牌算24点！只能用加减乘除，每张牌只能用一次。请计算如何由下面这些数计算得到24（在横线上写出计算过程）： 5， 5， 5， 1 计算过程： 14、下面加法竖式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当他们各代表什么数字时，算式成立？将答案写在右边的横线上。 北京奥运 京奥运 奥运 + 运 2 0 0 8 答： 15、小明是位热心人，常常在空闲的时间，帮人修理钟表。有一次，因为有急事，把时针当成分针，纷争当成时针装在钟上。这样一来，这只钟就不准了。不过，这只钟并不是绝对不准，也有准的时候。 （1）那么在什么情况下，装错了的针的钟是准的？ （2）如果正当12点时，这只钟对准了标准时间，的？ 高中数学竞赛活动方案1 一、活动目的 为激发学生学习数学的兴趣，增强学生学数学，用数学的动力，丰富学生的课余生活，促进数学教学质量的提高。通过竞赛奖励数学能力突出，表现优异的学生。拟于12月2日（第十四周星期二)举行高中数学竞赛。 二、比赛时间：12月2日晚6：20---8：20 三、比赛地点：学校阶梯教室（或高二级两个活动室） 四、活动对象： 高一、高二年级学生（各级参赛选手分别60人） 五、活动方式： 以年级备课组为单位，各年级分别命题，同时开展数学竞赛 六、题型及评分标准：（总分100分） 1、填空题共15题，每题4分，共60分 2、解答题共05题，每题8分，共40分 七、奖项设置： 分级设奖，每级设一等奖3名、二等奖4名、三等奖8名。获奖学生颁发奖品，一等奖的指导教师颁发荣誉证书。 八、命题人： 高一级：邓华贵 高二级：杨水源 九、工作人员： 总负责：刘青青 协调：杨汉林、杨福生、（横幅、摄影） 监考：高一级：周丽群、邓华贵 高二级：胡芫祯丁敏 评卷人员：高一级：谢大钰、邓华贵、肖珍、周丽群 高二级：钟水兵、杨水源、胡芫祯、丁敏 备注：因活动时间为晚上，所以工作人员按晚自习蹲班发放加班费。 高中数学竞赛活动方案2 一、竞赛目的 为了激发学生学习数学的兴趣和营造你追我赶的学习氛围，特组织本次活动。 二、竞赛内容：根据我校实际情况，以年级为单位，以本为本，适当拓展，力求难易适中。限时120分钟。 三、参赛对象：各年级学生报名与老师推荐相结合 参赛时间：20xx年12月21日 星期天，晚上8点30分 参赛人数：高一、高二、高三 四、评奖设置： 个人奖，年级各多少名，按分数高低评出一、二、三等奖若干名。 五、试卷拟定人：高一、高二、高三 参赛场地：（教研室定） 监考老师（兼司铃员）：高一、高二、高三 试卷批改：高一、高二、高三 六、活动总结 竞赛活动结束后试卷批改教师开始批改试卷，试卷批改结束，将参赛成绩统计交到教研处，由教研室进行成绩审核和奖励确定。 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不 高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷 （第一轮考试时间100分钟，满分100分） 一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽 种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必 胜的策略 A ．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分） 1．当整数m ＝_________时，代数式 1 3m 6-的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2+2=0｝的子集的个数 是 三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积. 2012年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况通报 2012年全国高中数学联赛、2012年广西高一、高二数学竞赛结果已揭晓，现将我市考生获奖情况通报如下（合浦县自治区、市级奖情况由合浦教研室另行通报），请各有关学校查阅。 附件一：2012年全国高中数学联赛获奖名单 附件二：2012年广西高二数学竞赛获奖名单 附件三：2012年广西高一数学竞赛获奖名单 北海市数学学会 二O一二年十二月 附件一：2012年全国高中数学联赛获奖名单 全国二等奖（10名） 邓亮（廉州中学）李国卫（廉州中学）何意（北海中学）林新强（北海中学） 沈小英（廉州中学）唐略钧（北海中学）朱家良（北海中学）吴毓俭（北海中学） 苏振杰（廉州中学）叶柏宁（北海中学） 自治区三等奖（37名） 黄子睿（北海中学）罗圣治（北海中学）陈天浩（北海中学）张洪瑞（北海中学） 荣靖（北海中学）廖秋衡（北海中学）张峻琦（北海中学）邱凌峰（北海中学） 黎昌昊（北海中学）陈思含（北海中学）冯敏（北海中学）王永健（北海中学） 陈文凯（北海中学）柳炎（北海二中）陈毓（北海中学）李世科（北海七中） 伍开庆（北海七中）欧业宝（南康中学）李晓东（国发高中）周蒲淞（北海七中） 周子民（北海二中）陈汉南（北海七中）江基政（北海七中）阮永林（北海七中） 陈凤（南康中学）陈德康（南康中学）何德焱（北海七中）苏永宝（北海七中） 谭燕玲（南康中学）谭维仁（北海七中）林兆铭（北海七中）冯钻（北海二中） 张宝森（北海二中）苏小玲（北海五中）欧祥华（南康中学）罗翠（国发高中） 邓振玲（国发高中） 北海市三等奖（7名） 钟德明（南康中学）李建钊（南康中学）罗勉（北海二中）郑朝仁（北海五中） 李豪（北海五中）黄居岸（北海五中）杨萍（北海九中） 附件二：2012年广西高二数学竞赛获奖名单 自治区一等奖（17名） 何丹昀（北海中学）黄锟（北海七中）蔡丽蓉（南康中学）叶愈林（北海中学） 李泽受（北海中学）卜兴淳（北海中学）何泽维（南康中学）龙恒（北海中学） 苏显东（北海中学）赖柏君（北海中学）邱天怡（北海七中）赖雄健（北海中学） 刘颖（北海七中）李世靖（北海七中）裴耀建（北海中学）毛远华（北海中学） 李艳鸿（国发高中） 全国初中数学竞赛获奖名单 1995年 奖级姓名学校指导师二等奖王培阳金庭镇中竺新震二等奖张泽锋里坂中学周飞麟三等奖张远开元镇中张正平 1996年 奖级姓名学校指导师二等奖钱丽文长乐镇中 二等奖钱丰平城关中学 三等奖裘晓蕾祟仁镇中 1997年 奖级姓名学校指导师二等奖舒赞蛟镇中学 三等奖董克钦马寅初中学 三等奖陈洪蛟镇中学 1998年 奖级姓名学校指导师一等奖（第一名）丁迎薪马寅初中学裘秋鹏二等奖张丹青马寅初中学朱胜波二等奖孙登科马寅初中学张樟兴二等奖周丽娜开元镇中张正平二等奖竹笱浦口镇中赵峰二等奖钱梦鼎城关中学 1999年 奖级姓名学校指导师二等奖竺彬长乐镇中 三等奖余政炎春皋中学叶美英三等奖孙登科马寅初中学张樟兴三等奖周峰城关中学 三等奖俞立城关中学 三等奖张竞予城关中学 三等奖楼建祟仁镇中 三等奖钱小兵长乐镇中 2000年 奖级姓名学校指导师一等奖叶骏马寅初中学马亦忠一等奖王建春甘霖镇中范浙杨一等奖应银奎祟仁镇中裘良三等奖袁国霞蛟镇中学钱春渊三等奖蒋穗祟仁镇中裘良 2001年 奖级姓名学校指导师一等奖许建峰长乐镇中郭正良二等奖吴花精灵浦口镇中章伯荣二等奖史滢勇马寅初中学裘利清二等奖俞斌马寅初中学马国娟三等奖裘诚波城关中学商幼君三等奖易金嘉琅城关中学尹在端三等奖叶寒舟城关中学商幼君三等奖裘良科石璜镇中夏君钗三等奖史海匀马寅初中学陆浩军三等奖王金伟华堂中学宋爱武三等奖董俊春城关中学刘刚 2002年 奖级姓名学校指导师一等奖徐婧马寅初中学魏春梅二等奖钱溢鼎城关中学丁玉兰二等奖赵俊晟马寅初中学冯珊二等奖潘思京马寅初中学张樟兴二等奖夏倩马寅初中学冯珊二等奖王逸锋城关中学周灿华二等奖尹佳乐甘霖镇中叶美英三等奖徐广马寅初中学吕建萍 崇信三中高二趣味数学竞赛试题 班级 姓名 考号 一、选择题(9×3分=27分) 1、猩猩最讨厌什么线（ ） A 中位线 B 平行线 C 角平分线 D 射线 2、衣柜里有6只白色袜子，6只黑色袜子。它们除颜色不同之外，其它都一样。如果身处漆黑中，由衣柜取出两只颜色相同的袜子，最少要从衣柜中拿出几只袜子，才能确保其中有两只袜子颜色相同呢？（ ）A 1次 B 2次 C 3次 D 4次 3、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上。就在人们认为数学的基础已经很牢固的时候，集合论出现了一系列自相矛盾的结果，即悖论！于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。请选出下面哪个选项不属于悖论（ ） A 有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？” B 英国数学家罗素构造了一个集合S ：S 由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S 是否属于S 呢？ C “今天天气很好，是不是？” D 一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不是自己理发的男人都由我给他们理发。于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。 4、勾股定理还有一种叫法（ ） A 毕达哥拉斯定理 B 孙子定理 C 欧拉定理 D 祖冲之定理 5、祖冲之是我国古代伟大的数学家，他在公元前400多年计算出了圆周率π的近似值，这个近似值精确到小数的7位，这个记录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。祖冲之还给出了π的分数形式，那么下面那个是他给的分数形式（ ） A 10 3 B 333107 C 355113 D 10399333102 6、数学史上曾经发生过三次数学危机，其中第3题中的集合悖论的发现称之为第三次危机，那么前两次危机时什么（ ） A 第一次危机是无理数的出现，第二次危机是十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，也就是无穷小到底是不是0 B 第一次危机是无理数的出现，第二次危机是π能不能用分数表示 C 第一次危机是费马提出的猜想：当n>2()n N ∈时，方程n n n x y z +=没有正整数解，第二次危机是十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，也就是无穷小到底是不是0 7、你目前有27枚金币，但有一枚较轻的伪币混在其中，现在想要用天平秤出伪币。最少用天枰称几次就可以确定伪币（ ） A 2次 B 3次 C 4次 D 5次 8、、某地有两个村庄王庄和李庄，王庄的人在星期一、三、五说谎，李庄的人在星期二、四、 六说谎。在其他日子他们说实话。一天，外地来的游客来到这里，见到两个人，分别向他们提 出关于日期的问题，两个人都回答说，“前天是我说谎的日子。” 已知被问的两个人分别来自王庄和李庄，以下哪项判断是对的（ ） A 这一天是星期五或星期日 B 这一天是星期二或星期四 C 这一天是星期一或星期三 D 这一天是星期四或星期五 9、有一个两人做的游戏：轮流报数，报出的数不能超过8（也不能是0），把两个人报出的数连加起来，谁报数后使和为88，谁就获胜。如果让你先报数，你第一次应该报几才能一定获胜（ ） A ．5 B ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ 二、填空题（8×4分=32分） 10、猜数学名词： （1）考试不作弊： （2）剑穿楚霸王： （3）一分钱一分货： （4）坐船须知： 从下面备选数学名词中，选择合适的一个词填入上面的横线中： 恒等 运算 绝对值 配方 真分数 公差 分母 乘法 对顶角 通项 11、有只兔子掉进30公尺深的干井里。它并不习惯待在这种地方，因此决定奋力往上爬。但兔子爬墙的能力不太好，它发现自己努力往上爬了一天，上升了3公尺却又滑下2公尺。休息了一夜之后，它又继续努力，结果一样。它要几天才能爬出干井？ 答： 12、在横线中填入适当的数。定义一种对应关系：“ ”， 1 5 2 50 3 500 4 5000 5 13、4张牌算24点！只能用加减乘除，每张牌只能用一次。请计算如何由下面这些数计算得到24（在横线上写出计算过程）： 5， 5， 5， 1 计算过程： 14、下面加法竖式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当他们各代表什么数字时，算式成立？将答案写在右边的横线上。 北京奥运 京奥运 奥运 + 运 2 0 0 8 答： 15、小明是位热心人，常常在空闲的时间，帮人修理钟表。有一次，因为有急事，把时针当成分针，纷争当成时针装在钟上。这样一来，这只钟就不准了。不过，这只钟并不是绝对不准，也有准的时候。 （1）那么在什么情况下，装错了的针的钟是准的？ （2）如果正当12点时，这只钟对准了标准时间，24小时内，它将有几次和标准时间是一致的？ 关于参加2015年全国高中数学联赛 陕西赛区预赛的通知 各县区教研室、宝鸡中学： 按照省数学竞赛委员会（2015）001号文件精神，现就参加2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛，有关事宜通知如下： 一、考试时间 2015年4月19日（星期天）上午：8：30－11：00 一试、二试连续考（中间不休息） 二、参赛对象 在校高中学生（特别优秀的初中学生也可参加）。坚持学生自愿报名参赛的原则，由学校统一组织。 三、命题原则 主要考查高中数学的基础知识、基本技能、基本方法及分析和解决问题的能力。命题的基本原则是：立足基础、贴近高考，注重能力、体现竞赛。 四、考试范围 严格遵循现行高中数学教学大纲以及新的高中数学课程标准，以高二学生所学知识范围为主，适当照顾高一学生。 五、考试形式及试卷结构 1、考试形式 （1）考试采用书面笔答、闭卷形式。不得使用计算器。 （2）试卷分值满分150分。 （3）试卷分为第一试（填空题、解答题）和第二试（解答题）。 2、试卷结构 第一试（满分50分）为填空题，共10小题。每小题5分，计50分。试题难度相当于高考中的容易题和中档题，但在方法的要求上有所提高。 第二试（满分100分）为解答题，共6小题，其中有一道平面几何题和一道杂题，其余四道题相当于高考中的中、高档题。 六、收费标准 两试每生共收报名费14元，由市上统一上交省数学竞赛委员会办公室，作为命题、制卷、阅卷、成绩统计与打印等费用。 七、初选人数 1、按全省参赛总人数的12%确定初选人数。 2、全省原则上按预赛成绩统一划定分数线，对边远地区适当予以照顾。 3、初选学生成绩及名单将于5月中旬通知各市（区）。 4、初选学生将参加2015年9月中旬举行的全国高中数学联赛（通知另行下发）。 八、注意事项 1、本次预赛是一次资格赛，不评奖，主要是为2015 高中数学竞赛大纲（修订稿） 在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 高二文科数学竞赛试题 一、选择题（50分） 1、不等式 1 1 112 -≥-x x 的解集为（ ） A ．),1(+∞ B ．),0[+∞ C ．),1()1,0[+∞ D ．),1(]0,1(+∞- 2、当x ＞1时，不等式a x x ≥-+ 1 1 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，2] B ．[2，+∞﹞ C ．[3，+∞﹞ D ．(－∞，3] 3、若直线10ax y + -=与直线4(3)40x a y +-+=平行，则实数a 的值等于（ ） A ．4 B ．4或1- C ．35 D ．32 - 4、下列命题在空间中正确的个数是（ ） ○ 1三点确定一个平面； ○2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ○ 3两组对边相等的四边形是平行四边形； ○4有三个直角的四边形是矩形. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5、曲线42 2 =+y x 与曲线))2,0[(sin 22cos 22πθθθ ∈? ??+=+-=参数y x 关于直线l 对称， 则直线l 的方程为（ ） A ．02=+-y x B ．0=-y x C ．02=-+y x D ．2-=x y 6、椭圆19 2522 =+y x 上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．2 3 7、若双曲线192 2=-m y x 的渐近线l 方程为x y 3 5±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 （ ） A ．2 B ．14 C ．5 D ．25 8、已知A (1,0)-、B (1,0)，以AB 为一腰作使∠DAB= 90直角梯形ABCD ，且3AD BC =， CD 中点的纵坐标为1．若椭圆以A 、B 为焦点且经过点D ，则此椭圆的方程为（ ） A ．22132x y += B ．22134x y += C ．22143x y += D ．22 154 x y += 9、设圆222 (3)(5)x y r +++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是（ ） A ．615r << B ．4 5 r > C ．4655r << D ．1r > 10、设双曲线的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，若12PF F ?的顶点P 在双曲线上，则12PF F ?的内切圆在边F 1F 2上的切点是（ ）2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1
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