最新人教版高中数学选修4-5《基本不等式》知识讲解
数学人教B 选修4-5第一章1.2 基本不等式
1．了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值． 2．理解定理1和定理2(基本不等式)．
3．探索并了解三个正数的算术—几何平均值不等式的证明过程． 4．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．
1．定理1
设a ，b ∈__，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当____时，等号成立．
【做一做1】已知θ∈???
?0，π
2，则sin θcos θ的最大值为__________． 2．定理2(基本不等式或平均值不等式)
(1)如果a ，b 为____，则a ＋b
2
≥ab ，当且仅当____时，等号成立．
(2)称______为正数a ，b 的算术平均值，____为正数a ，b 的几何平均值．
(3)基本不等式可用语言叙述为：两个正数的________大于或等于它们的__________．
(1)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b
2
≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者
要求a ，b 都是正数．有些同学易忽略这一点，例如：(－1)2＋(－4)2≥2×(－1)×(－4)成立，而(－1)＋(－4)2
≥(－1)×(－4)不成立．
(2)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b
2
≥ab 都是带有等号的不等式．“当且仅当a ＝b 时，等号成立”
这句话的含义是“a ＝b ”是“＝”成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它，往往会导致解题错误．
(3)由公式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2≥ab 可得到结论：①a b ＋b a ≥2(a ，b 同号)；②2
1a ＋1
b ≤ab
≤a ＋b 2≤a 2＋b 22
(a ，b 是正数)．
(4)定理中的a ，b 可以是数字，也可以是比较复杂的代数式． 【做一做2－1】下列不等式中正确的是( )
A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a
b
＝2
B ．若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y
C ．若x ＜0，则x ＋4x ≥－2x ·4
x ＝－4
D ．若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－
x ＝2
【做一做2－2】若log 2x ＋log 2y ＝4，则x ＋y 的最小值是__________． 3．定理3(三个正数的算术—几何平均值不等式或平均值不等式)
(1)如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c
3
≥____，当且仅当________时，等号成立．
(2)称________为正数a ，b ，c 的算术平均值，______为正数a ，b ，c 的几何平均值． (3)定理3可用语言叙述为三个正数的____________不小于它们的________． 【做一做3】已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞) D ．[3lg 2，＋∞)
4．定理4(一般形式的算术—几何平均值不等式)
如果a 1，a 2，a 3，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n
≥n
a 1a 2…a n ，并且当且仅当
__________时，等号成立．
【做一做4】若a ，b ，c ，d 是正数，则b a ＋c b ＋d c ＋a
d
的最小值为__________．
答案：
1．R a ＝b
【做一做1】12 由a ，b ∈R ，a 2＋b 2
≥2ab ，得ab ≤a 2＋b 22，
∴sin θcos θ≤sin 2θ＋cos 2θ2＝1
2
.
当且仅当sin θ＝cos θ，即θ＝π
4
时等号成立．
2．(1)正数 a ＝b (2)a ＋b
2
ab (3)算术平均值 几何平均值
【做一做2－1】D 对于选项A ，当a ·b ＞0时，b a ＋a
b
≥2；
对于选项B ，当x ＞1，y ＞1时，有lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；
对于选项C ，当x ＜0时，x ＋4
x
＝－????－x －4x ≤－24＝－4. 【做一做2－2】4 由题意可知x ＞0，y ＞0，log 2xy ＝4， ∴xy ＝4.
∴x ＋y ≥2xy ＝4，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立． 故x ＋y 的最小值为4.
3．(1)3
abc a ＝b ＝c (2)a ＋b ＋c 3
3abc (3)算术平均值 几何平均值
【做一做3】B ∵x ，y ，z 是正数，
∴xyz ≤????x ＋y ＋z 33＝23
.
∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． 4．a 1＝a 2＝…＝a n 【做一做4】4 由定理4可得，b a ＋c b ＋d c ＋a
d ≥44b a ·c b ·d c ·a d
＝4，当且仅当a ＝b ＝c ＝d
时，等号成立．
1．三个或三个以上正数的平均值不等式的应用条件是什么？
剖析：“一正”：不论是三个数的平均值不等式或者n 个数的平均值不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33
abc .取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33
abc ＝6，显然－2≥6不成立．
“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．
“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分值相等． 2．如何使用基本不等式中的变形与拼凑方法？
剖析：为了使用基本不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学
结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4x 4＋x 2＝4
x
4＋
x 22＋x 22，其中把x 2拆成x 22＋x 22，这样可满足不等式成立的条件，若变形为y ＝4x 4＋x 2
＝4x 4＋x 24＋34
x 2
，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法满足了，这是因为取“＝”号的条件是4x 4＝x 24＝34
x 2
，显然x 无解．
题型一 利用基本不等式比较大小
【例题1】设a ，b ∈(0，＋∞)，试比较a ＋b 2，ab ，a 2＋b 22，2ab
a ＋b
的大小，并说明理
由．
分析：解答本题应充分利用基本不等式及其变形，不等式的性质．
反思：基本不等式有着重要的应用，在使用时还应记住重要的变形公式．如a ，b 是正
数，且b ≥a 时，a ≤2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22≤b ，其中2ab a ＋b ＝2
1a ＋1
b 为a ，b 的调和平均
值，ab 为a ，b 的几何平均值，a ＋b 2为a ，b 的算术平均值，a 2＋b 2
2
为a ，b 的平方平均
值．要注意公式的推导和结论的运用：调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值．
题型二 利用基本不等式求最值
【例题2】(1)已知x ，y 是正数，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1
y
的
最小值；
(2)已知x ＞0，y ＞0，且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值；
(3)已知x ＜54，求y ＝4x －1＋1
4x －5
的最大值；
(4)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋b 22
＝1，求a 1＋b 2的最大值； (5)已知x 是正数，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值； (6)θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最值．
分析：根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件．
反思：解题时要注意考察“三要素”：(1)函数中的相关项必须都是正数；(2)变形后各项的和或积有一个必须是常数；(3)当且仅当各项相等时，才能取到等号，可简化为“一正二定三相等”．求函数的最值时，常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形，使其满足条件，进而求出最值．
题型三 基本不等式的实际应用
【例题3】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
分析：表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系列出函数表达式，再应用不等式求最值．
反思：解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：
①阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型．这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解
决问题的思路，明确解题方向．
②建立数学模型：根据①中的分析，把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．
③讨论不等关系：根据题目要求和②中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值．
④得出问题结论：根据③中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论． 题型四 易错辨析
易错点：利用基本不等式求最值时，应注意不等式成立的条件，即变量为正实数，和或积为定值，等号成立，三者缺一不可．
【例题4】求函数y ＝1－2x －3
x 的值域．
错解：∵y ＝1－2x －3x ＝1－????2x ＋3x ，而2x ＋3x ≥22x ×3x ＝26，当且仅当2x ＝3x
，即x ＝±6
2
时，等号成立，故值域为(－∞，1－26]．
错因分析：在应用基本不等式时未保证2x ，3
x
为正值这一条件成立．
答案：
【例题1】解：∵a ，b ∈(0，＋∞)，
∴ab ≤a ＋b
2
(当且仅当a ＝b 时取等号)，
1a ＋1b ≥2ab
， ∴ab ≥21a ＋1b
＝2ab
a ＋
b (当且仅当a ＝b 时取等号)．
又????a ＋b 22＝
a 2＋
b 2＋2ab 4
≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22.
∴a ＋b 2≤a 2＋b 22
(当且仅当a ＝b 时取等号)．
综上，2ab
a ＋b
≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．
【例题2】解：(1)因为x ＋2y ＝1，
所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋x y
≥3＋22y x ·x
y ＝3＋22，
当且仅当2y x ＝x
y
，x ＋2y ＝1，即
x ＝2－1，y ＝1－2
2
时，等号成立．
所以当x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1
y
取最小值3＋2 2.
(2)xy ＝135(5x ·7y )≤135????5x ＋7y 22
＝1
35×????2022＝207
， 当且仅当5x ＝7y ＝10，即x ＝2，y ＝107时，等号成立，此时xy 取最大值20
7
.
(3)因为x ＜5
4
，所以4x －5＜0，故5－4x ＞0.
所以y ＝4x －1＋1
4x －5
＝－????5－4x ＋15－4x ＋4.
因为5－4x ＋15－4x ≥2(5－4x )·1
5－4x
＝2，
所以y ≤－2＋4＝2.
当且仅当5－4x ＝1
5－4x
，即x ＝1时，等号成立．
所以当x ＝1时，y 取最大值2.
(4)a 1＋b 2＝a 2????12＋b 22＝2a ·12＋b 22
≤22????a 2＋????12＋b 2
2＝324
， 当且仅当a ＝12＋b 22，即a ＝32，b ＝22时，等号成立，此时a 1＋b 2有最大值32
4
.
(5)∵y ＝x (1－x 2)，
∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·1
2
.
∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2，
∴y 2≤12????2x 2＋1－x 2＋1－x 2
33
＝427
.
当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝3
3
时，等号成立．
∴y ≤239，即y max ＝239
.
(6)y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ ＝12
·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2θ) ≤12????233＝427
， 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，
即sin θ＝3
3时，等号成立．
∴y max ＝23
9
.
【例题3】解：(1)由题意可设 3－x ＝k
t ＋1
(k ≠0)．
将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.
∴x ＝3－2
t ＋1
.
当年生产x 万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x ＋3＝32
????3－2t ＋1＋3.
当销售x 万件时，年销售收入为
150%????32????3－2t ＋1＋3＋1
2
t .
由题意，生产x 万件化妆品正好销完，
由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，
得年利润y ＝－t 2＋98t ＋35
2(t ＋1)
(t ≥0)．
(2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－?
????t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2
t ＋12×32
t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32
t ＋1
，即t ＝7时，等号成立，此时y max ＝42，
∴当促销费投入为7万元时，企业的年利润最大．
【例题4】正解：当x ＞0时，y ＝1－2x －3
x
＝1－????2x ＋3x ≤1－26，
当且仅当2x ＝3x ，即x ＝6
2
时，等号成立．
当x ＜0时，y ＝1＋???
?(－2x )＋????－3x ≥1＋2(－2x )·????－3x ＝1＋26， 当且仅当－2x ＝－3x ，即x ＝－6
2
时，等号成立．
∴所求函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．
1下列函数中，最小值为2的是( )
A ．y ＝x 2＋2
x
B ．y ＝x 2＋2＋1
x 2＋2
C ．y ＝sin x ＋sec x ，x ∈???
?0，π2 D ．y ＝7x
＋7－x
2(2012·山东青岛一模)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝4，则1
ab
的最小值为( )
A ．14
B ．4
C ．1
2
D ．2
3若a ＞b ＞0，则a ＋1
b (a －b )
的最小值是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4周长为l 的矩形的面积的最大值为__________，对角线长的最小值为__________．
5若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则a 2＋b 2的最小值为__________，1a 2＋1
b
2的最小值
为__________．
答案：
1．D 对于选项A ，需考虑x 的符号；对于选项B ，不能用基本不等式求最值，等号
不成立；对于选项C ，x ＝π2
时sec x 无意义．对于选项D ，y ＝7x ＋7－x ≥27x ·7－
x ＝2，当且
仅当7x
＝7－x ，即x ＝0时，等号成立．
2．C
3．A ∵a ＞b ＞0，
∴a ＋1b (a －b )＝(a －b )＋b ＋1
b (a －b )
数学选修23知识点总结
第二章 概率 总结 一、知识结构 二、知识点 1.随机试验的特点: ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 2.分类 随机变量 （如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。） 离散型随机变量 在上面的射击、产品检验等例子中，对于随 机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一 一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变 量． 连续型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变 量.连续型随机变量的结果不可以一一列出. 随机变量 条件概率 事件的独立性 正态分布 超几何分布 二项分布 数学期望 方差 离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量 连续性随机变量
3.离散型随机变量的分布列 一般的,设离散型随机变量X可能取的值为 x1,x2, ,x i , ,x n X取每一个值xi(i=1,2,）的概率 P(ξ=x i）＝P i，则称表 为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列 性质： ①pi≥0, i =1，2，…； ②p1 + p2 +…+p n= 1． ③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 4.求离散型随机变量分布列的解题步骤 例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列. 解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0 且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3 因此所求分布列为： 引出 二点分布 如果随机变量X的分布列为： 其中0 【篇一】人教版高一数学知识点整理 考点一、映射的概念 1.了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多 2.映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都存在的一个元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。包括：一对一多对一 考点二、函数的概念 1.函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。 2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。这是判断两个函数是否为同一函数的依据。 3.区间的概念：设a,bR,且a 高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 高中数学选修2----2 知识点 第一章导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数y f ( x) 在x x0处的瞬时变化率是 lim f ( x0x)f ( x ) ， x0x 我们称它为函数y f ( x) 在x x0处的导数，记作 f ( x0 ) 或 y |x x， 即 f (x0 ) =lim f ( x0x) f (x0 ) x 0x 2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像 ,我们可以看出当点P n趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易 知道，割线 PP n的斜率是k n f ( x n )f ( x ) ，当点 P n趋近于P时，函数y f ( x) 在x x0处的导 x n x0 数就是切线 PT 的斜率 k，即k f (x n ) f ( x0) lim f ( x0 ) x0x n x0 3.导函数：当 x变化时， f ( x) 便是x的一个函数，我们称它为 f (x) 的导函数.y f ( x) 的导函数有 时也记作 y ,即 f ( x)lim f ( x x) f ( x) x0x 二 .导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 1 若f ( x) c (c为常数)，则 f( x)0； 2若 f ( x)x ,则 f (x)x1; 3若 f ( x)sin x ,则 f(x)cos x 4若 f ( x)cos x ,则 f(x)sin x ; 5若6若f ( x) a x,则 f ( x) a x ln a f ( x) e x,则 f ( x)e x 7若 f ( x)log a x,则f ( x)1 x ln a 8若 f ( x)ln x ,则 f ( x) 1 x 2）导数的运算法则 人教版高二数学上册各 章节知识点 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 不等式单元知识总结 一、不等式的性质 1．两个实数a 与b 之间的大小关系 2．不等式的性质 (4) (乘法单调性) 3．绝对值不等式的性质 (2)如果a ＞0，那么 (3)|a ·b|＝|a|·|b|． (5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|． (6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |． 二、不等式的证明 1．不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式：①|a|≥0；a 2≥0；(a －b)2≥0(a 、b ∈R) ②a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号) 2．不等式的证明方法 (1)比较法：要证明a ＞b(a ＜b)，只要证明a －b ＞0(a －b ＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法． 用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号． (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法． (3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充 分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法． 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等． 三、解不等式 1．解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式． (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解无理不等式； ④解指数不等式； ⑤解对数不等式； ⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组． 2．解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质． (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围． 3．不等式的同解性 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P 2. 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ 点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ＝ρcosθ， ＝ρsinθＷ. (2)直角坐标化极坐标 2＝x2＋y2， θ＝y x（x≠0）. 三简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 第二章概率总结 一、知识结构 二、知识点 1.随机试验的特点: ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 2.分类 随机变量 （如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而 变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等 表示。） 离散型随机变量 在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 连续型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出. 3.离散型随机变量的分布列 一般的,设离散型随机变量X可能取的值为 x 1,x 2 , ,x i , ,x n X取每一个值 xi(i=1,2, ）的概率 P(ξ=x i ）＝P i ，则称表 为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列 性质： ① pi≥0, i =1，2，…； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1． ③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 4.求离散型随机变量分布列的解题步骤 例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列. 解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0 且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3 因此所求分布列为： 引出 二点分布 如果随机变量X的分布列为： 其中0 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 高中数学选修4-5知识点 1．不等式的基本性质 1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系． (2)设a 、b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B .当点A 在点B 的左边时，a b ． (3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义) ???a >b ?a －b >0 a ＝ b ?a －b ＝0a ，<，≥，≤共5个． (2)相等关系和不等关系 任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的． (3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式． (4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系． 3.不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ?b b ，b >c ?a >c ； (3)可加性：a >b ，c ∈R ?a ＋c >b ＋c ； (4)加法法则：a >b ，c >d ?a ＋c >b ＋d ； (5)可乘性：a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解． 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2－3知识点 第一章 计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一 个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。 ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 5、公式： ， 11 --=m n m n nA A 6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ; m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+ 8、二项式定理： ()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 10、二项式系数C n r 为二项式系数（区别于该项的系数） 11、杨辉三角： () （）对称性：，，，……，1012C C r n n r n n r ==- （）系数和：…2C C C n n n n n 012+++= 高中数学主要知识点 必修1数学知识 第一章、集合与函数概念 §、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集{|,}U C A x x U x U =∈?且 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成 的集合,叫做A,B 的交集．记作A I B （读作‘A 交B ’），即A I B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作： A Y B （读作‘A 并 B ’），即A Y B ={x|x ∈A ，或x ∈B})． 设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集） 记作A C S ，即 C S A=},|{A x S x x ?∈且 韦 恩 图 示 A B 图1 A B 图2 S A 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 人教版高中数学知识点（必修＋选修） 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子 集，它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A A = A A ?= A B A ? B B ? A {|x x ()U A =? e 2()U A A U =e 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) ()()()U U A B A B =痧?()()() U U A B A B =痧? 知识点总结 1-2知识点总结选修统计案例第一章 ．线性回归方程1 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系?③线性回归方程：（最小二乘法） ay?bx?n??ynxxy??ii?1?i?b?其中，n2??2nxx?i?1?i? bx?a?y??. 注意：线性回归直线经过定点)y(x,n?)?yx)(y(x?ii．相关系数（判定两个变量线性相关性）：21i??r nn??22)y?x)?y((x ii1?i1i?负相关； <0时，变量注： ⑴>0时，变量正相关；y,xyx,rr接近，两个变量的线性相关性越强；② ⑵①越接近于1||r||r时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。0于条件概率3.ABAB发生的概对于任何两个事件和发生的条件下，，在已知BAAAPBPB)|, ) 其公式为|(. 率称为发生时发生的条件概率记为(ABP）（＝AP）（ 4相互独立事件 AB PABPAPB) ，则，如果_((())(1)一般地，对于两个事件＝，AB 相互独立．、称 AAAnPAAA PAPA)(…(2)如果_，)，…，＝相互独立，则有)(…(n2111 22PA). (n－－－－BBAABAAB也相互独立．(3)如果与，与相互独立，则，与， ：5．独立性检验（分类变量关系）列联表(1)2×2为两个变量，每一个变量设BA,变变量都可以取两个值，;?A,A:AA112量;?BB:B,B112通过观察得到右表所示数据： 列联表．×2并将形如此表的表格称为2 (2)独立性检验B，×2列联表中的数据判断两个变量A根据2 列联表的独立性检验．是否独立的问题叫2×2 的计算公式统计量χ 2(3)2bc n ad）－（2=χ 高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题（一假必假）． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题（一真必真）；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 高中数学选修1-1知识点总结 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于 12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 数学选修2-2知识点总结 导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即 0()f x '=000()()lim x f x x f x x ?→+?-? 例1． 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t(单位： s)存在函数关系 2() 4.9 6.510h t t t =-++ 运动员在t=2s 时的瞬时速度是多少？ 解：根据定义 0(2)(2)(2)lim 13.1x h x h v h x ?→+?-'===-? 即该运动员在t=2s 是13.1m/s,符号说明方向向下 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即 0000 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. () y f x =的导函数有时也记作y ',即 0()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 1.函数()y f x c ==的导数 2.函数()y f x x ==的导数 3.函数2()y f x x ==的导数 第一章计数原理 1.1分类加法计数与分步乘法计数 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。分类要做到“不重不漏”。 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。分步要做到“步骤完整”。 n元集合A={a1，a2?，a n}的不同子集有2n 个。 1.2排列与组合 1.2.1排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号表示。 排列数公式： n 个元素的全排列数 规定：0!=1 1.2.2 组合 一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取 出m个元素的一个组合(combination)。 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的组合数，用符号或 表示。 组合数公式： ∴ 规定： 组合数的性质： (“构建组合意义”——“殊途同归”) （杨辉三角） * 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理(binomial theorem) *注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。 (n∈N *) 其中各项的系数 (k ∈{0，1，2，? ，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)； 式中的叫做二项展开式的通项，用T k+1 表示通项展开式的第k+1项： 人教版高中数学必修一————各章节知识点与重难点第一 章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示【知识要点】 1、集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ??表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ??表示元素如：如果a是集合 A 的元素，就说a属于集合 A 记作a∈A，如果a不属于集合 A 记作 a A 3、常用数集及其记法 非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N* 或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝ ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是｛x∈R| x-3>2｝或｛x| x-3>2｝ （3）图示法（Venn 图） 1.1.2 集合间的基本关系【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合B的子集，记作 A B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合 A 等于集合B，即：A=B A B且B A 3、真子集 如果 A B,且 A B那就说集合A是集合B的真子集，记作 A B（或 B A） 4、空集不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空 集合的真子集. 1.1.3 集合的基本运算【知识要点】 1、交集的定义 一般地，由所有属于 A 且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A∩B（读作“A 交B”），即A∩B=｛x| x∈A，且x∈B｝． 2、并集的定义 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A ∪B（读作“A 并B”），即A∪ B={x | x∈A，或x∈B}．最新人教版高一数学知识点整理
高中数学必修和选修知识点归纳总结
高中数学选修2-2知识点
人教版高二数学上册各章节知识点
高中数学选修4-4知识点清单
数学选修2-3知识点总结
人教版高中数学必修一知识点总结
高中数学选修-5知识点(最全版)
新人教版高中数学必修知识点总结
人教版高中数学选修2-1优秀全套教案
(完整版)高中数学选修2-3知识点
人教版 高中数学知识点汇总
高中数学选修4系列1-4-5知识点总结(全套)
人教版高中数学知识点汇总(全册版)
高中数学选修1 2知识点总结
高二数学选修2-1知识点总结材料(精华版)
人教版高中数学选修1-1知识点总结
人教A版高中数学选修2-2知识点
高中数学知识点总结选修
人教版高中数学必修一知识点和重难点