2020届南通市高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议
2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =I ，则实数a 的值是 ▲ ． 【答案】9 2．若复数z 满足2i i
z
=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．
3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作
物的年平均产量是 ▲ 吨．
【答案】10
4．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】52
5．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：
在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则
平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头． 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．
【答案】23
6．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC
，则A 的值是 ▲ ． 【答案】π6
7．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．
【答案】-15
8．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12
V V V
+的值是 ▲ ． 【答案】13
9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b
-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F
作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】2
（第8题）
（第4题）
10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条
切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．
11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．
【答案】8
12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()
00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数
的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．
【答案】ln 6
13．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而
成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ?u u u u u r u u u u u r
的值是 ▲ ．
14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ?-
，≤，
，． 若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个
不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1-∞，
说明：第6题答案写成角度也对；
第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；
第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (cos sin αα，)，(
)(
)()ππ
cos sin 44
αα=++，b ，
A 1
2
A 7A （1）
（2）
（第13题）
其中π02α<<．
（1）求(-b a )?a 的值；
（2）若=c (11，)，且(+b c )∥a ，求α的值．
解：（1）因为向量()cos sin αα=，
a ，(
)(
)()ππcos sin 44
αα=++，b ，
所以()2-?=?-b a a a b a ……2分 ()()
()22ππcos cos sin sin cos sin 44αααααα=+++-+ ……4分
()
πcos 14=-
-1=-． ……6分 （2）因为()11=，
c ，所以+b c (
)
()()
ππcos 1sin 144
αα=++++，． 因为()+b c ∥a ，所以()()()()ππcos 1sin sin 1cos 044
αααα++-++=． ……9分
于是()()ππsin cos sin cos cos sin 44
αααααα-=+-+，
()ππsin 44α-=，即()
π1sin 42α-=． ……12分
因为π02α<<，所以πππ444α-<-<．于是ππ46α-=，即5π12α=． ……14分
说明：第12-14分中没有角的范围直接扣2分；只要写π02α<<就不扣分。 16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA = CB ，点P ，Q 分别为AB 1，CC 1的中点． 求证：（1）PQ ∥平面ABC ； （2）PQ ⊥平面ABB 1A 1．
证明：（1）取AB 的中点D ，连结PD CD ，．
在△1ABB 中，因为P D ，分别为1AB AB ，中点， 所以1PD BB ∥，且112
PD BB =．
在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，11CC BB ∥，11CC BB =．
因为Q 为棱1CC 的中点，所以1CQ BB ∥，且112CQ BB =． ……3分
于是PD CQ ∥，PD CQ =．
所以四边形PDCQ 为平行四边形，从而PQ CD ∥． ……5分 又因为CD ABC ?平面，PQ ABC ?平面，所以PQ ABC ∥平面． ……7分 （2）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，1BB ABC ⊥平面．
A
C
Q
P
A 1
C 1
B 1 （第16题）
D
又CD ABC ?平面，所以1BB CD ⊥．
因为CA CB =，D 为AB 中点，所以CD AB ⊥． ……10分 由（1）知CD PQ ∥，所以1BB PQ ⊥，AB PQ ⊥． ……12分 又因为1AB BB B =I ，11AB ABB A ?平面，111BB ABB A ?平面，
所以11PQ ABB A ⊥平面． ……14分 说明：第10分后，若是证明11CD ABB A ⊥平面，则后面4分均不给。 17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2
2
(3)1x y -+=，椭圆E ：22221(0)y x a b a b
+=>> 的
右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切． （1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N ．当127
AN AM =时，求直线l
的方程．
解：（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）．
因为右顶点()0A a ，在圆C 上，右准线2
a x c
= 与圆C ：()2
2
31x y -+=相切．
所以()22230131a a c ?-+=?
?-=??，
， 解得 21a c =??=?，．
于是2223b a c =-=，
所以椭圆方程为：22143
y x +=． ……4分 （2）法1：设()()N N M M N x y M x y ，
，，， 显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-．
由方程组 ()22214
3y k x y x =-??
?+=?
?，消去y 得，()
2222431616120k x k x k +-+-=．
所以22
1612243N k x k -?=+，解得2
28643
N k x k -=+． ……6分
（第17题）
由方程组()()22
231y k x x y =-???-+=??，
，
消去y 得，()()
2222146480k x k x k +-+++=， 所以2
24+821M k x k ?=+，解得222+41
M k x k =+． ……8分 因为127AN AM =，所以()12227N M x x -=-． ……10分 即
22
121227431k k =?++，解得 1k =±， ……12分
所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分
法2：设()()N N M M N x y M x y ，
，，，当直线l 与x 轴重合时，不符题意． 设直线l 的方程为：()20x ty t =+≠．
由方程组22214
3x ty y x =+??
?+=??， 消去x 得，()
2234120t x ty ++=，
所以21234
N t y t -=+ ． ……6分 由方程组 ()22
231
x ty x y =+???-+=??，
消去x 得， ()
22120t x ty +-=， 所以221M t y t =+ ． ……8分 因为127AN AM =，所以127N M y y =-． ……10分
即22121227341t t t t -=-?++，解得 1t =±， ……12分 所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分 18．（本小题满分16分）
某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来 种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE 将△ABC 分成面积之比为2:1的两部分（点D ， E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）．设AD = x ，DE = y 1， AM = y 2 （单位：百米）．
（1）分别求 y 1，y 2关于x 的函数关系式；
（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值． 解：（1）因为23ADE ABC S S =△△，△ABC 是边长为3的等边三角形，又AD = x ，
所以()
2121sin =3sin 23323AD AE ππ????，所以6AE x
=． ……2分
D
A
E
（第18题）
M
C
B
由03603AD x AE x <=??
?<=??
≤，≤，得23x ≤≤． ……4分 说明：不论使用何方法，只要给出结果即可。 法1：在ADE △中，由余弦定理，得
22222
36
2cos 63DE AD AE AD AE x x π=+-??=+-． 所以，直道DE 长度y 1关于x
的函数关系式为[]123y x =∈，．
……6分
在ADM △和AEM △中，由余弦定理，得
2222cos AD DM AM DM AM AMD =+-??∠ ①
()2222cos AE EM AM EM AM AMD =+-??π-∠ ② ……8分 因为M 为DE 的中点，所以12
DM EM DE ==．
由①+②，得22222221222AD AE DM EM AM DE AM +=++=+，
所以()()2
2
2
2
2
6
136622x x AM x
x
+=+-+， 所以2
229342
x AM x =++．
所以，直道AM 长度y 2关于x
的函数关系式为[]223y x =
∈，．
……10分
法2：因为在ADE △中，DE AE AD =-u u u r u u u r u u u r
， 所以()2
222
2
2
2
6
63622cos 63DE AE AE AD AD x x x x
x x
π=-?+=-?+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 所以，直道DE 长度y 1关于x
的函数关系式为[]123y x =∈，． ……6分
在△ADE 中，因为M 为DE 的中点，所以()
12
AM AD AE =+u u u u r u u u r u u u r
． ……8分
所以()()
22222
1136
2644AM AD AE AD AE x x =++?=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
． 所以，直道AM 长度y 2关于x
的函数关系式为[]223y x =
∈，．
……10分
（2）由（1）得，两条直道的长度之和为
12+DE AM y y =+=
……12分
=（当且仅当
2
2
2
2
36
9
4
x
x
x
x
?=
?
?
?=
?
，
即x=时取=
“”）．……14分
答：当AD=
百米．……16分19．（本小题满分16分）
若函数f ( x )在x0处有极值，且f ( x0 ) = x0，则称x0为函数f ( x )的“F点”．
（1）设函数f ( x ) = k x2- 2ln x( k∈R )．
①当k = 1时，求函数f ( x )的极值；
②若函数f ( x )存在“F点”，求k的值；
（2）已知函数g ( x ) = ax3+ bx2+ cx ( a，b，c ∈R，a ≠0) 存在两个不相等的“F点”x1，x2，且| g (x1) - g (x2) | ≥ 1，求a的取值范围．
解：（1）①当k = 1时，f ( x ) = x2- 2ln x( k∈R )，
所以()
()()
()
211
x x
f x x
x
-+
'=>，令()0
f x
'=，得x = 1，……2分列表如下：
所以函数()
f x在x = 1处取得极小值，极小值为1，无极大值．……4分
②设x0是函数()
f x的一个“F点”()
x>．
因为()
()
()
2
21
kx
f x x
x
-
'=>,所以x0是函数()
f x
'的零点．
所以0
k>，由()00
f x
'=
，得2
00
1
kx x
==
，，
由
00
()
f x x
=，得2
000
2ln
kx x x
-=，即
00
+2ln10
x x-=．……6分设()+2ln1
x x x
?=-，则()2
1+0
x
x
?'=>，
所以函数()+2ln1
x x x
?=-在()
0+∞
，上单调增，注意到()10
?=，
所以方程
00
+2ln10
x x-=存在唯一实根1，
所以
x=，得1
k=，……8分
根据①知，1k =时，1x =是函数()f x 的极小值点， 所以1是函数()f x 的“F 点”．
综上，得实数k 的值为1． ……9分
说明：没有检验过程“1x =是函数()f x 的极小值点”扣一分 （2）因为g (x ) = ax 3 + bx 2 + cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 ) 所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．
又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，
所以x 1，x 2是关于x 的方程()232=00ax bx c a ++≠的两个相异实数根． 所以2
1212412023.3b ac b x x a c x x a
?=->???
+=-??
?=??△，，
又g (x 1) = ax 13 + bx 12 + cx 1 = x 1，g (x 2) = ax 23 + bx 22 + cx 2 = x 2，
所以g (x 1) - g (x 2) = x 1- x 2，即(a x 13 + bx 12 + cx 1)- (ax 23 + bx 22 + cx 2) = x 1- x 2， 从而( x 1- x 2) [a (x 12+ x 1x 2 +x 22)+ b (x 1+ x 2 )+ c ]= x 1- x 2．
因为12x x ≠，所以()()2
1212121a x x x x b x x c ??+-+++=??
， ……11分
即()
()
2
221333b
c b a b c a
a a
?
?
--+-+=????． 所以()
2239ac b a -=． ……13分 因为| g (x 1) - g (x 2) | ≥ 1，
所以()()
1212g x g x x x -=-
1.=
解得20a -<≤．
所以，实数a 的取值范围为)20-??，． ……16分 （2）（解法2）
因为g (x ) = ax 3 + bx 2 + cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 ) 所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．
又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，
所以x 1，x 2是关于x 的方程组2
3232=0ax bx c ax bx cx x
?++??++=??，的两个相异实数根． 由32ax bx cx x ++=得2010x ax bx c =++-=，． ……11分 （2．1）当0x =是函数g (x ) 一个“F 点”时，0c =且23b x a =-．
所以()
()
2
221033b
b a b a
a
-+--=，即292a b =-．
又()()12122013b g x g x x x a -=-=--≥，
所以2249b a ≥，所以()2929a a -≤．
又a ≠ 0，所以20a -<≤． ……13分 （2．2）当0x =不是函数g (x ) 一个“F 点”时，
则x 1，x 2是关于x 的方程2
232=010
ax bx c ax bx c ?++??++-=??，
的两个相异实数根． 又a ≠0，所以23
13
b b
c c ?=???=-?，，得032
b c =???=??，.
所以212ax =-
，得12x =，
所以()(
)12121g x g x x x -=-=，得20a -<≤．
综合（2．1）（2．2），实数a 的取值范围为)20-??，． ……16分 20．（本小题满分16分）
在等比数列{ a n }中，已知14118a a ==，．设数列{ b n }的前n 项和为S n ，且b 1 = -1，
()*1122
n n n a b S n n -+=-∈N ≥，．
（1）求数列{ a n }的通项公式； （2）证明：数列n n b a ??
????
是等差数列；
（3）是否存在等差数列{ c n }，使得对任意n ∈N *，都有n n n S c a ≤≤？若存在，求出所有 符合题意的等差数列{ c n }；若不存在，请说明理由． 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
因为11a =，418a =，所以318q =，解得12
q =．
所以数列{}n a 的通项公式为：()
1
1
2
n n a -=． ……3分
（2）由（1）得，当2n n *
∈N ，
≥时，()
1
1112
2
n n n b S --+=-， ①
所以，()1
1
12
2
n
n n b
S ++=-， ②
②－① 得，()111
22n
n n b b +-=， ……5分
所以，
()()
1
1
11
12
2
n n
n
n b b +--
=，即
111n n
n n
b b a a ++-=，2n n *∈N ，
≥． ……7分 因为11b =-，由① 得，20b =，所以()21
21
011b b a a -=--=， 所以
111=-++n
n
n n a b a b ，n *∈N ． 所以数列n n b a ??
????
是以1-为首项，1为公差的等差数列． ……8分
（3）由（2）得b n a n =n －2，所以b n =n －22n -1，S n =－2(a n +1+b n +1)=－2(12n +n －12n )=－n
2
n -1.
假设存在等差数列{c n }，其通项c n =dn +c ，使得对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ， 即对任意*∈N n ，都有－n 2n -1≤dn +c ≤1
2n -1. ③ ……10分
首先证明满足③的d =0. 若不然，d ≠0，则d ＞0，或d ＜0. (i) 若d ＞0，则当n ＞1－c d ，*∈N n 时，c n =dn +c ＞1≥1
2
n -1= a n ，
这与c n ≤a n 矛盾.
(ii) 若0 d ，*∈N n 时，c n =dn +c ＜－1. 而S n +1－S n =－n +12n +n 2n -1=n －1 2n ≥0，S 1= S 2＜S 3＜……,所以S n ≥S 1=－1. 故c n =dn +c ＜－1≤S n ，这与S n ≤c n 矛盾. 所以d =0. ……12分 其次证明：当x ≥7时，f (x )=(x －1)ln2－2ln x ＞0. 因为f ′(x )=ln2－1x ＞ln2－1 7＞0，所以f (x )在[7，+∞)上单调递增， 所以，当x ≥7时，f (x )≥f (7) =6ln2－2ln7= ln 64 49 ＞0. 所以当n ≥7，*∈N n 时，2n -1＞n 2. ……14分 再次证明c =0. (iii)若c ＜0时，则当n ≥7，n ＞－1c ，n ∈N*，S n =－n 2n -1＞－1 n ＞c ，这与③矛盾. (iv)若c ＞0时，同(i)可得矛盾. 所以c =0. 当0n c =时，因为1 012 n n n S --=≤，() 1 102n n a -=>， 所以对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ．所以0n c n *=∈N ， ． 综上，存在唯一的等差数列{ c n }，其通项公式为0n c n *=∈N ， 满足题设． ……16分 说明：第2小题中没有检验扣1分； 第3小题中第10分的后面，如果学生能够找到0n c =，但是说理不清楚的再给两分。 数学Ⅱ（附加题） 21A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵A 010a ??=????的逆矩阵A -1 020b ??=???? ．若曲线C 1：2214x y +=在矩阵A 对应的变换作 用下得到另一曲线C 2，求曲线C 2的方程． 解：因为1-=AA E ，所以010*******a b ?????? =????????????，即0100201b a ????=????????． 所以121b a =??=?，，解得121a b ?=? ? ?=?，.所以01102 ?? ??=???? A ． ……4分 设()P x y ''， 为曲线C 1任一点，则2214 x y ''+=， 又设()P x y ''， 在矩阵A 变换作用得到点()Q x y ，， 则01102x x y y ??'??????=????'????????，即2y x x y '??????='????????，所以2y x x y '=???' =??，，即2x y y x '=??'=?，. ……6分 代入2214 x y ''+=，得221y x +=， 所以曲线C 2的方程为221x y +=． ……10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知曲线C 的方程为(0)r r ρ=>，直线l 的方程为( ) πcos 4 ρθ+= 设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB =，求r 的值． 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ， 于是曲线C ：(0)r r ρ=>的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆． ……3分 由直线l 的方程() cos 4ρθπ+=cos cos sin sin 44 ρθρθππ-， 所以直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=． ……6分 记圆心到直线l 的距离为d ，则d = 又()2 2 2 2 AB r d =+，即2 279r =+=，所以3r =． ……10分 C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x ，y ，z 满足2222222111y x z x y z ++=+++，证明：222 111y x z x y z +++++ 证明：因为 222 222 2111x y z x y z ++=+++， 所以 222 222222 1111111111111x y z x y z x y z ++=-+-+-=++++++． ……5分 由柯西不等式得， ( )( )()2 222 222 222222 111111111111x y z x y z x y z x y z x y z +++++++++++++++≥． 所以() 2 22 2 2111x y z x y z +++++≤ ． 所以 222 111x y z x y z +++++ ……10分 22．（本小题满分10分） 小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都 是12，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人 到该店维持营业，否则该店就停业． （1）求发生调剂现象的概率； （2）设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：（1）记2家小店分别为A B ，，A 店有i 人休假记为事件()012i A i =，，，B 店有i 人 休假记为事件()012i B i =，， ，发生调剂现象的概率为P ． 则()()()20002 11C 2 4 P A P B ===， ()()()2 11 1 2 11C 22 P A P B ===， ()()()2 22 2 2 11C 24P A P B ===． 所以()()02201111144448 P P A B P A B =+=?+?=． 答：发生调剂现象的概率为18 ． ……4分 （2）依题意，X 的所有可能取值为012，，． 则()()2211104416 P X P A B ===?=， ()()()122111111142244 P X P A B P A B ==+=?+?=， ()()()11112101116416 P X P X P X ==-=-==--=． ……8分 所以X 的分布表为： 所以()111113210164168 E X =?+?+?=． ……10分 说明：第1小题中如果只有式子“()()02201111144448P P A B P A B =+=?+?=”，没有必要的说理只给2分； 第2小题中8分前，X 的可能取值和三个概率，写对一个给一分。 23． （本小题满分10分） 我们称 n ( n ∈N * )元有序实数组 ( x 1，x 2，…，x n ) 为n 维向量，1n i i x =∑为该向量的范数． 已知n 维向量a = ( x 1，x 2，…，x n )，其中x i ∈{ -1，0，1 }，i = 1，2，…，n ．记范数为奇数 的n 维向量a 的个数为A n ，这A n 个向量的范数之和为B n ． （1）求A 2和B 2的值； （2）当n 为偶数时，求A n ，B n （用n 表示）． 解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：()10-， ，()01-，，()01，，()10，， 它们的范数依次为1111，，，，故2244A B ==，． ……3分 （2）当n 为偶数时，在向量()123n x x x x =L ， ，，a 的n 个坐标中，要使得范数为奇数， 则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：131n -L ，，，进行讨论： a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或1-，共有11 C 2 n n -?个，每个a 的范数为1n -； a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或1-，共有33C 2 n n -?个，每个a 的范数为3n -； … a 的n 个坐标中含1n -个0，其余坐标为1或1-，共有1C 2n n -?个，每个a 的范数为1； 所以11331 C 2C 2 C 2n n n n n n n A ---=?+?++?L ， ()()11331 1C 23C 2 C 2n n n n n n n B n n ---=-??+-??++?L ． ……6分 因为()0112221C 2C 2C 2 C n n n n n n n n n --+=?+?+?++L ， ① ()0112221C 2C 2C 2(1)C n n n n n n n n n n ---=?-?+?-+-L ，② 2-①②得，113331C 2C 22 n n n n n ---?+?+=L ， 所以312 n n A -=． ……8分 解法1：因为()()()()()11!!C C !!!1! k k n n n n n k n k n n k n k k n k ---=-? =?=---， 所以()()11331 1C 23C 2 C 2n n n n n n n B n n ---=-??+-??++?L ． () 11331 111C 2C 2C 2n n n n n n n ------=?+?++?L () 123411112C 2C 2C n n n n n n n ------=?+?++L () ()1 1312312 n n n n ---=?=?-． ……10分 解法2： 2+①②得，022C 2C 2n n n n -?+?+=L 312 n +． 又因为()()()()111!!C C !!1!! k k n n n n k k n n k n k k n k ---=? =?=---， 所以()()11331 1C 23C 2 C 2n n n n n n n B n n ---=-??+-??++?L ． ()()() 1133111331 C 2C 2C 2C 23C 2 1C 2n n n n n n n n n n n n n n ------=?+?++?-?+??++-??L L () 01232 111C 2C 2C 2n n n n n n n nA n ------=-?+?++?L () ()1 131313122 n n n n n ---+=?-=?-． ……10分 x 年高三第一次高考诊断 数 学 试 题 考生注意： 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试时间120分钟。 所有试题均在答题卡上作答，其中，选择题用2B 铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水、签字笔作答。 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发 生k 次的概率P n （k ）=k n k k n P P C --)1(（k=0，1，2，…，n ）。 球的体积公式：3 3 4R V π= （其中R 表示球的半径） 球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（理科）如果复数2()1bi b R i -∈+的实部和虚部互为相反数，则b 的值等于 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （文科）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3},{6,7,8}U A B ===集合，则 ()() U U C A C B = （ ） A ．φ B ．{4，5} C ．{1，2，3，6，7，8} D ．U 2．已知4(,),cos ,tan()254 π π απαα∈=--则等于 （ ） A ． 17 B ．7 C ．17 - D ．-7 3．在等差数列{}n a 中，若249212,a a a ++=则此数列前11项的和11S 等于 （ ） A ．11 B ．33 C ．66 D ．99 4．（理科）将函数3sin(2)y x θ=+的图象F 1按向量( ,1)6 π-平移得到图像F 2，若图象F 2 关于直线4 x π=对称，则θ的一个可能取值是 （ ） A ．23 π - B ． 23 π C ．56 π- D ． 56 π （文科）将函数cos 2y x =的图像按向量(,2)4 a π =-平移后的函数的解析式为 （ ） A ．cos(2)24 y x π =+ + B ．cos(2)24 y x π =- + C ．sin 22y x =-+ D ．sin 22y x =+ 5．（理科）有一道数学题含有两个小题，全做对者得4分，只做对一小题者得2分，不做或 全错者得0分。某同学做这道数学题得4分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的 概率为c ，其中,,(0,1)a b c ∈，且该同学得分ξ的数学期望12 2,E a b ξ=+则 的最小值是 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （文科）某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如表所示。已知 在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.16，现用分 层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在高一年级抽取的学生人数 为 （ ） A ．19 B ．21 C ．24 D ．26 6．在ABC ?中，若(2),(2)A B A B A C A C A C A B ⊥-⊥-，则ABC ?的形状为 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 7．上海世博园区志愿者部要将5名志愿者分配到三个场馆服务，每个场馆至少1名，至多 2名，则不同的分配方案有 （ ） A ．30种 B ．90种 C ．180种 D ．270种 8．已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，且满足,l l αβ??，现有：①//l β；②l α⊥； （第4题） 江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题 参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =e ▲ ． 2． 已知复数12i 3 4i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若 1 2 z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为 ▲ ． 4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ ． 5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2 的概率为 ▲ ． 6． 在ABC △中，已知145AB AC B ===?，，则BC 的长为 ▲ ． 成绩/分 （第3题） 7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2 2 13 y x -=有公共的渐近线，且经过点 () 23P -，，则双曲线C 的焦距为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ． 9． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为 ▲ ． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x y ?? -+?? ++?≤， ≥，≥表示的平面区域 内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ． 12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -?->?=??--?≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ▲ ． 13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ?u u u r u u u r 的值为 ▲ ． 14．已知a 为常数，函数22 ()1x f x a x x = ---的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．． 内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，() 312=-，c ． （1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值； （2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于 端点），且∠ABE ∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； A B C F E 数学检测卷（理） 姓名----------班级----------总分------------ 一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ． 1．若集合{}{} 2 ||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B = （ ） （A ）[1,0]- （B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞- 2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ） （A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x 3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下： 那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。 A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f ) ,,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+, 则 )()()(2 2221n x f x f x f +++ 的值等于（ ） (A) 2 1 (B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 6. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （ ） (A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13 12 7. ．直线21y x =-+上的点到圆2 2 4240x y x y + +-+=上的点的最近距离是 A B 1+ C 1- D ．1 8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区 （第6题） 南通市2021届高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}26A x x =∈< 位：h ）近似满足锤子数学函数关系式0 (1e )kt k x k -= -，其中0,k k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h ）.经测试发现，当23t =时，0 2k x k =，则该药物的消除速率k 的值约为(ln 20.69)≈ A ． 3100 B ． 310 C ． 103 D ． 100 3 【答案】A 5．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2n B ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32 n n -- 【答案】C 6．函数sin 21 x y x π=-的图象大致为 【答案】D 7．已知点P 是ABC ?所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PA PB PC ++=0； 乙：()()PA PA PB PC PA PB ?-=?-； 丙：PA PB PC ==； 丁：PA PB PB PC PC PA ?=?=?. 实用文档 2014届高三理科数学一轮复习试题选编1：集合 一、选择题 1 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）已知全集 {}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U B C A 为 （ ） A ．{}1,2,4 B ．{}2,3,4 C ．{}0,2,4 D ．{}0,2,3,4 2 ．（2013届北京海滨一模理科）集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B = （ ） A ．{3,4,5} B ．{4,5,6} C ．{|36}x x <≤ D ．{|36}x x ≤< 3 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知集合 {}23M x x =-<<,{}lg(2)0N x x =+≥,则M N = （ ） A ．(2,)-+∞ B ．(2,3)- C ．(2,1]-- D ．[1,3)- 4 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）设集合 2{40}A x x =->，1 {2}4 x B x =<，则A B = （ ） A ．{} 2x x > B ．{} 2x x <- C ．{} 22或x x x <->D ．12x x ?? 高三数学测试题 （2009年3月23日） 班别： 姓名： 学号： 成绩： 一、选择题 1、（2009揭阳）已知函数：c bx x x f ++=2 )(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12 (2)4 f f ≤?? -≤?为事件为A ，则事件A 发生的概率为 （ ） A ． 14 B ． 58 C ． 12 D ． 38 2、（2009吴川）已知α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．的是 ( ) A ．//,,m αβα⊥则m β⊥ B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥β D．m ∥β，m ⊥n ，则n ⊥β 3（2009广东五校）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2 y x =和曲线 y x =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ） （A ） 12 （B ）1 3 （C ）1 4 （D ）16 4、（2009澄海）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是 （ ）A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④ 5、（2009番禺）设,(0,1)a b ∈，则关于x 的方程2 20x ax b ++=在(,)-∞+∞上有两个零 点的概率为（ ）B A. 14 B. 13 C. 12 D. 2 3 6、（2009番禺）一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，那么这个几何体的侧面积为 （ ） 高三数学综合测试题 一、选择题 1 、设集合{}U =1,2,3,4，{} 25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为( B ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．6 2． 条件,1,1:>>y x p 条件1,2:>>+xy y x q ，则条件p 是条件q 的 .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 }2,1,0,1.{-B }3,2,0,1.{-C }3,2,1,0.{D 3. 设函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P, 则曲线在点P 的切线方程为( C ) （A ）1+-=x y （B ）1+=x y （C ）x y -= （D ）x y = 4．设a =12 0.6，b =12 0.7，c =lg0.7，则 ( C ) A ．c ＜b ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．a ＜b ＜c 5．函数f (x )=e x -x -2的零点所在的区间为 ( C ) A ．(-1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3) 6、设函数1()7,02(),0 x x f x x x ?- 高三复习数学试题 时间：120分钟 满分：150分 【一】选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．在ABC ?中, 已知0 60,34,4===B b a ,则角A 的度数为 （ ） A ． 030 B ．045 C ．060 D ．0 90 2．在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．101 D ． 102 3．已知0x >，函数4 y x x = +的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 4．（文科选做）在等比数列中，112a =，12q =，132 n a =，则项数n 为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （理科选做）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，若10s =2,30s =14,则40s 等于 A ．80 B ．26 C ．30 D ．16 5．不等式13 ()()022x x +-≥的解集是 （ ） A. 13{|}22x x -≤≤ B. 13 {|}22x x x ≤-≥或 C. 13{|}22x x -<< D. 13 {|}22 x x x <->或 6.设,x y 满足约束条件1 2x y y x y +≤?? ≤??≥-? ,则3z x y =+的最大值为 （ ） A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 7．不等式2 0(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ） A. 0,0a ?≥ D. 0,0a >?> 8．ABC ?中，若?===60,2,1B c a ，则ABC ?的面积为 （ ） A ． 2 1 B ． 2 3 C.1 D.3 9. 等差数列{}n a 的前m 项和为20，前2m 项和为70，则它的前3m 的和为（ ） 南通市2013届高三第一次调研测试数学I （考试时间：120分钟满分：160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位 置上． 1．已知全集U=R，集合{} 10 A x x =+>，则 U A= e ▲． 答案：(,1] -∞-． 2．已知复数z=32i i -(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限． 答案：三． 3．已知正四棱锥的底面边长是6 ，这个正四棱锥的侧面积是▲． 答案：48. 4．定义在R上的函数() f x，对任意x∈R都有(2)() f x f x +=，当(2,0) x∈-时，()4x f x=， 则(2013) f=▲． 答案：1 4 ． 5．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的▲．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）答案：否命题． 6．已知双曲线 2 2 22 1 y x a b -=的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合， ，则该双曲线的标准方程为▲． 答案： 2 2 1 y x-=． 7．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为▲． 答案 ：± 8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为▲． 答案：3 8 ． 9．在△ABC中，若AB=1，AC |||| AB AC BC += ，则 || BA BC BC ? = ▲． A B C D E F A 1 B 1 C 1 (第15题) 答案：12 ． 10．已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为 ▲ ． 答案：－2． 11．曲线2(1)1 ()e (0)e 2x f f x f x x '= -+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1 e 2 y x =- ． 12．如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅 为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s 时刻的位移为 ▲ cm ． 答案：－1.5． 13．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上， 且PA =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ． 答案：(1,0)(0,2)- ． 14．设P (x ，y )为函数21y x =-(x 图象上一动点，记3537 12 x y x y m x y +-+-= + --，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ▲ ． 答案：(2，3)． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的 位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分) 如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证： （1）//EF 平面ABC ； （2）平面AEF ⊥平面A 1AD ． 解：（1）连结11A B A C 和． 因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点， 所以E F 、分别是11A B A C 和的中点． 所以//EF BC ． ……………………………………………3分 又BC ?平面ABC 中，EF ?平面ABC 中， 故//EF 平面ABC ． …………………………………6分 (第12题) O A B C D E F A 1 B 1 C 1 (第15题) 实用文档2014届高三理科数学一轮复习试题选编1：集合 一、选择题 1 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）已知全集 {}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U B C A 为 （ ） A ．{}1,2,4 B ．{}2,3,4 C ．{}0,2,4 D ．{}0,2,3,4 【答案】C 【解析】{0,4}U A =,所以{0,4}{2,4}{0,2,4}U B A ==,选 C ． 2 ．（2013届北京海滨一模理科）集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B = （ ） A ．{3,4,5} B ．{4,5,6} C ．{|36}x x <≤ D ．{|36}x x ≤< 【答案】B 3 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知集合 {}23M x x =-<<,{}lg(2)0N x x =+≥,则M N = （ ） A ．(2,)-+∞ B ．(2,3)- C ．(2,1]-- D ．[1,3)- 【答案】D 4 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）设集合 2{40}A x x =->，1{2}4 x B x =<，则A B = （ ） 实用文档A ．{}2x x > B ．{}2x x <- C ．{}22或x x x <->D ．12x x ? ? 高考数学复习练习题全套 (附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α． （2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ． 姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =． 2016年江苏南通市高三一模数学试卷 一、填空题（共14小题；共70分） 1. 已知集合，，那么 ______． 2. 若复数满足，则的值为______． 3. 若从，，，这四个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积是偶数的概率为______． 4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果的值为______． S←0 I←0 While S≤10 S←S+I^2 I←I+1 End While Print S 5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了户家庭的月消费金额（单位：元）， 所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的户家庭中，有______ 户的月消费额在元以下． 6. 已知等比数列的前项和为，若，，则的值为______． 7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线过点，其一条渐近线的 方程为，那么该双曲线的方程为______． 8. 若正方体的棱长为，是棱的中点，则三棱锥的体积为 ______． 9. 若函数为奇函数，则的值为______． 10. 已知，那么的值为______． 11. 在平面直角坐标系中，已知点，．若直线上存在点使得 ．则实数的取值范围是______． 12. 在边长为的正三角形中，若，，与交于点，则的 值为______． 13. 在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为 和，则的值为______． 14. 已知函数．若对于任意的，都有成立，则 的最大值是______． 二、解答题（共6小题；共78分） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中点． （1）求证：； （2）求证： 平面． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点（异于点），线段被轴平分，且，求直线的方程． 18. 如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以为圆心、半径为的半圆面．公 路经过点，且与直径垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路（点在直径的延长线上，点在公路上），为切点． （1）按下列要求建立函数关系： ①设（单位：），将的面积表示为的函数； 高三数学(文科)测试试题 -----------------------作者：-----------------------日期： ★启用前 2010年3月襄樊市高中调研统一测试 高 三 数 学(文科) 命题人：襄樊市教研室 郭仁俊 审定人：襄阳一中 梁 军 保康一中 宋克康 本试卷共4页，全卷满分150分。考试时间120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、、考号填写在答题卷密封线，将考号最后两位填在答题卷右下方座位号，同时把机读卡上的项目填涂清楚，并认真阅读答题卷和机读卡上的注意事项。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。 3．将填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的答题区域，答在试题卷上无效。 4．考试结束后，请将机读卡和答题卷一并上交。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1. 设集合2{|0}M x x x =-<， {|33}N x x =-<<，则A ．M N φ=B ．M N N =C ．M N N =D ．M N =R 2. 圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方 程 为 A ．22(4)25x y -+= B ．22(4)25x y ++= C ．22(4)25x y +-= D ．22(4)25x y ++= 3. 抛物线24y x =的焦点坐标为A ．(1，0)B ．(0， 116)C ．(0，1)D ．(1 8 ，0) 4. 偶函数()f x 在区间[0，a ] (a > 0)上是单调函数，且满足(0)()0f f a ?<，则方程()0f x =在区间[－a ，a ]根的个数是A ．0B ．1 C ．2D ．3 5. 某班要从6名同学中选4人参加校运会的4×100m 接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有A ．24种B ．72种C ．144种D ．360种 6. 以 下 四 个 命 题 中 的 假命题．．．是 A ．“直线a 、b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a 、b 不相交” B ．两直线“a ∥b ”的充要 2017届高三一模考试 数学试题Ⅰ 一：填空题 1．函数)3 3sin(2π - =x y 的最小正周期为_________。 2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A =____________。 3．复数2 )21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为_______。 4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。摸出红球 的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率 为___________。 5．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为__________。 6．若实数y x ,满足???? ???≥≥≤+≤+0 07342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为______。 7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分）， 则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________。 8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为___________cm 3 。 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线，则该双 曲线的离心率为______________。 10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为___________升。 11．在ABC ?中，若?=?+?2，则 C A sin sin 的值为___________。 12．已知两曲线)2 ,0(,cos )(,sin 2)(π ∈==x x a x g x x f 相交于点P 。若两曲线在点P 处的切线互相垂直， 则实数a 的值为______________。 13．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2 x f x f >+的解集用区间表示为__________。 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆42 2 =+y x 上两点，点)1,1(A ，且AC AB ⊥，则线段BC 的长的取值围是_____________。 二：解答题 15．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆 交于点A ，以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，5 5 2= AB 。 （1）求βcos 的值； （2）若点A 的横坐标为13 5 ，求点B 的坐标。 2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编10：平面向量 一、填空题 1 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知非零向量，a b 满足 (2)(2)-⊥-⊥，，a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为______. 【答案】 π 3 2 ．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC 的中点. F 为边AB 上. 的,且,则x+y 的值 为 ____ 【答案】 5 2 3 ．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知O 是ABC ?的外 心, 10,6==AC AB ,若 AC y AB x AO ?+?=且 5102=+y x ,则 =∠BAC cos _____________. 【答案】 3 1 4 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在 ABC ?中,若 22()||5CA CB AB AB +?= ,则 tan tan A B = ________. 【答案】7 3 5 ．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知在 ABC ?中,3==BC AB ,4=AC ,设O 是ABC ?的内心,若AC n AB m AO +=,则 =n m :__★__. 【答案】3:4 提示一:利用夹角相等,则有 AC AC AO AB AB AO ?= ?| |. 提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得AC AB AO 10 3 104+= 6 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知非零向量a ,b 满 足|a |=|a +b |=1,a 与b 夹角为120°,则向量b 的模为________. 【答案】1 7 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底 Z 数学（理科）试题第 1 页 (共 13 页) 高三数学测试题(理科) 姓名______________ 准考证号___________________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 (共50分) 注意事项: 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 设集合S ＝{x |3＜x ≤6}，T ＝{x |x 2－4x －5≤0}，则 ＝ A ．(－≦，3]∪(6，＋≦) B ．(－≦，3]∪(5，＋≦) C ．(－≦，－1)∪(6，＋≦) D ．(－≦，－1)∪(5，＋≦) R (S ∩T ) 2.已知i是虚数单位，则3i 2i - + ＝ A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 3．设函数f(x)＝x2－ax＋b (a，b∈R)，则“f(x)＝0在区间[1，2]有两个不同的实根”是“2＜a＜4”的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体 积等于 A．10 cm3B．20 cm3C．30 cm3D．40 cm3 5．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n． A．若m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，则m⊥n C．若m∥n，则α∥βD．若α∥β，则m∥n 6．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球(有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P(B|A)＝ A．1 6 B． 1 3 C． 2 3 D．1 7．设a，b为单位向量，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是 A． B．2 C D．1 8．如图，A，F分别是双曲线 22 22 C 1 (0) x y a b a b -= ：，＞的左 顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是 A B C D 9．若0＜x，y＜π 2 ，且sin x＝x cos y，则 俯视图 (第4题图) Z数学（理科）试题第2页 (共13页) 上海市吴淞中学2009届高三数学训练题 班级_____________姓名______________学号_____________成绩__________________ 一、 填空题 1、已知函数1 22)(1 +=+x x x f ，则()=-11 f ________ 2、设平面α与向量{}4,2,1--=→ a 垂直，平面β与向量{}1,3,2=→ b 垂直，则平面α与β位置关系是___________. 3、已知32cos 2,cos sin ,4 3sin π π x x -依次成等比数列，则x 在区间[)π2,0内的解集 为 . 4、椭圆19 252 2=+y x 上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________________. 5、 若函数)24lg(x a y ?-=的定义域为}1|{≤x x ，则实数a 的取值范围是 . 6、设4 3 ,)1(112161211=?+++++= +n n n S S n n S 且 ，则n 的值为 . 7、设1F 、2F 为曲线1C ：1262 2=+y x 的焦点，P 是曲线2C ：13 22=-y x 与1C 的一个交 21的值为 . 8、从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为 . 9、 一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这 时报纸的厚度和面积分别为_________________。 10、 已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据： ,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;2 1 )1(===== a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取________ _____。（填上一个正确的数据序号即可） 11、某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住在 第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，噪音较小，因此随楼层升 高，环境不满意程度降低，设住在第n 层楼时，环境不满意程度为n 8 ，则此人应选____楼。 12、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。在实数 轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么 ]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =___________________ 二、选择题 13、已知二面角βα--l ，直线α?a ，β?b ，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么( ) （A ）a 与b 可能垂直，但不可能平行 （B ）a 与b 可能垂直，也可能平行高三数学试题及答案
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