分压和分流原理及其应用
分压和分流原理及其应用
一、知识点整理
（一）串联电路的特点：
1、电流：文字：串联电路中各处电流都相等。 表达式：I=I 1=I 2=I 3=……I n
2、电压：文字：串联电路中总电压等于各部分电路电压之和。表达式：U=U 1+U 2+U 3+……U n
3、电阻：文字：串联电路中总电阻等于各部分电路电阻之和。表达式：R=R 1+R 2+R 3+……R n 理解：把n 段导体串联起来，总电阻比任何一段导体的电阻都大，这相当于增加了导体的长度。特例: n 个相同的电阻R 0串联，则总电阻R=nR 0
4、分压定律：文字：串联电路中各部分电路两端电压与其电阻成正比。
表达式：U 1/U 2=R 1/R 2 U 1:U 2:U 3:…= R 1:R 2:R 3:…
（二）并联电路的特点：
1、电流：文字：并联电路中总电流等于各支路中电流之和。表达式：I=I 1+I 2+I 3+……I n
2、电压：文字：并联电路中各支路两端的电压都相等。表达式：U=U 1=U 2=U 3=……U n
3、电阻：文字：并联电路总电阻的倒数等于各支路电阻倒数之和。
表达式：1/R=1/R 1+1/R 2+1/R 3+……1/R n
理解：把n 段导体并联起来，总电阻比任何一段导体的电阻都小，这相当于导体的横截面积增大。特例:n 个相同的电阻R 0并联，则总电阻R=R 0/n
求两个并联电阻R1、R2的总电阻
R=
4、分流定律：文字：并联电路中，流过各支路的电流与其电阻成反比。
表达式：I 1/I 2= R 2/R 1
（三）解电学题的基本思路
①认真审题，根据题意画出电路图；②在电路图上标出已知量和未
知量（必要时加角码）；③选择合适的公式或规律进行求解。
练习：１．两个电阻R 1和 R 2的阻值之比为5：3。
（1）当 R 1与 R 2串联在电路中使用时，通过R 1与 R 2的电流之比
为
，加在R 1与 R 2两端的电压之比
为 。
（2）当 R 1与 R 2 并联在电路中使用时，通过 R 1与 R 2 的电流之比
为 ，加在R 1与 R 2两端的电压之比
为 。
2、如图所示的电路中，R 为定值电阻，R1为滑动变阻器，当变阻器的
滑片P 由中点c 向b 端滑动时，电流表和电压表的示数变化情况是
（ ）
A ．电压表的示数不变，电流表的示数变小
B ．电压表的示数不变，电流表的示数变大
C ．电压表的示数变小，电流表的示数不变
D ．电压表的示数变大，电流表的示数变小
3.如图1所示的电路中，电源电压是6伏特，当电路中发生哪种障碍时，
伏特表的示数是6伏特。（ ）
A ．L1短路
B ．L1断路
C ．L2短路
D ．L2断路
4、如图所示的电路中，A 1和A 2是两个完全相同的电流表，均有“0－
0.6A”、“0－3A”两个量程，当开关S 闭合时，两表均有正常的示数，且指
针偏转的角度相同，则R1：R2为（ ）
A ．1：4
B ．4：1
C ．1：5
D ．5：1
R 1R 2
R 1+R 2
5、图示电路中，当开关S闭合，甲、乙两表是电压表时，示数之比U甲：U乙
=3：2，当开关S断开，甲、乙两表都是电流表时，则两表的示数之比I甲：I
乙为（）
A．2：1 B．1：3 C．2：3 D．3：1
6.、在R1、R2、R3三个电阻组成的并联电路中，干路中的电流是R1中电流的3倍，R2中电流是R1中电流的一半，R3=180Ω，则R1= Ω，R2= Ω。
7.如图，闭合S后，滑片P向左滑动时，各电表的示数变化情况是
A ，V ，
V1，
8、如图所示，电流表A
1、A
2
、A
3
中，读数最大的是（）
A、A
1 B、A
2
C、A
3
D、无法确定
9.关于电路中电流的说法，正确的是（）
A、在串联电路中，流过用电器的电流比流过导线的电流大
B、在并联电路中，干路中的电流比任何一条支路中的电流都大
C、电流从电源的正极流出时最大，回到负极时最小
D、自由电子从电源的正极流出，经过用电器回到负极
10.、如图9所示，用电流表测并联的电灯L1和L2干路和支路的电流，其中正确的电路图是（）
11.如图10所示的电路中，电流表A 1、A2、A3
的示数关系应是（）
A、I
1=I
2
=I
3
B、I
1
2 3 C、I 1>I 2 >I 3 D、无法确定 12.现有两个电流表，两只灯泡，电池组一个，开关一个，导线若干，用电流表 测通过L 1、L 2 的电流。要求：①电流表A 1 接在干路上测干路电流（约1A）， A 2测通过L 1 的电流（约0.4A），② L 1 、L 2 要并联，③开关S控制整个电路。 （1）试设计此实验电路并画出电路图。（2）根据所设计的电路图连接实物图 第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x 图3 图 2 限流和分压电路的选取 在测量待测电阻以及电学实验的创新设计类问题中，常常涉及到滑动变阻器的分压式或限流式接法，这类问题常常困绕着老师们的教与学生们的学。笔者在此问题上有一点粗浅的认识，现提出来与同仁、专家们商榷。 一、两种接法 1、限流式 如图1所示的电流中变阻器起限流作用，待测电阻R x 的电压可调范围为εε~R R R x x +（电源内阻不计）。在合上开关前要使变阻器所使用的阻值最大，因此，在闭合开关s 前一定要检查滑动触头p 是否在B 端。 2、分压式 如图2所示的电路中变压器起分压作用，待测电阻R x 的电压可调范围为0~ε（电源内阻不计），显然比限流时电压调节范围大。在合上开关s 前滑动触头p 应在A 端，此时对R x 的输出电压为0，滑动触头p 向B 滑动过程，使待测电阻R x 的电压、电流从最小开始变化。 限流和分压电路的选取，总的来说，应从测量的要求和电路的调节两个方面考虑。 二、测量要求 若题目中明确要求电压从0开始测量，电路的连接一定用分压式。 例1：（1999广东卷）用图3中所给的实验器材测量一个“12V ，5W ”的小灯泡在不同电压下的功率，其中电流表有3A 、0.6A 两档，内阻可忽略，电压表有15V 、3V 两档，内阻很大。测量时要求加在灯泡两端的电压可连续地从0V 调到12V 。 ⑴按要求在实物图上连线（其中部分线路已连好）。 ⑵其次测量时电流表的指针位置如下图（b ）所示，其读数为 A 5W ”的小灯泡其额定电流大约是I= 12 5＜0.6A ，故安培表的量程分析：对于“12V 、应选0～0.6A 。根据测量要求，电压连续地从0V 调到12V ，应接成分压电路，而不应接限流电路。又因为电流表内阻可忽略，电压表内阻很大，对电路无影响，电流表内接或外接都可以。 4所示 ⑵0.36A （或0.360） 解法指导 实物连接图的画法，要先画出原理图，其中涉及的电学元件按实物图位置排放，便于实物连接。 图4 X R 图1 变分原理在物理学中的应用 [摘要]从变分法出发，简述了变分原理的建立和发展;并就变分原理在各个学科的应用予以列举，为变分原理的初学者作以引导。 [关键字] 变分法；变分原理；发展历程；应用。 引言 变分原理愈来愈引起重视。固体力学变分原理的发展最为成熟,流体力学变分原理近年来也获得突破, 电磁学、传热学等领域变分原理在不断应用和发展。这是因为变分原理与有限元结合起来使古典的变分原理焕发青春[1]。本文就变分原理的发展历程和变分原理在物理学中的应用予以概括, 以形成一个了解变分原理的脉络，为更好的应用变分原理打下基础。 1.变分原理发展简史 年份历史事件 1696年约翰·伯努利提出最速曲线问题开始出现 1733年欧拉首先详尽的阐述了这个问题. 他的《变分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字。 1786年拉格朗日确定了变分法, 但在对极大和极小的区别不完全令人满意。 1810~1831年Vincenzo Brunacci, Carl Friedrich Gauss, Simeon Poisson，Mikhail Ostrogradsky和Carl Jacobi对于这两者的区别都曾做出过贡献。 1842年柯西Cauchy浓缩和修改了变分法，建立了一套严格的理论。 1849~1885年Strauch, Jellett, Otto Hesse, Alfred Clebsch和Carll写了一些其他有价值的论文和研究报告。 1872年Weierstrass系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他关于这个理论的著名教材是划时代的, 并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。 1900年希尔伯特(Hilbert)发表的第20和23个数学问题促进了变分思想更深远的发展。 20世纪初David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要贡献。 20世纪30年代Marston Morse 将变分法应用在Morse理论中。 第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵数：线性算子（矩阵）空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1 max ；21 )(11 2 2 ∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间 数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得 有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x §9 变分原理 9.1 弹性变形体的功能原理 学习要点： 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使 得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 态，二者彼此独立而且无任何关系。 ．．．．．．．．．．．．．．．． 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 9.1.1 静力可能的应力： 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。 表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。 +Sσ 显然S=S u 假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程 在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件 这一组应力分量称为静力可能的应力。静力可能的应力未必是真实的应力， ．．．．．．．．．．．．．．．． 因为真实的应力还 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程 ．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然 是静力可能的应力。 ．．．．．．．．． 为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。 9.1.2 几何可能的位移： 假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程 在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件 这一组位移称为几何可能的位移。几何可能的位移未必是真实的位移，因 为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程 ．．．． ．．．．．．；在面力已知 的边界 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．。但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件 几何可能的。 为了区别于真实的位移，用表示几何可能的位移。 几何可能的位移产生的应变分量记作。 第十一章弹性力学的变分原理知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹 性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二、重点 1、几何可能的位移和静力可能的应力； 2、弹性体的虚功原理； 3、 最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理 的基本概念。 §11.1 弹性变形体的功能原理 学习思路: 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ 。如图所示 一、知识点整理 （一）串联电路的特点： 1、电流：文字：串联电路中各处电流都相等。 表达式：I=I 1=I 2=I 3=……I n 2、电压：文字：串联电路中总电压等于各部分电路电压之和。 表达式：U=U 1+U 2+U 3+……U n 3、电阻：文字：串联电路中总电阻等于各部分电路电阻之和。 表达式：R=R 1+R 2+R 3+……R n 理解：把n 段导体串联起来，总电阻比任何一段导体的电阻都大，这相当于增加了导体的长度。 特例: n 个相同的电阻R 0串联，则总电阻R=nR 0 4、分压定律：文字：串联电路中各部分电路两端电压与其电阻成正比。 表达式：U 1/U 2=R 1/R 2 U 1:U 2:U 3:…= R 1:R 2:R 3:… （二）并联电路的特点： 1、电流：文字：并联电路中总电流等于各支路中电流之和。 表达式：I=I 1+I 2+I 3+……I n 2、电压：文字：并联电路中各支路两端的电压都相等。 表达式：U=U 1=U 2=U 3=……U n 3、电阻：文字：并联电路总电阻的倒数等于各支路电阻倒数之和。 表达式：1/R=1/R 1+1/R 2+1/R 3+……1/R n 理解：把n 段导体并联起来，总电阻比任何一段导体的电阻都小，这相当于导体的横截面积增大。 特例:n 个相同的电阻R 0并联，则总电阻R=R 0/n 求两个并联电阻R1、R2的总电阻R= 4、分流定律：文字：并联电路中，流过各支路的电流与其电阻成反比。 表达式：I 1/I 2= R 2/R 1 （三）解电学题的基本思路 ①认真审题，根据题意画出电路图； ②在电路图上标出已知量和未知量（必要时加角码）； ③选择合适的公式或规律进行求解。 二、题型示例 例1、两个电阻R 1和 R 2的阻值之比为5：3。 （1）当 R 1与 R 2串联在电路中使用时，通过R 1与 R 2的电流之比为 ，加在R 1与 R 2两端的电压之比为 。 （2）当 R 1与 R 2 并联在电路中使用时，通过 R 1与 R 2 的电流之比为 ，加在R 1与 R 2两端的电压之比为 。 例2、电源电压保持不变，开关S1、S2都闭合时，电压表的示数为6V ；只闭合S1时，电压表的示数为2V ，则两个电阻的阻值之比R1:R2=__________。 欧姆定律提高强化训练（分压、分流、比例）专题 R 1R 2 R 1+R 2 V R 1 R 2 S 1 2 变分原理 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。 例如：实际上光的传播遵循最小能量原理： 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 一、举一个例子（泛函） 变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。 在理论上和实践上均需要放宽解的条件。因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。 Poisson 方程的Neumann 问题 设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题 (N) ??? ? ??? =??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数 这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足 01 ,=+Γ Ω ? g f d x 其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H . 问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数 ΩΩ∈Ω=,1) (/)(1 1i n f ?v v H v R H ,V v ∈? 可以得到唯一解。实际上，由定理5.8推出R H v /)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v . 定义双线性泛函R V V →?: V v u v v u u v u v u B ∈∈∈???=?,?,?,?),,()?,?（ 和线性泛函 V v v v u g fdx v l ∈∈?+→Γ Ω??,?,,?:. 其右端与v v ?∈无关。因此v ?中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上 ,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ -Ω Ω +≤v g v f v l 串联电路和并联电路例题分析学案 一、串联分压与并联分流： 问题1：将三个阻值分别为6Ω、8Ω、11Ω的三个电阻串联，接在50V的电源上，试求每一个电阻两端的电压。 串联电路的电压分配： U 1/R 1 = U 2 /R 2 = U 3 /R 3 = U/R 问题2：将阻值分别为R 1=2Ω、 R 2 =4Ω、R 3 =8Ω的三个电阻并联，接在某一电路中，若 已知干路上的总电流为2A,试求每个支路上的电流。并联电路的电流分配： I 1R ! = I 2 R 2 = I 3 R 3 = IR 二、典型例题分析： 例3、如图所示，电路由8个不同的电阻组成，已知R 1 =12 Ω， 其余电阻阻值未知，测得A、B间的总电阻为4 Ω.今将R 1 换成 6 Ω的电阻，则A、B间的总电阻变为多少？ 例4、有三个电阻，其阻值分别为10 Ω、20 Ω、30 Ω.现把它们分别按不同方式连接后加上相同的直流电压，问：在总电路上可获得的最大电流与最小电流之比为多少? 例5、如图所示，设R 1=R 2 =R 3 =R 4 =R，求电键K闭 合和开启时，A、B两端电阻之比。 例6、如图所示，M、N两点间电压为18V， R1=6Ω，R2=3Ω，C1=6μF，C2=3μF； 当电键K断开时，A、B两点间的电压 U AB为_______伏，当K闭合时，电容器 C1的电量变化了_______库。 例7、试对图示电路进行简化，并指出电表测量的对象． A 三、课后练习： 1、三只阻值均为12Ω的电阻连接成电路，得到的最大阻值是Ω，最小阻值是Ω。 2、如图所示电路，电压保持不变，当开关S断开时，电流表A的示数为0.6A，当开关S 闭合时，电流表的示数为0.9A，则两电阻阻值之比R1：R2为（） （第2题） A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2 3、如图所示，P为一块均匀的半圆形合金片将它按图甲的方式接在A、B之间时，测得它的电阻为R，若将它按图乙的方式接在A、B之间时.这时的电阻应是( ) A.R B.2R C.3R D.4R 4、如图所示的电路中，R1=10Ω，R2=6Ω，R3=4Ω，R4=3Ω，U=2.4V。在ab间接一只理想电压表，它的读数是；如在ab间接一只理想电流表，它的读数是。 5、如图所示是一个较复杂电路中的一部分电路，其中R1=1Ω，R2=6Ω，R3=2Ω，I1=0.1A，I2=0.2A，则流过电流表A的电流大小是______A，方向是由_____点流到______点. 6、图中U=10V，R1=4Ω，R2=6Ω，C=30μF． （1）闭合开关S,求稳定后通过R1的电流及此时电容器所带电荷量。 （2）然后将开关S断开,求这以后流过R1的总电荷量． 例：导体AB 与BC 材料长度相同，横截面积如图，则U AB U BC 分析：把两段导体的连接方式看成 ，则I AB I BC R AB R BC ，这是因为 根据U=IR, U AB U BC 总结：在串联电路中，由于电流相等，根据U=IR 得： 串联电路中，电阻大的导体分到的电压也大。（定性关系） 进一步分析： I=1A R 1=10Ω R 2=20Ω R 3=30Ω 结论：串联电路中，电压的分配与电阻成 。（定量关系） 理论推导： I 1 R 1 I 2 R 2 I 1= , I 2= 串联电路中， 所以， U1R1 U2R2 ，即: 串联电路中，2 121R R U U = （定量关系式） 练习： 1．R 1R 2串联，R 1:R 2=3:2, 则I 1:I 2= ,U 1:U 2= . 2.一灯泡正常发光时的电压为6V ,其电阻为10Ω；若将它接到9V 的电源上使用，须 连一个 的电阻。 3.在由电阻R 1R 2成的串联电路中,已知总电阻两端的电压是R 2两端电压的4倍,且R 1的电阻为4Ω,求R 2的电阻. 4.如图, V1.V2 的示数之比为3:4,则R 1:R 2= 5.两电阻R 1:R 2=2:3,串联在电压为U 的电源上,则R 1两端的电压 U 1= U. 在串联电路中,U R R R U 2111+=; U R R R U 2 122+= 作业:一灯泡正常发光时的电压为12V ,电阻为12Ω,若把它接到18V 的电源上使用,应怎样联一个多大的电阻? A B C U 1= U 2= U 3= U 1 U 2 例：试利用电流表来比较两电阻的大小。 我们已经知道: 进一步分析, 理论推导: 由U=IR 得 U 1= , U 2= 并联电路中, U 1 U 2, 所以, I 1R 1 I 2R 2, 即: 练习: 1.R 1R 2并联,且R 1:R 2=3:2,则U 1:U 2= , I 1:I 2= 2.一灯泡正常发光时的电流为0.6A,电阻为10Ω,若把它接到电流始终为1A 的电路中,须 联一个 Ω的电阻. 3.如图,R 1为12Ω,R 2为6Ω,则 . 的示数之比为 . 5.I ; 作业: 一灯泡正常发光时的电阻为12Ω,电流为1A,要把它接到电流恒为1.5A 的电路中,须怎样连一个多大的电阻? （三）解电学题的基本思路 ①认真审题，根据题意画出电路图；②在电路图上标出已知量和未知量（必要时加角码）；③选择合适的公式或规律进行求解。 变分原理及有限元 南京航空航天大学 航空宇航学院 前言 变分原理是数学的一个重要分支，亦是弹性力学的重要组成部分，在理论上和实用上都有重要的价值。自从上世纪初里兹提出变分问题的近似解法以后，变分原理在弹性力学中的应用有了新的发展。五十年代有限单元法的问世，变分原理为它提供了重要的理论基础，使变分原理的重要性更加突出地显示出来。同时，有限单元法的发展，又反过来推动了变分原理的研究和进一步发展。 有限单元法发展至今，已成为工程数值分析的有力工具。它的应用领域十分广泛，不论是固体力学、流体力学，还是电磁学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，不论是静力分析、还是动力分析或稳定性分析；不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法的应用都取得了巨大的成功，利用它已成功地解决了大批有重大意义的问题，并已开发了很多商用的分析软件。 为了我校力学、土木、机械等专业研究生更方便、更系统地学习和掌握变分原理和有限元的基础知识，编写了此本研究生教材。本教材也可作为其他专业的研究生、高年级本科生、以及广大工程技术人员的学习参考书。 教材分两大部分内容。第一部分变分原理共五章：第一章介绍变分学的基本概念，以及多类泛函的变分问题；第二章介绍弹性理论的经典变分原理－最小位能原理和最小余能原理；第三章介绍弹性理论的广义变分原理－H-R广义变分原理和胡—鹫广义变分原理；第四章介绍弹性理论变分原理的近似解法－里兹法（Ritz）、伽辽金法（Галёркин）和康托洛维奇法；第五章介绍建立多种有限单元的变分原理。第二部分有限元共九章：第一章综合概述基于最小位能原理的有限单元法的列式过程以及基本理论和概念；第二章介绍基于最小位能原理建立弹性力学平面问题及空间问题有限元表达格式的方法和途径；第三章介绍构造单元与单元插值函数的原则和方法；第四章介绍板壳问题的有限元方法；第五章介绍基于其他变分原理的杂交应力有限元；第六章介绍热传导问题的有限元方法；第七章介绍结构动力学问题有限元方法；第八章介绍结构稳定性问题有限元方法；第九章介绍非线性问题的变分原理及几何非线性有限元方法。 本教材《变分原理及有限元》的第一版是在丁锡洪教授、顾慧芝副教授编写的研究生讲义《变分原理与有限单元法》的基础上于2003年12月编写完成的。这次再版对第一版的教材内容进行了部分修订。 由于编写者时间仓促、水平有限，书中难免存在缺点或错误，敬请批评指正。 史治宇 2008年3月于南航大结构强度研究所 第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x 变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切， 似乎存在着各种安排原理: 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理; 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Exa mp les ① ② Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的 （映射）关系 第一章 光线最短路径传播； 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； AE+ EB A AC +CB ③ 特征描述法：{ J: X u D T R | J （ x ） = r € R } Exa mp les ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间— 数域 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 i.梁的弯曲应变能： □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2 ii.弹性地基贮存的能量： n f 1 J 2 =一 J kw dx 2 0 iii.外力位能： 口 l l =-0 qwdx iv.系统总的势能： )2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4 ；|A L = max 2 a ij ； I A 2 仁 )12 ②函数的积分：函数空间i 数域 b J = a f n （X ）dX fn U D Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussi on ： ①判定下列那些是泛函： c f (x y) --- '—-3x+5y=2; J 6(x-x 0) f (x)dx = f (x 0) f i=ma 少（x ）i ； ex ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 q(x) /■'■'I rmTrfT ① 弹性地基梁的系统势能 ■ d 丨 L l d 2 w 2 □卡E J( dxr) 2 Tkw - qW}dx; x = 0 d w = 0 dx x x = 0,固支；x = 串联分压和并联分流 1、如图所示的电路中，电压表V1的示数为9伏，电压表V2的示数为3伏，那么R1与R2的阻值之比为（） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 2、如图所示的电路中，R1=10Ω，R2=20Ω.闭合开关S后，电压表V1与V2示数之比为（） A．3：1 B．3：2C．2：1 D．1：1 3、如图所示，V1和V2是完全相同的两个电压表，都有最大测量值是3V和15V两个量程，闭合开关后，发现两个电压表指针的偏转角度相同，则（） A．R1∶R2＝1∶4 B．R1∶R2＝4：l C．R1∶R2＝1∶5 D．R1∶R2＝5∶l 4、在如图所示的电路中，两只电流表的规格相同，电流表有两个量程(0～0. 6A以及0～3A).闭合开关S,电阻R1与R2均有电流流过，两只电流表的指针偏转角度相同，则R1与R2的比值为（） A. 1∶5 B.5∶1 C.1∶4 D.4∶1 5、如图所示电路，电源电压恒定不变．当S1闭合、S2断开时，电压表的示数为3 V；当S1断开、S2闭合时，电压表的示数9 V，则R1︰R2为（） A. 1︰2 B. 2︰1 C. 1︰3 D. 3︰1 6、如图所示，电源电压保持不变，开关S断开时，电压表示数为2V；开关S闭合时，电压表示数为6V，那么电阻R1:R2= 。 7、如图电路，若甲、乙均为电流表时，断开开关Ｓ，两电流表读数为Ｉ甲︰Ｉ乙＝２︰３，若甲、乙均为电压表时，闭合开关S，则两电压表的读数Ｕ甲︰Ｕ乙＝。 8、电阻甲、乙的电流与电压关系图像如右图所示，①若现在将甲和乙串联后接在电压为3V的电源两端，则甲电阻两端的电压多 大？②若现在将甲和乙并联后接在电压为3V的电源两端，则干路中电流多大？ 实物图与电路图 变分原理 泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值。 对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。因此，应变能就是泛函。 在数学分析中，讨论函数和函数的极值。变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。 下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。 §1 泛函和泛函的极值 首先引入泛函的概念。泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值 作为变分法的简单例题。考察x，y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y（x）中的最短曲线。 （补充图） 设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。于是，这一曲线的长度为 连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。 根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。 求解最短程线问题，即在满足边界条件 在x=x1时，y（x1）=y1，y'（x1）= y'1 在x=x2时，y（x2）=y2，y'（x1）= y'2 的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。因此y（x）称为容许函数。 上述问题应用变分法可以概括为求解泛函 在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。 §2 泛函极值的必要条件-欧拉方程 假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。设 其中ε 为小参数，而η (x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数 与y（x）的差 δ y称为泛函自变函数的变分，即 类似地，容许函数的斜率与y（x）斜率的差δ y'，称为泛函自变函数斜率的变分，即 应该注意δ y与函数y（x）的微分d y之间的差别，d y是自变量x的改变量d x 引起的y（x）的无穷小增量。而变分δ y是y（x）的任意一个微小的改变量。设泛函增量 按泰勒级数展开，则 第一章变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称 /相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律， 获称最小作用原理。 Examples: ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； , Summary 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 、变分法是自然界变分原理的数学规划方法 （求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映 射）关系 特征描述法：{ J: X D R|J （x ） r R } Examples: ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 = 数域 ② 函数的积分：函数空间数域 n II A II 1 = max a ij j i 1 max a ij i j 1 n n A 2 ( a ij 产 j 1 i 1 AE EB AC CB b J f n (X )dX f n D a Discussi on ： ① 判定下列那些是泛函: ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 系统势能 泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B, A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从 A 到B 所需时间最短（忽略摩擦 力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。 B 点坐标（a, b ）, 设曲线为 y = y （x ）,并已知：x = 0, y = 0 ； x = a, y = b ii. 建立泛函： i.梁的弯曲应变能： 1 ' d 2 w 2 b o 0 EJ( 2 ) dx 2 0 dx ii.弹性地基贮存的能量： f — kw 2 dx 2 0 iii.外力位能： l I o qwdx iv.系统总的势能： 左Ej （d 丫）2 1 2 2 kw qw}dx; x 0 w 0削0 dx x = 0,固支；x = l, 自由 Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域） ;值域是实数域。 max f (x)； a x b f(X,y) ； 3x+5y=2; x (x x °)f(x)dx f(X o ) q(x) con sts E 、J x 第一章 变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ①光线最短路径传播； ②光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③光线折射遵循时间最短的途径（ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ①判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(；3x+5y=2；?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i.梁的弯曲应变能：?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii.弹性地基贮存的能量：dx kw l f ?=∏0 221 iii.外力位能：?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ②最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得有重 物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii.建立泛函： 设P (x , y )是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得： x 变分原理在结构分析中的应用 摘要：变分法是研究力学、物理学和其他各种技术科学的强有力的工具，本文从变分原理的基本理论出发，讲解变分法及其相关理论在结构分析中的应用。长期研究表明，变分原理是研究很多复杂结构的基础。 关键词：变分原理；结构分析；应用 1 引言 现代结构大多是由多个不同维数和不同性能的结构构件耦合或杂交而成的组合结构体系。例如: 框剪、框筒、筒中筒、巨型框架等高层结构; 网架、网壳、索穹顶、索承穹顶、张弦梁、索桁架等大跨度结构。这些结构由于其复杂性，不能通过常规的方法得到其精确的解[1]。现代结构的分析方法，基本上可以分为两大类: 一类是有限元法，即将所分析的结构采用离散化的数学模型[2-4]；另一类是连续化法，即将所分析的结构采用连续化的数学模型[5-7]。但是这两类方法的数学理论基础都是一样的，均可归结为求泛函的极值或驻值的变分问题[8, 9]。国内外学者都十分重视变分原理的研究与应用，因为它是现代结构理论分析与简化计算的出发点[10]。 2 变分原理在结构工程中的应用 2.1 薄板弯曲问题中的变分原理 在结构分析力学中，有位移法和力法，在能量变分直接法中，与之对应的有势能原理与余能原理，前者以位移为未知数，后者以内力为未知数。故用势能原理分析时，选用位移函数，用余能原理分析时，选用内力函数。从理论上讲，欲求结构的位移可以采用势能原理，欲求结构的内力可以采用余能原理[2, 3]。 2.1.1 势能原理解法： 薄板在均布荷载q 作用下的总势能为： 222222222200002(1)2a b a b D w w w w w U dxdy qwdxdy x y x y x y μ???????????????=+--??--???? ? ?????????????????? ?????（1） 式中：w 为薄板的挠度；μ为泊松比；a 与b 为矩形薄板的边长。 选择位移函数：变分原理与变分法
限流和分压电路的选取(新)
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(完整版)弹性力学第十一章弹性力学的变分原理
7.专题训练：(分压、分流、比例)专题
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第五次作业-结构-变分原理