n阶行列式的计算方法与技巧要点
密级：
JINING UNIVERSITY
学士学位论文
THESIS OF BACHELOR
题目n阶行列式的计算方法与技巧
系别：数学系
专业年级：
学生姓名：学号：
指导教师：职称：
起讫日期：
目录
摘要 (1)
关键词 (1)
Abstract (1)
Keywords (1)
引言 (1)
1 利用行列式定义直接计算 (2)
1.1 利用定义计算的条件 (2)
1.2 对定义计算的举例应用 (2)
2 化三角形法 (2)
2.1 化三角形方法的运用条件 (2)
2.2 化三角形方法举例应用 (2)
3 按行（列）展开法（降阶法） (3)
3.1 降阶法法的运用条件 (3)
3.2 降阶法方法举例应用 (3)
4 归一法 (4)
4.1 归一法的运用条件 (4)
4.2 归一法举例应用 (4)
5 加边法（升阶法） (5)
5.1 加边法的运用条件 (5)
5.2 加边法举例应用 (5)
6 递推法 (6)
6.1 递推法的运用条件 (6)
6.2 递推法举例应用 (6)
7 利用范德蒙行列式 (6)
7.1 范德蒙行列式 (6)
7.2 范德蒙行列式方法举例应用 (7)
8 数学归纳法 (7)
8.1 数学归纳法的运用条件 (7)
8.2 数学归纳法举例应用 (7)
9 利用拉普拉斯定理 (8)
9.2 拉普拉斯定理 (8)
9.2 拉普拉斯定理方法举例应用 (8)
10 拆行（列）法 (9)
10.1 拆行（列）法的运用条件 (9)
10.2 拆行（列）法举例应用 (9)
11 析因法 (10)
11.1 析因法的运用条件 (10)
11.2 析因法举例应用及分析 (10)
12 利用矩阵行列式公式 (11)
12.1 引理一及其证明 (12)
12.2 利用矩阵行列式公式方法举例应用 (13)
13 论文总结 (13)
致谢 (14)
参考文献 (14)
n阶行列式的计算方法与技巧
数学与应用数学专业学生 lm
指导教师 ff
摘要：行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，是高等代数中的重点、难点，特别是n 阶行列式的计算。学习过程中普遍存在很多困难，难于掌握，但它在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本论文归纳研究n阶行列式的各种计算方法，并指明这些方法的使用条件。同时举例说明它们的应用。文中介绍的都是我们常见且行之有效的方法，当以后遇到具体问题时，要针对其特征，选取适当的方法求解。
关键词：行列式范德蒙行列式递推法升降阶法拉普拉斯定理矩阵析因法
The calculating methods and skills of n order determinant
Student majoring in mathematics and applied mathematics Li Shuming
Tutor Tang Qingchen
Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra,it is the important and difficult part of algebra,especially n order determinant of computation. During the learning process,there are a lot of difficulties,which are difficult to master.But it is very useful in mathematic and it is very important to know how to calculate determinant. In this paper, we first study and conclude the calculating methods of determinant to several kinds and clearly point out the use of conditions of all the methods. At the same time, we give examples to explain the application of all the methods. They are all common and effective calculating methods.When experiencing a specific problem in the future,we should select the appropriate method to solve basing on its characters.
Keywords: Determinant; Vandermonde Determinant; recursion; up and down order; Matrix; Laplace theorem;Factorial
行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。
我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。
n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1 利用行列式定义直接计算
１.1 利用定义计算的条件
利用定义是最原始的方法，直接套用公式计算，但使用起来比较麻烦，不常用。当行列式中零比较多时可利用定义进行计算。 １.2 对定义计算的举例应用 例一 计算行列式[1] [3]
00100200
100
00n D n n =
-
解： 行列式中不为零的项用一般形式表示为
1122
11!n n n nn a a a a n ---=
该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于
(1)(2)
2
n n --，故 (1)(2)
2
(1)
!.n n n D n --=-
2 化三角形法
2.1 化三角形方法的运用条件
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质
将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。[2] [4]
2.2 化三角形方法举例应用 例2 计算n 阶行列式[1]
12312341
345
1212
21
n n n n D n n n -=--
[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
1
1(2,,)
(2,,)111
1111
1
11
1
2
111110003
1
1
112
011111000
10000001000002
001
1(1)2
00020000
1
00
1(1)(2
i i
n i n r r i n r r n n n D n n n n n n n n n n n n n n
n n n n
n n
n n n n ===+
--=-----+
+----+=?-----+=??-解：()(1)(2)
12(1)
12
)(1)(1)12
n n n n n n n n -----?-+=??-
3 按行（列）展开法（降阶法）
3.1 降阶方法的运用条件
设n ij D a =为n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有
()11221,2,,n i i i i in in D a A a A a A i n =++
+=
或()11221,2,
,n j j j j nj nj D a A a A a A j n =++
+=
其中ij A 为n D 中的元素ij a 的代数余子式
按行（列）展开法可以将一个n 阶行列式化为n 个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n 阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。[1] [5]
3.2 降阶方法举例应用
例3 计算n 阶行列式00010
00
000
000000100
0n a a a D a a =
解： 将行列式按第1行展开
1
000000000000
(1)00000
0000100
n n a a a a D a a a
a +=+-
12(1)(1)n n n n a a +-=+-- 2n n a a -=-
4 归一法
4.1 归一法的运用条件
根据行列式不同特点，解法也有多种，当行列式的特点是每一行有一个元素a ，其余元素是b 时，可利用行列式性质变换，用归一法解题。 4.2 归一法举例应用 例4 计算n 阶行列式[1]
a b b b b a b b
D b b a
b b
b
b
a
= 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，
n 列都加到第1列上，行列式不变，得
(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b b
D a n b b a
b a n b
b
b
a
+-+-=+-+-
1
1
[(1)]1
1b
b b a b b a n b b a b b b
a
=+- 1
00[(1)]0
b
b
b a b a n b a b a b
-=+---
1[(1)]()n a n b a b -=+--.
5 加边法（升阶法）
5.1 加边法的运用条件
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。
加边法的一般做法是：
1111111111121221222121
1
1
1100
000n n
n
n
n
n n n n nn
n nn
n
n nn
a a a a a a
b a a a a D a a b a a a a a a b a a ===
特殊情况取121n a a a ====或12
1n b b b ==
== 5.2 加边法举例应用
例5 计算n 阶行列式 [1] 121
2121
2n n n n n
x a a a a x a a D a a a a a x a ++=
+
1
10
n
n n
a a D D =
解：121
1002,
,11
001
n i a a a x i n x x
-=+--第行减第1行
121
100000
n
j n
j a a a a x
x x x
=+=∑
11n j
n
j a x x =??=+ ???
∑
6 递推法
6.1 递推法的运用条件 应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。[4] [5] 6.2 递推法举例应用 例6
[]1
12211000010
00
001n n n n x x D x a a a a a x ----=-+证明 12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++++≥
证明：将行列式按第1列展开得
123
2
1100001
00
00
1n n n n x x D x
x a a a a a x
-----=-
+
1
1000100(1)0
1
n n
x a x
+--+--
1n n a xD -=+
由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得 112()n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++212n n n a a x x D --=++
111n n n n a a x a x x --=
=++
++
7 利用范德蒙行列式
7.1 范德蒙行列式 范德蒙行列式：[1]
1
232
2
2
212311
11112
3
1111()n
n i j j i n
n n n n n
x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=
-∏
记住公式直接套用，或经过简单变形再套用公式。 7.2 范德蒙行列式方法举例应用 例7 计算行列式
12222
112212
12
1
2
1122
111111
n n n
n n n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++
解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的
第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式
12222
121
11
112111()n
n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏
8 数学归纳法
8.1 数学归纳法的运用条件
一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。 8.2
数学归纳法举例应用
例
8
[]12cos 100012cos 100012cos 00sin(1)(sin 0)sin 0002cos 100012cos n n D θθθθθθ
θθ+==≠证明
证：当1,2n =时，有：
122sin(11)2cos sin 2cos 1sin(21)4cos 112cos sin D D θθθ
θθθθθ+==
+==-=
结论显然成立。
现假定结论对小于等于1n -时成立。 即有：
21sin(21)sin(11),
sin sin n n n n D D θθ
θθ
---+-+==
将n D 按第1列展开，得：
(1)(1)
12
2cos 1002cos 00012cos 00
12cos 00002cos 1002cos 10
1
2cos 0
1
2cos 2cos sin(11)sin(21)2cos sin sin 2cos sin sin(1)sin 2cos sin sin cos co n n n n n D D D n n n n n n θθθθθ
θθ
θ
θθθ
θθθ
θθθθ
θθθθ----=
-
=?--+-+=?
-
?--=
?-?+=
s sin sin sin cos cos sin sin sin(1)sin n n n n θθθ
θθθθθ
θθ??+?=
+=
故当对n 时，等式也成立。 得证。
9 利用拉普拉斯定理
9.1 拉普拉斯定理
拉普拉斯定理的四种特殊情形：[2][6]
1）
0nn nn mm mn mm A A B C B =? 2）
nn nm nn mm mm
A C A
B B =?
3）
0(1)
nn mn
nn mm mm
mn
A A
B B
C =-? 4）
(1)0
nm nn mn nn mm mm
C A A B B =-?
9.2 拉普拉斯定理方法举例应用
例9 计算n 阶行列式：[2] n a a a a
b D b b
λα
ββββ
αββββ
βα
= 12
222
(2)(2)
(2,,1)
000
00
(1)(2)00
00
00
(
3,
)
000(1)00
(2)0
[(2)(i n
i n n i n a
a a
a
b D n a a
a
a
b n C C i n n a
b n n ab n λλλ
ααβ
βββαααβλ
αβ
βββαβαβαβ
αβ
λ
αβαβ
αβ
λαλβ+?-?-=------+-+--=----?
+--=+---解：利用拉普拉斯定理
2
1)]()
n αβ-?-
10 拆行（列）法
10.1 拆行（列）法的运用条件
由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。
由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。[7] 10.2 拆行（列）法举例应用
例10 计算行列式 n D =
112122
1
2
n n n n
a a a a a a a a a λλλ+++
解：n D =
12122
1
2
n n n n
a a a a a a a a a λλ++1
222
00
n n n n
a a a a a λλ
λ+++
12200
n n
n
a a a a λλ=
11n D λ-+
1211n n a D λλλ-=+
……
12
11n
i
n i i
a λλλλ=??=+ ???
∑ 11 析因法
11.1 析因法的运用条件
如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C ，根据多项式相等的定义，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x) 。
那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行（其中含变数x ），若x 等于某一数a 1时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0。那么x a 1便是一个一次因式，再找其他的互异数使得D=0，即得到与D 阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法。[2]
11.2 析因法举例应用及分析 例11[4]
12121123123n
n
n n x a a a a x a a D a a a a a a a x
+=
[分析] 根据该行列式的特点，当.1,2,
,i x a i n ==时，有10n D +=。但大家认真
看一下，该行列式D n+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n 个一次因式
.1,2,
,i x a i n -=,那么能否用析因法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是
一样的，为：1
n
i i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式
1
n
i i a x =+∑，这样行列式的次数就降了一次。从而再考虑析因法。
121122
1
211
232
312
3
2
3
1
11()
11n
i n i n
n i
n
i n
n n i i n
n i n i n
i i a x
a a a a a a a x
x
a a x a a D a x a a a a x a a a a a x
a x
a a x
==+=
==++=
=+++∑∑∑∑∑解：
122
'1232
3
11
11n n
n n a a a x
a a D a a a a a x
+=
令：
显然当：.1,2,,i x a i n ==时，'10n D +=。
又'1n D +为n 次多项式。
'112()()()n n D C x a x a x a +∴=---设
又'1n D +中x 的最高次项为n x ，系数为1，C=1
'112()()()n n D x a x a x a +∴=---
因此得：
'111121
()()()()
()
n
n i n i n
i n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑
该题显然用析因法是最简便，但大家不要一味地只找使它等于0的数，而该最多只能有n 个数使它等于0，而行列式又是n+1阶是一个n+1次多项式，从而我们想到的就是得用行列式的性质把行列式的次数降低一次，使得原n+1次多项式变为一个一次多项式和一个n 次多项式的乘积。进而便可求得其值。
凡事要懂得变通，一道题不可能用一种方法就可以马上解得。在析因法中，对于一个n 次多项式，当你最多只能找出r 个使其行列式为零时，就要把它化为一个n r 次多项式与一个r 次多项式的乘积。但一般找出的使其行列式为零的个数与行列式的次数差太多时，不用本法。
12 利用矩阵行列式公式
12.1 引理一及其证明
引理：设A 为n m ?型矩阵，B 为m n ?型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()n m E AB E BA ±=± [6]
先引入一个证明题：
[2]
设A ，B 分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ≠，证明：n m n m E AB E BA λλλ--=-
证明：00n n
n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-????
??
= ???
?
-?????
?
两边取行列式得：
00n
n n
n n m m m m m
E A E E A E AB A
E AB E B
E B E B E E λλλλ-=
==--n E AB λ=-
又1
1
n n
n
m m m E E
A E A B
E B BA E E λλλλ????
-
?? ? ?= ? ?
?-+ ? ?????
?
?同样两边取行列式有： 1
01
n
n
n
n
m
m m
m
E E A E A E A
B
E B
E B
BA E E λλλλ
λ
-=
=-+
()1
1
n
n m n m m m E BA E E BA E BA λλλλλλ
λ
-=-
+=-=- 得证。
那么对于A B ,分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ≠能否得到：
n m n m E AB E BA λλλ-+=+
答案是肯定的。 证：00n
n n m m m E A E E AB A B
E B E E λλ-+-??????=
??? ?-??????
有：
n
n m
E A
E AB B
E λλ-=+
又 1
1
n n
n
m m m E E
A E A B
E B BA E E λλλλ????-?? ? ?= ? ?
?+ ? ?????
?? 1
n
n m n m m m E A E BA E E BA B
E λλλλλ
--∴
=+=+
n m n m E AB E BA λλλ-∴+=+
即得：对A B ,分别为n m ?和m n ?矩阵，0λ≠时，有：
n m n m E AB E BA λλλ-±=±
则当1λ=时，有：n m E AB E BA ±=± 引理得证。
12.2 利用矩阵行列式公式举例应用 例12
12
3
1231233
123n n n n n a b
a a a a a
b a a D a a a b
a a a a a a
b ++=
++
解：令矩阵12
3
1231233
1
23n n n n a b a a a a a b a a A a a a b
a a a a a a b
++=++
则可得：
()1
231
23121
2331
2
3
11
1n
n n n n n n
a a a a a a a a A bE bE a a a a a a a a a a a a ??
?
?=+=+ ? ???
,,
,
11n n n bE B C ??=+ 其中()()111211
1T
n n n B C a a a ??==,,,
,
那么根据上面所提到的引理可得：
111n n n n n D bE BC b b C B -??=+=+ 又()1112111
1n n n n i i C B a a a a ??=?? ? ?== ? ???
∑,,
,
可得：11
n
n n i i D b a b -==+∑()
本题主要是记住公式，然后套用。
13 论文总结
上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法与技巧，其中一些是常见的些是最基本的方法，还有一些是特殊但很实用的方法。我认为只要理解和掌握以上12种方法，不管哪种
行列式计算，都可以迎刃而解。而且一个题目有时候要由多种解法并用，或一个题可由多种方法独自解出，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。
致谢
时值毕业论文完成之际，我首先要感谢我的指导老师ff老师，在毕业论文准备期间，ff老师不断地以他自身对待科学的热忱，治学严谨的态度，以及对待学生的责任上深深感染着我，在这样的言传身教下，我深深了解了作为一名大学生应有的责任和做法。在论文写作过程中ff老师为我提供了大量的资料，并提出许多有益的意见，ff老师扎实的理论功底，丰富的科研经验极大程度上帮助了我毕业论文的顺利进行。ff老师的博学、敬业、严谨时时刻刻鞭策着我、鼓励着我、指引着我，对我今后的学习和工作受益匪浅，在此，我再一次对ff老师的培养和关怀表示诚挚的谢意！
感谢父母多年来对我的支持和鼓励！
在此，我还要感谢pp.zh和所有给予我帮助的各位朋友！
参考文献：
[1] 北京大学数学系.高等代数(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003.
[2] 李师正等. 《高等代数复习解题方法与技巧》[M]. 高等教育出版社,2005.
[3] 张贤科、许甫华.《高等代数学》[M]. 清华大学出版社,2000.
[4] 刘学鹏等.《高等代数复习与研究》[M]. 南海出版公司,1995.
[5] 张禾瑞、郝鈵新.《高等代数》[M]. 高等教育出版社,1993.
[6] 许甫华、张贤科.《高等代数解题方法》[M]. 清华大学出版社,2001.
[7] 王丽霞.《山西大同大学学报：自然科学版》[J]. 2008第2期.
关于行列式的计算方法8页word文档
行列式的计算方法综述 目录 1.定义法（线性代数释疑解难参考） 2.化三角形法（线性代数释疑解难参考） 3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考） 4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考） 5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考） 6.递推法（线性代数释疑解难参考） 7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考） 8.拆项法（课外辅导书上参考） 9.换元方法（课外辅导书上参考） 10.拆因法（课外辅导书上参考） 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法： 1.定义法 由定义看出，n级行列式有!n个项。n较大时，!n是一个很大的数字。直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在n级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。 例1.算上三角行列式 解：展开式的一般项为 同样，可以计算下三角行列式的值。 2.化三角形法 画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上
第 １ 页 （下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。 例2.计算 解：各行加到第一行中 把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有 3.逐行（列）相减法 有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。 例3.计算n 级行列式 解：从第二行起，每一行的()1-倍都加上上一行，有 上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素()10或，且最后一行有()1n -元素都是x 。因此可再用两列逐列相减的方法：第()1n -列起，每一列的()1-倍加到后一列上 4.升降法（加边法） 升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的n 阶成为()1n +阶，且往往让()1n +阶行列式的值与原n 阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。 例4.计算n 级行列式
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．
#行列式的计算方法 (1)
计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式 例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑
四阶行列式的一种展开法1解读
四阶行列式的一种展开法正文 四阶行列式的一种展开法 笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。 四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体方法如下： 四阶行列式： a11 D4 a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)： a11a12a21a31a41a42a13a43 a14 44 a11a12224142a13a23a33（图表一） 作乘积关系，可得如下八项： a11a22a33a44,a12a23a34a41,a13a24a31a42,a14a21a32a43,a41a32a23a14,a42a33a24a 11,a43a34a21a12,a44a31a22a13, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。 a11a12a21a31a41a42aa43 （图表二） a44a11a12224142a13a23a3343 同前理可得如下八项： a11a23a34a42,a13a24a32a41,a14a22a31a43,a12a21a33a44,a41a33a24a12,a43a34a22a 11,a14a32a21a13,a42a31a23a14, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。 第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的作法，可得图表三： a21a313241a42a43a1444a11a12224142a13a23a33 1 四阶行列式的一种展开法正文
行列式的计算方法
专题讲座五行列式的计算方法 1.递推法 例1求行列式的值： （1） 的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方 第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。 解把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。 把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是 另一项是 上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n– 2 阶行列式，这个n– 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系： （2） 移项，提取公因子β： 类似地： （递推计算） 直接计算
若；否则，除以后移项： 再一次用递推计算： ∴，当β≠α（3） 当β = α，从 从而。 由（3）式，若。 ∴ 注递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注1仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式
（3） 和三对角线型行列式 （4） 有相同的递推关系式 （5） （6） 注意 两个序列 和 的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有 由（4）式，的每一行都能提出一个因子a，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故 例2 计算n阶范德蒙行列式行列式 解:
即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积 2．拆元法 例3：计算行列式 解
①×（x + a） ②×（x – a）
3．加边法 例4计算行列式 分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法. 解 4．数学归结法 例5计算行列式 解： 猜测： 证明 （1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k– 1 时命题成立,考察n=k的情形：
(完整版)三阶行列式的计算
三阶行列式 称左式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。 目录 1 基本概念 2 计算方法 1 基本概念 2 计算方法 1 基本概念 对于三元线性方程组，如上图利用加减消元法，为了容易记住其求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，因此引入三阶行列式的概念。 记称上式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。 2 计算方法 标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。 例如 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 结果为a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）这里一共是六项相加减，整理下可以这么记： a1(b2·c3-b3·c2) + a2(b3·c1-b1·c3) + a3(b1·c2-b2·c1) 此时可以记住为： a1*a1的代数余子式+a2*a2的代数余子式+a3*+a3的代数余子式 某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。 行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘 如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在b2 b3 中找） c2 c3 而a1(b2·c3-b3·c2)+a2(b1·c3-b3·c1)+a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它每行的每一个数乘以它的代数余子式之和某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。
计算N阶行列式若干方法
网上搜集的计算行列式方法总结, 还算可以. 计算n 阶行列式的若干方法举例 闵 兰 摘 要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。 关键词：n 阶行列式 计算方法 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100200 10 000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足
,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明 由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a =
行列式的计算方法课堂讲解版
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 00100 200 1 0000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式
四阶行列式的一种展开法1
四阶行列式的一种展开法 笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。 四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体方法如下： 四阶行列式： 44 43 42 413433323124 23222114131211 4a a a a a a a a a a a a a a a a D 第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)： （图表一） 作乘积关系，可得如下八项： a 11a 22a 33a 44,a 12a 23a 34a 41,a 13a 24a 31a 42,a 14a 21a 32a 43,a 41a 32a 23a 14,a 42a 33a 24a 11,a 43a 34a 21a 12,a 44a 31a 22a 13, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。 （图表二） 同前理可得如下八项： a 11a 23a 34a 42,a 13a 24a 32a 41,a 14a 22a 31a 43,a 12a 21a 33a 44,a 41a 33a 24a 12,a 43a 34a 22a 11,a 14a 32a 21a 13,a 42a 31a 23a 14, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。 第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的作法，可得图表三： 43 42 4144 43 42 413332 31 343332 312322212423222113121114131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 43 42 4144 43 42 413332 31 343332 31 2322212423222113121114131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 42 4144 43 42 413332 31 343332 31 2322212423222113121114131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
(完整版)行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)
n阶行列式的计算方法
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1定义法 (1) 2利用行列式的性质 (23) 化三角形行列式 (3) 4行列式按一行（列）展开 (4) 5 升阶法 (5) 6 递推法 (6) 7 范德蒙德行列式 (7) 8 拉普拉斯定理 (7) 9 析因法 (8) 小结 (10) 参考文献 (11)
n阶行列式的计算方法 学生姓名:孙中文学号：20120401217 数学与计算机科学系数学与应用数学专业 指导老师:王改霞职称：讲师 摘要：行列式是高等代数中最基本也是最重要的内容之一，是高等代数学习中的一个难点.本文主要探讨一般n阶行列式的计算方法和一些特殊的行列式求值方法.如：化三角形法、拉普拉斯定理法、升阶法等.总结了每种方法的行列式特征. 关键词：行列式；定义；计算方法 Abstract: Determinant is one of higher algebra the most fundamental and important content, is a difficult point in Higher Algebra Learning. This paper mainly discusses the general order determinant of calculation method and some special determinant evaluation method. Such as: triangle method, method of Laplace theorem, ascending order method. This paper summarizes the determinant of the characteristics of each method. Keywords: Determinant ;Definition ;Calculation method 引言 行列式是高等代数的一个非常重要的内容，同时它也是非常复杂的.它的计算方法多种多样.在我们本科学习中只解决了一些基本的有规律的行列式.当遇到低阶行列式时，我们可以根据行列式的性质及其定义便能计算得出结果.但对于一些阶数较大的n阶行列式来说，用定义法就行不通了，本文根据各行列式的特征总结了一些对应方法. 1定义法 n阶行列式计算的定义：
行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 00100 2001000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质T A A =，
1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例1 计算行列式1 1231337952 4 213571464 410 10 2 D -----=-----． 解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算． 23 42 2131 4151 323411231 11231 1-12-31 00102020410 204-1 020*********-10-20215302153001-120 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 r r r r r r r r r r r r D +---?+------------------
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法 姓名： 学号： 学院： 专业： 指导老师： 完成时间：
n阶行列式的计算方法 【摘要】 本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。 【关键词】 n阶行列式行列式的性质数学归纳法递推法加边法
Some methods of an n-order determinant calculation 【Abstract】In this paper, considering the characteristics of determinant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues . 【Key words】n-order determinant the property of the determinant the mathematical induction adding the edge method
行列式计算的若干种方法讲解
中南民族大学 毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法 学生姓名: 曹金金学号:08067005
指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日
中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名： 年月日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)
行列式计算的若干方法 摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通 过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods
行列式的计算技巧与方法总结
计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a 2211222112110 = 下三角形行列式 nn n n a a a a a a 21 222111000.2211nn a a a = 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a 221121 2221 11 0= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
,21222 21 11211nn n n n n a a a a a a a a a D = 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D 2122212 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .2 1 21112 112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n === 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D 2 12 21111211+++=. 则 212 1 21112112 1 21 11211 D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+= . 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法 1．利用对角线法则 “对角线法则”： （1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素 的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。 例 1 计算二阶行列式 D = 1 3 。 2 4 解： D = 1 3 = 1? 4 ? 3 ? 2 = ?2 2 4 例 2 计算三阶行列式 D = 1 2 0 4 ? 3 8 。 0 ?1 2 解： D = 1 2 0 4 ? 3 8 = 1? (?3) ? 2 + 2 ? 8 ? 0 + 0 ? 4 ? (?1) ? 0 ? (?3) ? 0 ? 2 ? 4 ? 2 ?1? 8 ? (?1) 0 ?1 2 = ?14 2．利用 n 阶行列式的定义 a 11 a 12 ? a 1 n n 阶行列式 D = a 21 a 22 ? a 2 n =∑ (?1) τ a 1 p 1 a 2 p 2 ? a np n ? ? ? ( p 1 p 2 ? p n ) a n 1 a n 2 ?a nn 其中 τ = τ( p 1 p 2 ? p n ) ， 求和式中共有 n ! 项。 显然有 a 11 a 12 ? a 1 n 上三角形行列式 D = a 22 ?a 2 n = a 11 a 22 ? a nn ? ? a nn a 11 下三角形行列式 D = a 21 a 22 ? = a 11 a 22 ? a nn ? ? a n 1 a n 2 ?a nn
关于行列式的一般定义与计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1( 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积. 其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质 性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 32 2311332112312213a a a a a a a a a 32 21133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D （1
即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= nn n n n n a a a a a a a a a 212221212111； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D=d c b a =ad-bc , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ,交换i,j 两列记作C i C j 。 性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值 等于零。 性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。（第i 行乘以k ，记作r i k ） 推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行 列式符号的前面。 推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行 列式值等于零。 推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列 式值等于零。 性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行 列 式 D 等 于 两 个 行 列 式 D 1 和 D 2 的 和 。
行列式的计算方法
行列式的计算方法 摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。 关键词：行列式矩阵降阶 The Methods of Determinant Calculation Abstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples. Keywords:determinant matrix reduction. 1．引言 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,