光学变换矩阵
光学谐振腔理论研究的基本问题是: 光频电磁场在腔内的传输规律：
从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和本征值。
由于开放式光腔侧面不具有确定的边界,一般情况下，不能在给定边界条件下对经典电磁场理论中的波动方程严格求解。因此,常采用一些近似方法来处理光腔问题。
1.光学谐振腔采用的分析理论
(1). 几何光学理论
忽略反射镜边缘衍射效应，将光看成光线，将几何光线和激光束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写，从而推导出谐振腔的稳定性条件。 此方法中，不同模式的光波按照传输方向来区分。 特点：简便、直观、规范、易于计算。
缺点：粗略、不能得到腔的衍射损耗、不能对腔模特性进行深入分析。 (2). 衍射光学理论
衍射效应明显，从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发，建立一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。
不同模式的光波按照光场纵向和横向分布、损耗、谐振频率来区分。 特点：比较精确、原则上可以求得任意光腔的模式。
缺点：对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了解析解。 本节课主要讨论利用几何光学的光线矩阵分析方法，根据开腔中光的几何偏折损耗的高低，对开腔加以科学的分类。
2 .光学变换矩阵的定义
光学变换矩阵是指傍轴光线通过光学元件后，描述其传播特性的参数发生变化的矩阵表达方法。
傍轴条件:
光线与光轴夹角 , 则有 。
r 1
r 2
1
θ2
θz
z 1z 2
傍轴光线通过光学系统传播的示意图
0θ→tan sin θθθ≈≈
光线传播特性的参数：
任何一条傍轴光线在某一给定横截面内都可以用两个坐标参数来表征：一个是光线离轴线的距离r, 称为位置坐标，另一个是光线与轴线之间的夹角θ，称为方向坐标。
规定如下的符号规则：
（1） 光线位置在轴线上方时距离r 取正值， 在轴线下方时取负值。 （2） 光线出射方向向上时θ取正值，出射方向向下时取负值。 （3） 将两个坐标值组成的列向量称为光线在某一截面处的坐标向量。
通过光学元件后，坐标向量的变化可用下边的矩阵形式表示：
式中， 为光学元件的出射截面处的光线坐标向量； 为光学元件的入射
截面处的光线坐标向量；
M 为该光学元件的光学变换矩阵，M= 是个 2×2阶矩阵。
3 .典型光学系统的光学变换矩阵
1）自由空间的光学变换矩阵
设光线出发时坐标为 ，传播L 距离后变为 。
容易得到
傍轴光线
写成矩阵表达形式为:
因此，自由空间传播L 距离的光学变换矩阵为:
2121r r M θθ????=???????
?
11
r θ?????
?
??
?
???D C B A r θ??
????
??
????22θr ()11,θr ()22,θr ??
?=+=1
2112tan θθθL r r 112tan θθθ≈≈????
?????? ?
?=???? ??1122101θθr L
r 101L M ??=??
??
2）球面反射镜的光学变换矩阵
凹面反射镜，设入射光线在镜面上的坐标为 ，出射光线在镜面上的坐标为 。
如图所示，O 为反射镜面曲率中心，A 为光线入（反）射点，0A 为曲率半径R ，B 为镜面中心，OB 为镜面轴线，α为入射或反射线与A 点处镜面法线间夹角，β为所对圆心角。
由图可写出： 、 、
傍轴近似条件下， 为： 把位置坐标与方向坐标结合在一起，得到球面反射镜的光学变换矩阵为：
众所周知，球面镜的焦距，即焦点到镜面顶点的距离等于镜面曲率半径的一
半， ，球面反射镜的光学变换矩阵也可以用焦距F 表示为：
此式还可以作为透镜的光学变换矩阵用，这是因为透镜和面镜对光线的变换规律是一样的，只不过面镜是反光镜、而透镜是折射光而已。其中，凸透镜与凹面镜都是对光起会聚作用的，因此，它们的焦距都为正；凹透镜与凸面镜都是对光起发散作用的，因此，它们的焦距都为负。 3）共轴球面谐振腔
如图所示，a.设光线从M 1反射镜出发，坐标为
b.到达反射镜M 2 ,其坐标为 ，变换矩阵为
()11,θr ()22,θ
r 21r r =1θαβ+=212θθα-=+βR r 1=
β112()θβθ=+-212θθα-=+1
2βθ=-1
12r R
θ=-1
212
r R
θθ=-+???121
2r R
θθ
=-+2
1r r =1
02
1M R
????=??-??
1
01
1M F
????=??-??
11r θ?????
?
22r θ??
????
1101L M ??
=??
??
2R F =
c.经过M 2反射镜的反射，坐标变为
，变换矩阵为
d.又直线传播L 距离，回到M 1反射镜，坐标变为 ，变换矩阵为
e.最后再经过M 1反射镜反射，坐标变为 ，变换矩阵为 因此，光线在腔内往返一周的总的变换矩阵应是：
此变换矩阵称为往返矩阵，它的4个元素经计算后分别为：
如果光线在球面谐振腔内往返n 次，则它的光学变换矩阵就应该是往返矩阵M 的n 次方，按照矩阵理论： = 式中，
M n
称为n 次往返矩阵。若用 表示初始出发时的光线坐标， 表示经过n 次往
返后的光线坐标，则有
例：入射光线坐标 ，
，求通过曲率半径为R=0.2m 的凹面反射镜后的光线坐标。
解：反射前坐标向量为:
凹面反射镜的变换矩阵为:
33r θ??
????
221
021M R ????=??
-????
44r θ??????3101L M ??
=????
41
10
21M R ??
??=??-??
?
?
55r θ??????43211
1
02
1M M M M M R ??
??==??-????
??????101L ?
??
??
??????---=+-=-=-=121212122
2)21)(21()
11(24)1(221R L
R L R L D R R R R L C R L L B R L A n n n
n n A B M C D ??=????
??????----???????)1sin(sin sin sin )1sin(sin sin 1n n D n C n B n A )(2
1
arccos D A +=?11r θ??
????
n n r θ???????
?
?
+=+=11211θθθn n n n n D r C B r A r 14r =10.1rad θ=1140.1r θ????=??????
??21012101L R ??
????????-??????
221
0440.110.10.3r θ????????==????????
--?
???????1
01
0102
2
0.11110.2M R ??????????===??????---??
????
厚透镜传输矩阵推导
2112210n n n n r n ????-??????()123 212121121212121122212121121212121122221122121111212122101010111011T TT T d n n n n n n n r n n r n n n n d d r n n n n n n n n n r n n r n n n n d d r n n d n n n n n n n n d n r n r n n r r r =??????????=--????????????????-??+????????=-??-??????????-+=----+-+2n ??????????????1212210n n n n r n ????-?????? 21'22H l n n d f r n -=-'21'12H l n n d f r n -=-厚透镜传输矩阵推导 推导过程主要参考张以谟主编的《应用光学》第3版，以下简称《应用光学》。 激光原理书中已给出球面折射的光线传输矩阵： 其推导较为简单，这里需注意，传输矩阵中的符号是由自己定义的，如书中对r 的符号的定义为光线遇到凹面镜时取0r >，光线遇到凸面镜时取0r <。因为下文中用到的诸多公式都来自《应用光学》，为了符号规则统一，下面我们按照《应用光学》中的符号定义规则来重新推导。《应用光学》中关于符号定义的规则：沿轴光线，以折射面或反射面的顶点为原点O ，如果由顶点O 到光线与光轴的交点或球心的方向与光线传播方向相同，其值为正，反之为负。按此规则，则光线遇到凹面镜时取0r <，光线遇到凸面镜时取0r >，与书中的规定正好相反，因此球面折射的光线传输矩阵应改为： 对于周围介质折射率为1n ，本身折射率为2n 的厚透镜，设其前后两个曲面曲率半径分别为1r ， 2r ，厚度为d ，可列写起传输矩阵： 由《应用光学》稍加进一步推导可知： 其中H l ， 'H l 分别为物方主面和像方主面位置。即主面到透镜顶点的距离，符号按前述规则取。 详细推导见《应用光学》P54页，书中推导时令1n =1。 另外，厚透镜的像方焦距为：
传输矩阵法复习进程
传输矩阵法 一、 传输矩阵法概述 1. 传输矩阵 在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。如图1(a)所示， 在(a)中若已知A 点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R ，便可求出B 点电压。传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。 (a) (b) 图1 传输矩阵模型及电路模拟模型 如图1(b)所示，有这样的关系式存在： E 0=M(z)E 1。M(z)即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A 、B 两点的电势联系起来的实质是相似的。 图2 多层周期性交替排列介质 传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图2所示）， M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用 j M 表示第j 层的特征矩阵，则有： 1 2 3 4 …… j …… N
（1） 其中， （2） j δ为相位厚度，有 （3） 如公式（2）所示，j M 的表示为一个2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。 2. 传输矩阵法 在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义： 传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。 从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。 传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。 二、 传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论 1.麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组由四个场量：D 、E 、B 、H ，两个源量：J 、ρ以及反映它们之间关系的方程组成。而且由媒质方程中的参数ε、μ、σ反映介质对电磁场的影响。方程组的实质是描述电磁场的传播，即：一个变化的磁场引起邻近区域的电场变化，而此电场的变化又引起邻近磁场的变化，如此进行下去，便可抽象出电磁场的传播。如图3 所示。 ? ? ? ???==∏=D C B A M z M N j j 1)(????? ?????=j j j j j j j i i M δδηδηδcos sin sin cos j j j j d N θλπ δcos 2=ε
传递矩阵-matlab程序
%main_critical.m %该程序使用Riccati传递距阵法计算转子系统的临界转速及振型 %本函数中均采用国际单位制 % 第一步：设置初始条件（调用函数shaft_parameters） %初始值设置包括：轴段数N，搜索次数M %输入轴段参数：内径d,外径D，轴段长度l，支撑刚度K，单元质量mm，极转动惯量Jpp[N,M,d,D,l,K,mm,Jpp]=shaft_parameters; % 第二步：计算单元的5个特征值（调用函数shaft_pra_cal） %单元的5个特征值： %m_k：:质量 %Jp_k：极转动惯量 %Jd_k：直径转动惯量 %EI：弹性模量与截面对中性轴的惯性矩的乘积 %rr：剪切影响系数 [m_k,Jp_k,EI,rr]=shaft_pra_cal(N,D,d,l,Jpp,mm); % 第三步：计算剩余量（调用函数surplus_calculate）,并绘制剩余量图 %剩余量：D1 for i=1:1:M ptx(i)=0; pty(i)=0; end for ii=1:1:M wi=ii/1*2+50; [D1,SS,Sn]=surplus_calculate(N,wi,K,m_k,Jp_k,JD_k,l,EI,rr); D1; pty(ii)=D1; ptx(ii)=w1 end ylabel(‘剩余量’)； plot(ptx,pty) xlabel(‘角速度red/s’); grid on % 第四步：用二分法求固有频率及振型图 %固有频率：Critical_speed wi=50; for i=1:1:4 order=i [D1,SS,Sn]=surplus_calculate(N,wi,k,m_k,Jp_k,Jd_k,l,EI,rr); Step=1; D2=D1; kkk=1; while kkk<5000 if D2*D1>0 wi=wi+step;
传输矩阵在物理学
传输矩阵在物理学中的前沿应用 2013261021 李霄强
传输矩阵在物理学中的前沿应用 2013261021 李霄强 传输矩阵法(TMM) 就是将麦克斯韦方程组转换为传输矩阵的形式, 应用传输矩阵进行分析的方法。 为了了解传输矩阵的前沿应用，我查找并阅读了几篇关于传输矩阵应用的文献，这些都是使用传输矩阵解决问题。列如《传输矩阵法在行波管内部反射引起的增益波动计算中的应用》、《光纤光栅法布里-珀罗腔的V-I传输矩阵法研究》及《用传输矩阵法研究微波波段准一维同轴光子晶体能隙结构》。 在《传输矩阵法在行波管内部反射引起的增益波动计算中的应用》一文中，研究者分析了由于行波管慢波结构制造误差引入的多个不连续点对小信号增益的影响. 行波管内部反射对增益波动的影响, 须采用考虑反射波的四阶模型进行分析, 用传输矩阵法对节点处的自左至右入射和自右至左入射两种散射类型建立传输矩阵, 研究在不同空间电荷参量下, 慢波电路的单个反射节点以及慢波电路的皮尔斯速度参量b 和增益参量C 的多个随机分布不连续性对行波管小信号增益的影响。即通过传输矩阵可以将一个层面上的电磁波幅值与紧邻的另一个层面的电磁波幅值联系起来,如果知道了第一段入射波分布, 就可以利用传输矩阵法计算最后一段电磁波分布，将第一段电磁波幅值与最后一段电磁波幅值联系起来, 通过求解边界条件, 就可以求任一段电磁波幅值，也可以求出行波管的增益。 在《光纤光栅法布里-珀罗腔的V-I传输矩阵法研究》中，研究者要进行光纤光栅法布里-珀罗腔反射光谱特性的分析，由于目前对于结构简单的光栅构成的法布里-珀罗腔的特性分析多采用偶合模理论。但对于复杂结构的光栅，由于难以得到解析解，一般采用四阶的龙格-库塔方法进行数值求解或采用多层膜法进行分析计算。这两种方法都可以保证分析精度，但求解速度较慢。要快速实时获得光器件、光通信系统以及光传感系统的特性，由于庞大的运算量而引起耗费时间过长成为突出问题。研究者将V-I传输矩阵法用于光纤光栅法布里-珀罗腔反射光谱特性的分析，并建立了V-I传输矩阵模型。V-I传输矩阵法是2003年Capmany 基于多层膜方法提出的用于计算光纤光栅反射谱特性的方法，采用该模型对三种不同结构的光纤光栅法布里-珀罗腔在不同参数下的光谱特性进行分析，并与传统多层膜法的分析结果相比较，表明V-I传输矩阵法能够在保证分析精度的前提下大大节省运算时间。而且实验结果表明，V-I传输矩阵法对光纤光栅法布里-珀罗腔特性的分析结果比耦合模法更准确。这表明，传输矩阵法将会推动对级联光纤光栅、多法布里-珀罗腔级联的理论研究，并进一步发挥更大的作用。 在《用传输矩阵法研究微波波段准一维同轴光子晶体能隙结构》一文中，作者使用ABCD 传输矩阵传输线等效模型和布洛赫周期性边界条件分析计算了同轴准一维光子晶体中具有明显的光子带隙，而且计算结果与实验测试结果能很好地吻合。该文章中，作者写出了运用ABCD矩阵的详细过程。即利用ABCD传输矩阵与周期性边界条件分析输入变量和输出变量之间存在的关系，得到计算结果。 传输矩阵方法作为一种时域的数值方法，可以克服一般的频域分析方法所难以克服的问题，即（1）由于频域分析方法基于叠加原理，故而很难处理非线性问题。（2）不能处理具有时变特性的结构和介质的场问题。（3）由于一般的频域分析方法都要进行空间的傅里叶变换，故而很难处理具有复杂的，不规则的结构和边界的场问题。 传输矩阵方法也具有以下优点：（1）传输矩阵方法避免了求解复杂的方程组，因而不存在收敛与否，稳定与否和有无奇异解的问题。（2）物理概念清晰，非常便于计算机程序实现，而且程序的通用性很强。不同的结构、不同的介质只需改变相应的数据文件就可以计算。（3）可以用于分析高频（几十GHz到几百GHz的频率）、高速微波和数字电路的特性。
光矩阵传输原理
光矩阵传输特点 一、采用光纤传输 光纤传输，即以光导纤维为介质进行的数据、信号传输。光矩阵能够兼容基本上全部的视音频信号、同时其无损的信号传输功能也是其他模拟矩阵难以企及的。 二、传输距离远 通常75-5或75-3视频线缆理论传输距离约200米，普通VGA、DVI、HDMI等线缆传输距离大于15米则依信号分辨率、刷新率会发生不同程度的拖尾、重影、像素失真、信号噪点、信号丢失等情况。而目前利用光纤传输多模可达500米，单模可达数十公里。 三、数模信号兼容 矩阵类型主要指VIDEO、VGA、DVI、HDMI、SDI等，目前大型场所信号源众多，系统所需的信号切换矩阵和各种信号格式转换器很容易造成系统设计繁琐和信号损失。而光传输矩阵不仅能够兼容基本上全部的视音频信号、同时其无损的信号传输功能也是其他模拟矩阵所不具备的。如下： 1.支持包含数字高清信号的端到端的全数字解决方案。通道带宽3.2G，超过DVI规范中1.65G 的数据量的要求，满足数字高清信号对带宽的传输要求。 2.全面向下兼容模拟设备。 3.对不同的信号，数字光矩阵提供光传输通道，在信号源输入前端和输出后端完成各类接口到光纤之间的转换，如DVI/HDMI/SDI/HD-SDI等。 4.系统抗干扰能力强，稳定性好。 5.信号传输过程中无衰减。 6.单膜、多膜光模块灵活配置，满足用户对传输距离的不同要求。 7.设备采用插拔式结构，配置灵活，输入/输出接口可任意配置，既可以为光纤接口或是电接口（DVI）接口（DVI接口支持DDC通道的切换）。 8.设备容量从8×8到32×32，最大可到144×144灵活配置选择。 9.光接口全部采用SFP封装的模块，接口模块（板）支持热插拔，方便设备的升级和维护。 10.设备采用双电源冗余供电，有强制散热措施，确保系统24小时连续工作。 四、抗干扰，更安全 能够抵抗电磁干扰，包括核子造成的电磁脉冲；对电信号的阻抗极高，所以能在高电压或是地面电位不同的状况下安全工作；重量较轻，接头线缆不会产生火花；没有电磁辐射、不易被窃听，对于需要高度安全的系统而言十分重要；光纤另外一项重要的优点是即使跨越长距离的数条光纤并行，光纤与光纤之间也不会产生串讯的干扰，这和传输电信号的传输线正好相反。
用传输矩阵法计算一维光子晶体的带隙特性研究
一维光子晶体带隙特性研究1103011013 黄蓓粉体一班 摘要：光子晶体是20世纪80年代末提出的新概念和新型人工微结构光学材料。光子晶体以光子禁带的存在为主要特征，其典型结构为一个折射率周期变化的物体。一维光子晶体是光子晶体最基本的构型，其折射率在一维空间方向上呈周期性分布。一维光子晶体结构简单、易于制备，同时具备二维、三维光子晶体的性质，极有可能成为全光通信领域中的关键材料，因此具有较高的理论价值和广泛的应用前景。 关键词：光子带隙特征矩阵规律 1 引言 光子晶体是一种折射率周期变化的人工微结构材料,其典型结构为一个折射率周期变化的三维物体,周期为光波长量级. 光子在光子晶体中传播存在光子带隙.，频率落在光子带隙的电磁波不能在光子晶体中传播,光子晶体的这种特性具有极大的理论价值和潜在的应用前景。在光子晶体中掺杂后,会在光子能隙中引入局域模式,这将给激光技术和非线性光学等带来全新的应用,如制作零阈值激光器、光滤波器、慢光缓存器、慢光传感器等。 理论研究发现，对于含有缺陷的一维光子晶体，在光子禁带（PBG：Photonic Band Gap）的带边和缺陷模对应的频率位置，
光的传输具有极低的群速度，Scalorta 等人发现在带边处，光脉冲传输速度可以降低到c/17（c 为真空中光速），大约为1.76×107m/s 。 光子晶体的理论计算已相对成熟 ,本文旨在应用现有的计算方 法，建立一维光子晶体模型并讨论一维光子晶体在不同结构参数和参数下的光学传输特性。 2方法与原理 2.1模型的建立 一维光子晶体由两种不同相对介电常量 (εa ,εb ) 、厚度( a , b) 的薄介质层交替排列构成的一维周期性结构 材料. 如图 1 所示 ,空间周期为 d = a + b ,一束频率 为 ω的光从左向右正入射到图中所示的一维周期 性结构材料中. 将光波在介质层中的行 进看作是正向行进电磁波 (下行波) 和反向行进电磁 波 (上行波) 的叠加. 介质交界面处的电磁场满足边 界条件. 每一介质层与光波的相互作用可由其矩阵完全决定. 介质层两边的场矢量 E Ⅰ , H Ⅰ , E H Ⅱ的模可用特征矩阵联系起来 : E E M H H I II I II ????=????????
改进传递矩阵法
JOURNAL OF SOUND AND VIBRATION Journal of Sound and Vibration 289(2006)294–333 A modi?ed transfer matrix method for the coupling lateral and torsional vibrations of symmetricrotor-bearing systems Sheng-Chung Hsieh a ,Juhn-Horng Chen b ,An-Chen Lee a,? a Department of Mechanical Engineering,National Chiao Tung University,1001Ta Hsueh Road, Hsinchu 30049,Taiwan,ROC b Department of Mechanical Engineering,Chung Hua University,Taiwan,ROC Received 27January 2004;received in revised form 9August 2004;accepted 8February 2005 Available online 28April 2005 Abstract This study develops a modi?ed transfer matrix method for analyzing the coupling lateral and torsional vibrations of the symmetricrotor-bearing system with an external torque.Euler’s angles are used to describe the orientations of the shaft element and disk.Additionally,to enhance accuracy,the symmetric rotating shaft is modeled by the Timoshenko beam and considered using a continuous-system concept rather than the conventional ‘‘lumped system’’concept.Moreover,the harmonic balance method is adopted in this approach to determine the steady-state responses comprising the synchronous and superharmonic whirls.According to our analysis,when the unbalance force and the torque with n ?frequency of the rotating speed excite the system simultaneously,the en t1T?and en à1T?whirls appear along with the synchronous whirl.Finally,several numerical examples are presented to demonstrate the applicability of this approach. r 2005Elsevier Ltd.All rights reserved. 1.Introduction Rotor dynamics plays an important role in many engineering ?elds,such as gas turbine,steam turbine,reciprocating and centrifugal compressors,the spindle of machine tools,and so on.Owing to the growing demands for high power,high speed,and light weight of the rotor-bearing https://www.360docs.net/doc/e513399585.html,/locate/jsvi 0022-460X/$-see front matter r 2005Elsevier Ltd.All rights reserved.doi:10.1016/j.jsv.2005.02.004 ?Corresponding author.Tel.:+88635728513;fax:88635725372. E-mail address:aclee@https://www.360docs.net/doc/e513399585.html,.tw (An-Chen Lee).
光学变换矩阵
光学谐振腔理论研究的基本问题是: 光频电磁场在腔内的传输规律： 从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和本征值。 由于开放式光腔侧面不具有确定的边界,一般情况下，不能在给定边界条件下对经典电磁场理论中的波动方程严格求解。因此,常采用一些近似方法来处理光腔问题。 1.光学谐振腔采用的分析理论 (1). 几何光学理论 忽略反射镜边缘衍射效应，将光看成光线，将几何光线和激光束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写，从而推导出谐振腔的稳定性条件。 此方法中，不同模式的光波按照传输方向来区分。 特点：简便、直观、规范、易于计算。 缺点：粗略、不能得到腔的衍射损耗、不能对腔模特性进行深入分析。 (2). 衍射光学理论 衍射效应明显，从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发，建立一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。 不同模式的光波按照光场纵向和横向分布、损耗、谐振频率来区分。 特点：比较精确、原则上可以求得任意光腔的模式。 缺点：对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了解析解。 本节课主要讨论利用几何光学的光线矩阵分析方法，根据开腔中光的几何偏折损耗的高低，对开腔加以科学的分类。 2 .光学变换矩阵的定义 光学变换矩阵是指傍轴光线通过光学元件后，描述其传播特性的参数发生变化的矩阵表达方法。 傍轴条件: 光线与光轴夹角 , 则有 。 r 1 r 2 1 θ2 θz z 1z 2 傍轴光线通过光学系统传播的示意图 0θ→tan sin θθθ≈≈
光线传播特性的参数： 任何一条傍轴光线在某一给定横截面内都可以用两个坐标参数来表征：一个是光线离轴线的距离r, 称为位置坐标，另一个是光线与轴线之间的夹角θ，称为方向坐标。 规定如下的符号规则： （1） 光线位置在轴线上方时距离r 取正值， 在轴线下方时取负值。 （2） 光线出射方向向上时θ取正值，出射方向向下时取负值。 （3） 将两个坐标值组成的列向量称为光线在某一截面处的坐标向量。 通过光学元件后，坐标向量的变化可用下边的矩阵形式表示： 式中， 为光学元件的出射截面处的光线坐标向量； 为光学元件的入射 截面处的光线坐标向量； M 为该光学元件的光学变换矩阵，M= 是个 2×2阶矩阵。 3 .典型光学系统的光学变换矩阵 1）自由空间的光学变换矩阵 设光线出发时坐标为 ，传播L 距离后变为 。 容易得到 傍轴光线 写成矩阵表达形式为: 因此，自由空间传播L 距离的光学变换矩阵为: 2121r r M θθ????=??????? ? 11 r θ????? ? ?? ? ???D C B A r θ?? ???? ?? ????22θr ()11,θr ()22,θr ?? ?=+=1 2112tan θθθL r r 112tan θθθ≈≈???? ?????? ? ?=???? ??1122101θθr L r 101L M ??=?? ??