电路分析第12章

12－1 已知对称三相电路的星形负载阻抗Ω+=)84165(j Z ，端线阻抗Ω+=)12(1j Z ，中线阻抗，中线阻抗Ω+=)11(j Z N ，线电压V U 3801=。求负载端的电流和线电压，并作电路的相量图。

题解12-1图

解：按题意可画出对称三相电路如题解12－1图（a ）所示。由于是对称三相电路，可以归结为一相（A 相）电路的计算。如图(b)所示。

令V U U A

022003

1∠=∠=，根据图（b ）电路有 A 98.26174.185

16702201 -∠=+∠=+=j Z Z U I A A

根据对称性可以写出

A 98.146174.12 -∠==A

B I a I A 02.93174.1 ∠==B

C I a I 负载端的相电压为

275.090.21798.26174.1)85165(∠=-∠?+==''j I Z U A N A 故，负载端的线电压为

V 3041.377303 ∠=∠=''''N A B A U U 根据对称性可以写出

V 9041.3772 -∠==''''B A C B U a U V 15041.377 ∠==''''B

A A C U a U 电路的向量图如题解12－1图（c ）所示。

12－2 已知对称三相电路的线电压V U 3801=（电源端）

，三角形负载阻抗Ω+=)145.4(j Z ，端线阻抗Ω+=)25.1(1j Z 。求线电流和负载的相电流，并作相量图。

解：本题为对称三相电路，可归结为一相电路计算。先将该电路变换为对称Y －Y 电路，如题解12－2图（a ）所示。图中将三角形负载阻抗Z 变换为星型负载阻抗为 Ω+=+?==

)67.45.1()145.4(3

1

31j j Z Z Y

题解12－2图

令V U U A

?∠=∠=022003

1 ，根据一相（ A 相）计算电路（见题解12－1图（b ）中），有线电流A

I 为

A 78.6508.3067

.6302201 -∠=+∠=+=j Z Z U I Y A A

根据对称性可以写出

A 78.18508.302 -∠==A

B I a I A 22.5408.30 ∠==A

C I a I 利用三角形连接的线电流与相电流之间的关系，可求得原三角形负载中的相电流，有

A 78.3537.17303

1 -∠=∠=''A

B A I I 而 A 78.15537.172 -∠==''''B A

C B I a I A 22.8437.17 ∠==''''B A A C I a I 电路的相量图如题解12－2图（b ）所示。

注：从12－1和12－2题的计算分析中可以归纳出Y —Y 联结的对称三相正弦交流电路的如下特点：

（1）中性点等电位，有0'.

=NN

U ，中线不起作用，即不管有无中线，电路的情况都一样。

（2）各相具有独立性。即各相的电压和电流只与各相的电源和负载有关，且和各相电源为同相序的对称量。

由以上特点可以得出计算对称三相电路的一般方法和步骤为：

（1）应用△－Y 等效变换（△Z Z Y 31=， 303-∠=AB A U U ）把三相电路化为对称的

Y －Y 联接。

（2）用虚设的、阻抗为零的中线联接中性点，取出一相（一般为Ａ相）电路，计算对应的电压、电流。

（3）根据对称性，推出其余二相的电压、电流。

需要注意，对称三相电路中电压和电流相值与线值之间的关系，即（1）Y 联接中，

3031∠=ph U U ，ph I I =1；（2）△联接中，ph U U =1， 3031-∠=ph I I 。

12－3 对称三相电路的线电压V U 2301=，负载阻抗Ω+=)1612(j Z 。试求： （1）星形连接负载时的线电流及吸收的总功率；

（2）三角形连接负载时的线电流、相电流和吸收的总功率； （3）比较（1）和（2）的结果能得到什么结论？

解：（1）星形连接负载时把对称三相电路归结为一相（A 相）计算。令电源相电压

V U U A 079.13203

1∠=∠=，且设端线阻抗01=Z ，根据一相计算电路，有线电流A

I 为 A 13.5364.61612079.132 -∠=+∠==j Z U I A A 根据对称性可以写出

A 13.17364.62 -∠==A

B I a I A I a I A

C 87.6664.6 ∠== 故星形连接负载时吸收的总功率为

W 11.158713.53cos 64.62303cos 311=???== z I U P ?

（2）三角形连接负载时，令负载端线电压（即为相电压）

V U U U AB B A 023001∠=∠==''（因为01=Z ），则三角形负载中的相电流B

A I '' 为 A 13.535.1116120230 -∠=+∠==''''j Z U I

B A B A 则 A 13.1735.112 -∠==''A

C B I a I A 87.665.11 ∠==''A

A C I a I 利用三角形连接的线电流与相电流的关系，可求得线电流A I 为 A 13.8392.19303 -∠=-∠=''B

A A I I 则 A 13.20392.192 -∠==A

B I a I A 87.3692.19 ∠==A

C I a I 故，负载所吸收的总功率为

W 34.476113.53cos 92.192303cos 311=???== z I U P ?

（3）比较（1）和（2）的结果能得到在相同的电源线电压下，负载由Y 联接改为△连接后，相电流增加到原来的3倍，线电流增加到原来的3倍，功率也增加到原来

的3倍。

注：不论对称负载是Y 形连接还是△形连接，计算三相负载总功率的公式是相同的即z ph ph z I U I U P ??cos 3cos 311==。

12－4 图示对称工频三相耦合电路接于对称三相电源，线电压V U 3801=，Ω=30R ，

H L 29.0=，H M 12.0=。求相电流和负载吸收的总功率。

题12－4图

解：电路为对称三相电路，去耦等效电路如题解12－4图所示，可归结为一相（A 相）电路来计算。

A

A I M j L j R U )(ωω-+= 令相电压A U 为：V U U A ?∠=∠=022003

1 ，则相电流A

I 为 A j M L j R U I A

A

?-∠=+∠=-+=66.60593.338

.53300220)( ω

根据对称性可以写出

A 66.180593.32 -∠==A

B I a I A 34.59593.3 ∠==A

C I a I 负载吸收的总功率为

W 78.116130593.33322

=??==R I P A

题解12－4图

12－5 图示对称Y －Y 三相电路中，电压表的读数为1143.16V ，Ω+=)31515(j Z ，

Ω+=)21(1j Z 。求图示电路电流表的读数和线电压AB U 。

题12－5图

解：图示电路为对称Y －Y 三相电路，故有0='N N U ，可以归结为一相（A 相）电路的计算。

根据题意知V U B A 16.1143=''，则负载端处的相电压N A U ''为 V 6603

16

.11433===''''B A N A U U 而线电流为

A 2230

6601===''Z U I N A （电流表读数） 故电源端线电压AB U 为

V 2.122822232.3233111=??=+==I Z Z U U AB

12－6 图示为对称的Y －Y 三相电路，电源相电压为220V ，负载阻抗Ω+=)2030(j Z 。求：（1）图中电流表的读数；（2）三相负载吸收的功率；（3）如果A 相的负载阻抗等于零（其他不变），再求（1），（2）；（4）如果A 相负载开路，再求（1），（2）。

题12－6图

解：图示电路为对称Y －Y 三相电路，故有0='N N U ，可归结为一相（A 相）电路的计算。

（1）令V U AN 0220∠=，则线电流A

I 为 A 69.331.620300220 -∠=+∠==j Z U I AN A

故图中电流表的读数为A 1.6。 （2）三相负载吸收的功率为

W 3349301.63322

=??==R I P A

（3）如果A 相的负载阻抗等于零（即A 相短路），则B 相和C 相负载所施加的电压均为电源线电压，即N '点和A 点等电位，而

V 30380303 ∠=∠=

AN

AB U U V U a U U AB CA AC 30380-∠=-=-= 此时三相负载端的各相电流为

A 69.354.1020

30 30380 -∠=+∠=='j Z U I AB

B

N A 69.6354.1020

30 30380 -∠=+-∠=='j Z U I AC C N

A

7.3318.26 69.6354.1069.354.10

-∠=-∠+-∠=+=''C N B N A I I I

这时图中的电流表读数变为18.26A 。 三相负载吸收的功率变为：

W 5.6665

30)54.10(222

2=??=='R I P B N （4）如果图示电路中A 相负载开路，则B 相和C 相负载阻抗串联接入电压BC U 中，而

V 9038030322 -∠=∠==AN AB BC U a U a U 此时三相负载中的各相电流为

0=A

I V j Z U I I BC

N

C N B 69.12327.5)

2020(2903802-∠=+?-∠==-='' 这时图中的电流表读数为零。 三相负载吸收的功率为

W 4.1666

30)27.5(222

2=??=='R I P N B 注：在问题（3）和（4）的求解中，对称三相电源的对称性是不变的，但A 相负载的变化，使得三相负载为不对称负载，从而使各相负载的电压、电流和吸收的功率发生变换。

12－7 图示对称三相电路中，V U B A 380=''，三相电动机吸收的功率为kW 4.1，其功率因数866.0=λ（滞后），Ω-=551j Z 。求AB U 和电源端的功率因数λ'。

题12－7图

解：图示为对称三相电路，可以归结为一相电路的计算，如题解12－7图所示。

题解12－7图

令V U U B A N A 022003

∠=∠=''''。由已知条件可求得线电流A

I 为 A 45.2866

.022031400

cos 3=??==

''?N A A U P I

而负载Z （为三相电动机每相的阻抗）的阻抗角为 30866.0arccos ==-=i u ψψ? 则 30-=i ψ

故 A 3045.2 -∠=A I 根据一相计算电路，有电源端相电压AN U 为

V

U I Z U N A A AN

4.3713.1920220304

5.290-55 1-∠=∠+-∠?∠=+='

'

则电源端线电压AB

U 为 V 4.778.332303 -∠=∠=AN AB U U 电源端的功率因数为

9917.0)4.7cos()304.37cos(=-=+-=' λ（超前）

12－8 图示为对称的Y －△三相电路，V U AB 380=，Ω+=)64.475.27(j Z 。求：（1）图中功率表的读数及其代数和有无意义？（2）若开关S 打开，再求（1）。

题12－8图

解：（1）图示电路中两个功率表的读数分别为

]Re[*1A AB I U P = ]Re[*2C CB I U P = 则

P

I U I U I U I U I I U I U I U U I U U I U I U P P C C B B A A C

C C

A

B

A

A C

B C A B A C CB A AB =++=++-=-+-=+=+]Re[ ]

)(Re[ ])()Re[( ]

Re[***********21 以上表示说明1P 和2P 的读数没有什么意义，但1P 和2P 的代数和代表了三相电路负载吸收的总功率，这就是用两个功率表的方法来测量三相功率的原理（称二瓦计法）。 开关S 闭合时，图示电路为对称三相制，此时有

)30cos(U )30cos(U )cos(

]Re[1111*1

+=-+=-==z iA uA iA uAB A AB A AB I I I U I U P ?ψψψψ

)

30cos(U )30cos(U )cos(]Re[1111*2

-=--=-==z iC uC iC uCB C

CB C CB I I I U I U P ?ψψψψ

本题中V U U AB 3801==，线电流为 A 965.1164

.47275380332

2

1=+?==AB A I I I

阻抗角 605

.2764

.47arctan

==z ? 所以两功率表的读数为

090cos 965.11380)30cos(W 1111=??=+==

z

I U P ? W 558.393730cos 965.11380)30cos(W 1122=??=-== z I U P ?

负载吸收的总功率为

W 558.3937

21=+=P P P （2）开关S 打开，图示电路变为不对称三相电路，但电源端仍为对称三相电源。

故，令V 30380 ∠=AB U ；仍有 90380∠=CB U ，则此时线电流A

I 和C I 为 A 3091.6 -∠===Z

U I I AB AB A

A 3091.664

.475.2790380 ∠=+∠===j Z U I I CB

CB C 这时，两功率表读数为

W

9.1312cos606.91380 ]3091.630380Re[]Re[*11=??=∠?∠===

A A

B I U P W

W

9.1312cos606.91380 ]3091.690380Re[]Re[*22=??=-∠?∠===

C CB I U P W

所以，负载吸收的总功率

W 8.2625

11=+=P P P 注：本题的分析结果说明，在三相三线制电路中，不论对称与否，都可使用二瓦计法来测量三相功率。需要指出，两个功率表在电路中的联结方式有多种，但必须把其电流线圈串入任意两端线中（本题为A ，C 线），他们的电压线圈的非电源端（无星号*端）共同接到第三条端线上（本题为B 线）。在一定的条件下，两个功率表之一的读数可能为负，求代数和时该读数应取负值。

12－9 已知不对称三相四线制电路中的端线阻抗为零，对称电源端的线电压

V U 3801=，不对称的星形连接负载分别是Ω+=)23(j Z A ，Ω+=)44(j Z B ，Ω+=)12(j Z C 。试求：（1）当中线阻抗Ω+=)34(j Z N 时的中点电压、线电流和负载吸收的总功率；（2）当0=N Z 且A 相开路时的相电流。如果无中线（即∞=N Z ）又会怎样？

解：题解12－9图所示电路为不对称三相四线制电路。

题解12－9图

（1）设对称电源端的相电压V U U A 022003

1∠=∠=，则V U B

120220-∠=；V U C 120220∠=，中点电压N

N U ' 为 V 52.11509.501111 ∠=+++++='N

C B A C

C B B

A A N

N Z Z Z Z Z U Z U Z U U 所以，各相负载的电流（即线电流）为

A 29.4417.682

352.11509.500220 -∠=+∠-∠=-='j Z U U I A N N A A A 52.15551.444452.11509.50120220 ∠=+∠--∠=-='j Z U U I B N N B B

A 67.9407.761252.11509.50120220 ∠=+∠-∠=-='j Z U U I C N N C C

A 65.7802.103

452.11509.50 ∠=+∠=='j Z U I N N N N

负载吸收的总功率为

kW

439.33 2

)07.76(4)51.44(3)17.68(222222=?+?+?=++=C C B B A A R I R I R I P

（2）当0=N Z 且A 相开路（即∞=A Z ）时，有0='N N U ，0=A I ，B 相和C 相互不影响，有

A 16589.3844120220 -∠=+-∠==j Z U I

B B B

A 43.9339.981

2120220 ∠=+∠==j Z U I C C C

A 43.11628.9843.9339.9816589.38 ∠=∠+-∠=+=C

B N I I I 如果无中线，即∞=N Z 且A 相开路，有0=N I ，0=A

I ，则 81.12966.4881

.3981.79038056-∠=∠-∠=+-=+=j U U Z Z U I C B C B BC B 而 A 81.12966.48 -∠-=-=B

C I I 注：本题的计算说明，不对称三相电路不具有对称三相电路的特点，因而必须采用正弦稳态电路的方法进行分析。

12－10 图示电路中年，对称三相电源的线电压V U 3801=，Ω+=)5050(j Z ，

Ω+=)100100(1j Z ，A Z 为R ，L ，C 串联组成，Ω=50R ，Ω=314L X ，Ω-=264C X 。试求：（1）开关S 打开时的线电流；（2）若用二瓦计法测量电源端三相功率，试画出接线图，并求两个功率表的读数（S 闭合时）。

题12－10图

解：（1）标出各线电流参考方向如图所示。开关S 打开时，图示电路中 Z j X X j R Z C L A =Ω+=++=)5050()(

所以，此时电路为三相对称电路，有0='N

N U ，可以归结一相（A 相）电路的计算。

令电源端相电压：V U U AN

02203

1∠==，则 A 4511.350

500220 -∠=+∠==='j Z U I I AN A

A 根据对称性可以写出

A 16511.32 -∠==='A

B B I a I I A 7511.3 ∠=='A

C I a I

题解12－10图

（2）开关S 闭合时，用二瓦计法测量电源端三相功率的接线图如题解12－10图所示。这时，在A ，B 断线之间接入阻抗1Z 后，电路为不对称三相电路，但电源仍为对称

三相电源。令V U AN 0220∠=，则V U BN 120220-∠=，V U CN 120220∠=；而V U AB

30380∠=，V U BC 90380-∠=，V U a U U AB CA AC 30380-∠=-=-=。即，负载Z 上的线电压和相电压均未变，则三个负载阻抗Z 中的电流A I ，B I 和C I 不变，但A I ' 与B

I ' 因加入阻抗1Z 中的电流1I 而变化。电流1

I 为 A 15687.2100

1003038011

-∠=+∠==j Z U I AB 故由图知

A 12.3160.515687.24511.31 -∠=-∠+-∠=+='I I I A A A 87.17860.515687.216511.31

-∠=-∠--∠=-='I I I B B 两功率表的读数为

)cos(]Re[*1A AC I U A AC A AC I U I U P '-'='= ψψ W 6.212712.1cos 6.5380=??=

)cos(]Re[*2B BC I U B BC B BC I U I U P '-'='= ψψ W 97.4187.88cos 6.5380=??=

注：《电路》（第四版）教材P258中的式（12－3）只能用于计算对称三相制电路中的功率表读数。对于不对称三相电路中的功率表读数要用本题所采用的方法计算。

12－11 图（a ）为对称三相电路，经变换后可获得图（b ）所示一相计算电路。试说明变换的步骤并给出必要的关系。

题12－11图

解：欲将图（a ）所示的对称三相电路变换为图（b ）所示的一相计算电路，需先将图（a ）电路变换为对称的Y －Y 三相电路，然后，再化为一相计算电路。其变换步骤如下：

（1）将三相电源由原来的三角形连接变换为星形连接，有

303

303-∠=-∠='A AB A

U U U （2）将图（a ）电路负载端的三角形连接的阻抗4Z 变换为星形连接，既有44

31Z Z ='，

并增加了此负载端处的中性点N '。

（3）可以证明中性点N ，N '和1N 是等电位点，因此，即可获得图（b ）所示的一相计算电路。

12－12 已知对称三相电路的负载吸收的功率为2.4kW ，功率因数为0.4（感性）。试求：(1)两个功率表的读数（用二瓦计法测量功率时）；（2）怎样才能使负载端的功率因数提高到0.8？并再求出两个功率表的读数。

解：（1）用二瓦计法测量功率的接线图如题解12－12图所示。对称三相电路两功率表的读数为

)30cos(111 -=?I U P )30cos(112 +=?I U P 根据题意知阻抗角 422.664.0arccos ==? 由kW I U P 4.2cos 311==?，可得

33

1110464.34.03104.2cos 3?=??==?P I U

所以，两功率表的读数为

kW 787.2422.36cos 10464.3)30cos(31111=??=-== ?I U P W kW 387.0422.96cos 10464.3)30cos(31122-=??=+== ?I U P W

（2）欲提高三相负载端的功率因数，可在负载端并联对称三相星形连接的电容器组以补偿无功功率，如题解12－12图中虚线所示。

题解12－12图

提高的功率因数为8.0cos ='?，故 87.36='?，并联电容器组前，无功功率 kvar 499.5422.66tan 4.2tan =?== ?P Q 并联电容器组后，无功功率为

kvar 80.187.36tan 4.2tan =?='=' ?P Q 所以，三相电容器组产生的无功功率为

kvar 699.3499.580.1-=-=-'=Q Q Q C

设此时两功率表的读数分别为1P '和2P '，且三相负载总有功功率P 不变，即有 kW 4.221='+'=P P P 但并联三相电容器组后，阻抗角由?变为?'，故得

53.2)30cos()30cos(21=+'-'='' ??P P 所以

kW 68.053

.34

.253.2122==+=

'=P P W

kW 72.168.04.2211=-='-='=P P P W

12－13 图示三相（四线）制电路中，Ω-=101j Z ，Ω+=)125(2j Z ，对称三相电源的线电压为380V ，图中电阻R 吸收的功率为24200W （S 闭合时）。试求：（1）开关S 闭合时图中各表的读数。根据功率表的读数能否求得整个负载吸收的总功率；（2）开关S 打开时图中各表的读数有无变化，功率表的读数有无意义？

题12－13图

解：（1）开关S 闭合时，三角形负载端的A '，B '，C '和星形负载端的A ''，B ''，C '

'处的线电压均与电源端相同，为对称线电压。令V U U AN

022003

1∠=∠=，V U U AB 30380301∠=∠=。由图知，电路中电阻R 吸收的功率为：W I U P R AN R 24200==，且R

AN I R U =，故得 A 01100220

242000 ∠=∠=∠=AN R R

U P I 所以 Ω== 2R

AN I U

R

三角形负载中的相电流B A I '' 为 A 1203810

303801 ∠=-∠==''j Z U I AB

B A 则线电流A

I ' 为 A 82.659082.65303j I I B A A =∠=-∠=''' 根据对称性可以写出

A 3082.652 -∠==''A

B I a I

所以，电流表1A 的读数为：A I A B 82.65'1== 。

又因为2Z 构成星形对称三相负载满足0""".

.

..

=++C B A I I I ，所以，电流表2A 的读数为零。

星形负载中的线电流".

A I 为 A j Z U I AN A ?-∠=+?

∠==

38.6792.1612

502202.

.

此时，电源端的线电流A I .为

A

j I I I I R A A A ?∠=?∠+?-∠+=++=31.2386.126011038.679.1682.65.

..."

'

功率表W 的读数为

kW

I U I U W A AN A AN 63.25)31.23cos(86.126220)cos(.

.=?-??=-=ψψ

功率表读数为所有与A 相端线相连接负载的有功功率之和，即（设1P 和2P 分别为三角形负载和星形负载吸收的总功率）

3

3

2

1

P P P W R +

+=

因此三相负载吸收的总功率为

W P W P P R 429014303)(321=?=-=+ 所以，整个负载吸收的总功率为

kW P P P P R 49.2824200429021=+=++=

（2）开关S 打开时，即N 点与2N 点无中线，由阻抗1Z 构成的三角形负载仍为对称三相负载与对称三相电源相连接，故线电流''.

.

,B A I I 和'.

C I 不变，仍为对称组，因此，电流表1A 的读数不变，为65.82A 。

由2Z 构成的星形负载由于在A 相负载处并联了电阻R ，而使其成为不对称三相负载，其中性点2N 与N 之间的电压为

V

j R

Z R

U Z U U U U AN

CN BN AN N N ?∠=+

+?

∠=

++++=

89.1972.1752

112532022013)

(2.

2

.

...

2

这时，线电流".

A I 为 A j Z U U I N N AN A ?-∠=+?

∠-?∠=-=

89.11424.612

589.1972.17502202.

..

2"

且图中，R C B A I I I I .

.

.

."

"

"-=++。电流表2A 的读数为电阻中电流R I .

的有效值，而 A R U U I N N AN R ?-∠=?

∠-?∠=-=

51.4754.402

89.1972.17502202.

..

故，电流表2A 的读数为40.54A 。 又因为此时电源端的线电流".

A I 为

A

j I I I I R A A A ?∠=?-∠+?-∠+=++=72.5010.3951.4754.4089.11424.682.65.

..."

'

所以，功率表的读数为

kW

45.5)72.50cos(1.39220 )

cos(=-??=-=

A A N I U A AN I U W ψψ

此时功率表读数不是对称三相电路中的A 相负载的有功功率，而是A 相电源的功率。

12－14 图示为对称三相电路，线电压为380V ，Ω=200R ，负载吸收的无功功率为

var 31520。试求：（1）各线电流；（2）电源发出的复功率。