九年级数学上册 几何模型压轴题单元测试卷(含答案解析)

九年级数学上册几何模型压轴题单元测试卷（含答案解析）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°．

（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE

△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；

（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有

EF=BE+DF；

（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；

（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即

180

ADG ADF

∠+∠=?，即180

B D

∠+∠=?；

（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．

【详解】

（1）解：如图，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，

即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

（2）解：∠B+∠D=180°，

理由是：

如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，

∵∠B+∠ADC=180°，

∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴F、D、G在一条直线上，

和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

故答案为：∠B+∠D=180°；

（3）解：∵△ABC中，2BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22

AB AC

+，

如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ． 则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ， ∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD 和△EAD 中

AD AD FAD EAD AF AE =??

∠=∠??=?

∴△FAD ≌△EAD ， ∴DF=DE ， 设DE=x ，则DF=x ， ∵BD=1，

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：222DF BF BD =+，

22(3)1x x =-+，

解得：x=53

， 即DE=

53． 【点睛】

本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．

2．综合与实践 问题情境

在一节数学活动课上，老师带领同学们借助几何画板对以下题目进行了研究.如图1， MN 是过点A 的直线，点C 为直线MN 外一点，连接AC ，作∠ACD=60°，使AC=DC ，在MN 上取一点B ，使∠DBN=60°．

观察发现

（1）根据图1中的数据，猜想线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；

（2）希望小组认真思考后提出一种证明方法：将CB所在的直线以点C为旋转中心，逆时针旋转60°，与直线MN交于点E，即可证明（1）中的结论. 请你在图1中作出线段CE，并根据此方法写出证明过程；

实践探究

（3）奋进小组在继续探究的过程中，将点C绕点A逆时针旋转，他们发现当旋转到图2和图3的位置时，∠DBN=120°，线段AB、BD、CB的大小发生了变化，但是仍然满足一定的数量关系，请你直接写出这两种关系：

在图2中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；

在图3中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；

提出问题

（4）智慧小组提出一个问题：若图3中BC⊥CD于点C时，BC=2，则AC为多长？请你解答此问题.

【答案】（1）AB+DB=CB；（2）见解析；（3）AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）23【解析】

【分析】

（1）根据图中数据直接猜想AB+DB=CB

（2）在射线AM上一点E，使得∠ECB=60°，证明△ACE≌△DCB，推出EB=CB从而得出（1）中的结论；

（3）利用旋转的性质和线段的和差关系以及全等三角形的性质得出线段关系；

（4）过点C作∠BCE=60o，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.证明

△ACE≌△DCB，得出BC=EC，结合△ECB为等边三角形，得出∠ECA=90°，在

Rt△AEC中根据边长计算出AC的长度.

【详解】

综合与实践

（1）AB+DB=CB

（2）线段CE如图所示.

证明：∵∠ECB=∠ACD=60o，

∴∠2+∠ACB=∠1+∠ACB，

∴∠2=∠1.

∵∠ACD=∠DBN=60o, ∠ABD+∠DBN=180o，

∴∠ABD+∠ACD=180o，

∴在四边形ACDB中，∠CAB+∠3=180o.

∵∠CAB+∠4=180o，

∴∠4=∠3.

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB（ASA）

∴EA=BD，EC=BC.

又∵∠ECB=60°，

∴△ECB为等边三角形,

∴EB=CB.

而EB=EA+AB=DB+AB,

∴CB=DB+AB.

（3） AB－DB=CB；DB－AB=CB；

（4）证明：如图，过点C作∠BCE=60o，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.∵∠DCA=60o

∴∠ECB+∠BCA=∠DCA+∠BCA

即∠ECA=∠BCD

∵∠DBN=120o

∴∠DBA=60o

又∵∠AFB=∠DFC

∴∠EAF=∠BDC

又∵AC=DC

∴△ACE≌△DCB（ASA）

∴BC=EC

∴△ECB为等边三角形

∴∠CEB=60o

∵BC⊥CD

∴∠ECA=∠BCD=90o

∴在Rt△AEC中，∠CAE=30o

∵BC=2，EC=BC

∴AC=EC·tan60o= 23

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，根据题中条件适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等的性质得出线段关系是本题的关键.

3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.

（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；

（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD 的度数；

（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G到BE的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出

∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.

（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.

（3）根据和求解即可.

试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.

∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.

∴∠BAE=∠DAG..

∴△ABE≌△ADG（SAS）.

∴BE=DG..

（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.

（3）如图3，连接GB、GE.

由已知α=45°，可知∠BAE=45°.

又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.

∵，∴GE =8.

∴.

过点B作BH⊥AE于点H.

∵AB=2，∴. ∴..

设点G到BE的距离为h.

∴.

∴.

∴点G到BE的距离为.

考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．

4．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

操作发现

（1）某小组做了有一个角是120?的等腰三角形DAC和等边三角形GEB纸片，=，让两个三角形如图①放置，点C和点G重合，点D，点E在AB的同侧，AC DA DC

和GB在同一条直线上，点F为AB的中点，连接DF，EF，则DF和EF的数量关系与位置关系为：________；

数学思考

（2）在图①的基础上，将GEB绕着C点按顺时针方向旋转90?，如图②，试判断DF和EF的数量关系和位置关系，并说明理由；

类比探索

（3）①将GEB绕着点C任意方向旋转，如图③或图④，请问DF和EF的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；

②GEB绕着点C旋转的过程中，猜想DF与EF的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.

【答案】（1）3EF DF =，DF EF ；

（2）3EF DF =，DF EF ,理由见解析;

（3）①3EF DF =，DF EF ;②旋转过程中3EF DF =，DF

EF 始终成立.

【解析】 【分析】

（1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解； （2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析； （3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；

②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.

【详解】

解：（1）3EF DF =，DF

EF ；

如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，

AD CD =，EGB 为等边三角形. AM MC ∴=，GN BN =. 又点F 为AB 的中点， AF BF ∴=.

()1

2

MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴.

MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==.

设DM a =，2GB b =，

120ADC ∠=?，DA DC =，

3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===. tan 33EGB NE GN GN b =?==∠.

在DMF 和FNE 中，

3

33DM FN a ==

， 3

33MF NE b

==

， 又

90DMF FNE ∠=∠=?， DMF FNE ∴∽.

MDF NFE ∴∠=∠，

3

DF DM FE FN ==

，即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=?，

90DFM NFE ∴∠+∠=?. 90DFE ∴∠=?.

3EF DF ∴=且DF

EF .

（2）3EF DF =，DF

EF .

理由如下：

如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90?时，则90ACB ∠=?，在

Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，

CF BF ∴=. 又CE EB =，

EF ∴垂直平分BC.同理，DF 垂直平分AC ， ∴四边形LCMF 为矩形， 90DFE ∴∠=?.

DF EF ∴⊥，//AC EF .

DA DC =，120ADC =∠?，30DCA ∴∠=?. GEB 为等边三角形， 60ECB ∴∠=?.

∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^° ∴D ，C ，E 三点共线.

30DCA DEF ∴∠=∠=?.

∴在Rt

DEF △中，

3tan 3

3

DE DF F F E DF

=

==∠； （3）①3EF DF =，DF EF .

选择题图进行证明：

如解图，延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，

在ADF 和BNF 中，

AF BF AFD BFN DF NF =??

∠=∠??=?

， ()SAS ADF BNF ∴?.

AD NB ∴=，ADF BNF ∠=∠. //AD NB ∴.

18060O ADC ∴∠=?-∠=?.

又CPO BPE ∠=∠，60O CEB ∠=∠=?， OCP OBE ∴∠=∠. DCE NBE ∴∠=∠. 又GEB 是等边三角形， GE BE ∴=，

又AD BN CD ==， ()SAS DCE NBE ∴?.

DE NE ∴=，BEN CED ∠=∠.

BEN BED CED BED ∴∠+∠=∠+∠， 即60NED BEC ∠=∠=?. DEN ∴是等边三角形. 又DF FN =，

DF EF ∴⊥，60FDE ∠=?.

tan 3E E F DF DF FD ∴∠=?=.

或选择图进行证明，证明如下：

如解图，延长DF 并延长到点N ，使得FN DF =，

连接NB ，DE ，NE ，NB 与CD 交于点O ，EB 与CD 相交于点J ， 在ADF 和BNF 中，

AF BF AFD BFN DF NF =??

∠=∠??=?

， ()SAS ADF BNF ∴?.

AD NB ∴=，ADF BNF ∠=∠. //AD NB ∴.

120NOC ADC ∴∠=∠=?. 60BOJ ∴∠=?，60JEC ∠=?. 又OJB EJC ∠=∠， OBE ECJ ∴∠=∠.

AD CD =，AD NB =， CD NB ∴=. 又GEB 是等边三角形， CE BE ∴=.

()SAS DCE NBE ∴?.

DE NE ∴=，BEN CED ∠=∠.

BEN BED CED BED ∴∠-∠=∠-∠， 即60NED BEC ∠=∠=?. DEN ∴是等边三角形. 又DF FN =，

DF EF ∴⊥，60FDE ∠=?.

tan 3E E F DF DF FD ∴∠=?=.

②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.

【点睛】

本题考查几何图形的综合探究题，难度大，运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.

错因分析：①未掌握旋转的性质，即旋转前后线段、角度均不变；②不能合理利用类比关系，由浅到深解决问题.

5

．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ． ①求证：四边形BFDE 是菱形； ②直接写出∠EBF 的度数；

(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；

(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.

【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2． 【解析】 【分析】

（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．

②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题． （2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．

（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题． 【详解】

（1）①证明：如图1中，

∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD ， ∴∠EDO ＝∠FBO ， 在△DOE 和△BOF 中，

EDO FBO OD OB

EOD BOF ∠∠??

??∠∠?

＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，

∴EO＝OF，∵OB＝OD，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵EF⊥BD，OB＝OD，

∴EB＝ED，

∴四边形EBFD是菱形．

②∵BE平分∠ABD，

∴∠ABE＝∠EBD，

∵EB＝ED，

∴∠EBD＝∠EDB，

∴∠ABD＝2∠ADB，

∵∠ABD+∠ADB＝90°，

∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，

∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，

∴∠EBF＝60°．

（2）结论：IH＝3FH．

理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．

∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，

∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，

∴∠JDH＝∠FGH，

在△DHJ和△GHF中，

DHG GHF

DH GH

JDH FGH

∠∠

?

?

?

?∠∠

?

＝

＝

＝

，

∴△DHJ≌△GHF，

∴DJ＝FG，JH＝HF，

∴EJ＝BG＝EM＝BI，

∴BE＝IM＝BF，

∵∠MEJ＝∠B＝60°，

∴△MEJ是等边三角形，

∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°

在△BIF和△MJI中，

BI MJ

B M

BF IM

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△BIF≌△MJI，

∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，

∴IH⊥JF，

∵∠BFI+∠BIF＝120°，

∴∠MIJ+∠BIF＝120°，

∴∠JIF＝60°，

∴△JIF是等边三角形，

在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，

∴∠FIH＝30°，

∴IH＝3FH．

（3）结论：EG2＝AG2+CE2．

理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，

∵∠FAD+∠DEF＝90°，

∴AFED四点共圆，

∴∠EDF＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，

∴∠ADF+∠EDC＝45°，

∵∠ADF＝∠CDM，

∴∠CDM+∠CDE＝45°＝∠EDG，

在△DEM和△DEG中，

DE DE

EDG EDM

DG DM

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△DEG≌△DEM，

∴GE＝EM，

∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45°，AG＝CM，

∴∠ECM＝90°

∴EC2+CM2＝EM2，

∵EG＝EM，AG＝CM，

∴GE2＝AG2+CE2．

【点睛】

考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.

6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=42，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C′．

（1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

【答案】（1）2

1

4

2

y x

=-+；（2）2＜m＜223）m=6或m17﹣3．

【解析】

【分析】

（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（20），设抛物线的解析式为24

y ax

=+，把A（220）代入可得a=

1

2

-，由此即可解决问题；

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为

()2

1

24

2

y x m

=--，由

()

2

2

1

4

2

1

24

2

y x

y x m

?

=-+

??

?

?=--

??

，消去y得到22

2280

x mx m

-+-=，由题

意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有

()

22

2

(2)4280

20

280

m m

m

m

?--->

??

>

?

?->

??

，解不等式组即可解决问题；

（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出

PF =FM ，∠PFM =90°，

易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得

M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题． 【详解】

（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （22，0），设抛物线的解析式为

24y ax =+，把A （22，0）代入可得a =12

-

， ∴抛物线C 的函数表达式为2

142

y x =-+．

（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为

()2

1242

y x m =

--， 由()22

1421242y x y x m ?=-+????=--??

，

消去y 得到222280x mx m -+-= ，

由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有

()

222(2)428020280m m m m ?--->??

>?

?->??

， 解得2＜m ＜22，

∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22． （3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．

理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．

由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得

PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在21

42

y x =-+上，

∴()2

12242

m m -=-

++，解得m =17﹣3或﹣17﹣3（舍弃），∴m =17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．

情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），

把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2

142y x =-+中，()212242

m m -=--+，解得m =6或0（舍

弃），

∴m =6时，四边形PMP ′N 是正方形．

综上所述：m =6或m =17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．

7．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点. 分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ． (1)求证：DE ⊥AG ；

(2)正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形

，如图2． ①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条

直角边所对的锐角为30度)

②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写

出结果不必说明理由．

【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°

【解析】

分析：（1）延长ED交AG于点H，证明≌，根据等量代换证明结论；（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到，分两种情况求出的度数；

（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时的度数．

详解：如图1，延长ED交AG于点H，

点O是正方形ABCD两对角线的交点，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

即；

在旋转过程中，成为直角有两种情况：

Ⅰ由增大到过程中，当时，

，

在中，sin∠AGO=，

，

，

，

，

即；

Ⅱ由增大到过程中，当时，

同理可求，

．

综上所述，当时，或．

如图3，

当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大，

正方形ABCD的边长为1，

，

，

，

，

，

，

此时．

点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.

8．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B的坐标为(6，6)，将正方形ABCO 绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连接CH、CG．

(1)求证：△CBG≌△CDG；

(2)求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；

(3)连接BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．