等比数列教学设计(共2课时).doc

《等比数列》教学设计（共 2 课时）

一、教材分析：

1、内容简析：

本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数

列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考

中占有重要地位。

2、教学目标确定：

从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学

习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定

如下教学目标（三维目标）：

第一课时：

（1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导

（2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力

（3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识

第二课时：

（1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质

（2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用

3、教学重点与难点：

第一课时：

重点：等比数列的定义及通项公式

难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题

第二课时：

重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用难

点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题

二、学情分析：

从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列

的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生

原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。

高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形

成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，

另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。

多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培

养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。

三、教法选择与学法指导：

由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比

数列的相关知识。 在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上， 牢固掌握数列的

相关知识。因此，在教法和学法上可做如下考虑： 1、教法：采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法

教法构思如下：提出问题 作用于原来的认知结构

引发认知冲突

在原有认知的基础上分 析

观察

分析 在特殊情况下

归纳概括

一般情况下 得出结论

例题和练习

总结提高。在教师的精心

组织下， 对学生各种能力进行培养， 并以促进学生发展， 又以学生的发展带动其学习。 同时， 它也能促进学生学会如何学习，因而特别有利于培养学生的探索能力。

2、学法指导：

学生学习的目的在于学会学习、 思考，达到创新的目的， 掌握科学有效的学习方法，可 增强学生的学习信心，培养其学习兴趣， 提高学习效率， 从而激发强烈的学习积极性。 我考

虑从以下几方面来进行学法指导：

（ 1）

把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊

到一般的方法。 其通项公式 a n

a 1q n 1 是以 n 为字变量的函数， 可利用函数

思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。

（ 2） 注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结，

培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和深刻性的目的。

四、 教学过程设计 ：

第一课时

1、创设情境，提出问题

（阅读本章引言并打出幻灯片）

情境 1：本章引言内容

提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：

1，2， 22 ,23,24 , ， 263

（1）

于是发明者要求的麦粒总数是

1+ 2+22 +23 +

+263

情境 2：某人从银行贷款 10000 元人民币，年利率为 r ，若此人一年后还款，二年后还

款，三年后还款， ，还款数额依次满足什么规律？

10000(1+r),10000

(1 r ) 2 ,10000 (1 r ) 3

,

（ 2）

情境 3：将长度为 1 米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继

续取其一半， 各次取得的木棒长度依次为多少？

1,1,1

,

（ 3）

2 4 8

( 1)7

问：你能算出第

7 次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得

2

2、自主探究，找出规律：

学生对数列（ 1），（ 2），（ 3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。 也就是说这些数列从第二项起， 每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比， 公比常用字母

q (q 0) 表示，即 a n : a n 1 q(n N , n 2, q 0) 。

如数列（ 1），（ 2），（ 3）都是等比数列，它们的公比依次是 2，1+r,

1

2

点评：等比数列与等差数列仅一字之差， 对比知从 第二项起 ，每一项与前一 项之“ 差”为常数，则为等差数列，之“ 比”为常数，则为等比数列，此常数称 为“公差”或“公比”。 3、观察判断，分析总结：

观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：

1，3，9，27，

1

1

1

1,

,

, ,

1，-2 ， 4， -8 ， -1 ，-1 ，-1 ，-1 ， 1，0，1，0，

思考：①公比 q 能为 0 吗？为什么？首项能为

0 吗？

②公比 q 1 是什么数列？

③ q 0 数列递增吗？ q

0 数列递减吗？

④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式： 这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。

选题分析；因为等差数列公差

d 可以取任意实数，所以学生对公比

q 往往忘却它不能取

0 和能取 1 的

特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对

公比 q 有防患意识，问题 ③是让学生明白

q

0 时等比数列的单调性不定，而

q 0 时数列为摆动数列，

要注意与等差数列的区别。

备选题：已知

x

R 则

x, x 2 , x 3 ,

x n

， 成等比数列的从要条件是什么？

4、观察猜想，求通项：

方法

1：由定义知道

a 2

a 1 q, a 3

a 2 q

a 1 q 2 , a 4

a 3q

a 1 q 3 , 归纳得：等

比数列的通项公式为： a n

a 1 q n 1 ( n N )

（说明：推得结论的这一方法称为 归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的结论给出严格的证明， 需在学习数学归纳法后完成， 现阶段我们只承认它是正确的就可以了）

方法 2：迭代法

根据等比数列的定义有

a n a n 1 q a n 2 q 2 a n 3 q 3

a 2 q n 2 a 1 q n 1

方法 3：由递推关系式或定义写出： a 2

q,

a

3

q,

a

4

q,

a n

q ，通过观

a 1 a 2 a 3

a n 1

察发现 a 2 ? a 3 ? a 4 ?a n

q q qq

q n 1

a 1 a 2 a 3

a n 1

a n q n 1 ，即： a n a 1q n 1 ( n N )

a 1

（此证明方法称为“ 累商法 ”，在以后的数列证明中有重要应用）

公式 a n a 1q n 1 (n N ) 的特征及结构分析：

（ 1） 公式中有四个基本量： a 1 ,n, q, a n ，可“知三求一”，体现方程思想。 （ 2） a 1 的下标与的 q n 1 上标之和 1 (n 1) n ，恰是 a n 的下标，即 q 的指数比 项数少 1。

5、问题探究：通项公式的应用

例、已知数列 a n 是等比数列， a 3 2, a 8 64 ，求 a 14 的值。

备选题：已知数列 a n 满足条件： a n p( 4

)n

，且 a 4

4

。求 a 8 的值

6、课堂演练：教材 138 页 1、 2 题

5

25

备选题 1：已知数列 a n 为等比数列， a 1

a 3

10,a 4 a 6 5

，求 a 4 的值

4 备选题 2：公差不为 0 的等差数列 a n 中， a 2 , a 3 , a 6 依次成等比数列，

则公比等于

7、归纳总结：

（1）等比数列的定义，即

a n

q n 1

(q

0)

a 1

（2）等比数列的通项公式

a n

a 1 q n 1

(n

N ) 及推导过程。

8、课后作业：

必作：教材 138 页练习 4；习题 1（ 2）（ 4）2、3、 4、 5

选作： 1、已知数列 a n 为等比数列，且 a 1 a 2

a 3

7, a 1a 2a 3

8 ，求 a n

2

、已知数列

a n

满足

a 1

1,a n 1

2a n

1

（1）求证： a n 1 是等比数列；。

（2）求 a n 的通项 a n 。

第二课时

1、复习回顾 ：

上节课，我们学习了 （打出幻灯片）

（ 1） 等比数列定义： a n : a n 1

q( n N ,n 2, q

0)

（ 2） 通项公式： a n a 1 q n 1 (n N ,q 0)

（3）若

a n

n 1

，数列 a n 是等比数列吗？ a n

a 1 (

n 1)n 1

对不对？

a

n 1

n

n

（注意：考虑公比 q 为常数）

2、尝试练习 ：

在等比数列 a n 中

（1） a 2 18, a 4 8 ，求 a 1 , q （2） a 5 a 1 15, a 4 a 2 6, 求 a n

（3）在－ 2 与－ 8 之间插入一个数 A ，使－ 2， A ，－ 8 成等比数列，求 A

（鼓励学生尝试用不同的方法求解，相互讨论分析不同的解法，然后归纳出等比数列的性质）

3、性质探究 ：

（ 1）若 a,G,b

成等比数列，则

G 2

ab

有，称 G 为

a,b

的等比中项，

即 G

ab ( a 与 b 同号）；

思考： a 2 是谁的等比中项？ a 3 呢？ a n 呢？

总结归纳得到性质（ 2）

（2） a n 2 a n 1 a n 1( n 2)

逆向思考：若数列 a n 满足 a n 2 a n 1 a n 1 (n 2) ，它一定是等比数列吗？

（ 3）若 m n p

q ，则 a m a n a p a q (m, n, p, q 为正整数）

（ 4） a n a m q n m

(

, , )

n f m n m N

4、灵活运用 ：

下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。 例 1、 在等比数列 a n 中， a 3 a 5 100 ，求 a 4

变式 1、等比数列 a n

中，若 a 2 2, a 6

162 ，则 a 10

变式 2、等比数列 a n 中，若 a 7

a

12

5，则 a 8 a 9 a 10

a

11

变式3、等比数列a n 中，若a1 a2 a3 7, a1 a2 a3 8 ，则 a n ＝

例 2、已知数列a n , b n 是项数相同的等比数列，求证：a n b n 是等比数列。

变式 1、已知数列a n , b n是项数相同的等比数列，问数列a n b n是等比数列吗？

变式2、已知数列a n是等比数列，若取出所有偶数项组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？

变式 3、已知数列a n 是等比数列，若取出 a10 , a20, a30, 组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？

变式 4、已知数列a n 是等比数列，若每一项乘以非零常数 C 组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？

（通过上述问题的讨论求解，归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质）

例 3、三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为 64，求这三个数。

备选题、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数。

5、课堂演练：

教材 138 页 3、4、 5

备选题：已知数列 a n为等比数列，且a n f 0, a2a4 2a3a5 a4 a6 25 则 a 3 a5

备选题：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项的和为 18，求这四个数。

6、归纳总结：

（ 1）等比中项的概念

（ 2）等比数列有关性质

7、课后作业：

必作：教材 139 页习题 6、 7、 10、11

选作： 1、在数列 a , b 中， a n f 0, b n f 0 ，且 a n , b n , a n 1成等差数列， b n , a n 1 ,b n 1成

n n

等比数列， a1 1,b1 2, a2 3，求 a n : b n的值。

2、设x f y f 2 x , x , , y

，且能按某种顺序构成等比数列，求这个等比数列。

x