方程、不等式中含参数的问题讲解学习
方程、不等式中含参数的问题
例1、 若不等式组??
?+>+>2
12m x m x 的解集为1->x ，求m 的范围。
例2、 等腰三角形周长为30cm ，若腰长为x cm ，底边为y cm 。分别求出x 和y
的范围。
图1 图2
例3、 （本题选用） 潮流时装店老板到厂家选购A 、B 两种型号的服装，若购进A
种型号服装9件，B 种型号服装10件，需1810元；若购进A 种型号服装12件，B 种型号服装8件，需1880元.
（1）求老板购进A 、B 两种型号的服装每件分别为多少元？
（2）若销售1件A 型服装可获利18元，销售1件B 型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A 型服装的数量要比购进B 型服装数量的2倍还多4件，且A 型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？
A B C C B A
练习：
1、在方程54
13=-y x 中，用含x 的代数式表示y 为：＿＿＿＿＿；用含y 的代数式表示x 为＿＿＿＿＿。
2、关于x 的方程()293232a x x ++-=是一元一次方程，那么=a ＿＿；方程的解为______．
3、已知关于x 、y 的二元一次方程为 1)3(12||=+-+-b a y x a ，则=-b a 3＿＿＿＿
4、若0)72(10242=-++--y x y x ，则=-2
)(y x ＿＿＿＿＿。 5、若关于x 、y 的方程组???-=-+=+323
23m y x m y x 的解x 、y 互为相反数，则m =＿＿＿＿＿。
6、方程组??
???=+=-23124y kx y x 的解中x 与y 的值相等，则k 的值为＿＿＿。 7、若关于x 与y 的方程组???=-=+k
y x k
y x 95的解也是632=+y x 的解，则k 的值为＿＿＿。 8、当2=x 或3时，二次三项式q px x ++2的值都为0，则p 、q 的值为＿＿＿＿＿。
9、单项式y x n m 232
1-与n m xy 343-是同类项，则m 、n 的值分别为＿＿＿＿＿。 10、小王在解方程135=-x a （x 为未知数）时，误将-x 看作+x ，解得方程的解2-=x ，则原方程的解为___________________________。
11、甲、乙二人求方程7=-by ax 的整数解，甲求出的一组解为???==4
3y x ；而乙把7错看成
了1，求得一组解为?
??==21y x ，则a 、b 的值分别为＿＿＿＿＿。 12、甲、乙两人同时解方程组??
?-=-=+232y cx by ax ，甲正确求出结果为???-==11y x ，乙因为抄错了
c ，解得方程的解为?
??-==62y x ，则a =＿＿＿、b =＿＿＿、c ＿＿＿。 13、若b a >，则下列不等式不成立的是（ ） A 、33->-b a B 、b a 33->- C 、
33b a > D 、b a -<- 14、若不等式1)5(<-x a 的解集为5
1->a x ，则a 的范围为＿＿＿＿＿。
含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)
恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在；
(完整word版)重庆中考专题训练二含参的方程和不等式的计算-
中考专题训练二 一、含参数方程组和不等式的结合 1.若整式a 使得关于x 的不等式组20113 x a x ì->?í-???至少有一个整数解，且使得关于x 的方程415ax x =-有整数解，那么所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A. 12 B.1 C.52 D.3 2.从22,1,,0,13---这五个数字中，随机抽取一个记为a ，则使得关于x 的方程213ax x +=-的解为非负数，且满足关于y 的不等式组0321 x a x ì->?í-+???恰有三个整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、含参数的函数和方程、不等式的结合 3. 一直一个口袋中装有5个完全相同的小球，小球上分别标有2,6,9,12,15五个数字，搅匀后从中摸出一个小球，将小球上的数字记为a ，若使得一次函数6y ax a =+-不经过第四象限且关于x 的分式方程 6466 ax x x x =+--的解为整数，则这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ） A.21 B.27 C.29 D.44 4. 从2,1,0,1,2,4--这六个数中，任取一个数作为a 的值，恰好使得关于x,y 的二元一次方程组2x y a x y ì-=?í+=?? 有整数解，且函数242y ax x =++的图象与x 轴有公共点，那么这6个数所有满足条件的a 的值之积是（ ） A. 16- B.4- C.0 D.8 练习： 1. 有五张正面分别标有数组12,0,,1,32-的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗均匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，若使得关于x 的分式方程 11222ax x x -+=--有整数解，则这5个数中满足条件的a 的值之和是（ ） B. 0 B.3 C.4 D. 32 2. 使关于x 的分式方程122k x -=-的解为非负数，且使反比例函数3k y x -=的图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k 的和为（ ） C. 1 B.2 C.3 D.5 3. 在平面直角坐标系中，抛物线2 23y x x =--与x 轴交于B,C 两点，（点B 在点的左侧），点A 在抛物线上，且横坐标为-2，连接AB ，AC ，现将背面完全相同，正面分别标有2,1,0,1,2--的五张卡片洗均匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为P 的横坐标，将该数加1作为点P 的纵坐标，点P 落在△ABC 内（不含边界），则满足条件的点P 的个数为（ ） D. 1 B.2 C.3 D.4
含参数的一元一次不等式组的解集
《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计 万福中心学校余达恒 教材分析：本章内容是苏科版八年级数学（下）第七章，是在学习了《一元一次方程》和《一次函数》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键，通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 （3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。
含参不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2 >--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422 --=? （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212 +<<-<--=? ()()3 2432404222 +=-==--=? a a a a 或时当
（i ）13324-≠ -=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得： 当 ()()时 或即当32432404232 +>-<>--=? a a a a 两根为()2 42)2(2 1 a a a x --+ -= ，()2 42)2(2 2 a a a x --- -= . ()()2 42)2(2 42)2(2 2 a a a x a a a x --+ -> --- -< 或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当3 2 4324+<<-a 时，解 R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?( +∞ -,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞ -- ,13)； （4）当3 24-a 时， 解集为(2 48)2(, 2 +---∞-a a a )?( +∞ +-+ -,2 4 8)2(2 a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2 <++-x a ax 解：若0 =a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0 >a ，原不等式.0)1)(1(<-- ? x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ ； （2）当1>a 时，式)(*11< 参数方程与不等式小测验 班级：姓名：学号： 一、选择题 1．已知曲线的方程为????? x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，则下列点中在曲线上的是( ) A ．(1,1) B ．(2,2) C ．(0,0) D ．(1,2) 2．(2014·北京高考)曲线????? x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上 D ．在直线y ＝x ＋1上 3．直线????? x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)的倾斜角为α，则cos α＝( ) A ．55B ．－55C ．－35 D ．－255 4．椭圆????? x ＝4＋3cos θ，y ＝1＋5sin θ的焦距等于( ) A ．4B ．6C ．8 D ．10 5．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是( ) A ．－22 B ．－533 C ．－3 D ．－72 6．若圆的参数方程为????? x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为????? x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相交而不过圆心 C ．相切 D ．相离 7．直线l 的参数方程为????? x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( ) A ．|t 1| B ．2|t 1| C ．2|t 1| D ．22|t 1 | 二、填空题 8．若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A ，B 的大小关系为________． 9．函数f (x )＝3x ＋12x 2(x >0)的最小值为________． 河南省焦作市高考数学真题分类汇编专题15：参数方程、不等式与矩阵 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、填空题 (共2题；共2分) 1. （1分） (2017高一下·嘉兴期末) 如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=1，在边AB、AC上分别取D、E两点，沿线段DE折叠，顶点A恰好落在边BC上，则AD长度的最小值为________． 2. （1分） (2019高二上·拉萨期中) 已知，且，则的最大值是________. 二、解答题 (共9题；共85分) 3. （10分） (2018高二下·虎林期末) 已知曲线的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为。 （1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程； （2）求曲线上的点到直线的距离的最大值。 4. （10分） (2019高三上·珠海月考) 已知直线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为。 （1）求直线的普通方程与圆C的直角坐标方程； （2）设圆与直线交于、两点，若点的直角坐标为，求的值． 5. （10分） (2018高一下·北京期中) 已知在锐角△ABC中， （Ⅰ）求角B； （Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值. 6. （10分）(2019·新疆模拟) 已知曲线（为参数），曲线（为参数） （1）若求曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）曲线和曲线的交点记为、，求的最小值 7. （10分）(2017·舒城模拟) 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a． （1）若不等式f（x）≥0的解集为空集，求实数a的取值范围； （2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围． 8. （10分）(2018·中原模拟) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程； （2）若射线与曲线交于点，与直线交于点，求的取值范围． 9. （5分）(2018·凉山模拟) 已知函数 . （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，求的最小值. 10. （10分） (2017高三下·银川模拟) 选修4—4：坐标系与参数方程。 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）． （1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值． 含参不等式题型 一、给出不等式解的情况，求参数取值范围： 总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。记住：“大小小大有解；大大小小无解。”注：端点值格外考虑。 1：已知关于x 的不等式组3x x a >-???????+>-??的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。 4、已知关于x 的不等式组2113x x m -?>???>?的解集为2x >，则( ) .2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤ 5、关于x 的一元一次不等式组x a x b >?? >?的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) ...0.0A a b B a b C a b D a b ≥≤≥>≤< 6、若关于x 的不等式组841x x x m +-??? p f 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 7、若关于x 的不等式组8x x m ?，有解，则m 的取值范围是__ ___。 8、若关于x 的不等式组?? ?->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 。 二、给出不等式解集，求参数的值 总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。 1：若关于x 的不等式组2123x a x b -? 的解集为11x -<<，求()()11a b +-的值。 2：已知关于x 的不等式组()324213 x x a x x --≤???+>-??的解集是13x ≤<，求a 的值。 3、若关于x 的不等式组 的解集为 ，求a,b 的值 {a b x b a x 22>+<+3 3<<-x 高中数学选修4--4、选修4--5专项试题 21．（本小题满分14分）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （I ）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵10102,,:4000A B l x y a b ????==-+= ? ????? 矩阵直线经矩阵A 所对应的变换得直线l 2，直线l 2又经矩阵B 所对应的变换得到直线3:40l x y ++=，求直线l 2的方程。 （II ）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 求直线12,14cos 2,14sin , x t x y t y θθ=-+=+????=-=-+??被曲线截得的弦长。 （III ）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知正实数a b c 、、满足222 43a b c ++=，不等式|1||2|x x a b c ---≥++2恒成立，求实数x 的取值范围 21．本题有（1）（2）（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题记分。 （1）（本小题满分7分）选修4—2；矩阵与变换 已知13 2 022,0 131 22A B ??-??????==?????????? ，求1()AB - （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。曲线1C 的极坐标方程是cos()224πρθ+=，曲线2C 的参数方程是2cos 2sin x y αα =??=?（α为参数，02πα- ≤≤），求曲线1C 上的点的曲线2C 上的点之间距离的取值范围。 （3）（本小题满分7分）选修45-；不等是选讲 已知,,,a b c d 均为正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115 a b c d a b c d +++≥++++ 含参数一元一次不等式（组）的解法 1、若关于x 的不等式2)1(≥-x a ，可化为a x -≤12，则a 的取值范围是多少？ 2 、关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是？ 3、关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，则m 的整数值是多少？ 4、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是多少？ 5、己知不等式 )2(211)5(21+≥--ax x 的解集是2 1≥x ，试求a 的值？ 6、关于x 的不等式2x －a ≤0的正整数解恰好是1、2、3、4，则m 的取值是多少？ 7、已知关于x ，y 的方程组?? ?-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 8、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 对应练习1、不等式组???+>+<+1 ,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是 ． 对应练习2、若不等式组? ??>≤ 对应练习：若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,3215只有4个整数解，求a 的取值范围． 10、k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10? 二、 应用题 1.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2、某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围 10．（2010·江苏高考·Ｔ2１）在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值． 【命题立意】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力． 【思路点拨】将圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0化为普通方程后求解. 【规范解答】∵ρ=2cos θ，∴2 2c o s ρρθ=，圆的普通方程为：22222,(1)1x y x x y +=-+=， 直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为340x y a ++=， 又圆与直线相切，所以 2 2 |3140| 1,34 a ?+?+=+解得：2a =，或8a =-． 11．（2010·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ=25sin θ． (Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆C 与直线l 交于点,A B ．若点P 的坐标为(3，5)，求PA PB +． 【命题立意】本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力． 【思路点拨】（1）求圆的标准方程，（2）写出直线的一般方程，联立圆与直线的方程可求出A ，B 的坐标，进而求出|PA|+|PB|的值． 【规范解答】 （1）由ρ=25sin θ，得ρ2 =25ρsin θ，∴x 2 +y 2 =25y , 所以5)5(5)552(2222=-+?=+-+y x y y x . （2）直线的一般方程为03553=-+-?-=-y x y x ，容易知道P 在直线上，又 5)55(322>-+，所以P 在圆外，联立圆与直线方程可以得到：)25,1(),15,2(--B A ，所以|PA|+|PB|=3 2. 12．（2010·辽宁高考理科·Ｔ23）已知P 为半圆C ：cos sin x y θ θ =?? =?（θ为参数，πθ≤≤0） 含参数不等式问题 在一定条件下，给出的一个带参数的不等式，对使不等式恒成立的参数进行讨论，或求其最 值，在数学竞赛中比较活跃的题型之一。 步骤：(1)估计参数上、下界 (2) 求出参数上、下界 (3) 证明不等式对上、下界恒成立 例1、求a 的范围，使得对任意 x 和€ [0 ,-]恒有 2 2 、2 (x 3 2sin ? cos ) (x asin a 丿 cos 111 M M ，使一一 —> a b c a b c 例3、求最大的常数c ，使得对满足x >o, y >0, x 2 y 2 cxy 例2 ?设awbvc 是Rt △二边长‘求最大常数 6 1 的实数X, y 恒有X 方法：比较法、放编法、反射法、归纲法、算术、几何平均值不等式、柯西不等式、排序不等式例4、设a、b、c是Rt△三边长，且a w bv c, 求：最大常数k，使a2(b c) b2(c a) c2(a b) > kabc对任何Rt△恒成立. 例5、求最小的实数a，使得对任意非负x、y、z，且x + y+z=i,有a(x2 y2 z2) xyz> —. 3 27 多元函数的条件最（极）值求解 求函数最值问题是数学中一类重要问题，其中又以求多元函数的条件最（极）值为各竞赛的热点，解答此类问题，常常要应用到二次函数、三次函数的性质以及一般函数的各种基本性质，特别是凹凸性，以及几个重要不等式，如平均值不等式、柯西不等式等，除此之外，还要具有灵活变更问题的能力和较强的解题技巧?例如，对于某些多元函数的极值，常常要将某些变量固定而考虑少数几个变量的变化规律?因此，求解多元函数的条件最（极）值问题常采用函数法、不等式法、不变量法、冻结变量（先固定某些变量）法等. 1、函数法 例1、设X、y€ R，求函数f（x,y） x2 6y2 2xy 14x 6y 72的最小值，并求出取 得最小值时的x、y的值. 例2、设x€ R,试求函数f(x) (x2 4x 5)(x2 4x 2) 2x2 8x 1 的最小值. 例3、求三位数（十进制表示）与其各位数字之和的比的最小值. 第40讲 含参数的不等式 【考点解读】 解含参数的不等式的基本途径——分类讨论思想的应用；（应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论）。 【知识扫描】 含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏． 【考计点拔】 牛刀小试： 1.设0 重庆市2018年中考数学12题专训 1．（2018?宜宾模拟）使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（） A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0 2．（2017?重庆）若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．3 B．1 C．0 D．﹣3 3．（2017?重庆）若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 4．（2017?渝中区校级二模）若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣3有正整数解，则满足条件的a的值之积为（） A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2 5．（2017?江北区校级模拟）若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+6 成立，且使关于x的分式方程=3+有整数解，那么符合条件的所有整数a值之和是（） A．19 B．20 C．12 D．24 6．（2017?高密市三模）关于x的方程的解为正数，且关于y的不等式组 有解，则符合题意的整数m有（）个． A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2017?南岸区一模）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，且关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，则满足条件的整数a的值为（） A．15 B．3 C．﹣1 D．﹣15 8．（2017?渝中区校级一模）如果关于x的分式方程﹣=2有正数解，关于x的不等式组有整数解，则符合条件的整数a的值是（） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2017?沙坪坝区一模）若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，且关 于x的分式方程=3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0 10．（2017?南岸区校级二模）若关于x的不等式组有三个整数解，且关于x 的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 11．（2017?九龙坡区校级模拟）如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8 12．（2017?重庆模拟）如果关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组 有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（2017?沙坪坝区校级一模）从﹣3，﹣1，，2，3，5这六个数中，随机抽取一个数，记 为a，若数a使关于x的不等式组至少有三个整数解，且关于x的分式方程 +=2有正整数解，那么这6个数中所有满足条件的a的值之积是（） A．7 B．6 C．10 D．﹣10 含参数不等式的解法 典题探究 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 例3：在?ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 ( sin sin 4)(2 <-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．设函数f (x )=???? ??? ≥-<<-+-≤+)1(11 )11(22)1()1(2x x x x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(－21 ，+∞) B.(－21，2 1) C.(－∞，－2)∪(－2 1 ，1) D.(－2，－2 1 )∪(1，+∞) 2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2 ，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2 b )，则f (x )·g (x ) ＞0的解集是__________. 3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 4． 解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 5. 解不等式0652 2>+-a ax x ，0≠a 高中数学知识专项系列讲座 含参数不等式的解法 一、含参数不等式存在解的问题 如果不等式()0f x >（或()0f x <）的解集是D ，x 的某个取值范围是E ，且D E ≠?， 则称不等式在E 内存在解（或称有解，有意义）. 例1.（1）不等式13x x a +--<的解集非空，求a 的取值范围； （2）不等式13x x a ++-<的解集为空集，求a 的取值范围. （分析：解集非空即指有解，有意义，解集为?即指无解（恒不成立），否定之后为恒成立，本题实质上是成立与恒成立问题） 解：（1）设41()13221343x f x x x x x x -<-?? =+--=--??>? ≤≤， 易求得()[4,4]f x ∈-， ()f x a <有解min ()f x a ?<， ∴4a >-为所求 （2）设22 1()134 13223x x g x x x x x x -+<-?? =++-=-??->? ≤≤， 易求得()[4,)g x ∈∞， ()g x a <无解()g x a ?≥恒成立min ()g x a ?≥ ∴4a ≤为所求 （注：①13x x +±-可理解为数轴上点x 到两定点1-和3的距离之和（或差），由几何意义，易得()f x 与()g x 的值域； ②不等式()a f x >有解（有意义或成立）min ()a f x ?>；不等式()a f x <成立（有 解或有意义）max ()a f x ?<；） 例2.关于x 的不等式组22202(25)50 x x x k x k ?-->?+++的解集(,1)(2,)A =-∞-+∞， 设不等式2 2(25)50()(25)0x k x k x k x +++-25->),2 5 (k B --=∴ 要使{|,}{2}x x A B x Z ∈∈=-如图， 易知3k -≤，∴3k -≥ 又2k ->-，得2k < ∴[3,2)k ∈-为所求 -52 专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ?-=??+? ?=?+? ，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程 为 2cos sin 110ρθθ+=． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值． 【答案】（1）2 2 1(1)4 y x x +=≠-；l 的直角坐标方程为2110x ++=；（2 ． 【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且() 2 2 222222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+， 所以C 的直角坐标方程为2 21(1)4 y x x +=≠-．l 的直角坐标方程为2110x +=． （2）由（1）可设C 的参数方程为cos , 2sin x y αα =?? =?（α为参数，ππα-<<）． C 上的点到l π4cos 11 α? ?-+ ?= 当2π3α=- 时，π4cos 113α??-+ ?? ?取得最小值7，故C 上的点到l ． 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值问题． 2．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中， 已知两点3,,42A B ππ??? ?????，直线l 的方程为sin 34ρθπ??+= ?? ?． （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离． 【答案】（1 2）2． 【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3， 4π），B ，2 π ）， 由余弦定理，得AB （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为 34 π． 含参不等式（有解、无解问题）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.若不等式组的解集为，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 2.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 3.若不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 4.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 5.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 6.关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 7.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 8.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 9.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 10.若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 关于含参数（单参）的一元二次不等式的解法探究 高二数学组 盛耀建 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是学生不清楚该如何对参数进行讨论，笔者认为这层“纸”捅破了，问题自然得到了很好的解决，在教学的过程中本人发现参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类有一个非常好的方法，下面我们通过三个例子找出其中的奥妙！ 一．二次项系数为常数 例1解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x 解：0)2(2>+-+a x a x )(* ()3243240422 +≥-≤?≥--=?a a a a 或， 此时两根为()2 42)2(2 1a a a x --+ -= ，()2 42)2(2 2a a a x --- -= . （1）当324-?， )(*解集为(2 48)2(,2 +-- -∞-a a a )?( +∞+-+-,2 48)2(2 a a a )； （2）当324-=a 时，0=?，)(*解集为(13,-∞-)?(+∞-,13)； （3）当324324+<<-a 时，0a 时，0>?， )(*解集为(2 48)2(,2 +-- -∞-a a a )?( +∞+-+-,2 48)2(2 a a a ). 二．二次项系数含参数 例2解关于x 的不等式：.01)1(2 <++-x a ax 解：若0=a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<-- ?x a x )(* 数形结合解不等式和数形结合解含参数不等式问题教案 （新授） Ⅰ、课题引入 1、引例：已知C <0，试比较1,2,2C C C ?? ???的大小． 分析 这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在 同一坐标系中，画出三个函数：1231,2,2x x y x y y ??=== ???的图象位于y 轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：122C C C ??>> ??? 。 2、学生思考后教师指出：数形结合是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化、复杂问题简单化。 数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的问题。 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，应用数形结合的思想方法解题，通常从以下几个方面入手：①函数与函数图象；②不等式与函数图象；③曲线与方程；④参数本身的几何意义；⑤代数式的结构特点；⑥概念自身的几何意义；⑦可行域与目标函数最值。 其中不等式、参数问题与最值问题是本节课的研究重点。 Ⅱ、探索新知 例1． x > 解：原不等式等价于20()202x I x x x ?≥?+≥??+>? 或0()20x II x 0f (3) > 0- 1 < - k < 34k 2 - 12k ≥0，∴k ∈(- 1，0]. 解法二：设函数f (x) = x 2，g(x) = -2k(x + 32)，问题转化为两函数图参数方程与不等式测验与答案
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