含有绝对值符号的函数的性质

含有绝对值符号的函数的性质

1、已知不等式|

|2

2x x a +≤对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是_______.

2、若关于x 的不等式||22a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是_______.

3、函数2|1|y x =-和函数y x k =+的图像恰有三个交点，则k 的值是_______.

4、设常数R ∈a ，以方程20112||=?+x a x 的根的可能个数为元素的集合

=A _______.

5、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为_______.

6、对任意的120x x <<，若函数1

()f x a x x b x =-+的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴）， 试写出a 、b 应满足的条件 .

7、已知函数()2log f x x =，正实数,m n 满足m n <，

且()()f m f n =，若()f x 在区间2

,m n ????上的最大值为则m =________,n =_________.

8、设,,a b R ∈且1b ≠.若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则

,a b 应满足的条件是_______.

9、关于x 的方程092

2

=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a _______.

10、若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_______.

11、定义在R 上的函数()f x 的图像过点(6,2)M -和(2,6)N -，且对任意正实数k ，有()()f x k f x +<成立，则当不等式|()2|4f x t -+<的解集为(4,4)-时，则实数t 的值为_______.

12、已知函数2

1(0)

()log (0)x a x f x x x ?++≤=?>?有三个不同零点，则实数a 的取值范围为

_______.

13、设关于x 的不等式4|4|2+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ?∈2,0，则实数

m 的取值范围是_______.

14、直线1y x =+与曲线2||

194

y x x -=的公共点的个数是_______. 15、我们把形如()0,0>>-=

b a a

x b

y 的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当1=a ，

1=b 时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为____________

16、函数2

1|21|(0)

()2(0)

x x x x f x a x -?+-≤?=?+>??有两个不同的零点，实数a 的取值范围为

_______.

17、已知)(x f 是定义在]4,4[-上的奇函数，3

1

)2()(+

-=x f x g .当[2,0)(0,2]x ∈-时，

0)0(,121

)(||=-=

g x g x ，则方程)1(log )(2

1+=x x g 的解的个数为____________.

18、“2a =”是“函数()f x x a =-在[)2,+∞上是增函数”的_______．

()A 充分非必要条件. ()B 必要非充分条件. ()C 充要条件. ()D 即非充分也非必要条件.

19、设函数()y f x =的R 内有定义，对于给的正数k ，定义函数

()

()()()k f x f x k f x k

f x k

≤?=?

>?取函数21

()log ||,2f x x k ==当时，函数()

k f x 的单调递增区间为_______.

20、若函数4

||y y x a x

==-和的图像有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是_______.

21、定义运算：???≤>=*y

x y y

x x y x ，若11+=*+m m m ，则实数m 的取值范围

是_______.

22、已知函数0)()()1(1)1(|1|1

)(2=++??

?

??=≠-=c x bf x f x x x x x f 的方程，若关于 有

且仅有3个实数根=++2

32221321x x x x x x ，则、、_______.

23、已知以4T =为周期的函数()f x 在(13]

-，上的解析式为2

(1||),(1,1]()1(2),(1,3]

m x x f x x x -∈-?=?--∈?,其中0m >,若方程3()f x x =恰有5个实数解,则m 的取值范围为_______.

24、在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-.已知(1,0)B ，点M 为直线

20x y -+=上的动点，则(,)d B M 的最小值为_______.

25、已知函数)()(R x q px x x x f ∈++=，给出下列四个命题：①)(x f 为奇函数的充要条件是0=q ；②)(x f 的图象关于点),0(q 对称；③当0=p 时，方程

)(x f =0的解集一定非空；④方程)(x f =0的解的个数一定不超过两个.

其中所有正确命题的序号是_______.

26、函数()sin f x x x m n =++为奇函数的充要条件是_______.

A 、220m n +=

B 、0mn =

C 、0m n +=

D 、0m n -=

27、函数,)(c bx x x x f ++=给出四个命题：

（1）0=c 时，)(x f y =是奇函数;（2）)(x f y =的图象关于点),0(c 中心对称;

（3）方程0)(=x f 至多有两个实根;（4）0,0>=c b 方程0)(=x f 只有一个实数根.上述命题中所有正确的命题的序号是_______.

28、设函数)(x f y =由方程1||||=+y y x x 确定，下列结论正确的是_______.（请将

你认为正确的序号都填上） （1）)(x f 是R 上的单调递减函数；

（2）对于任意R x ∈，0)(>+x x f 恒成立； （3）对于任意R a ∈，关于x 的方程a x f =)(都有解； （4）)(x f 存在反函数)(1

x f

-，且对于任意R x ∈，总有)()(1x f x f -=成立.

29、已知：()x f y =是最小正周期为2的函数，当[]1,1-∈x 时，()2

x x f =，则函数()x f y =

()R x ∈图像与x

y 5log =图像的交点的个数是_______个.

30、在平面直角坐标系中，设点),(y x P ，定义||||][y x OP +=，其中O 为坐标原点．

对于以下结论：①符合1][=OP 的点P 的轨迹围成的图形的面积为2；

②设P 为直线0225=-+y x 上任意一点，则][OP 的最小值为1；

③设P 为直线),(R b k b kx y ∈+=上的任意一点，则“使][OP 最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“1±=k ”；

其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)

31、若方程lg 50x x +-=在区间()(),1k k k Z +∈上有零点，则所有满足条件的k 的值的和为______________.

32、设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]15.1=，[]25.1-=-.若()x

x a a x f +=

1

（0>a 且1≠a ），则()()??

???

?--+??????

-=2

121)(x f x f x g 的值域为_______.

33、符号][x 表示不超过x 的最大整数，如[2.3]=2，

][}{,2]3.1[x x x +=-=-定义函数，那么下列命题中所有正确命题的序号为

_______.

①函数}{x 的定义域是R ；②函数}{x 的值域为R ； ③方程2

3

}{=

x 有唯一解；④函数}{x 是周期函数；⑤函数}{x 是增函数. 34、已知函数1|1|)(--=x x x f ．

（1）求满足x x f =)(的x 值； （2）写出函数)(x f 的单调递增区间； （3）解不等式0)(

35、[]x 表示不超过实数x 的最大整数.设实数x 不是整数，且[][]x x x

x 9999+=+，

则x 的值为_______.

36、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”.

在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x .这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应

用.那么]1024

[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =_______. 37、给出定义：若11

22

m x m -

<≤+（其中m 为整数），同m 叫做高实数x 最近的整数，记作{x}，即{}.x m =给出下列关于函数()|{}|f x x x =-的四个命题： ①函数()y f x =的定义域是R ，值域是1

[0,]2

②函数()y f x =的图像关于直线()2

k

x k Z =

∈对称；

③函数()y f x =是周期函数，最小正周期是1；

④函数11()[,]22

y f x =在上是增函数；

则其中真命题的序号是 .

38、已知函数()c b x x f +-=2)|(|，函数m x x g +=)(，

(1)当4,2-==m b 时，)()(x g x f ≥恒成立，求实数c 的取值范围；

(2)当2,3-=-=m c 时，方程)()(x g x f =有四个不同的解，求实数b 的取值范围.

39、设全集U R =，关于x 的不等式220x a ++->（a R ∈）的解集为A ． （1）分别求出当1a =和3a =时的集合A ；

（2）设集合)cos()066B x x ππππ??

=-+-=????

，若()U C A B 中有且

只有三个元素，求实数a 的取值范围．

40、已知函数()(),f x x a x a R =?-∈.

（1）当4=a 时，画出函数()f x 的大致图像，并写出其单调递增区间；

（2）若函数)(x f 在]2,0[∈x 上是单调递减函数，求实数a 的取值范围； （3）若不等式()6x a x ?-≤对[]0,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．

41、已知函数a a x x x f --=||)(，R x ∈． （1）当1=a 时，求满足x x f =)(的x 值； （2）当0>a 时，写出函数)(x f 的单调递增区间；

（3）当0>a 时，解关于x 的不等式0)(

42、若实数、、满足，则称比接近.

（1）若

比3接近0，求的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；

43、已知函数R x e x f e x f a x a x ∈==+-+-,)(,)(1||2|12|1.

⑴ 若2=a ，求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值；

⑵ 若)()(21x f x f -=)()(12x f x f -对于任意的实数R x ∈恒成立，求a 的取值范围；

⑶ 当61≤≤a 时，求函数=)(x g 2

|

)()(|2)()(2121x f x f x f x f --+在∈x [1，6]上

的

最小值. 44、已知函数

．

（1）若，求的值；

（2）若对于

恒成立，求实数

的取值范围．

45、对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[,]a b D ?和常数c ，使得对任意的1[,]x a b ∈，都有1()f x c =，且对任意的2x D ∈，当2[,]x a b ?时，

2()f x c >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“平底型”函数.

（1）判断函数1()|1||2|f x x x =-+-和2()|2|f x x x =+-是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由；

（2）设()f x 是（1）中的“平底型”函数，k 为非零常数.若不等式

||||||()

t k t k k f x -++≥?对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；

（3）若函数()g x mx =[2,)-+∞上的“平底型”函数，求

实数m 和n 的值.

46、已知函数2|1|

()4

x m f x x +-=

-，0m >且满足2)2(-=f .

（1）求实数m 的值；

（2）判断函数)(x f y =在区间]1,(--∞m 上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）若关于x 的方程()f x kx =有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.