[高等代数(下)课外习题-第六章-向量空间]

[高等代数(下)课外习题-第六章-向量空间]

第六章 向量空间

一、判断题 1.

121{(,,,)|1,}

n

n i i i x x x x x R ==∈∑L 为

n

R 的子空间.

( ).

2、所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间

()

n M R 的子空间. ( ).

3、

n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ).

4、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组1

2

,,,s

αααL 线性表出，则维(W )

＝s .

5、 子空间1

2

(,,,)r

L αααL 的维数等于向量组1

2

,,,r

αααL 的

秩 （ ） 6、s

αα

α,,,2

1

Λ为V 的基，s

ββ

β,,,2

1

Λ为V 中向量，且 A

s s ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=，则s

ββ

β,,,2

1

Λ为V 的基当且仅当

A

可逆。（ ）

7、有限维线性空间同构的充要条件是维数相同. （ ）

8. 设1

2

,,,n

αααL 是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的

一个同构映射, 则W 的一个基是1

2

(),(),,()n

f f f αααL .

9、.如果向量空间V 是3维的，那么V 中任意4个

向量必是线性相关的( )。

10.、非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间( )。 11、线性空间的一组基所含向量的个数是该空间的维数.

12、设1

V ，2

V 均为线性空间V 的子空间，满足

12{0}

V V =I ，则1

2

V V V =⊕。 ( ).

14．若2

1

V V V ⊕=，

r

ααα,,,2

1

Λ是1

V 的基，

s

r r ααα,,,21

Λ++是2

V 的

基，则s

αα

α,,,2

1

Λ是V 的基.

二、填空题

1、 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.

2、在4

P 中，若1

234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)

k k α

ααα===-=线

性无关，则k 的取值范围是____________. 3、若1

2

V V V =⊕，则1

2

V V ?= ;

4

、若

1212

dim()dim dim V V V V +=+，

则

12V V ?=

;

5、3

][x P 中由基2

,,1x x 到基2

321,21,1x x x x ++++的过渡矩阵是 , 2

1x x ++在这两组基下的坐标分

别是 , . 6、子空间

33{|000a b

c W A P A d

e f ???

?=∈= ? ??

?

的维数= ;

7、设基112321233

23,,βαααβααβα=-+=+=，则由基

123123

,,,,αααβββ到基的过渡矩阵T= ；

8、在22?P 中，已知???

?

??=11111

A

，???

?

??=01112

A

，???

?

??=00113

A

，???

?

??=00014

A

是2

2?P 的基，那么，

?

??

?

??=4321A 在该基下的坐标

为 。 9、设1

W 是方程组0

4321

=+++x x x x

解空间，2

W 是方程

组

??

?=+-+=-++0

43214321x x x x x x x x 那么

1

W ∩

2

W 是方程组

的解空间。 10

、

设

()()()()()()

3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121L W L W ==

()=

+21dim W W 。

三、选择题

1、R 3中下列子集（ ）不是R 3的子空间．

(A)．

}

1|),,{(233211=∈=x R x x x w

(B)．}

0|),,{(333212

=∈=x R x x x w

(C)．}

|),,{(32133213

x x x R x x x w

==∈=

(D)．}

|),,{(32133214

x x x R x x x w

-=∈=

2、设向量组M为四维向量空间R4的一个基，则（）必成立。

(A). M由四个向量组成(B). M 由四维向量组成

(C). M由四个线性无关的四维向量组成

(D). M由四个线性相关的四维向量组成

3、若W1,W2都是n维线性空间V的子空间，那么（）

(A)维W1+维(W1?W2)=维W1+维(W1+W2)；

(B) 维(W1+W2)=维W1+维W2；

(C)维W1+维(W1+W2)=维W1+维(W1?W2)；(D) 维W1+维(W1?W2) =维(W1+W2)-维W2。

4、设43,21,

a为线性空间V的一组基,则V的维数是a

,a

a

( )

(A).4(B).3(C).2(D).

不确定

5、设α是数域P上线性空间V的向量，P

k∈，如果αk是零向量，那么（）

（A）仅当0=k时.0=αk（B）0

k

≠α

,0≠时可能有.0=αk

（C）仅当0=α时.0=αk（D）0=k或0=α时.0=αk

6、设rα

α,

α

Λ是数域P上线性空间V的向量，则

,

,

1

2

（ ）

（A ） 当n r <时r

ααα,,,2

1

Λ线性无关。 （B ） 当n r =时r

ααα,,,21Λ是V 的基。 （C ） 当n r >时r

ααα,,,21Λ线性相关。

（D ） 当n r >时r

ααα,,,21Λ可能线性无关。

7、},,R ,,,),,,({b a c b a d d c b a d c b a W -=+=∈=是4

R 的子向量，则=W dim （ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 8、设V 是数域P 上n 维线性空间，2

1,V V 是V 的子向量，则（ ）

（A ）.dim dim 21n V V =+ （B ）2

1,V V 的基的并集所含的向量是V 的基。

（C ）}.0{21=?V V （D ）.)dim(2

1n V V ≤+ 9、若21,V V 是V 的子空间，且,dim dim dim 2

1V V V =+ 则（ ）

（A ）21V V V ⊕=. （B ）2

1V V V +=. （C ）.21V V V +≠ （D ）2

1V V +是V 的子空间。

10、由3阶对称矩阵构成的子空间的维数是

（ ）；

（A ）9 （B ） 6 （C ）2 （D ）3

四、计算题

1、 下列子空间的维数是几? 1)

3

((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4))L R --?;

2)22(1,1,)[]

L x x x x F x ---?

2、证明1

23(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)

α

αα===是R 3的一个基，并

求(3,1,2)β=在这个基下的坐标。 3、 设1

1

2

3

2

12(,,),(,),

W L W

L αααββ==求1

2

W W I 和1

2

W W +. 其中

1

23(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1)

α

αα=--==-; 12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=-=--

4、 在向量空间

4

R 中, 求由向量

123(2,1,3,1),(4,5,3,1),(1,1,3,1)

ααα=-=-=--

4(1,5,3,1)α=-生成的子空间的一个基和维数.

5、设)

1,1,0(),0,1,1(),,(21211===ααααL W ，2

W 是齐次方程

321=++x x x 的解空间，求1

W +2

W ，2

1

W W

?的一组基和维

数。

6、.求实数域上关于矩阵A 的全体实系数多项式构成的向量空间V 的一个基与维数.其中

21001300,00i A ωωω??

-+ ?

== ? ?

??

7、在线性空间22

P ?中，

121212112111,,,10110137A A B B ---????????

==== ? ? ? ?

????????

1） 求1

212(,)(,)

L A A L B B I

的维数与一组基.

2） 求1

2

1

2

(,)(,)L A A L B B +的维数与一组基.

8、设V 为数域P 上全体次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间3

][x P ,考虑如下的生

成子空间,

),

,(211ααL V =其中

2

11x +=α,2

α=x +1,=2

V

)

,(21ββL ,其中

x =1β,=2β2x

求1

V +2

V ,2

1

V V

?的各一组基.

9、设()ij A a =是n n ?矩阵，其中

{

,1,a i j a ij i j

≠==

（a ）求行列式det A 的值，这里det A 表示矩阵A 的行列式； (b) 设}

{0W X AX ==，求W 的维数及W 的一

组基。

10、设V 是数域F 上x 的次数小于n 的全体多项式构成的线性空间，定义V 上的线性变换A ，使[()]'()()A f x xf x f x =-，其中'()f x 表示f(x)的导数，求A 的核与值域，并证明线性空间V 是1

(0)

A -与A V 的

直和。 五、证明题

1、设1

2

,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明:

12

W W +是V 的即含1

W 又含2

W 的最小子空间.

2、证明: n 维向量空间V 中, 任意n 个线性无关的

向量都可作为V 的一个基.

3、设n 维向量空间V 的向量组1

2

,,,n

αααL 的秩为r , 使

得11

2

2

n n k k k αα

α+++=L 全体n 维向量1

2

(,,,)n

k k k L 的集合为

W

. 证明W 是n

F 的n r -维子空间.

4、 设1

2

,,,n

αααL 为向量空间的一个基, 令

12,1,2,,i i i n

βααα=+++=L L 且

()

i i W L β=.证明 1

2

n

V W W W =⊕⊕⊕L .

5、 证明:

22,,1

x x x x x +-+是2

[]F x 的一个基, 并求

2273

x x ++关于这个基的坐标.

6、设V ∈γβα,,，如果0=++γβαc b a ，并且0≠ac ，那么).,(),(γββαL L =

7、设1

2

,W W 分别是齐次线性方程组1

2

n x x

x +++=L 与

12n

x x x ===L 的解空间.

证明:

12

n F W W =+.

12

n F W W =+.

8、证明 每一个n 维向量空间都可以表成n 个一维子空间的直和.

9、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令

12{()(),()()},{()(),()()}

W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--

证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且1

2

.V W W =⊕

10、设n

n P A ?∈，,

A A

2

=且记

}

P |{A V n 1∈=αα，}

P ,0A |{V

n 2

∈==ααα

证：2

1n

V V P ⊕=。