立体几何综合大题20道(理)

立体几何综合大题（理科）40道及答案

1、四棱锥中,⊥底面,,,

.

(Ⅰ)求证:⊥平面；

(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。 【答案】

(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即B C D ?为等腰三角形，

又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥. 因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线

AC PA ,都垂直，

故⊥平面。

(Ⅱ)解：33

2sin 2221sin 21=??=∠??=

?πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233

1

31=??=??=?-PA S V BCD BDC P .

由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8

1

,

故：4

1

32813318131=???=??=?-PA S V BCD BDC F

4

7

412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V

2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ?为等腰三角形，

90APD ?∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2A B A D ==，,E F 分别为PC 和BD

的中点．

P ABCD -PA

ABCD PA =2BC CD ==3

ACB ACD π

∠=∠

=

BD PAC PC F 7PF FC =P BDF -BD PAC

（Ⅰ）证明：EF

平面PAD ；

（Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．

【答案】

（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．

∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF

AP

∵EF ?平面PAD ，PA ?平面PAD ，所以EF 平面PAD ；

（Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD 平面

ABCD AD

=， 所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ?平面PAD ，所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD

又PA ?平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ；

（Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ?为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥， 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD 面ABCD AD =， 所以，PO ⊥面ABCD ，

即PO 为四棱锥P ABCD -的高． 由2AD =得1PO =．又1AB =．

∴四棱锥P ABCD -的体积12

33

V PO AB AD =??=

考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥，

DB ADC ∠平分，E PC 为的中点，45DAC ∠=

，AC =

（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面；

（Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积 【答案】（Ⅰ）设F BD AC =?，连接EF ，

CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴?⊥，平面，平面 PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又?=?⊥ AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴?⊥∴平面，平面

∵,45?=∠DAC ∴,DC DA =

∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点， ∴EF 为CPA ?的中位线.

∵EF ∥,PA EF BDE ?平面，PA BDE ?平面 ∴PA ∥BDE 平面.

(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;

ABC ADC S S S ??+=222

3

22122221=??+??=

． 的中点，为线段点PC E

11112

2232323

E ABCD V S PD -∴=?=???=．

考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.

4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，

，为的中点．

P ABCD -ABCD 2PA PD AD ===60BAD ?∠=Q AD

(1) 求证：AD PQB

⊥平面；

(2) 若平面平面ABCD,且M为PC的中点，求四棱锥M ABCD

-的体积．

【答案】

（1）PA PD

=，Q为中点，AD PQ

∴⊥

连DB，在ADB

?中，AD AB

=，，

ABD

∴?为等边三角形，为的中点，

AD BQ

∴⊥,

PQ BQ Q

?=,PQ?平面PQB,BQ?平面PQB ,

∴AD⊥平面PQB.

（2）连接QC,作MH QC

⊥于H.

PQ AD

⊥,PQ?平面PAD,

平面PAD?平面ABCD AD

=,

平面平面ABCD，

PQ ABCD

∴⊥平面 ,

QC?ABCD

平面

,

PAD⊥

60

BAD?

∠=

Q

AD

PAD⊥

PQ QC ∴⊥

//PQ MH ∴. ∴MH ABCD ⊥平面,

又12PM PC =

,1122222

MH PQ ∴=

=?=. 在菱形ABCD 中，2BD =,

01

sin 602

ABD S AB AD Λ=??

?1=222??

∴2ABD ABCD S S ?==菱形

M ABCD V -1

3

ABCD S MH =??

菱形13=?1=．

5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，

，现将沿边折至位置，且平面平面.

⑴ 求证：平面平面； ⑵ 求四棱锥的体积.

【答案】(1) 证明：由题可知，

E ABCD AD

F CD 2

43

AB AE AD ==

=ABE ?BE PBE ?PBE ⊥BCDE PBE ⊥PEF P BEFC

-P

B

C

D F

E

(1)

(2)

4545ED DF DEF DEF ED DF EF BE AE AB ABE AEB AE AB =?

??

?∠=???

⊥???⊥?=??? ?∠=? ??⊥??

中中ABE BCDE

ABE BCDE BE EF PBE PBE PEF EF BE EF PEF ?⊥?

??

=?⊥??

?⊥??⊥??

? ??平面平面平面平面平面平面平面平面

(2) ，则

.

6、已知四棱锥中，是正方形，E 是的中点，

(1)若PD AD =，求 PC 与面AC 所成的角 (2) 求证：平面 (3) 求证：平面PBC ⊥平面PCD 【答案】平面，是直线在平面ABCD 上的射影，

是直线PC 和平面ABCD 所成的角。又，四边形ABCD 是正方形，，；直线PC 和平面ABCD 所成的角为

（2）连接AC 交BD 与O,连接EO, ∵E 、O 分别为PA 、AC 的中点 ∴EO ∥PC ∵PC 平面EBD,EO 平面EBD ∴PC ∥平面EBD （3）∵PD ABCD, BC 平面ABCD ，∴PD BC ， ∵ABCD 为正方形 ∴ BC CD ， ∵PD ∩CD=D, PD ，CD 平面PCD ∴BC PCD 又∵ BC 平面PBC ∴平面PBC PCD

7、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．

11

6444221422BEFC ABCD ABE DEF S S S S =--=?-??-??

=1114333

BEFC V S h =??=??=P ABCD -,PD ABCD ABCD ⊥平面PA //PC EBD (1)

PD ⊥ABCD DC ∴PC PCD ∴∠PD DA =,DA DC ∴=PD DC ∴=045PCD ∴∠=∴045?????4cm ABCD E F 、BC CD 、M N 、AB CF 、AE AF EF 、、B C D 、、B E D

C

B

A

P

（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明； （2）证明平面；

（3）求四棱锥的体积． 【答案】（1）平行平面

证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）

所以平行

因为，所以平行平面.

（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.

因为在折叠前，由于折叠后，点，所以

因为，所以平面.

（3）

.

8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ＝＝.

MN AEF AB ⊥BEF E AFNM -MN AEF M N 、AB CF 、B C 、MN AF MN AEF AF AEF MN AF ???

????

面面平行MN AEF AB BE ⊥AD DF ⊥AD AB 与重合D F 与重合AB BF ⊥=AB BE AB BF BE BEF BF BEF BE BF B ⊥??⊥??

????????面面AB ⊥BEF E AFNM E ABF E MBN V V V ---=-A BEF M BEN V V --=-1133BEF BEN S AB S MB ??=?-?1111

2242123232

=????-????2

=

(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；

(2)求三棱锥P MAB －与四棱锥P ABCD －的体积之比． 【答案】(1)证明：∵MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD ，

又BC ?平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC. ∵PD DC D ＝，∴BC ⊥平面PDC .

在PBC ?中，因为G F 、分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .

又GF ?平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .

(2)不妨设=1MA ，∵ABCD 为正方形，∴2PD AD ＝＝， 又∵PD ⊥平面ABCD ，

所以P ABCD V －＝13ABCD S PD ?正方形＝8

3.

由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，

所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，

三棱锥P MAB V －＝13×1122??

?? ???

×2＝23.

所以1

4P MAB P ABCD V V －－:＝:. 9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，

.2

1

,1,90=

===⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ，面

(1)求四棱锥S-ABCD 的体积; (2)求证：;SBC SAB 面面⊥

(3)求SC 与底面ABCD 所成角的正切值。 【答案】（1）解：

111111

()(1)11332624

v Sh AD BC AB SA ==??+??=?+??=

S

C

A

D

B

（2）证明：

BC

SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴?⊥,面，面

又,A AB SA BC AB =⊥ ，SAB BC 面⊥∴

SAB BC 面? SBC SAB 面面⊥∴

（3）解：连结AC,则SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成的角。 在三角形SCA 中，SA=1,AC=21122=+,

22

2

1tan =

==

∠AC SA SCA 10.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，

，点在侧棱上，

。

（I ）证明：是侧棱的中点；

求二面角的大小。

【答案】分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则。

（Ⅰ）设，则 又 故，即

S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD AD =2DC SD ==M SC ∠ABM=60M SC

()II S AM B --)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A λ=)12

,12,2(),12,12,

0(λ

λλλλ+-+=++MB M o

AB MB AB 60,),0,2,0(>=<=o

AB MB AB MB 60cos ||||?=?

，解得， 所以是侧棱的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，， 设分别是平面、的法向量，则

且，即且 分别令得，即

， ∴ 二面角的大小。

11、如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小

【答案】（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则（1，0，2c ）,E （

，，c ）.

2

2)12()12(214λ

λλ++++=+1=λM SC )1,1,2(),1,1,0(--=MA M )2,0,2(-=AS )0,2,0(=AB ),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==SAM MAB ?????=?=?0011AS n MA n ?????=?=?0012AB n MA n ????

?=+-=--022*******z x z y x ?????

==--02022222y z y x 221==x x 2,0,1,12211====z y y z )2,0,2(),1,1,2(21==n n 3

6

6

2202,cos 21=

?++>=

6arccos -π1B 122

b

A

C

B A 1

B 1

C 1

D

E

于是=（，，0），=（-1，b ,0）.由DE ⊥平面知DE ⊥BC ， =0，求得b =1，所以 AB =AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量则 又=（-1，1， 0），

=（-1，0，c ）,故 令x =1, 则y =1, z =,=(1,1, )。

又平面的法向量=（0，1，0）

由二面角为60°知，=60°， 故 °，求得

于是 ，

， ° 所以与平面所成的角为30°

12、如图，

平面，，，，分别为的中点．（I ）证明：平面；（II ）求与平面所成角的正弦值．

DE →

122

b

BC

→1BCC DE BC

→→?(,,),AN x y z →

=0,0.AN BC AN BD →→→→

?=?=BC →

BD →

x y x cz -+=??

-+=?1c AN →1

c

ABD AC C BD A --AC AN ，

60cos ??=?AC AN AC AN 2

1c =

），，（211=AN ），，211(1-=CB 2

1

cos 1

11=

??=

CB AN CB AN CB AN ，601=CB AN ，

C B 1BC

D DC ⊥ABC //EB DC 22AC BC EB DC ====120ACB ∠=,P Q ,A

E AB //PQ ACD AD ABE

【答案】（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，

所以， 又，所以，又平面ACD ，DC 平

面ACD ， 所以平面ACD

（Ⅱ）在中，，所以 而DC 平面ABC ，，所以平面ABC

而平面ABE ， 所以平面ABE 平面ABC ， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以

所以平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ， 所以直线AD 与平面ABE 所成角是 在

中，

，

所以

13、如图，四棱锥的底面是正方形，

，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E 为PB 的

中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.

【答案】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，

∵， ∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面.

（Ⅱ）设AC ∩BD =O ，连接OE ，

由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，

CQ DP ,ABE ?Q P ,AB AE ,BE PQ 21//==BE DC 21

//==DC PQ ==//?PQ ?//PQ ABC ?BQ AQ BC AC ===,2AB CQ ⊥⊥DC EB //⊥EB ?EB ⊥⊥CQ CQ DP //⊥DP DAP ∠APD

Rt ?5

122222=+=+=DC AC AD 1sin 2=∠==CAQ CQ DP 55

5

1sin =

==∠AD DP DAP P ABCD -PD ABCD ⊥底面AEC PDB ⊥

平面PD =PD ABCD ⊥底面AEC PDB ⊥平面

∴OE //PD ，，又∵， ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ， 在Rt △AOE 中，， ∴，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为. 14、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，

，．以的中点为球心、为直径的

球面交于点．

（1）求证：平面⊥平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）求点到平面的距离．

【答案】（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.

因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.

（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影， 所以 就是与平面所成的角， 且

所求角为

（3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM

的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM |就是D 点到平面ABM 距离

. 因为在Rt △PAD 中，，，所以为中点，，

1

2

OE PD =

PD ABCD ⊥

底面122

OE PD AB AO =

==45AOE ?∠=45?P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 4PA AD ==2AB =BD O BD PD M ABM PCD PC ABM O ABM PNM ∠PC ABM PNM PCD ∠=∠tan tan PD

PNM PCD DC

∠=∠==arctan 4PA AD ==PD AM ⊥M PD DM =B

则O 点到平面ABM

。

15、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△

是等腰直角三角形，（I ）求证：

；

（II ）设线段、的中点分别为、，求证： ∥

（III ）求二面角的大小。

【答案】（I ）因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC 平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，

所以BC ⊥平面ABEF . 所以BC ⊥EF .

因为⊿ABE 为等腰直角三角形，AB =AE ， 所以∠

AEB =45°， 又因为∠AEF =45,

所以∠FEB =90°，即EF ⊥BE .

因为BC 平面ABCD , BE 平面BCE , BC ∩BE =B

所以

（II ）取BE 的中点N ,连结CN ,MN ,则MN

PC

∴ PMNC 为平行四边形,所以PM ∥CN . ∵ CN 在平面BCE 内,PM 不在平面BCE 内, ∴ PM ∥平面BCE .

（III ）由EA ⊥AB ,平面ABEF ⊥平面ABCD ,易知EA ⊥平面ABCD .

作FG ⊥AB ,交BA 的延长线于G ,则FG ∥EA .从而FG ⊥平面ABCD , 作GH ⊥BD 于H ,连结FH ,则由三垂线定理知BD ⊥FH . ∴ ∠FHG 为二面角F -BD -A 的平面角. ∵ FA =FE ,∠AEF =45°, ∠AEF =90°, ∠FAG =45°.

设AB =1,则AE =1,AF =

,则 在Rt ⊿BGH 中, ∠GBH =45°,BG =AB +AG =1+

=, ABCD ABEF ABE ,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=EF BCE ⊥平面CD AE P M PM BCE 平面F BD A --???EF BCE ⊥平面12

A B 21FG AF sin FAG 2

=?=123

2

, 在Rt ⊿FGH 中,

, ∴ 二面角的大小为

16、如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面

ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是

SD 上的点，且DE ＝a (0<≦1). (Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC ⊥BE :

(Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求的值。 【答案】（Ⅰ）证发1：连接BD ，由底面是正方形可得AC BD 。

SD 平面ＡＢＣＤ，BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，

由三垂线定理得AC BE .

(II )SD 平面ABCD ，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SD CD .

又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD ＡD ，又ＳＤAD =D ，CD 平面SAD 。 过点D 在平面SAD 内做DF AE 于F ，连接CF ，则CF AE ， 故CFD 是二面角C -AE -D 的平面角，即CFD =60° 在Rt △ADE 中，AD =, DE = ， AE = 。

于是，DF =

在Rt △CDF 中，由cot 60°=

3232GH BG sin GBH 224

=?=

?=FG tan FHG GH =

=F BD A --arc tan 3

λλλ∈λ⊥ ⊥∴⊥ ⊥?∴⊥∴⊥ ∴⊥⊥⊥∠∠ a a λa

12+λ1

2+=?λλa AE

DE

AD 1

2

+=λλCD

DF

得

， 即=3 ， 解得=

17、如图3，在正三棱柱中，AB =4,

,点

D 是BC 的中点，点

E 在AC 上，且DE E .（Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）求直线AD 和平面所成角的正弦值。

【答案】（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.

又DE 平面ABC ，所以DE .而DE E ，,

所以DE ⊥平面.又DE 平面， 故平面⊥平面.

（Ⅱ） 过点A 作AF 垂直于点,

连接DF .由（Ⅰ）知，平面⊥平面，

3

31

2=

+λλ332

+λλ(0,1]λ∈λ2

2111ABC A B C -1AA =⊥1

A 1A DE ⊥11ACC A 1A DE 111ABC A

B

C -1AA ⊥ABC ?1AA ⊥⊥1A 111AA A E A =11ACC A ?1A DE 1A DE 11ACC A 1A E F 1A DE 11ACC A

所以AF 平面,故是直线AD 和 平面所成的角。 因为DE ， 所以DE AC.而ABC 是边长为4的正三角形，

于是AD =

AE=4-CE =4-=3.

又因为，所以E = = 4,

, . 即直线AD 和平面所成角的正弦值为

.

18、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△

是等腰直角三角形， （I ）求证：；

（II ）设线段、

的中点分别为、，

求证： ∥

（III ）求二面角的大小。

【答案】

（I ）因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC 平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，

所以BC ⊥平面ABEF . 所以BC ⊥EF .

因为⊿ABE 为等腰直角三角形，AB =AE ， 所以∠AEB =45°， 又因为∠AEF =45,

所以∠FEB =90°，即EF ⊥BE .

因为BC 平面ABCD , BE 平面BCE , BC ∩BE =B

⊥1A DE ADF ∠1A DE ⊥11ACC A ⊥?1

2

CD 17AA =1A 22

11A E AA AE =+22(7)3=+114

AE AA AF A E ?=

=sin AF ADF AD ∠==1A DE 8

ABCD ABEF ABE ,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=EF BCE ⊥平面CD AE P M PM BCE 平面F BD A --???

所以 （II ）取BE 的中点N ,连结CN ,MN ,则MN

PC

∴ PMNC 为平行四边形,所以PM ∥CN . ∵ CN 在平面BCE 内,PM 不在平面BCE 内, ∴ PM ∥平面BCE .

（III ）由EA ⊥AB ,平面ABEF ⊥平面ABCD ,易知EA ⊥平面ABCD .

作FG ⊥AB ,交BA 的延长线于G ,则FG ∥EA .从而FG ⊥平面ABCD , 作GH ⊥BD 于H ,连结FH ,则由三垂线定理知BD ⊥FH . ∴ ∠FHG 为二面角F -BD -A 的平面角.

∵ FA =FE ,∠AEF =45°,∠AEF =90°, ∠FAG =45°.

设AB =1,则AE =1,AF

,则 在Rt ⊿BGH 中, ∠GBH =45°,BG =AB +AG =1+=,

, 在Rt ⊿FGH 中

, , ∴ 二面角的大小为 19、如题（18）图，在五面体中，∥，

，

，四边形为平行四边形，平面，．求：

（Ⅰ）直线到平面的距离；

（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．

EF BCE ⊥平面1

2

A B 1

FG AF sin FAG 2

=?=123

23232GH BG sin GBH 224

=?=

?=FG tan FHG GH 3

=

=F BD A --arc tan

3

ABCDEF AB DC 2

BAD π

∠=2CD AD ==ABFE FA ⊥ABCD 3,FC ED ==AB EFCD F AD E --

【答案】 （Ⅰ）

平面, AB 到面的距离等于点A 到面

的距离，过点A 作于G ，因∥，故；

又

平面，由三垂线定理可知，，故，知

，所以AG 为所求直线AB 到面的距离。

在中，

由平面，得AD ，从而在中，

。即直线到平面的距离为。 （Ⅱ）由己知，平面，得AD ，又由，知，

故平面ABFE

，所以，为二面角的平面角，记为.

在中, ,由得,,

从而

在中,

故

所以二面角

.

20、如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ．

(1)证明：PA ⊥BD ；

(2)设PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．

,AB DC DC ?EFCD ∴EFCD EFCD AG FD ⊥2

BAD π

∠=AB DC CD AD ⊥FA ⊥ABCD CD FD ⊥CD FAD ⊥面CD AG ⊥EFCD Rt ABC △FD ==FA ⊥ABCD FA ⊥Rt △FAD 1FA ===∴5FA AD AG FD ?=

==

AB EFCD 5FA ⊥ABCD FA ⊥2

BAD π

∠=

AD AB ⊥AD ⊥∴DA AE ⊥FAE ∠F AD E --θRt AED △AE ==ABCD FE BA 2

AFE π

∠=

Rt AEF △FE ==tan FE

FA

θ=

=F AD E --

【答案】

(1)因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD

，由余弦定理得BD =.从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD ． 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ． 所以BD ⊥平面PAD ．故PA ⊥BD ．

(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .则A (1，0，0)，B (0

0)，C (－1

0)，P (0，0，1)．

AB ＝(－1

，0)，PB ＝(0

1)，BC ＝(－1，0，0)．

设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0

n AB n PB ??=???=??

即00

x z ?-+=?-= 因此可取n ＝

1

．

设平面PBC 的法向量为m ，则0

0m PB m BC ??=???=??

可取m ＝(0，－1

，cos ,m n ==. 故二面角A -PB -C

的余弦值为7

-.