数学竞赛辅导讲座(新)
数学竞赛辅导系列讲座一 ——数
1.计算：11
1
1(12)(123)(12320)23
20
+
++++++
++++．
2.如果555555555555555
4444666666233322
n
++++++++?=+++，那么n=_______． 3.军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为abc ，七进制表示为cba ，那么苹果总数用十进制表示为_______．
4.已知实数a 满足|2014|a a -=，那么a －20142
的值是（ ）
A 、2013
B 、2014
C 、2015
D 、2016
5.设分数13
(13)56
n n n -≠+不是最简分数，那么正整数n 的最小值可以是（ ）
A 、84
B 、68
C 、45
D 、115
6.数272
－1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是________． 7.n 是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d 的倍数，则d=________．
8.设1a =，则3a 3+12a 2－6a －12=（ ）
A 、24
B 、25
C 、10
D 、12
9.已知a 、b 是正整数，且满足2是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对．
10.设n 是大于1909的正整数，使得1909
2009n n
--为完全平方数的n 的个数有（ ）个
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
11.设n a 表示数4
n 的末位数，则122012a a a +++=________．
12.如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，p=|1－2x|+|1－3x|+…+|1－10x|为定值，则定值为（ ）A 、2 B 、3
C 、4
D 、5
13.若1,2,3xy yz zx
x y y z z x
=
==+++，则x=______． 14.试求|x －1|+|x －2|+|x －3|+…+|x －2015|的最小值．
15.已知p 、q 均为素数，且满足5p 2
+3q=59，则以p+3，1－p+q ，2p+q －4为边长的三角形是（ ）A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、等腰三角形
16.若x 1、x 2 、x 3 、x 4 、x 5为互不相等的正奇数，满足
(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)=242
，则x 12
+x 22
+x 32
+x 42
+x 52
的末尾数字是（ ） A 、1
B 、3
C 、5
D 、7
17.在数1、2、3、…、2014、2015前面任意添加上“+”或“－”进行计算，所得可能的最小非负数是________．
18.设a 、b 、c 为实数，2
222,2,23
6
2
x a b y b c z c a π
π
π
=-+=-+
=-+
，x 、y 、z 中至
少有一个值（ ）
A 、大于0
B 、等于0
C 、不大于0
D 、小于0
19.今天是星期日，若明天算第1天，则第13
+23
+…+20163
天是星期_____． 20.已知()()()??
?
??++??? ??+??? ??+++++=201313121201321.11)(2f f f f f f x x f 则=
．
21.已知四个互不相等的正数x 、y 、m 、n 中，x 最小，n 最大，且x ：y=m ：n ，试比较x+n 与y+m 的大小，并证明你的结论． 22.
10099+
+
++
．
23.设x>0，y>0=
的值．
24.
25.设a 、b 、c
26.=且0 27.设1 980100 S =+++ + [S]表示不超过S 的最大整数，试求 S ． 28.已知x 、y 是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)． 29、若a 、b 是整数，且7|(a+b)，7|(2a －b)，求证：7|(5a+2b)． 30.正整数p 、q 都大于1，且 2121 ,p q q p --都是整数，求p+q ． 31.当n 是正整数时，n 4 －6n 2 +25是质数还是合数？证明你的结论． 32.已知a 是自然数，问a 4 －3a 2 +9是质数还是合数？证明你的结论． 33.试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同． 34.设a 、b 、c 、d 是正整数，并且a 2 +b 2 =c 2 +d 2 ，证明a+b+c+d 一定是合数． 35.你能找到三个正整数a 、b 、c ，使得关系式(a+b+c)(a －b+c)(a+b －c)(b+c －a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由． 36.一个正整数a ，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b ，如果a 恰好是b 的3倍，我们称a 是一个“希望数”． （1）请你举例：“希望数”一定存在； （2）请你证明：如果a 、b 都是“希望数”，则ab 一定是729的倍数． 37.将自然数1、2、3、…、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33． 38.设 x = a 是x 的小数部分， b 是－x 的小数部分，求33 3a b ab ++的值． 39.设a 、b 都是整数，求证：a ，b ，a 2 +b 2 ，a 2 －b 2 中一定有一个被5整除． 40.若一个数能够表示成2 2 22x xy y ++(x ，y 是整数)的形式，则称该数为“好数” （1）试判断29是否为好数； （2）写出80，81，…，100中的好数； （3）如果m ，n 都是好数，证明mn 也是好数． 41.有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得（1）三堆的石子数分别是2、12、22？ （2）三堆的石子数都是12？ 如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由． 注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）→（18，7，11）等等． 42.为无理数． 43.已知p 为大于3的质数，证明p 的平方被24除的余数是1． 44.已知M 是一个四位的完全平方数，若将M 的千位数字减少3而个位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_________． 45.在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”或“－”号，如果可以使其代数和为n ，就称数n 是“可被表出的数”，否则，就称数n 是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2－3－4+5+6－7－8+9是1的一种可被表出的方法）． （1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）求25可被表出的不同方法种数． 46.是否存在：用0，1，2，…，9这十个数字组成几个数，使它们的和恰好为100，每个数字都用一次并且只能用一次． 47.设〔x 〕表示不超过实数x 的最大整数．则在平面直角坐标系xoy 中满足〔x 〕〔y 〕=2011的所有点（x ，y ）组成的图形的面积 ． 48.已知122015,, ,a a a 是一列互不相等的正整数．若任意改变这2015个数的顺序，并 122015,, ,b b b 记为．则数()()()112220152015M a b a b a b =---的值必为 ． 49.（1）证明：由2015个1和0组成的自然数不是完全平方数； （2）试说明：存在最左边2015位都是1的形如11…1﹡﹡…﹡的自然数（﹡代表阿拉伯数码）是完全平方数． 数学竞赛辅导系列讲座二 ——式 1.已知x _______． 2.已知a+b+c=11与 1111317a b b c c a ++=+++，则a b c b c c a a b ++ +++的值是_______． 3.已知实数a ，b ，c 满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，则代数式|||||| a b c a b c ++的值是_______． 4.已知a ，b 为实数，且ab=1，a ≠1，设11 ,1111 a b M N a b a b = +=+++++，则M-N=____． 5.a ，b ，c 不全为0，满足a+b+c=0，a 3 +b 3 +c 3 =0，称使得a n +b n +c n =0恒成立的正整数n 为“好数”，则不超过2013的正整数中好数的个数为（ ） A 、2 B 、1007 C 、2012 D 、2013 6.设( )() 94122=++++ y y x x ，则=+++1422x y y x ______． 7.设a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且|||||||||||| a b c ab bc ca x a b c ab bc ca = +++++，则321ax bx cx +++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、-1 8.若|x-a|=a-|x|(x ≠0，a ≠x)（ ） A 、2a B 、2x C 、-2a D 、-2x 9.若a ，b 为实数，满足 111a b a b -=+，则b a a b -的值为（ ） A 、－1 B 、0 C 、1 2 D 、1 10.设a ，b ，c 为互不相同的有理数，满足( (2 b a c +=++，则满足条件的 a ， b ， c 共有（ ）组 A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 11.已知 x y = = ，则3 3 12x xy y ++=___________． 12. 的结果是（ ） A 、1 B 、 3 C 、2 D 、4 13.分式2222 53051611x xy y x xy y ++++的最小值是（ ） A 、-5 B 、-3 C 、5 D 、3 14.非零实数a ，b ，c ，x ，y ，z 满足关系式 x y z a b c ==， 则()()()()()()xyz a b b c c a abc x y y z z x ++++++=_____． 15.已知x ，y ，z 为实数，若22 2 2 2 2 1,2,2x y y z x z +=+=+=，则xy+yz+zx 的最小值为（ ）A 、5 2 B 、1 2 + 3 C 、－12 D 、1 2 － 3 16.若4 4 2 22 2 26a b a a b b +=-++，则2 2 a b +=_____． 17.若实数x ，y 满足703392xy x y x y xy +++=?? +=+?，则22 x y xy +=_______． 18.设x ，y 为实数，代数式2 2 54824x y xy x +-++的最小值为_______． 19.已知实数a ，b ，c 满足2 7,160a b c ab bc b c -+=++++=，则b a 的值等于_____． 20.分解下列因式： （1）2 (61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ （2）422 21x x ax a +++- （3）3 2 2 2 22422x x z x y xyz xy y z --++- （4）4 4 4 ()x y x y +++ （5）2 2 276212x xy y x y -++-- （6）3 2 211176x x x +++ （7）136912++++x x x x （8）3 3 2 2 1a b ab a b -+++ 21.使2 7m m ++为完全平方数的正整数m 的个数为__________． 22.若实数a 满足3 2 2331132a a a a a a +-+= --，则1 a a +=________． 23.已知实数x ，y 满 足 ( 2015x y - =，则 2232332014x y x y -+--的值为（ ） A 、－2015 B 、2015 C 、－1 D 、1 24. 设a = 54323 22 a a a a a a a +---+-=________． 25.设a ，b ，c ，d 都是正整数且5 4 3 2 ,a b c d ==，19=-a c ．求d －b 的值． 26.若2 2 2 3 3 3 1,2,3x y z x y z x y z ++=++=++=，求444 x y z ++的值． 27.若2222 1,1,0a b c d ac bd +=+=+=，试求ab+cd 的值． 28.已知x>y>z>0，求合适等式xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1989的整数x ，y ，z 的值． 29.已知一组数据4，－2，0，2，x 的极差是10，求x 的值． 30.设1219,,,x x x 都是正整数，且满足121995x x x ++ +=，求22 21219x x x +++的 最大值． 31.实数a ，b 1032b b =-+--，求22 a b +的最大值． 32. 2 2013． 33.当x 变化时，求分式22 365 112 x x x x ++++的最小值． 34.已知 x y z u y z u z u x u x y x y z ===++++++++， 求 x y y z z u u x z u u x x y y z +++++++++++的值． 35.求证：（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2；（2）对任意正整数n ， 不被7整除． 36.12,, ,n x x x 为实数，() 2 1222212n n x x x x x x n ++ ++++= ，求证： 12n x x x ===． 37.已知a ，b ，c 均为正整数，且满足2 2 2 a b c +=，又a 为质数，求证：（1）b 与c 这两个数的乘积为偶数；（2）2(a+b+1)是完全平方数． 38.设a ，b ，c 均是不等于0的实数，且满足22a b bc -=及22b c ca -=，证明：22 a c a b -=． 39.设实数x ，y 满足( 1x y + + =，求x+y 的值． 40.已知a ，b ，c 为实数，证明2 2 2 2 (),(),(),()a b c a b c b c a c a b +++-+-+-这四个代数式的值中至少有一个不小于22 2 a b c ++的值，也至少有一个不大于222 a b c ++的值． 41.设实数x ，y ，z 同时满足3 3 3 34,266,398x y x y z y z x z +=++=++=+，试求 2222013(1)2014(1)2015(1)x y z -+-+-的值． 42.如果实数a ，b 满足条件2 2 2 2 1,|12|21a b a b a b a +=-+++=-，a+b 的值是多少？ 43.已知a ，b ，c 为正数，满足下列条件 32a b c ++= …………① 1 4 b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= …………② 为三边长的三角形可构成以一个直角三角形． 44．已知c b a c b a ++= ++1 111．求证：a+b ，b+C ，c+a 中至少有一个为零． 45. 互不相等的实数a 、b 、c ，d.且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111, 求x 的值． 46.已知1abc =-, 221a b c c +=，求555ab bc ca ++的值. 数学竞赛辅导系列讲座三 ——方程 1.方程|3x|+|x －2|=4的解的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2.以关于x ，y 的方程组323 39mx y x my +=?? -=? 的解为坐标的点（x ，y ）在第二象限，则符合条件 的实数m 的范围是（ ） A 、m>1 9 B 、m<－2 C 、－2 9 D 、－1 2 3.已知实数a>0，b>0，满足2 2014,2014a b b +=+=，则a+b 的值是______． 4.关于x 的方程 2 2211 ax a a x -=+-的解为________． 5.已知p 是质数，且方程2 4440x px p +-=的两个根都是整数，则p=_____． 6.方程3 2 3652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、3 D 、无数多个 7.若a ，b 都是整数，方程2 20080ax bx +-=的两相异根都是质数，则3a+b 的值是（ ） A 、100 B 、400 C 、700 D 、1000 8.对于实数x ，符合[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3.14]=3，[－7.59]=-8，则关于x 的方程3747x +?? =? ??? 的整数解有（ ）个 A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 9.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足 111 4,9,16,,,4916 bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f ======，则 (a+c+e)－(b+d+f)的值为________． 10.方程||(1)0x x k --=有三个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ） A 、－1 4 B 、0 4 C 、k>－1 4 D 、k<14 11.若整数m 使得方程2 20060x mx m -++=的根为非零整数，这样的整数m 的个数为________． 12.设x 1，x 2是方程2 40x x +-=的两根，则3212510x x -+=（ ） A 、-29 B 、-19 C 、-15 D 、-9 13.方程2 2 332x xy y x y ++=-的非负整数解（x ，y ）的组数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 14.方程7 [2][3]82 x x x +=- 的所有实数解为_____________． 15.对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v ，若关于x 的方程x*(a*x)=－ 1 4 有两 个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是____________． 16.小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定的时间发一辆车，那么发车间隔为几分钟？ 17.不定方程5x －14y=11的最小正整数解是____________． 18.方程2 2[]30x x --=的解的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 19.已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2 210x x t -+-=，的两个非负实根，则2 2 (1)(1)a b --的最小值是________． 20.已知 m ，n 是二次方程 2201470x x ++=的两根，那么 22(20136)(20158)m m n n ++++等于（ ）A 、2006 B 、2007 C 、2008 D 、2009 21.若实数x ，y ，z 满足方程组122232xy x y yz y z zx z x ?=?+??=? +??=? +?，则（ ） A 、x+2y+3z=0 B 、7x+5y+2z=0 C 、9x+6y+3z=0 D 、10x+7y+z=0 22.已知实数 a ， b ， c ， d ，且a ≠b ，c ≠d ，若关系式 22222,2,4,4a ac b bc c ac d ad +=+=+=+=同时成立，则6a+2b+3c+2d=__________． 23.方程组332 21 81x y z x y z +=-??+=-? 的正整数解（x ，y ，z ）为_____________． 24.方程22 2522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有_______组． 25.把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x 2 +□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项，使得方程至少有一个整数根的a ，b ，c 有（ ） A 、不存在 B 、有一组 C 、有两组 D 、多于两组 26.已知a ，b ，c 为正数，关于x 的一元二次方程2 0ax bx c ++=有两个相等的实数根，则方程2 (1)(2)(1)0a x b x c +++++=的根的情况是（ ） A 、没有实根 B 、有两个相等的实根 C 、有两个不等实根 D 、根的情况不确定 27.求方程23 2730x xy y -+=的正整数解． 28.设x ，y ，z 是都不为零的相异实数，且满足等式y z z x x y y z x +++==，试证明：此等式的值不可能是实数． 29.解方程：2 2 2 916(3)x x x + =- 30.满足方程22 21x y -=的所有质数解（即x ，y 都是质数的解）是_______． 31.若2 2 2 2 ,x y m n x y m n +=++=+，求证：2014 201420142014x y m n +=+． 32.已知a>0，且b>a+c ，证明方程2 0ax bx c ++=必有两个不同的实根． 33.解下列方程：（1）432 2914920x x x x -+-+= （2）4 4 (2)820x x +--= （3）2 2 2 (231)(251)9x x x x x -+++= （4） 2222 11114 325671221 x x x x x x x x +++=+++++++ （5）2 2 40119x x x x ???? += ? ?-+???? （6）132 1121 11 1x x x ++ = ++ + 34.设a 为整数，使得关于x 的方程2 (5)70ax a x a -+++=至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根． 35.已知正整数a ，b ，c 满足a 2(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根． 37.m 为有理数，试确定方程22 443240x mx x m m k -++-+=的根为有理数． 38.当12122()p p q q =+时，试证方程2110x p x q ++=和2 220x p x q ++=中至少有一个 方程有实根． 39.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？ 40.如果关于x 的方程 221 1k x kx x x x x +-=--只有一个解，求k 的值． 41.把最大正整数是31的连续31个正整数分成A ，B 两组，且10在A 组，如果把10从A 组移到B 组中，则A 组中的各数的平均数增加12 ，B 组中各数的平均数也增加1 2 ，问A 组中 原有多少个数？ 42.已知a>2，b>2，试判断关于x 的方程2 ()0x a b x ab -++=与方程2 x abx a b -++=有没有公共根，并说明理由． 43.求满足条件的所有实数k ，使得关于x 的方程2 (1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数． 44.设a ，b ，c 为互不相等的非零实数，求证三个方程 22220,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=不可能同时有两个相等实根． 45.设△是整系数二次方程2 0ax bx c ++=的判别式， （1）4，5，6，7，8五个数值中，哪几个能作为判别式△的值？分别写出一个相应的二次方程； （2）请你从中导出一般规律——一切整数中怎样的整数值不能作为△的值，并给出理由． 46.设a 、b 、c 、d 是正整数，a 、b 是方程()02 =+--cd x c d x 的两个根．证明：存在边 长是整数且面积为ab 乘积的直角三角形． 数学竞赛辅导系列讲座四——不等式 1.不等式2 |26|x x a +-≥对一切实数x 都成立，则实数a 的最大值为_____． 2. x << x 的个数是（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 3.已知－1<2x －1<1，则 2 1x -的取值范围是_______． 4.已知关于x 的不等式(2m －n)x －m －5n>0的解集为x<10 7 ，那么关于x 的不等式mx>n(m ≠ 0)的解集为__________． 5.使关于x 的不等式 1 2 ax a x --≥成立的x 的最大值是－1，则a 的值是____． 6.关于x 的不等式|2x －1|<6的所有非负整数解的和为_______． 7.若正数x ，y ，z 满足不等式组11 263 52 35 1124z x y z x y z x y x z y ?<+ ?<+ ，则x ，y ，z 的大小关系是（ ） A 、x B 、y C 、z D 、不能确定 8.若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，那么a+b+c+d 的最大值为（ ） A 、－1 B 、－5 C 、0 D 、1 9.若 a ， b ， c ， d 为乘积是1 的四个正数，则代数式 2222a b c d ab ac ad bc bd cd +++++++++的最小值是（ ） A 、0 B 、4 C 、8 D 、10 10.设实数x 满足 31426313 23510 x x x ----≥-，求2|x －1|+|x+4|的最小值． 11.求证：2211 331 x x x x -+≤≤++（x 为实数）． 12.已知22 1a b +=，对于满足条件0≤x ≤1的一切实数x ，不等式 a(1－x)(1－x －ax)－bx(b －x －bx)≥0． 恒成立，当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值 13.设x ，y 为实数，若2 2 2 2 2,x xy y x xy y k -+=++=，求k 的取值范围． 14.解关于x 的不等式组365(12)8mx mx mx x m x -<-? ?+>-+?． 15.在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数2910105 x x y = -+的图像上找出满足y ≤|x|的所有整点（x ，y ），并说明理由． 16.已知0 17．一玩具厂用于生产的全部劳动力为450个工时原料为400个单位．生产一个小熊要用15个工时，20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要用10个工时，5个单位的原料，售价为45元．在劳动力和原料的限制下合理安排生产小熊小猫的个数．可以使小熊和小猫总售价尽可能高．请你用学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元． 18.求满足不等式 a 2 +b 2 +c 2 +3﹤ab+3b+2c 的整数解． 19.由沿河岸一城市A 运货物到离河岸30km 的地点B,按沿河岸距离计算，B 离A 的距离AC 是40km ．如果水路运费是公路运费的一半，应该怎样确定在河岸的点D,从B 点筑一条公路到D ，才能使由A 到B 的运费最少？ 20.甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种．若两人购买商品一共花费了172元．则其中单价为9元的商品有几件？ 21.货轮上卸下若干只箱子，其总质量为10吨．每只箱子的质量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次性运走．问至少需要多少载重为3吨的车子． 22．已知二次函数y=2 x +(m+1)x+n 过点(3，3)，并且对于一切实数x ，所对应的函数值均不小于x ，求这个函数图像的顶点到原点的距离． 23．如图，△ABC 中，∠C 为锐角，AD ，BE 分别是BC 和AC 边上的高线，设CD=2m BC ，CE=2 n AC ，当m ，n 为正整数时，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 24．已知y x x x )2(622222-=+-+-，求y x -1 的值． 25．已知a ，b 为实数，且满足16a 2 +2a+8ab+b 2 —1=O ，求3a+b 的最小值． 26．设10p p x ，求证：21)1(11522+-+++≤ p x x ． 27．若二次函数()x f =a x ax --22 满足()()()()0312f f f f ，则实数a 的取值范围为 ． 28．已知+∈R y x ,．求 y x y y x x 22+++的最大值． 29．能同时表示成连续9个整数之和、连续10个整数之和及连续11个整数之和的最小正整数为 ． 30．四边形ABCD 两条对角线AC 、BD 相交于点O ，且⊿AOB 与⊿COD 的面积分别为1、9．求四边形ABCD 面积的最小值，并判断当取得最小值时四边形的形状． 31.已知正数a 、b 、c 、a 1、b 1、c 1,满足条件a+a 1=b+b 1=c+c 1=k ，求证:a b 1+ b c 1+ c a 1﹤k 2 ． 32．设a 、b 、c + ∈R ，求证：2 222c b a a c c c b b b a a ++≥+++++． 33．已知a 、b 是给定的大于2015的实数，对于任意实数x 、y ，都有 122))((22222++--+++k k ay bx y x b a >0,其中k 是实数，求k 的取值范围. 34．当三个非负实数x 、y 、z 满足关系式323=++z y x 与433=++z y x 时，M=3x-2y+4z 的最小值和最大值分别为 . 35．有n 个连续的正整数1、2、…，n ，去掉其中的一个数x 后，剩下的平均数是16 .则满足条件的n 和x 的值分别是 . 36．已知实数x 、y 满足5422 =--y x x ，记y x t 2-=，则t 的取值范围是 . 37．小马在体育场卖饮料，雪碧每瓶4元,汽水每瓶7元,开始时他有350瓶饮料,虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2009元,则他至少卖出了 瓶汽水. 38.请判断100 2 是多少位整数(要有详细的过程). 数学竞赛辅导系列讲座五 ——函数 1.在平面直角坐标系中有点A （－2，2）、B （3，2），C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则符合条件的点C 有（ ）个 A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 2.已知一次函数y=kx+b ，kb<0，则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有____个，即第_________象限． 3.若反比例函数y=k x 的图像与一次函数y=ax+b 的图像交于点A （－2，m ）、B （5，n ），则 3a+b=_______． 4.已知二次函数2 y x x a =-+的图像与x 轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则a 的取值范围是__________． 5.已知点A 、B 分别在一次函数y=x ，y=8x 的图像上，其横坐标分别为a ，b （a>0，b>0），若直线AB 为一次函数y=kx+m 的图像，则当b a 是整数时，满足条件的整数k 的值共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6.一次函数13 y x =- +与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，在第二象限内有一点P （a ，1 2 ），满足S △ABP =S 正方形ABCD ，则a=________． 7.已知y = x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ） A 、 6 -3 B 、3 C 、 5 - 3 D 、 6 - 3 8.把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2 y x mx n =++的图像与x 轴有两个不同交点的概率是（ ） A 、5 12 B 、49 C 、17 36 D 、12 9.过点P （－1，3）作直线，使它与坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以做（ ） A 、4条 B 、3条 C 、2条 D 、1条 10.若关于x 的函数2 (3)(41)4y a x a x a =---+的图像与坐标轴有两个交点，则a 的值为_______． 11.二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图像经过（－1，2）且与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2（－2 +8a>4ac ，其中正确的有（ ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 12.过原点的直线与反比例函数y=- 7 x 的图像交于A ，C ，自点A ，C 分别作x 轴的垂线，垂 足分别为B ，D ，则四边形ABCD 的面积等于______． 13.设抛物线2 4y x kx =++与x 轴有两个不同的交点（x 1，0）、（x 2，0），则下列结论中一定成立的是（ ） A 、22 1217x x += B 、22128x x += C 、221217x x +< D 、22 128x x +> 14.一次函数y=kx+b 的图像过点P （1，4），且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B ，O 为坐标原点，△ABO 的面积最小时，k ，b 的值分别是（ ） A 、－4，8 B 、－4，4 C 、－2，4 D 、－2，－2 15.已知函数2 ()f x ax c =-（a ，c 为实数），若－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤2，则f(8)的最大值是__________． 16.如果函数y=b 的图像与函数2 3|1|43y x x x =----的图像恰有三个交点，则b 的可能值为_________． 17.若函数2 45(1)y x x t x t =--+≤≤+的最大值关于t 的表达式y max =______． 18.已知abc<0，则在图中的四个选项中，表示2 y ax bx c =++的图像可能是（ ） A B C D 19.如图，两个反比例函数1k y x = 和2k y x =（k 1>k 2>0）在第一象限内的图像依次是曲线C 1和C 2，设点P 在C 1上，PE ⊥x 轴于点E ，交C 2与点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边 形PAOB 的面积为（ ） A 、k 1+k 2 B 、k 1-k 2 C 、k 1k 2 D 、k 1 k 2 20．如图已知点A 、B 分别在反比例函数)0( x x n y =、)0( x x m y =的图像上，OB OA ⊥，则tanB= ． 21.在平面直角坐标系中，已知点A （1，1）在坐标轴上找一点P ，使△AOP 为等腰三角形，求P 点坐标． 22.设抛物线2 5 (21)24 y x a x a =++++ 的图像与x 轴只有一个交点． （1）求a 的值；（2）求18 6 323a a -+． 23.已知直线y=b （b 为实数）与函数2 |43|y x x =-+的图像至少有三个公共点，则实数b 的取值范围． 24.已知一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=k x 的图像交于点M （2，3），N （－4，m ） （1）求一次函数y=Ax+B 与反比例函数y=k x 的解析式； （2）求△OMN 的面积． 25.如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、F 分别是线段 CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． C D E F A B 26.求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数 2 1()f x x ax b n = ++对任意整数x ，f(x)都是整数． 27.如图，已知点M （0，1），N （0，－1），P 是抛物线2 14 y x = 上的一个动点 （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y=-1的位置关系； （2 PNM=∠QNM 28.已知二次函数2 (0)y x bx c c =++<的图像与x 轴的交点分别为A ，B ，与y 轴的交点为C ，设△ABC 的外接圆的圆心为P ． （1）证明⊙P 与y 轴的另一个交点为定点； （2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且S △ABC =2，求b 和c 的值． 29.已知抛物线2 y x px q =++上有一点M （x 0，y 0）位于x 轴的下方． （1）求证：已知抛物线与x 轴必有两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），其中x 1 （3）若点M 为（1，－2）时，求整数x 1，x 2的值． 30. 如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联． (1)已知抛物线①122 -+=x x y ，判断下列抛物线②122 ++-=x x y ；③122 ++=x x y 与已知抛物线①是否关联，并说明理由． 小学数学奥林匹克竞赛辅导讲座——分数运算的技巧 分数的四则混合运算，与整数四则混合运算一样，按先乘除后加减有顺序进行，整数四则混合运算中的定律和性质，在分数运算中同样适用。但是，要提高分数运算的速度和正确率，除了掌握这些常规的运算法则外，我们还应该掌握一些特殊的运算技能和技巧，常用的分数运算技巧和方法，主要有凑整法、裂项法、约分法等。 【例1】计算2002× ［分析］本题可以按照整数乘以分数的计算法则计算，但这样做很显然比较麻烦，可以根据题中数的特点，合理灵活地选择计算方法，把题目中的因数拆成两数和或两数差的形式。 ［解］方法—：2002×＝2002×（1－） ＝2002×1－2002× ＝2002－1 方法二：2002×＝（2001＋1）× ＝2001×＋1× ＝2000 点评：在一些分数乘法计算中，可根据数字的特点，合理地把参加运算的数拆成两数和或两数差的形式，在拆数时要注意：一要使参加运算的数变形不变值，二要达到便于简化计算目的。 【例2】计算3×25＋37.9×6 ［分析］注意观察3和6，它们的和为10，但是，只有当分别与它们相乘的另一个因数相同时，才能运用乘法分配律来进行简算，因此不难想到把37.9分拆成25.4和12.5两部分。当12.5与6.4相乘时，又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了。 ［解］3×25＋37.9＋6 ＝3＋25＋（25.4＋12.5）×6.4 ＝3.6×25.4＋25.4×6.4＋12.5×6.4 ＝（3.6＋6.4）×25.4＋12.5×8×0.8 ＝254＋85 ＝334 点评：有时可以结合题中数字可以凑整的特点，来对数进行合理的分拆。 【例3】× ［分析］可以发现181818，818181都是两位数连写三遍得到的六位数，所以分别有约数18与81，同样，218218和182182分别有约数218与182，所以先把各分子、分母写成乘积的形式，把相同因数约分后再计算。 ［解］×＝× ＝ ＝ 点评：本题所用的方法为约分法，可以把分子分母中相同的因数通过约分来化简运算。同样，如果分子分母含有相同的因式，也可把它直接约去进行化简。 【例4】计算＋＋＋＋……＋ 九年级数学（上）竞赛试题 一. 选择题(每小题3分,共36分) 1．一元二次方程的解是 A ． B ．1203x x ==， C ．12 10,3 x x == D ． 2．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 3. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何 体可能是 A ．球 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．棱锥 4. 在同一时刻，身高1.6m 的小强，在太阳光线下影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ， 则旗杆高为 A 、22m B 、20m C 、18m D 、16m 5. 下列说法不正确的是 A ．对角线互相垂直的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D ．一组邻边相等的矩形是正方形 6. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是 A ．4.8 B ．5 C ．3 D ．10 7. 若点（3,4）是反比例函数221m m y x +-=图像上一点 ，则此函数图像必经过点 A ．(3,-4) B ．(2,-6) C ．(4,-3) D ．（2，6） 8. 二次三项式2 43x x -+配方的结果是（ ） A ．2(2)7x -+ B ．2 (2)1x -- C ．2(2)7x ++ D ． 2(2)1x +- 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ） 第9题图 A ． 3√10 2 B ． 3√105 C ．√10 5 D ．3√55 10. 函数x k y =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是 11．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动 A ．变短 B ．变长 C ．不变 D ．无法确定 12．如图，点A 在双曲线6 y x = 上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为 A ．47 B ．5 C ．27 D ．22 二：填空题.(每小题3分,共12分) 13.如图，△ABC 中，∠C=090，AD 平分∠BAC ，BC=10，BD=6，则点D 到AB 的距离是 。 14.如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则此反比例函数的解析式是 。 2 30x x -=0x =1 3x = 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 O O O O y y y y x x x x A ． B ． C ． D ． A B C R D M E F 第11题图 第一讲有理数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、 善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少 个？ 例2、 将99 98 ,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个 数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、 符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算-1-2-3-…-20KK -20KK -20KK 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-20KK+20KK+20KK 提示：仿例5，造零。结论：20KK 。 例8、 计算 9 9 9 9991999999个个个n n n +? 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。 例9、 计算 -+++?----)20021 3121()2001131211( )2001 13121()2002131211(+++?---- 提示：字母代数，整体化：令2001 1 3121,2001131211+ ++=----= B A ，则 例10、 计算 （1）100991 321211?++?+? ；（2）100981421311?+ +?+? 提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1）n m mn n m 1 1+=+； （2）111)1(1+-=+n n n n ； （3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+；（4） ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。 例11计算n +++++ ++++++ 3211 32112111（n 为自然数） 例12、计算1+2+22+23+…+220KK 提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+220KK ，则S=2S -S=220KK -1。 例13、比较20002 2000 164834221+++++= S 与2的大小。 提示：错项相减：计算S 2 1 。 第二讲绝对值 一、知识要点 初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题 一、 知识要点 1、整数的十进位数码表示 一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成： 122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?---Λ 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0. 对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n Λ- 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末 位数字就是a n 的末位数字。 (2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末 位数字与m q 的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条 件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需 要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜” 的方法求解，是一种有趣的数学游戏。 二、 例题精讲 例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其 个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着 次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。 分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序 数的关系列式来解决问题。 解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得： (a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式， 从而解决问题。 例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新 排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正 好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。 分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差 后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。 解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为 cba 。由“新生数”的定义，得 N=()()()c a a b c c b a cba abc -=++-++=-991010010100 数学竞赛辅导系列讲座九——圆 1、如图，已知P 是边长为a 的正方形ABCD 内一点，△PBC 是等边三角形，则△PAD 的外接圆半径是（ ） A 、a B 、 2 a C 、 3 2 a D 、12 a 2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则Sin ∠CBE=（ ） A 、63 B 、2 3 C 、1 3 D 、 1010 3、如图，圆心在原点，半径为2的圆内有一点P （22 ，22 ），过P 点作弦AB 与劣弧AB 组成一个弓形，则该弓形面积的最小值为（ ） A 、π－1 B 、π－2 C 、4 3 π－1 D 、4 3 π－ 3 4、如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴切与点Q ，与y 轴交于点M （0，2），N （0，8），则点P 的坐标是（ ） A 、（5，3） B 、（3，5） C 、（5，4） D 、（4，5） 5、在底面直径是2，母线长为4的圆锥，若一只小虫子以点A 出发，绕侧面一周又回到点A ，则它爬行的最短路线长是（ ） A 、2π B 、 4 2 C 、4 3 D 、5 6、如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，则这条直线必经过这个三角形的（ ） A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心 7、如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 切于点D ，与直角边AC 交于点E 且，DE ∥BC ，已知AE=2 2 ，AC=3 2 ，BC=6，则⊙O 的半径是（ ） A 、3 B 、4 C 、4 3 D 、2 3 D A C P D E Y X A O P B y x N M O P Q 2019-2020学年九年级数学上学期知识竞赛试题 （时间：100分钟 满分：100） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分，请将唯一正确答案填入下表中） 1的结果是 （ ） A 、6 B C 、2 D 2．如图所示，其中是中心对称图形的是 （ ） 3．下列各组二次根式化简后，被开方数相同的一组是 （ ） A 、93和 B 、31 3 和 C 、318和 D 、2412和 4．下列解方程中，解法正确的是 （ ） A 、，两边都除以2x ，可得 B 、 C 、(x －2)2＝4，解得x －2＝2，x －2＝－2，∴x 1＝4，x 2＝0 D 、，得x ＝a 5．某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程程正确的是（ ） A 、200(1+a%)2=148 B 、200(1－a%)2=148 C 、200(1－2a%)=148 D 、200(1+2a%)=148 6．下列命题是假命题的是 （ ） A 、三点确定一个圆 B 、三角形的内心到三角形各边的距离都相等 C 、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 D 、垂直于弦的直径平分弦 7、如上图、一只小虫子欲从A 点不重复的经过图中的每一个 点或每一条线段而最终到达目的地E ，试问这只小虫子沿 E P A →→行走的概率是（ ） A 、31 B 、61 C 、91 D 、121 8．中心角90AOB ∠=的扇形面积为24πcm ，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（ ） A ．1cm B ．2cm C D ．4cm 9.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，2.5cm 长为半径的圆与 AB 的位置关系是（ ） （A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）不能确定 10.如图所示,EF 为⊙O 的直径,OE=5cm,弦MN=8cm,那么E 、F 两点到直线MN 的距离之和等于 ( ) A. 12cm B. 8cm C. 6cm D.3cm 二、填空题（每小题2分，共计20分） 数学竞赛辅导讲座：高斯函数 知识、方法、技能 函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中* ∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 1 1 ],[][ };{}{}{{];[][][ ；特别地， ].[][ b a n b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i n i i R x x x 1 1 ],[][ ；特别地， *∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]] [[ ][n x n x =，其中*∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略. （8）令Z m m n x ∈=,][，则1+≤≤ m n x m ，因此，)1(+<≤m n x nm .由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]] [[,1][m n x m n x m =+<≤故 证毕. 取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论. 定理一：* ∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][n x 个是n 的倍数. 【证明】因n n x x n n x n x n x n x ?+<≤?+<≤ )1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n 的倍数的正整数只有这n x ] [个： .][,,2,n n x n n ? 定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是 .][][][)!(32 +++=p n p n p n n p 【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1-各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][p n 个p 的倍数，有][ 2p n 个p 2 的倍数，…，所以.][ ][)!(2 ++=p n p n n p 此定理说明：M p n n p ?=)!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于 初中数学竞赛讲座之数论初步(一) 整数的整除性 定义：设a ，b 为二整数，且b ≠０，如果有一整数c ，使a ＝bc ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数，又称b 整除a ，记作b|a. 显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０. 性质：设a ，b ，c 均为非零整数，则 ①．若c|b ，b|a ，则c|a. ②．若b|a ，则bc|ac ③．若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|ma ＋nb ④．若b|ac ，且(a ，b)＝1，则b|c 证明：因为(a ，b)＝1 则存在两个整数s ，t ，使得 as ＋bt ＝1 ∴ asc ＋btc ＝c ∵ b|ac ? b|asc ∴ b|(asc ＋btc) ? b|c ⑤．若(a ，b)＝1，且a|c ，b|c ，则ab|c 证明：a|c ，则c ＝as(s ∈Z) 又b|c ，则c ＝bt(t ∈Z) 又(a ，b)＝1 ∴ s ＝bt'(t'∈Z) 于是c ＝abt' 即ab|c ⑥．若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ⑦．(a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为奇数) 整除的判别法：设整数N ＝121n 1a a a a - ①.2|a 1?2|N ， 5|a 1? 5|N ②.3|a 1＋a 2＋…＋a n ?3|N 9|a 1＋a 2＋…＋a n ?9|N ③.4|a a ? 4|N 25|a a ? 25|N ④.8|a a a ?8|N 125|a a a ?125|N ⑤．7||41n n a a a -－a a a |?7|N ⑥．11||41n n a a a -－a a a |?11|N ⑦．11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ?11|N ⑧．13||41n n a a a -－a a a |?13|N 推论：三个连续的整数的积能被６整除. 例题： 1.设一个五位数d a c b a ，其中d －b ＝3，试问a ，c 为何值时，这个五位数被11整除. 解：11|d a c b a ∴ 11|a ＋c ＋d －b －a 即11|c ＋3 ∴ c ＝8 1≤a ≤9，且a ∈Z 2.设72|b 673a ，试求a ，b 的值. 解：72＝8×9，且(8，9)＝1 ∴ 8|b 673 a ，且9| b 673a ∴ 8|b 73 ? b ＝6 且 9|a ＋6＋7＋3＋6 即9|22＋a ∴ a ＝5 3.设n 为自然数，A ＝3237n －632n －855n ＋235n ， 《小学数学竞赛辅导》教学大纲 课程编号：12307057 总学时： 14 课程学分：1 开课对象：小学教育专业本科学生 课程类别：专业任选课 课程英文译名：Tutorship of Mathematics Competition in Primary School 一、课程任务和目的 任务：使学生了解小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略，了解小学数学竞赛题型，掌握小学数学竞赛题的解题规律，培养学生研究小学数学的兴趣，提高学生的解题能力和数学思维能力。 目的：小学数学竞赛辅导是为将来从事小学数学教学打下坚实基础。 二、课程教学内容与要求 (一)绪论（2学时） 教学要求：明确开设小学数学竞赛辅导课程的意义，教学的方式和要求，了解小学数学竞赛的内容，发展趋势，以及小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略。 教学重点：小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略。 教学难点：数学竞赛的题型 教学内容： 1.课程的意义 2.小学数学竞赛的教学内容，发展趋势 3.小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略 4.小学数学竞赛的题型介绍 (二) 假设法问题（２学时） 教学要求：掌握假设法解题的方法、步骤，了解应用假设法解决的典型题型及基本解法。 教学重点：假设法解题的方法、步骤。 教学难点：假设法解题。 教学内容： 1.假设法解题的方法、步骤 2.鸡免同笼问题的解决方法及推广 3.分数应用题应用假设法解题举例 (三) 盈亏、还原问题（2学时） 教学要求：掌握盈亏、还原问题的类型，解法，介绍应用方程思想解决此类问题的方法及典型题的介绍。 教学重点：掌握盈亏、还原问题的类型，解法。 教学难点：确定类型 教学内容： 1.盈亏、还原问题的类型 2.盈亏、还原问题的解题思想、方法 3.典型题的介绍，应用方程思想解决的方法 (四)相遇和追及问题（2学时） 教学要求：掌握相遇和追及问题的类型，解法，以及变异问题。 教学难点：较难相遇与追及问题的解法。 教学重点：变异问题—追及问题在钟面上数学问题中的应用。 1.相遇和追及问题的类型，求解的方法 2.典型题的介绍 3.钟面上的数学问题 (五) 整除问题（2学时） 教学要求：深刻理解整除的概念、性质、数的整除特征，以及整除问题的具体应用实例。 教学重点：数的整除特征及其应用。 教学难点：数的整除特征。 教学内容： 1.整除的概念、性质 2.数的整除特征 3.整除问题的应用实例 4.典型题的介绍 (六) 工程问题（2学时） 教学要求：掌握工程问题的类型、计算公式，解法。 教学重点：工程问题的分数应用题。 教学难点：工程问题的分数应用题。 教学内容： 1.工程问题的类型 2.工程问题的计算公式、解法 3.工程问题的分数应用题 4.典型题的介绍 (七) 抽屉原理（2学时） 2016年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知 t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小 数部分，则 11 2b a -= （ ） .A 1 2 .B 2 .C 1 .D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方 案有 （ ） .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 33 3 321(1),26 31,=--=- 2和 26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数2 1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ） .A 0 . B 14 . C 3 4 - .D 2- 4.已知 O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 （ ） .A 12 .B 15 .C 16 .D 18 5.如图，在四边形ABCD 中，0 90BAC BDC ∠=∠=，AB AC == 1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ) . A 2 . B 3 . C 2 . D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ) 第十讲全等三角形 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题． 利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形： 例题求解≌△ACN；②BE=CF；③△AC，＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2E= 【例1】如图，∠∠F=90°，∠B=∠C) ． (广州市中考题 (ABM；④CD=DN，其中正确的结论是把你认为所有正确结论的序号填上)对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出思路点拨 其他三角形全等．两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系，“对应'两字，有“相当”、“相应”注 的含意，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准．实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到，这种改变位置，不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换．( ) 的取值范围是＝4，则边ABAD在△2】 ABC中，AC＝5，中线【例9 C．5 函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ② 八年级数学竞赛讲座四 边形 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8- 八年级数学竞赛讲座 四边形（2） 一、 知识要点： 1、梯形的定义、判定； 2、等腰梯形的定义、性质、判定； 3、三角形、梯形的中位线定理； 二、 例题： 1、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度之和； 2、已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＞CD ，两对角线AC 、BD 相互垂直，若BC=213，AB+CD=34，求AB ，CD 的长； 3、如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC=90°，AB=AC ，BD=BC ，AC 与BD 相交于点E ，求∠DCE 的度数； 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别 是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于点M 、N 求证：∠AMF=∠CNE 5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是 两底AD 、BC 的中点，且EF=2 1（BC －AD ）， 求证：∠B+∠C=90°； 6、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点， G 为AD 的中点，CG 的延长线交AB 于点E ，EF ∥AC 交AD 于 点F ，求证：BE=2CF ； 7、已知：如图，M 是AB 的中点，C 是AB 上任意一点，N 、P 分别是DC 、DB 的中点，Q 是MN 的中点，PQ 的延长线交AC 于点E ， 求证：E 是AC 的中点； 8、如图：四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD ，∠ABC ≠∠ADC ， ∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 的平分线两两相交于E 、F 、G 、H ， 求证：四边形EFGH 为等腰梯形； 9、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，E 为AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ； 10、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点， EF ⊥AB 于F ， 求证：AB EF S ABCD ?=梯形 11、在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°，得到线段BE ，连接AE 、CE ，（如图（1））。 ①若AB=2厘米，DC=3厘米，求证：1=?ABE S 平方厘米； A D F E B C 初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002 九年级数学抽测试题 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分． ) 1．下列一元二次方程没有实数根的是( ) A ．x 2＋6x ＋9＝0 B ．x 2－5＝0 C ．x 2＋x ＋3＝0 D ．x 2－2x －1＝0 2．用配方法解方程x 2＋1＝8x ，变形后的结果正确的是( ) A ．(x ＋4)2＝15 B ．(x ＋4)2＝17 C ．(x －4)2＝15 D ．(x －4)2＝17 3．把抛物线y ＝－1 2x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线 解析式为( ) A ．y ＝－12(x ＋1)2＋1 B ．y ＝－1 2(x ＋1)2－1 C ．y ＝－12(x －1)2＋ 1 D ．y ＝－1 2 (x －1)2－1 4．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED.若线段AB ＝3，则BE ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若?=∠55ABD ， 则BCD ∠的度数为（ ） A ．?25 B ．?30 C ．?35 D ．?40 6．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC ＝BC ＝2，则图中阴影部分的面积是( ) A.π4 B.12＋π4 C.π2 D.12＋π2 7．如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴上，△OAB 是边长为4的等边三角形，以O 为旋转中心，将△OAB 按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为 C A O B D ( ) A．(2，23) B．(－2，4) C．(－2，22) D．(－2，23) 8．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是( ) A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 9．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( ) A．16 m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对 10.函数y＝mx＋n与y＝n mx，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一直角坐标系中的图象可能是() 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的7 000元/m2下降到12月份的5 670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球个． 13. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例 函数 6 y x （x＞0）的图象上，则点C的坐标为。 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98 ,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个 数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 竞赛讲座01 —奇数和偶数 整数中,能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用21表示,这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质： (1)奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数； (2)奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数; （3)两个奇（偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若ａ、ｂ为整数，则与有相同的奇数偶； （5）n个奇数的乘积是奇数，ｎ个偶数的乘积是2ｎ的倍数;顺式中有一个是偶数,则乘积是偶数． 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题 例１（第2届“华罗庚金杯”决赛题)下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数，那么这1２个整数中,至少有几个偶数？ □+□=□,□-□＝□, □×□=□□÷□＝□． 解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这１２个整数中至少有六个偶数． 例２（第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组 是整数,那么 (Ａ）ｐ、q都是偶数. (Ｂ）p、ｑ都是奇数． （C）p是偶数，q是奇数（D)p是奇数,q是偶数 分析由于19８8ｙ是偶数，由第一方程知１９88y,所以p是偶数，将其代入第二方程中,于是１１x也为偶数,从而２7１1x为奇数，所以是奇数，应选（C） 例3 在1,2,3…，1９92前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数． 分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面 都添上正号和负号不改变其奇偶性，而１+2+3＋…+1992996×199３为偶数于是题设的代数和应为偶数。 2.与整除有关的问题 例４(首届“华罗庚金杯”决赛题）７0个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的３倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样 的:0,1，3,8，２1，…。问最右边的一个数被６除余几？ 解设70个数依次为a12３据题意有 a１=0，偶 a２＝1 奇 a３=3a2１，奇 ａ4=3a３2，偶 a5=3a43，奇 a6=3a5４, 奇 ……………… 由此可知：?当n被3除余1时，是偶数; 当n被3除余０时,或余２时，是奇数，显然a70是3１型偶数，所以k必须是奇数，令2１，则 ａ70=31=3(21）+１=6４。分数运算的技巧——小学数学奥林匹克竞赛辅导讲座
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