勾股定理的应用 习题精选及答案(一)

勾股定理的应用习题精选（一）1．填空题

(1)若一个三角形三边长分别为45，28，52则这个三角形是＝

(2)在△ABC中，若AC2＋AB2＝BC2，则∠B＋∠C＝

(3)若三角形三边长分别为n＋1，n＋2，n＋3，当n＝

2．

3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h

(2)a+b＜c+h

(3)以a+b，h和c+h为边的三角形是直角三角形

4．若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338。

求证：△ABC是直角三角形。

答案：

1．(1)直角三角形

(2)90°

(3)n＝2

2．分析：

作法：(1)过点O作l⊥OA

(2)在l上截取OM=OA，连结AM

(3)以 A为圆心，AM为半径作弧交正半轴于点C

(4)作OC的垂直平分线交OC于B点，则点B就是所求的点。

3．分析：

(1)利用三角形面积公式判定a、b、c、h的关系，将其公式变形可得。

(2)利用求差方法进行大小比较

(3)验证勾股定理的逆定理

证明：

(1)∵∠ACB=90° CD⊥AB于D

∴AB·CD=AC·BC

即ch=ab

(2)∵(c+h)-(a+b)

∵c＞a，c＞b

∴(c+h)-(a+b)＞0

∴c+h＞a+b

即a+b＜c+h

(3)∵c+h＞a+b c+h＞h

∴c+h是三角形的最长边

∴(c+h)2=c2+2ch+h2=a2+b2+2ab+h2=(a+b)2+h2

∴以a+b,h,c+h为边的三角形为直角三角形

此题第二问还有其它证法：

(2)证法二(分析法)

欲证c+h＞a+b

只须证c2+2ch+h2＞a2+2ab+b2

只须证c2+h2＞a2+b2

只须证h2＞0

最后这个不等式虽然成立，且每一步都是前一步成立的充分条件，所以原不等式成立。

证法三(作差c-b，a-h，将它们集中在同一三角形中)

如图在AB上截取AE=b，作EG⊥AC，作EF⊥BC，连接CE

又AE=AC

∴EG=CD=CF

∴EB=c-b，BF=a-h

在Rt△FEB中

∵EB＞BF

∴c-b＞a-h

∴c+h＞a+b

说明：此题综合了多个知识点，像三角形三边关系定理、三角形面积公式、公式运算、因式分解中的分组分解法以及勾股定理及其逆定理的应用等，并且涉及了一些解题的重要方法：如怎样比较两个数的大小，我们说常用的方法有做差、做商等，在这里第②问的证法一就是利用做差，计算(c+h)-(a+b)的结果大于零，从而证明c+h〉a+b。另外运用代换的方

法，分别用ab=ch的关系式得出ab

c

替代h,用a2+b2替代c2等使问题得以转化。

4．证明：∵a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338

∴a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0 即(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0

由于(a－5)2≥0 (b－12)2≥0 (c－13)2≥0

∴a2＋b2＝c2

故△ABC为直角三角形。