一维周期势垒中粒子的隧道效应的计算及应用

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本科生毕业论文（设计）题目：一维周期势垒中粒子的隧道效应的计算及应用

作者单位：物理学与信息技术学院

作者姓名：王乐

专业班级：物理学（2）班

指导教师（职称）：张林（副教授）

论文完成时间：二〇〇八年五月

一维周期势垒中粒子的隧道效应的计算及应用

王乐

（陕西师范大学物理学信息技术学院 物理系 陕西 西安710062） 摘 要：隧道效应是经典物理学中不能理解的量子现象。本文进一步对一维势垒遂穿问题进行了详细讨论，考察了一维势垒遂穿在隧道扫描显微镜上的应用。论文最后利用传递矩阵的方法对双势垒和多层势垒的隧道效应问题进行了讨论，给出了n 个势垒遂穿的严格结果。 关键词：势垒，隧道效应，双势垒

1 引言

隧道效应是微观世界独特的现象，它发生的机制，前人虽然已经做了很好的分析和完美的解释，但隧道效应真正的产生机制还不是很清楚，例如粒子在势垒中究竟如何隧穿，粒子隧穿的渡越时间，隧穿共振的机制等。人们从量子力学的理论发现无论粒子的能量是E > U 还是E < U ，粒子都会既有反射又有透射：R ≠0，D ≠0，而且根据几率守恒有R+D=1。虽然这个问题的解答从物理上并不令人满意，但1982年，Binning 和Rohrer 依据隧道效应原理却成功制造出扫瞄隧道显微镜，使人类直接观察和操纵原子成为现实。

隧道效应是应用非常广泛的重要效应，它在集成电路，冷电子发射，核衰变，超灵敏电磁探测器等方面都有一定的应用。近来又发现了隧道效应中的超光速现象，如果能加以应用，将极大的提高信号传递的速度。可见隧道效应在微观世界是极为普遍的现象，其在实际应用中有重要价值。近年来，人们发现一些宏观量，如微颗粒的磁化强度、量子相干器件中的磁通量等也具有隧道效应。宏观量子效应的研究对基础研究及实用都有着重要意义，它限定了磁带、磁盘进行信息存储的时间极限和器件进一步微型化的极限。

为了更为清晰地认识隧道效应在各种势垒中的隧穿行为，我将从薛定谔方程出发，进一步讨论此类问题。

2 一维矩形势垒中粒子的隧道效应

对于一维矩形势垒，其势场函数可以表示为：

??

???><≤≤=),0(,0)

0(,)(0a x x a x U x U

如图1所示。具有一定能量E 的粒子由

方形势垒左方（1区）向右运动，粒子波函数所满足的薛定谔方程是

22

120k x ψψ?+=?（x<0,x>a ）

其中1k =22

220k x ψψ?+=? (0< x

其中2k =2.1 当E>0U 时

在x<0的区域内，波函数 1ψ=1A 1ik x e +1B 1ik x e - 在0

e

- (1)

在x>a 的区域内，波函数 3ψ=2A 1ik x e +2B 1ik x e -

易看出此三个波函数右边第一项表示右行波，第二项是左行波，由于在x>a 的区域内，无左行波，则2B =0。 利用波函数的连续性可得： 在x=0处：1A +1B = C +D

1k 1A —1k 1B =2k C —2k D (2)

在x=a 处：C 2ik a e +D 2ik a e =2A 1ik a e

2k C 2ik a e —2k D 2ik a e -=1k 2A 1ik a e (3) 解上式可得：

1221221

2212124()()ik a ik a ik a k k e A A k k e k k e

--=+-- 2222

122

112212122()sin ()()ik a ik a

i k k ak B A k k e k k e --=--+

则透射系数为：

222

212

22222

112212

||4||()sin 4A k k D A k k ak k k ==-+ (4) 反射系数为：

22222112222222

112212

||()sin ||()sin 4B k k k a R A k k k a k k -==-+=1—D (5) 现在我们从粒子几率流来探讨这个问题。

由连续性原理我们可以知道：

=

?

?

+

?

?

J

t

ω

(6)

()*

*

2

ψ

ψ

ψ

ψ

μ

?

-

?

-

=

i

J(7)将（1）代入（7）中有：

在x<0的区域内：

1

||

J

=22

1

11

(||||)

k

A B

μ

-

在0

2

||

J

=22

2(||||)

k

C D

μ

-

(8)

在x>a的区域内：

3

||

J

=2

1

2

||

k

A

μ

由连续性应有

1

||

J

=

2

||

J

=

3

||

J

22

11

||||

A B

-=2

2

||

A

22

21

(||||)

k C D k

-=2

2

||

A(9) 即有

2

2

2

1

||

||

A

A

+

2

1

2

1

||

||

B

A

=1 ?R+D=1

2.2当E<

U

对于上的两种方法，也同样适用。此时

2

k是虚数，可令

2

k=i

3

k，3

k

1

13

21

22

133133

2

()2

ik a

ik k e

A A

k k shk a ik k chk a

-

=

-+

(10)

22

13

222222

13313

4

()4

k k

D

k k sh k a k k

=

++

(11)

如果粒子的能量E很小，以至

3

k a>>1，则3k a

e>>3k a

e-，2

3

sh k a可以近似的用3

2

1

4

k a

e代替。故（11）可以改写为：

3

2

2

3

1

21

4

1

(4

4

k a

D

k

k

e

k k

=

++

1k 和3k 同数量级，3k a>>1时32k a e >>4

∴ D=0D 32k a

e

-=0

D e

其中，0D 是数量级接近1的常数。

如此一来，在考察任意形状的势垒()x U 时(如图2)，我们可以把势垒看作是许多方形势垒组成的，每个方形势垒的宽为dx ，高为()x U ，粒子从x=a 处入射，从x=b 处射出。整个透射系数为：

D=0

D 2a

e

-?

2.3 用矩阵形式来解一维单势垒粒子隧道效应

有了前面两种方法的解，我们现在再来用矩阵的形式来解这个问题，由（2）式可知：

1A +1B =C+D

i 1k 1A —i 1k 1B =i 2k C —i 2k D ， (12) 将（12）式改写成矩阵形式，有：

111,1,ik ik ??

??

-??

11A B ??????=1,1,ββ????-??

C D ??

????

(13) 其中，β=i 2k ，同时，记1111,1,M ik ik ??=??-??，21,1,M ββ??

=??-??

同样，在x=a 处，有 2342A C M M B D ????=???????? (14) 其中：3exp(),exp()exp(),exp()a a M a a ββββββ-??=??

--??，1141111exp(),exp()exp(),exp()ik a ik a M ik ik a ik ik a -??=??--??

由（13）（14）式得： 其中2B =0,1P 为变换矩阵，由下式确定：1P =111234M M M M -- 运算得1P 的表达式：

12112A A P B B ????

=??????

??

1P =11111ch()(),()()112()(),()()i a i sh a sh a ch a k k i ch a i sh a sh a ch a k k ββββββββββββ??

+--??????--+????

1

11111exp(),exp()exp(),exp()ik a ik a ik ik a ik ik a -?????--??

我们可以看到，透射系数2

221||||A D A = 1A =2A 1N

其中1N 是1P 第一行第一列处的元素。

反射系数2

12

1||||B R A = 1111

S B A N = 其中1S 是1P 第二行第一列处的元素。 2.4 对一维粒子隧穿的讨论：

按照经典力学观点，在E>0U 情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。而在微观粒子的情形，却会部分地发生反射。也就是说对粒子能量大于势垒的情况下，粒子总有几率会无法通过势垒。这在经典世界是无法想象的，但在量子世界却可以从实验上观测到这类现象。这种特征从几率波的角度来看表现了粒子的波动性，粒子碰到势垒无论其能量多大，粒子都在势垒上被反

射，波函数中出现了向左的几率波，离子被一定的概率反射回来，具体由第（5）式子决定。

另一方面，在E<0U 的情况下（如图3），从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数2ψ。即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时，在x>a 区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入x>a 区域，这也是经典世界所不能解释的物理现象。由透射系数的表达式D=0

D e

可知：势垒高度0

U 越低（或E 越大）、势垒宽a 度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。如果a 或μ为宏观大小时，D →0 ，粒子实际上将不能穿过势垒。当0U -E=5eV 时，势垒的宽度约50nm 以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了，量子概念过渡到经典了。但是当势垒的宽度小到原子线度（几个埃）时，原子的投射系数就变得相当大了，可见隧道效应在微观世界中才有明显的表现。

3 一维势垒的应用：扫描隧道显微镜（STM ）

扫描隧道显微镜就是利用了电子隧道效应的方法制造的。它用一个金属针尖在样品表面扫描。当针尖和样品表面距离很近时(1nm以下)，针尖和样品表面之间会产生电压。当针尖沿X和Y方向在样品表面扫描时，就会在针尖和样品表面第一层电子之间产生电子隧道。该显微镜设计的沿Z字形扫描，可保持电流的恒定（如图4）。因此，针尖的移动是隧道电流的作用，并且可以反映在荧光幕上。连续的扫描可以建立起原子级分辨率的表面像。

其基本原理是：在两块导电物体之间夹一层绝缘体，若在两个导体之间加上一定的电压，通常是不会有电流从一个导体穿过绝缘层流向另一导体的。两个导体之间存在着势垒，像隔着一座山一样，如图5示。

假如这层势垒的厚度很窄只有几个纳米时，由于电子在空间的运动呈现波性，根据第一节的讨论，电子将穿过，而不是越过这层势垒,从而形成电流。

STM就是用一非常细小的针尖和被研究物质的表面作为两个导体，形成两个电极，当针尖和样品表面非常接近，一般小于一个纳米时，在针尖与样品表面施加一定电压后，电子即会穿过两个电极之间的绝缘层流向另一个电极，此绝缘层一般为空气或液体。这正是上面所述的隧道效应，其产生的电流则称为隧道电流.隧道电流的大小强烈地依赖于针尖到样品表面之间的距离。测量时让针尖在样品表面作二维扫描，即沿平面坐标X和Y两个方向顺次扫描。通常人们采用恒流扫描模式，即控制隧道电流不变。这样就要求针尖随着样品表面的高低起伏，

相应地作高低起伏的运动，以使针尖与样品之间的距离保持不变。针尖的三维运动可通过计算机系统在计算机屏幕直接显示，或在记录纸上打印出来，可见STM 所获得的信息正是样品表面的三维立体信息。这种恒流扫描模式应用广泛。获取的信息全面，显微图像质量高，可用于显示导电材料表面的原子排列情况。

STM的出现，使人类第一次能够立体显示单个原子在物质表面的排列状态。和其它表面分析技术相比，STM具有以下独特优点：

(1)高分辨率。STM在样品表面的横向分辨率可达0.1纳米，纵向分辨率可达0.01纳米，可分辨出单个原子。

(2)实空间测量。利用X射线或电子波的衍射看到的图像不直观，不是实空间图像，而是投影图像，通过数据处理后才能了解物质内部的结构，而利用STM 可得到原子尺度下的实空间中表面结构的三维图像。

(3)可进行单层局部研究。我们可以观察表面一层原子的局部表面结构。

4 扫描隧道显微镜中的隧道效应：梯形势垒隧道效应及偏压影响

扫描隧道显微镜种样品和针尖之间电子的势垒关系如图6隧道效应电子穿过势垒由针尖流向样品，从而形成电流

s

I。

与此同时，样品上的电子也有几乎相同的概率穿过势垒到达针尖。也就是

说，如果不加偏压的话，观测到的

s

I应该为0。但是，由于偏压的存在，实际s

I不是0。我们现在就偏压的影响展开讨论。

4.1模型理想化计算

将图6势垒图进一步简化得到图7 粒子波函数所满足的薛定谔方程是：22

2[()]

2

V x E m x

ψ

ψ?

=-

?

势垒的表达式为：

?

?

?

?

?

>

<

<

<

=

a

x

a

x

x

eV

x

V

b

,0

,

,

)

(φ

由上述一维隧道效应的讨论，很快得到：

1

ψ=

1

A1ik x

e+

1

A'1ik x

e-

1

k=（x<0）

2

ψ=

1

B2ik x

e+

1

B'2ik x

e-，

2

k=(0

ψ=3

1

ik x

C e，

3

k=(x>a)

由ψ，ψ'的连续性，可以算得：

22

22

12

12222222

21321232

4

||||

()()()sin

k k

C A

k k k k k k k k a

=

++--

(16)

又U>>E>e

b

V,因此

2

k是虚数。令

2

k=i

2

k'，则

2

k'是实数。故（16）式可写为：

22

22

12

12222222

21321232

4

||||

()()()s

k k

C A

k k k k k k k h k a

'

''''

=

++++

2

2

sh k a'≈

1

4

2

2k a

e'>>1,故有：

22

22

12

12222

2123

16

||exp[]||

()()

k k

C A

k k k k

'

''

=

++

=

C2

exp[]||A

同理

22

22

32

22

2222

2321

16

||exp[]||

()()

p p

A C

p p p p

'

''

=

++

′′

=2

02

exp[]||

A C′

由于偏压的存在, 使得E='E+ e

b

V，由于e

b

V<

A≈

C。隧道电流可以表示为：

s

I∝

22

12

2'2

12

||||

||||

C A

A C

-

′

∝exp[]exp[]

-

4.2 对梯形隧道效应的讨论

从上面的推导可以看出, 保持针尖与样品间距不变时, 它们之间的隧道电流与偏压是成正比的(偏压不太大) 。计算显示出: 偏压的作用主要是提高了针尖上电子的能量, 使针尖上的电子比样品上的电子更容易越过势垒, 从而形成隧道电流。

5 一维双势垒结构的隧穿效应

前面我们都是讨论的单层势垒的隧道效应，这种隧穿情况在实际应用中是过于理想的情况。实际的粒子（如电子）实际都是在很大尺度的材料中运动，这些材料都是由多种不同介质构成的（如多层膜），在多层不同材料（对应于多种势垒）中的隧穿与单层膜的单势垒隧穿是不同的，主要的不同在于不同势垒间的隧穿几率干涉会造成尖锐的共振隧穿区和宽的截至区，这与电子在周期势场中形成的导带和禁带是类似的。所以讨论电子在多层膜中的隧穿，是具有实际意义的。首先考虑一维双势垒的隧道效应，研究对象仍然选择电子。当电子接连隧穿过靠得很近的两个势垒时，我们把这个效应叫谐振隧穿效应。此时，隧穿几率随入射

电子能量的变化会出现数个极大值。虽然电子对单个势垒隧穿几率可能很小，但在谐振发生时，电子对双势垒的隧穿几率（最大隧穿几率）可以很大。发生谐振隧穿的物理机制也可以解释为来自两个势垒之间的势阱内电子能量的量子化，当入射电子能量等于势阱中电子的量子化能级时，共振现象就会发生。

如图8所示，

在x<0的区域内，波函数

1ψ=1A 1ik x e +1B 1ik x e - 在0

e

- 在a

Ee Fe

ψ-=+

在a+L

Ge He

ψ-=+

在x>2a+L 的区域内，波函数 5ψ=2A 1ik x e +2B 1ik x e - 5.1 矩阵方法的计算

由第一节2.3中一维单势垒中矩阵的方法可以得到：

11A B ??????= 222A P B ??

???

? (17) 2P = 111112345678M M M M M M M M ----，1234M M M M 与单个势垒相同。而

11511exp[()],exp[()]exp[()],exp[()]ik a L ik a L M ik ik a L ik ik a L +-+??=??

+--+??

6exp[()],exp[()]exp[()],exp[()]a L a L M a L a L ββββββ+-+??=??+--+?? 7exp[(2)],exp[(2)]exp[(2)],exp[(2)]a L a L M a L a L ββββββ+-+??

=??

+--+??

118111exp[(2)],exp[(2)]exp[(2)],exp[(2)]ik a L ik a L M ik ik a L ik ik a L +-+??=??+--+?? 代入（17）得：

123M M -=167M M -，

145M M -=11111

11sin()cos(),sin(),cos()k a k a k k k a k a ?

-???????，114567M M M M --=1234,,C C C C ??????， 其中：

1C =111

cos()()sin()()k L ch L k L sh L k β

ββ+

2C =111

1

1

cos()()sin()()k L sh L k L ch L k βββ

-

-

3C =111sin()()cos()()k k L ch L k L sh L βββ- 4C =1

11sin()()cos()()k k L sh L k L ch L βββ

-

+

最后得到

2P =11123M M M --1234,,C C C C ??

???

?111111exp[(2)],

exp[(2)]exp[(2)],exp[(2)]ik a L ik a L ik ik a L ik ik a L +-+????+--+??

(18)

同样，透射系数2

22

1||||A D A = (19) 其中1A =2A 2N ，2N 是2P 第一行第一列处的元素。

反射系数2

12

1||||B R A = 211

2S B A N = 其中2S 是2P 第二行第一列处的元素。 5.2 对一维双势垒结构的隧穿效应的讨论

对于给定的势垒，投射系数D 很显然依赖于入射粒子的能量E 。我们现在根据（19）式的结果做出D —E 图。

如图9中出现的峰状结构，这种现象称为共振透射。峰处的能量max E 称为共振能级。进一步观察可发现：在发生共振透射时D=1，无反射波。这种峰叫完全透射峰。但是，这仅仅只是一种理想情况，实际中散射是不可以避免的。

6 粒子在多个一维等高方势垒中的共振隧穿

通过前面对通过对粒子在单个、两个一维方势垒中的隧穿公式的推导, 我们现在归纳出粒子在多个一维方势垒中的隧穿公式。

6.1 矩阵方法的计算

对于3个方势垒，如图10所示：

同样有：

11A B ??????=232A P B ?????

? 其中

3P =111111123456789101112M M M M M M M M M M M M ------

1M 到8M 与双势垒相同，

1191111exp[(22)],exp[(22)]exp[(22)],exp[(22)]ik a L ik a L M ik ik a L ik ik a L +-+??=??+--+?? 10exp[(22)],exp[(22)]exp[(22)],exp[(22)]a L a L M a L a L ββββββ+-+??

=??

+--+?? 11M =exp[(32)],exp[(32)]exp[(32)],exp[(32)]a L a L a L a L ββββββ+-+????+--+??

12M =11111exp[(32)],exp[(32)]exp[(32)],exp[(32)]ik a L ik a L ik ik a L ik ik a L +-+??

??

+--+?? 由3M 到11M 的表达式可以得到：

123M M -=167M M -=11011M M - 145M M -=189M M -

114567M M M M --=11891011M M M M -- 得到

3P =11

123

M M M --2

1234,,C C C C ??????11111exp[(32)],exp[(32)]exp[(32)],exp[(32)]ik a L ik a L ik ik a L ik ik a L +-+??

??

+--+??

(20) 由上面推导过程不难看出,势垒个数n 每增加1,在变换矩阵中将增加一个矩阵因

子1234,,C C C C ?????

?，则对于n 个一维等高、等宽、等间距方势垒，其变换矩阵n P 为： n P =11123

M M M --1

1234,,n C C C C -??

???

??

{}{}{}{}111

11exp [(1)],exp [(1)]exp [(1)],exp [(1)]ik na n L ik na n L ik ik na n L ik ik na n L ?+--+-???+---+-??, n=1, 2, 3 (21)

同样，透射系数2

22

1||||

A D A = 其中1A =2A n N ，n N 是n P 第一行第一列处的元素。

反射系数2

12

1||||B R A = 11

n n S B A N = 其中n S 是n P 第二行第一列处的元素。

6.2 多个一维等高方势垒中的共振隧穿的讨论

采用传递矩阵的方式，我们就得到了粒子在n 个等间距等宽度的势垒中的遂穿公式，该公式给出了入射系数与出射系数的关系，根据最后的矩阵元，我们就可以算出投射系数和反射系数，从公式可知投射系数是大量的余弦函数或余割函数的乘积形式，这样共振遂穿就会形成更加尖锐更加密集的峰。当n 很大时，随着E 的增加，共振能级形成能带结构。完全透射峰和在E >0U 时出现的峰分别相应于一些分离的能带。随着更多的势垒加到体系中(如:无限晶体点阵情况) ,分离能带现象将更加明显,而且随着能带间低透射区域的加深, 将会在能带之间形成能量禁戒区——带隙。

7结论和讨论

本文主要利用了传递矩阵方法计算了一维定态薛定谔方程和电子穿过矩形势垒的透射系数，并把利用结果推导了隧道扫描显微镜的遂穿系数（电流）和偏压的关系，给出了偏压在隧道电流形成中的作用。计算结果表明：随着入射电子能量的增加 ,垒高越低, 垒宽越大 ,透射系数趋于1的速度越快。这些结论不仅有利于人们合理选择入射电子能量，得到所需的透射系数，而且有利于隧道二极管等现代半导体器件的制备及其他相互作用的能级分布分析。

而对于电子穿过多势垒的情形，通过上述的讨论，我们可以发现，电子在周期性的势垒贯穿种形成的能级带状结构是量子干涉效应的直接结果，它对于理解固态物质的许多基本性质是很重要的，而且在金属导电的量子理论中必不可少。

所以说，研究隧道效应不仅有助于了解微观世界，而且对于实际应用有重要价值。

【参考文献】

[1] 曾谨言.量子力学教程[M].北京：科学出版社，2003.28. [2] 周世勋.量子力学教程[M].北京：高等教育出版社.1979.44.

[3] 郑碧华,熊正烨．偏压在隧道效应中的作用[J] ．大学物理,2005,7:16~18． [4] 桑田.对隧道效应的新认识[J].黔南民族师范学院学报，2000.2：5~8

[5] 李存志，刘云鹏，罗恩泽，梁昌洪. 粒子在n 个一维方势垒中的共振隧穿[J]. 西安电子科技大学学报，1997（2）：261~266

One-dimensional potential field of particle effects and the risk of the

tunnel flow

WANG Le

(Department of Physics, School of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University, Xi’an, 710062, Shaanxi, China)

Abstract：Tunnel effect is a pure quantum effect, which cannot be interpreted in the framework of classical physics. In this paper, a one-dimensional multi-barrier tunneling effect was intensively investigated. First, the tunneling probability is calculated on a single barrier and the application on scanning tunneling microscope (STM) is discussed. Then a double symmetric one-dimensional barrier is considered further by using the transfer matrix method. Finally, a rigid result of tunneling on n uniform multi-barrier is given and some discussions are included in the last section of this paper.

Keywords：Barrier，Tunneling effect，Double-barrier

致谢

四年的大学生活将结束，心情只有用一个字来形容，那就是依依不舍。四年前的我，带着一份中学生的稚气，以及对知识的渴望和未来的憧憬踏进了陕西师范大学。而现在，大学的时光即将逝去，我们在一起生活学习的同学也将各奔东西，突然之间才发现，原来大学的生活是如此的美好，这也让我们更加珍惜即将结束的大学生活。

在大学生活即将结束得时候，能在张林老师的指导下完成我的毕业论文，我感到非常得荣幸。感谢他的辛勤指导。张老师治学严谨、知识渊博、平易近人，在写作前期，给我们定下目标，让我们明白该写些什么，写什么内容，该怎么写。并指导我们查阅与论文有关的各种资料及搜索各种文献，让我们有了进一步探索的兴趣与渴望。在写作的过程中，张老师让我们充分发挥自己的想象，提出自己的看法，并对其中的问题和不足之处一一做了补充纠正，并不时的给我们一些好的建议。初稿完成后，张老师又在百忙之中抽出宝贵时间审阅论文，对其中的不足之处一一做了修改。在此，我真诚地向张老师说声“谢谢！”

大学四年，老师们教给我们的不仅仅是科学知识和专业技能，他们那严谨的治学态度和做人风范更让我们受益匪浅。对此，我谨向尊敬的老师和母校表示衷心的感谢！