数学与思维.
数学与思维
徐世学
(贵州广播电视大学铜仁分校邮编:554300
内容摘要：数学离不开思维，可以说数学的所有结论都是思维的结果。本文拟就从数学与逻辑思维、数学与形象思维、数学与直觉思维、数学家们的思想及数学家们的思路五个方面来阐明数学与思维二者间的关系。
关键词：数学思维
数学从它诞生那天起，就与思维结下了不解之缘。创造数学，构造
数学，学习数学，研究数学，都是思维的过程，而且是较为纯净的思维过程。很显然，数学与思维有着千丝万缕的联系。本文的目的，就是想从历史的角度以数学家们的发现问题、分析问题、研究解决问题的结果来阐明二者的关系。
一、数学与逻辑思维
逻辑思维，又称抽象思维，它是舍弃认识对象及具体形象，通过语
言表达反映客观事物本质和内部规律性的思维。它是人们在认识过程中
借助概念、判断、推理等思维反映现实的过程，具有抽象概括、间接反映、借助语言等特征。
在数学活动的过程中，逻辑思维常常成为其主线。下面我们以欧几
里得《原本》诞生前后的思维进程，来展示数学与逻辑思维的关系。
(一历史演变告诉我们的结论
希波克拉底(Hippocrates of
Chios的《原本》是公元前450年左右的作品，而且，在这前后，还有其他《原本》问世。亚里士多德的逻辑学是公元前350年左右的作品。欧几里得的《原本》则产生于公元前300年左右。——
这说明了亚里士多德的逻辑学是杨弃在它之前的几何学中的几何术语，
通过逻辑思维而产生的；欧几里得的《原本》则是自觉地运用逻辑学处理几何概念的结果。
(二欧几里得《原本》体系的逻辑思维
欧几里得《原本》第I卷列了23条定义；5条公设；5条公理；接着便是4
8个命题。往后的第II卷至Ⅷ卷有108条定义和417个命题，形成了庞大的《原本》体系。《原本》中，虽然欧几里得发明了一些命题和证明，但这
部著作的主要功绩还在于对命题的巧妙选择和把它们排列成一个合乎
逻辑的序列。
当然，欧几里得《原本》在逻辑结构上也存在许多缺陷。一是《原本》论述中作了许多默认的假定，这些假定是他的公设所不能承认的。二是
存在这些逻辑缺陷中，也许是严重的。比如顺着缺陷的思路走下去，会
导致与该体系的某个证明了的命题相矛盾的命题。例如：“证明任何三角形是等腰的”、“证明直角等于钝角’’、“证明从一点到一线有两条垂线。”
这几何学上的三个悖论。
二、数学与形象思维
仔细考察数学认识活动的具体过程，会发现形象思维在数学中起着
很大的作用。数学中的形象思维激励着人们的想象力和创造性，常常导
致重要的数学发现。下面我们来看一个形象思维实例。
射影几何中著名的帕斯卡“神秘的六线形”定理：如果一个六边形内
接于一圆锥曲线，则其三对对边的交点共线，并且，其逆命题成立。由这
条定理引出的推论很多，并且引人入胜。对这个构形作过的探讨，几乎
多到难以相信的地步。由圆锥曲线上的六个点形成的六边形有60种。并
且根据帕斯卡定理，每一六边形对应有一帕斯卡线。这60条帕斯卡线每三条有一公共点，共20个点，这些点被称做史坦纳点。它们又四个四个
地在15条线上，这些线被称做普吕克线。帕斯卡线还依另一种点的集合
三条三条地共点，它们被称做克科门点，共有60个。对应于每一史坦纳点，有三个克科门点，这使得所有四点在同一线上，这些线被称做凯利
线。有20条凯利线，它们四条四条地过15个点，这些点被称做萨蒙点。此构形还有许多进一步的扩展和性质；并且，对“神秘六线形"本身曾提出
的不同证明多得不计其数。
从猜想到证明，再从猜想到推论，这条定理是一个典型的形象思维
的过程。关于这种形象思维的特征，帕斯卡在《思想录》中讲得很透彻，他指出：“习惯于依据感觉进行判断的人，对于推理的东西毫不理解，因
为他们想一眼就能钻透而不习惯于探索种种原则。反之，那些习惯于依
据原则进行推论的人则对于感觉的东西也毫不理解，他们在那里探索原则，却不能一眼看出。”也就是说：以对于形象的感觉为基础，展开推理
的翅膀，才能自由翱翔。
三、数学与直觉思维
直觉思维，又称顿悟思维，在数学认识活动中，也占有颇为重要的位置。下面以庞加莱关于富克斯群的富克斯函数理论的研究为例来谈谈顿悟思维。
起初，庞加莱对富克斯函数冥思苦想了整整两个星期，企图证明它不存在，但这个想法以后被证明是错误的。
后来，“一天晚上”，庞加莱说：“与往常不同，我喝了浓咖啡，因而辗转反侧，难以入眠，众多的思绪蜂拥而来，我感到它们在不断地冲突和碰撞……直到最后，它们一一相联，也就是说，形成了一个稳定的组合体。”对此，庞加莱还作了心理学的剖析，他说：“在这种情况下，我们似乎处于自身的无意识工作状态，虽然也部分地感到有某些超兴奋的有意识的思维成分，但总的来说，并不能改变无意识的特征。于是，我们就只能含含糊糊地领略到两种思维机制的区别。”
下一步的工作就是企图找到函数的表达式。庞加莱回忆道：“我想要把这类函数表示成两个级数之商，这个思想是非常自然和有明确目标的，这时我想起了类似于此的椭圆函数的情形。我就设想，如果这两个级数存在，它们会有什么样的性质呢?循此向前，并没有遇到什
么困难，我构造出了这两个级数，并称之为Q-
富克斯”。“就在此时，我离开了我所居住的地方卡昂，在矿业学院的资助下，开始了地质考察的旅行生活。旅途中的许多事使我忘掉了数学工作。到了康斯坦茨湖，我们乘一辆马车到其他地方去，就在我把脚放到马车踏板上的一刹那，一个思想突然闪现在我脑海中，而在此之前，我还从来没有想到过。这个思想就是我用以定义富克斯函数的变换与非欧几何的变换是等价的。当时我并没有马上去证明这个思想，因为当时没有时间去考虑这件事，我继续和马车里的旅伴海阔天空地谈论着其他事情，然而我能感觉得到刚才所获得的这个思想是完全正确的。在旅行结束回到我所居住的卡昂之后，为了能问心无愧，我还是抽空给出了这个思想的证明。”
“此后我就把注意力转移到与此有关的一些算术运算问题上去，但没取得什么成功，并且看起来也不象与我以前的研究工作有什么联系。由于对失败感到厌烦，我到海边去度过了几天，并且考虑了一些其他的事情。有一天早上，当我正在悬崖上面散步时，一种新的思想在我的脑海中又同样地突然闪现出来，而且同样是一种简洁而确定的
思想。这个思想就是：不定三元二次型的算术变换与非欧几何变换是
等价的。”
这两个结果使庞加莱认为：肯定存在着另外的富克斯群，也还存在
着与他那个不眠之夜所遇到的不同富克斯函数。以前找到的只是一类特
殊情况，接下来的事情应该是研究一般情况。
从这个事例中，我们得到的最重要的启示是什么呢?研究数学所需
要的第一是激情，第二是激情，第三还是激情。有了激情才能使顿悟(直
觉思维频繁出现。努力地去锻炼自己的思维，培养自己的激情吧。
四、数学家们的思想
在数学家们看来，所有的问题都是思维的结果。虽然他们思考问题
的角度与方法各异，但有一个共同点，就是对问题不停地分析、研究、思维，创造出新的结论。下面列举三类比较典型的数学家思想加以说明。
l、毕达哥拉斯的数学思想。我们以“毕达哥拉斯定理"(中学教材称
勾股定理的发现过程来加以说明。古埃及数学家已经知道，三边长度比
例为3：4：5的三形是直解三角形，且32+42=52。所以3、4、5就是一组毕达
哥拉斯数。古巴比伦的数学家还知道：52+122=132，所以5、12、13也是一组毕达哥拉斯数。不过，这些数学家只知道毕达哥拉斯数的一些特例，
而毕达哥拉斯学派却发现了毕达哥拉斯数的一种公式，即m，,
（这里的m是奇数）。
毕达哥拉斯学派是怎样发现这种公式的呢?这是由于这个
学派对数字和图形的关系有一种特殊的理解，这就是所谓的“形数”。形
数被看做是某些几何图形中的点的数目，它们成了几何学和算术之间的
纽带。图l、图2、图3说明了三角形数、正方形数、五边形数的几何命名法
。
正方形数还有另一种表示法，如图4所示。
正方形还有另一种表示法，如图4所示。
从图4可以看出，由n2个点组合成的方阵，只有再加上2n+1个点，才能构成由(n+12个点组合的方阵，即n2+(2n+1=(n+12(1
如果令2n+1=m2，那么n=，n+1=(2
把(2式代入(1式，可得：m2+（）=（）2(3
公式(3具有毕达哥拉斯定理形式，m，，
字就构成一组毕达哥拉斯数。令m=3，5，7，9……，顺次可得3，4，5；5，1 2，13：7，24，25；9，40，4l；……等无限多组毕达哥拉斯数。(当然，这些还不是全部，将每组毕达哥拉斯数中各数扩大相同的倍数，还会得到新的
毕达哥拉斯数。
由此看来，毕达哥拉斯学派之所以能发现毕达哥拉斯数的一种公式
，关键是分析了正方形数的图形，即是从数形中发现了这个公式。
2、莱布尼茨的数学思想。在此以莱布尼茨级数为例谈谈他
的数学思想。莱布尼茨级数：=1-++-
+……通常是由反正切函数arctgx的展开式式导出来的。然而莱布尼茨却是通过求圆面积问题的特殊处理发现这一表达公式的。
莱布尼茨希望确定半径为l的圆的四分之一
面积。为此，他把四分之一圆分成一个等腰直角三角形△AB0和一个弓
形(其弧为AB，
如图示。
弓形的积分可通过在圆周上选择两个邻近点D和E，把弓形分成一
例如ABE来加以完成。令K和L是D和E两点在X 系列“无限小三角形”(△
轴，即AO上的垂足。H是通过DE的直线与通过A点的切线的交点。G是A
点在DE线上的垂足，J是D点在EL线上的垂足。这时，得到一个标准的无限小三角形△DEJ。
和AHG是相似形。由此得知：
很明△显DEJ△
DE：DL=AH：AG或AG：DE=AH：DJ
现在假定通过H点的X轴的平行线交DK于M点，交JL于N点，如果用F(ADE表示无限小三角形△ADE的面积，那么
F(ADE=AG·ds=F(KLNM
或AG·ds=ydx(1
这里ds表示DE，y表示AH=KM，x表示AK，dx表示DJ=MN=KL。
另外，用ф作为∠DOA的角度，于是得到
X=AK=1-COSф=2sin2(2
现在AH是圆的切线，也可以说割线DE在D和E无限靠近时同圆相接触。因此，
Y=AH=KM=tg(3
由于sin2a=
从方程(2和(3可得x(x+y2=2y2(4
这个三次方程确定了一条曲线，上面排列着对应于x和y
值的所有可能的M点。运用方程(1可通过y对于x的积分代换所有无限小三
角形ADE的面积总和：
△
S=∫AGds=∫ydx(5
这里S即弓形的待求面积，对于任一条曲线y=y(x，它对于x的积分都能为对于y的积分所代替。因此，从(5中可以解得。
S=∫ydx=xy-∫xdy=xy-∫dy(6
然后，莱布尼茨通过一个级数展开(6中的分式：
=y2-y4=y6-……(7
逐项积分可得：s=xy-+-……(8
如果令ф=，且x=y=l，(8式即表明：
S=-+-+-……
最后,如果加上直角三角形△AB0的面积,就可得到四分之一个单位圆积：
F==1-+-+-……
这正是所要证明的莱布尼茨级数。
从上面的证明过程可以看出，莱布尼茨思想方法的关键是对“无限小三角形”和“邻近点”的认识。他首先考虑“无限小三角形”作为三角形所具有的一般性质，然后使邻近点逐渐接近，使三角形面积趋于无限小，最后再设想三角形性质在无限小情况时的变化，把这些作为积分的基础。莱布尼茨的“无限小三角形”和“邻近点”概念都带有一定直观性质，我们可以把它们看做是从初等数学向高等数学过渡，从有限向无限过渡的桥梁。
3、克莱因的数学思想。克莱因在题为《关于现代几何学研究的比
比较考察》的就职演说中，以他自己和李在群论方面的工作基础，详尽地阐述了“几何学”的定义，对当时的几何学做了整理分类，并且提出了研究几何学的新的有效途径。
克莱因将群论应用于几何学方面，是依赖于集合S到它本身的变换这个概
念。依此变换，S的每一个元素对应于S的一个唯一的元素，并且，S的每一
元素是
S的一个唯一的元素的对应。元素的集合S到它自身的两个变换T1与
T2的乘积
T2T1
指的是：先进行变换
T1
再进行变换
T2
得到的合成变换。如果
T是集合S到它自身的变换，它将S的每一个元素Q变换到S中的一个对应元素b，而把T翻过来的变换，即把S的每一元素b变S的原来的元素a的变换，被称做变换T的逆变换，并用T-
1表示。使S的每一元素对应于它本身的变换被称做集合S上的恒等变换，并用I表示。不难证明：集合S到它本身的所有变换的集合Г，如果满足：(1集合Г的任何两个变换的乘积均处于集合Г中；(2集合Г的任何变换的逆变换均处于集合Г中。则此集合Г在变换的乘法下构成一个群。这样的一个变换的群，被称为变换群。
克莱因给几何学下的定义就是：对集合S的元素经某变换群Г中所包含的变换时，集合S保持不变的那些性质的研究，被称为几何学。以符号G(s，Г表示。
在克莱因的定义下，有一个有趣的现象。即：一些几何包含另一些几何的方式。例如：因为平面欧几里得度量几何的变换群是平面相似几何的变换群的子群，因而得出：在平面相似几何中成立的任何定理
在欧几里得度量几何中必定成立。从这个观点出发还可以证明：射影几何
存在于平面欧几里得度量几何或平面相似几何之中，并且有一个套一个的几何序列。直到目前为止，射影几何的变换群把所研究过的所有别的几何的变换群当作子群包括在内。凯利所说的“射影几何包括所有几何”，所指的就是这一点。但是，恰恰相反的是，就几何定理而论，射影几何的定理被包含于各种其他几何的定理之中。
克莱因所建立的几何学的群论观点，是在19世纪射影几何的发展、非欧几何的产生以及变换群论的深入应用，三个方面的历史背景下产生的。并且在克莱因身上得到集中而又出色的体现。也可以说，克莱因对这三者有了深刻的认识，从而产生了历史的责任感，在其推动下，为几何学的发展建立了历史性的功勋。
五、数学家们的思路
由于数学的对象及内容有相当大的自由性，数学家们的
思路颇有些不同寻常之处。首先是无穷无尽的推广。数学家们总是从实际的概念及问题中推广出各种各样的新概念、新问题。现在就以“数”为例来说明数学家是如何推广的。
克罗内克说：“整数是上帝造出来的，其他都是人造的。”有理数、实数、复数、无穷基数及序数直到各种代数结构的元素，都是数学研究的对象。不仅概念是如此推广的，问题也是如此。数论中最为庞大的分支——
不定方程(丢番图方程中的许多问题都是最简单的不定方程
x2+y2=z2(1
的衍生物，它也是最古老的不定方程。巴比伦在泥板文书上已列出它的多组解，最大的一组是：
x=12709
y=13500
z=18541
而我们希望的是求出某一不定方程的全部解，也就是证
明除此之外没有其他的正整数解(或整数解、或有理数解，要不就证明它根
本没有正整数解。这样的方程很多，许多可以看成(1的推广。第一个推广是费尔马大定理，他证明了当n≥3时
xn+yn=zn(2
没有正整数解。实际上，他真正证明的只有
x4+y4=z4(3
没正整数解。欧拉在1770年证明
x3+y3=z3(4
没正整数解，但没有证明其他情况。不过他又作了第二步推广，他指出：
x3+y3+z3=u3(5
有解，因为33+43+53=63，依照三次情形，他在1778年猜想
x4+y4+z4+t4=u4(6
有解，但x4+y4+z4=t4(7
没有解。注意到(5和(6的左边的项数都等于方程的次数，还可以作类似的推广：不定方程
x5+y5+z5+t5+u5=v5(8
有正整数解，而x5+y5+z5+t5=u5(9
没有正整数解，如此等等。
数学学习与数学思维的发展
数学学习与数学思维的发展 成功的数学教学以对数学学习规律的深刻理解为基础。数学是一种人类活动，数学家们通过对自己数学创造活动过程的反思，概括出关于数学思维活动规律的理论。像数学活动中的顿悟、思维策略、思维模式等，本质上都涉及了数学活动中的心理学问题。作为人类数学活动的一个有机组成部分，学生的数学学习活动有其本身的特殊性，对这种主要发生在数学课堂上的数学活动的特点进行心理学分析，是数学认知理论的一项非常重要的任务。数学教育心理学认为，学生的数学学习建立在已有数学认知结构的基础上。因此，数学学习应当与学生的数学思维发展水平相适应 认识数学学习的含义，首先必须理解数学学习与人的社会生活需要之间的关系。众所周知，数学在社会发展中的地位越来越重要了。国家的繁荣昌盛关键在于高新科技和高效率的经济管理，“高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学”。数学已成为自然科学、社会科学和行为科学的基础，数学的内容、思想、方法在人类社会生活中的应用越来越广泛，数学的符号和句法、词汇和术语已经成为表述关系和模式的通用工具；数学在提高一个民族的科学和文化素质上起着非常关键的作用，它不但给人以实用的技术，而且也给人以能力，“包括直观思维、逻辑推理、精确计算以及结论的明确无误”。因此，从社会价值来说，数学为社会发展、人类文明和进步、生产力发展提供了知识资源与动力；从个体价值来说，数学为人们提供了探索客观世界发展规律的必要知识、思想和方法手段。当今，数学已同时具有科学与技术两种品质，这是其它科学所难以具备的。现代信息社会中，个体要适应社会发展的需要，就必须掌握必要的数学知识。因此，数学学习是个体适应社会环境发展变化所必需的。随着个体身心的发展、与社会环境相互作用过程的深入，个体对数学知识的需求会越来越多，从而刺激了个体数学学习的需求 那么，从心理学角度看： 1．数学学习首先是个体为适应数学知识的发展变化而进行的一种活动适应，心理学上指个体对环境变化所做出的反应。就数学学习而言，这种适应具体落实在个体对数学知识体系的发展变化所做出的应答上，其结果是个体的数学认知结构获得发展。个体数学认知结构发展变化的动力，宏观上，是因为现代社会处于一个数字化的信息时代，需要人们掌握较高水平的数学知识，需要人们不断进行新的数学学习；微观上，来自于个体的认知需要，数学学习过程是作为主体的个体与作为客体的数学知识体系之间进行相互作用的过程，是两者之间的平衡不断被打破，并在新的基础上建立新平衡的动态变化过程。数学知识的发展变化有其内在固有的规律，这种发展变化会打破个体与数学知识体系之间原有的平衡，并引起个体在心理方面的一系列反映数学知识发展变化的活动，在此基础上产生相应的数学认知行为变化，形成个体新的数学认知结构，从而使个体与数学知识体系之间在新的水平上达到新的平衡。例如，当学生感到，以定义“在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么就说y是x的函数”很难解释“常数函数”为什么也是一种函数的时候，原有的对函数的认识平衡就被打破了，从而产生了学习以“映射”的语言定义函数的需要。所以，数学学习的过程是个体的数学认知结构的组织和再组织的过程。主客
小学四年级上册《数学与思考》第一讲
人教版小学数学思维能力训练丛书 小学同步培优新课堂 《数学与思考》 四年级上册 - 1 - 第一讲 探索规律（一） 高斯的故事中，我们已经领悟了规律问题。数列里相邻两个数的差都相等，这就是共同拥有的特征，就是一种规律，在我们的学习中有许多数字是按某种规律排列的，只要同学们多观察，善于动脑，一定会找到它们的排列规律。并运用规律解决实际问题。 例1 找出下面数列的变化规律，并运用规律在括号里填上适当的数。 （1）1，6，11，16，21，（ ），（ ） （2）60，48，36，（ ），（ ），（ ） （3）1，4，9，16，（ ），（ ） （4）81，27，9，（ ），（ ） 分析与解：寻找数列的变化规律，关键看变化过程。 （1）从左往右看，逐渐增加，相邻两个数的差为5，括号内应填26，31。 （2）从左往右看，逐渐减少，相邻两个数的差为12，括号内应填24，12，0。 （3）看大小，逐渐增加，可是增加的数却不相同，相邻两个数的差分别是3，5，7，……，推出括号里应填25，36。换个角度思考，可以发现数列的变化规律：1×1，2×2，3×3，4×4，……太简单了。 （4）看得出从大到小的变化规律吗？原来前一个数都是后一个数的3倍，括号里应填（ ），（ ），棒！ 例2 寻找规律，并运用规律填数。 （1）1，1，2，3，5，8，13，（ ），（ ） （2）2，3，5，8，12，17，（ ），（ ） 分析与解： （1）相邻两个数的关系很难找，如果看三个数就有规律了。从第三个数开始，后面的数都是前面两个数的和，括号里应填8+13=21，13+21=34。 （2）把相邻两个数的差写下来看。 1，2，3，4，5，…… 原来如此，括号里填23，30。
浅谈语文教学中思维能力的培养
浅谈语文教学中思维能力的培养 思维是认识活动的核心成分，是学生掌握知识的中心环节，学生要学好语文提高语文能力，非具备较强的思维能力不可。因此，在阅读教学中要特别注意思维能力的培养，这样，才能 从根本上发展学生智力，有效的提高学生的阅读能力，下面结合自己教学经验，谈谈我在语文教学中，是怎样培养学生的思维能力的 培养兴趣——爱思 如何使学生爱思考问题，关键是培养他们的兴趣，让。皮亚杰说：说有智力方面的工作，都要依赖于兴趣，培养兴趣就是要让学生对所接触的知识有新鲜的感觉，从而调动他们思考问题的积极性，有了兴趣才会有爱好，才会去积极的思维，因此，在教学过程中，教师要坚持启发性原则，提问设疑，强烈刺激学生的学习兴趣，活跃思维，使之振奋起来，产生积极探索求新知得欲望。 第一，提问要有趣味性，教师在教学大纲的指导下，有步骤的启发学生生疑，质疑，解疑，引导学生在学习过程中爱思， 会思，多思，深思疑是思之始，教师激发学生再求知的过 程中产生疑问，有所发现，引导学生去主动地探索知识， 让学生学生在积极思维的过程中去感知，去认识，去理解， 因此教师要根据学生的阅读心理过程和特点，精心设计， 足以启发学生思考的问题，来激发学生的学习兴趣，激活 了学生的创造思维，当然，问题也可以有学生提出，经教 师筛选而定，如：九年义务教材初中语文第六册第二单元
第五课的《食物从何处来》是一篇事理说明文，内容很抽 象，教这一课时，为了使学生掌握本文主体逐层深入地进 行说明最后得出结论的写作方法，我让学生阅读课文回 答：动植物需要的有机物从哪里来？能量从哪里来，？怎 样才能获得食物，来源是什么，等问题，在叫学生根据这 些问题改写成人物对话，这样就把比较深奥的理论知识通 过口语的形势表达出来了，既通俗，又易懂，既加深了对 课文的理解，有充分发挥学生的积极性，主动性彻底摒弃 注入式，填鸭式的教学方法，激活了学生的思维，让学生 养成了爱思考的好习惯 第二，质疑要有启发性、，如教《孔乙己》一文时，我提出作者在写孔乙己一两次到店买酒时掏钱的动作有的是那两 个字？的问题让学生回答在学生作业时是“便排出九文大 钱的，排，字与他破衣袋里摸出四和前后不同的情况变化，有的说一个排字，反映了孔乙己有钱，故意炫耀自己，有 的说排字不能说是孔乙己有钱，既然有钱，那么，他又为 什么站着喝酒，大家觉得越想越有味，越想道理越明白：一个排字反映了孔乙己虽然穷，但有爱虚荣，爱面子，一 个摸字反映了孔乙己的性格特征和他在封建制度下受迫 害的悲惨命运，这样质疑即让学生深刻了解文章的主次，又利于学生的思维发展，因此质疑即不能超越学生思维发 展的可能性，也不能一味顺应现有知识和能力水平，就好
小学数学八大思维方法
小学数学八大思维方法 目录 一、逆向思维方法 二、对应思维方法 三、假设思维方法 四、转化思维方法 五、消元思维方法 六、发散思维方法 七、联想思维方法 八、量不变思维方法 一、逆向思维方法 小学教材中的题目，多数是按照条件出现的先后顺序进行顺向思维的。逆向思维是不依据题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发而进行逆转推理的一种思维方式。 逆向思维与顺向思维是训练的最主要形式，也是思维形式上的一对矛盾，正确地进行逆向思维，对开拓应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会收到积极的效果，
解：这是一道典型的“还原法”问题，如果用顺向思维的方法，将难以解答。正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的结果出发，一步步地向前逆推，在逆向推理的过程中，对原来题目的算法进行逆向运算，即：加变减，减变加，乘变除，除变乘。 列式计算为： 此题如果按照顺向思维来考虑，要根据归一的思路，先找出磨1吨面粉 序是一致的。 如果从逆向思维的角度来分析，可以形成另外两种解法： ①不着眼于先求1吨面粉需要多少吨小麦，而着眼于1吨小麦可磨多少
列式计算为： 由此，可得出下列算式： 答：（同上） 掌握逆向思维的方法，遇到问题可以进行正、反两个方面的思考，在开拓思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。 二、对应思维方法 对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。对应思维包含一般对应和量率对应等内容，一般对应是从一一对应开始的。 例1 小红有7个三角，小明有5个三角，小红比小明多几个三角？
这里的虚线表示的就是一一对应，即：同样多的5个三角，而没有虚线的2个，正是小红比小明多的三角。 一般对应随着知识的扩展，也表现在以下的问题上。 这是一道求平均数的应用题，要求出每小时生产化肥多少吨，必须先求出上、下午共生产化肥多少吨以及上、下午共工作多少小时。这里的共生产化肥的吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所要求的解。 在简单应用题中，培养与建立对应思维，这是解决较复杂应用题的基础。这是因为在较复杂的应用题里，间接条件较多，在推导过程中，利用对应思维所求出的数，虽然不一定是题目的最后结果，但往往是解题的关键所在。这在分数乘、除法应用题中，这种思维突出地表现在实际数量与分率（或倍数）的对应关系上，正确的解题方法的形成，就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。 这是一道“已知一个数几分之几是多少，求这个数”的分数除法应用题，题
浅谈如何在语文教学中进行思维训练
浅谈如何在语文教学中进行思维训练 江苏江都市武坚中心小学钱爱银 【关键词】：发散性敏捷性深刻性周密性创造性 【内容摘要】：新课程背景下如何有效促进语文课堂教学质量提升？笔者认为应在语文课堂教学中对学生进行思维能力的训练。那么，在语文教学活动中应加强哪些方面的思维训练，进而培养学生的思维能力呢？一、应加强思维发散性的培养，以拓展思维的广度；二、应加强思维敏捷性的培养，以拓展思维的速度；三、应加强思维深刻性的培养，以拓展思维的深度；四、应加强思维周密性的培养，以拓展思维的精度；五、应加强思维创造性的培养，以拓展思维的新度。 【正文】 1978年，吕叔湘先生曾经大声疾呼：“十年的时间，2700多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事！”吕老先生一针见血地指出了当时语文教学中存在的“高耗低效”现象。30多年过去了，我们的语文教学虽然取得了不小的进步，但效果依旧不明显。原因固然很多，但笔者认为其中最主要的问题就是忽视了语文课堂教学中对学生进行思维能力的训练。道理很简单，语文教学的任务是培养学生的听说读写能力，而听说读写都和思维密切相关。可见，如果一个人思维不敏捷，思路不开阔，思考不周密，思想认识不深刻，思维缺乏创造性，那么他的读写听说都不可能是高水平的，他的语文素养就不可能得到真正意义上的提升。因此，在语文教学中加强思维训练，是十分必要的，也是相当重要的。对此，《语文课程标准》也明确指出：“在发展语言能力的同时，发展思维能力，激发想象力和创造潜能”。
那么，在语文教学活动中应加强哪些方面的思维训练，进而培养学生的思维能力呢？这里，笔者就谈谈自己的几点粗浅认识。 一、应加强思维发散性的培养，以拓展思维的广度。 发散性思维是一种适应现代科学研究，从孤立、线状、静态向综合、立体、动态转变趋向而提出的思维形式。它包含多个“思维指向”、“多个思维起点”、“多种逻辑规则”、“多个思维角度”，根据这个特征，我们可以启发学生运用多种正确的方式，多种正确的答案去解决同一问题。怎样培养学生思维的发散性。笔者认为，可以从以下两个方面去做： 1、在阅读教学中启发发散思维。 思维时侧面多、角度多，是使人产生创造性和想象力的首要条件。语文教材收录的课文大多是名篇佳作，其中不少篇目是经典之作。虽然许多专家的注释、评论已沿用多年，但由于时代的局限性或其他原因，有些方面还可以重新认识和评价。遇到这种情况时，我就引导学生全方位考虑问题，进行讨论辨析，得出更丰富的结论。 2、在作文实践中激发发散思维。 用发散性思维来指导作文，让学生对同一题材从不同角度、不同立意，用不同构思、不同方法进行创作，对学生提高写作能力十分有益。 清代文论家薛雪在《一瓢诗话》中说：“诗文家最忌雷同，而大本领人偏多于雷同处见长……惟其篇篇对峙，段段双峰，却异而不异，同而不同，才是大本领、真超脱。”我在写作教学中，对于标新立意的文章给予鼓励肯定，并向学生推荐一些立意新奇的作品。我在指导写作时，经常要求学生在观察事物时，要善于发现事物产生联想，“小”中见“大”。有的同学在经过指导后尝试写了一篇《天线的变迁》，通过写家乡的电视天线从无到有、从少到多而后又
小学一年级数学思维训练题[和答案解析]
班级 1、晾晒1块手帕，要用2只夹子；2块手帕，要用3只夹子；11块手帕，要用（） 只夹子。 2、老师带了一些小朋友去看电影，一共买了11票。问和老师一起看电影的有 （）个小朋友。 3、8名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（）名男同 学。 4、把2、3、4、5分别填入（）中，每个数只能用一次。 （）+（）-（）=（） 5、小朋友排队。小平的左面有4个人，右面有8个人。这一行有（）个人。 6、小朋友排队。从左数过来小平是第4个，从右数过来是第8个。这一行有（） 个人。 7、按规律写数。 8、 15、10、13、12、11、（）、（） 1、4、3、6、5、（）、（） 1、2、4、8、（）、（） 8、 （）个正方形 （）个长方形 9、小明、小林和小红一起比体重，结果是小明比小林重，小林比小 红重，小明比小红重。他们三人中（）最重，（）最轻。 10、小明、小红、小林进行100米跑步比赛。小明用了13秒，小林用了12秒，小红用 了11秒。那么，（）是第一，（）是第二。 11、强强的体重是27千克，芳芳的体重是25千克。东东的体重居于第三， 他和强强体重相差5千克，东东的体重是（）千克。
班级 1、小猫、小狗、小兔、小猴、小熊排成一横排做广播操：兔的左边是狗；猴在熊的左 边；猫的右边是狗；猴在兔的右边。（）排在队伍的最左边。 2、1、2、4、5、7、8、（）、（） 15、1、12、1、9、（）、（）、（）、（） 75、（）、（）、60、（）、50、（）、（）、（）１０、５、９、６、８、７、７、（）、（）、（9） 3、拔河比赛结束后老师买了些饮料给同学们喝，可乐比雪碧多４瓶，可乐比芬达多６ 瓶。老师买的是（）多，多（）瓶。？ 4、举行跳绳比赛。秋秋跳得比丁丁少，小牛跳得比阿婷多，比秋秋少。 第一名：（）第二名：（）第三名：（）第四名：（） 5、在 １＝１ １＝２１ １＝１１ １＝９ １＝１５ 6、你能把０、１、２、３、７、８、９填入下面的算式，使等式成立吗？ ＋ 7、６（）３（）２（）７（） ＋５－７＋５７－４８ （）３（）４８（）２（） （）８（）８（）８（）（） ＋１（）－３（）－８（）－（）７ ７６６４９２６
数学的奥秘本质与思维
开头的话 1 天王星被称为“笔尖上发现的行星”。（） 正确答案：× 2 数学是素质教育中最重要的载体。（） 正确答案：√ 3 弦理论认为宇宙是几维的？（） A、4 B、3 C、11 D、10 正确答案：C 4 什么可以解决相对论和量子力学之间矛盾？（） A、质子理论 B、中子理论 C、夸克理论 D、弦理论 正确答案：D 5 哪一年发现了海王星？（） A、1854年 B、1864年 C、1846年 D、1856年 正确答案：C 数学思维 1 美国哪位总统喜欢通过学习几何学来训练自己的推理和表达能力？（） A、华盛顿 B、罗斯福 C、林肯 D、布什 正确答案：C 2 仅存在有限对孪生的素数。（） 正确答案：× 3 下列哪个是孪生数对?（） A、（17，19） B、（11，17）
C、（11，19） D、（7，9） 正确答案：A 4 在赤道为地球做一个箍，紧紧箍住地球，如果将这一个箍加长1m，一只小老鼠不可以通过。（） 正确答案：× 5 谁写了《几何原本杂论》？（） A、杨辉 B、徐光启 C、祖冲之 D、张丘 正确答案：B 数学学习 1 偶数和正整数哪个多？（） A、偶数多 B、正整数多 C、一样多 D、无法确定 正确答案：C 2 高斯解决了着名的七桥问题（）。 正确答案：× 3 七桥问题解决的同时，开创了哪一门数学分支？（） A、泛函分析 B、数论 C、图论与拓扑学 D、抽象代数 正确答案：C 4 数学的抽象能力是数学学习的最重要的目的。（） 正确答案：√ 5 以下哪个汉字可以一笔不重复的写出？（） A、日
B、田 C、甲 D、木 正确答案：A 从圆的面积谈起 1 以下什么成果是阿基米德首先得到的？（） A、圆周率的值 B、圆的面积与圆的直径的平方成正比 C、抛物线弓形的面积 D、穷竭法 正确答案：C 2 从中国古代割圆术中可以看出什么数学思想的萌芽？（） A、极限 B、微分 C、集合论 D、拓扑 正确答案：A 3 穷竭法的思想源于欧多克索斯。（） 正确答案：√ 4 下面哪个人物用穷竭法证明了圆的面积与圆的直径的平方成正比？（） A、刘徽 B、欧多克索斯 C、欧几里得 D、阿基米德 正确答案：B 5 欧多克索斯完全解决了圆的面积的求法。（） 正确答案：× 曲线的切线斜率 1 圆的面积，曲线切线的斜率，非均匀运动的速度，这些问题都可归结为和式的极限。（） 正确答案：×
数学的奥秘本质与思考章节答案完整版
数学的奥秘本质与思考 章节答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
开头的话 1 天王星被称为“笔尖上发现的行星”。（） 正确答案：× 2 数学是素质教育中最重要的载体。（） 正确答案：√ 3 弦理论认为宇宙是几维的（ ） A、4 B、3 C、11 D、10 正确答案：C 4 什么可以解决相对论和量子力学之间矛盾（） A、质子理论 B、中子理论 C、夸克理论 D、弦理论 正确答案：D 5 哪一年发现了海王星（） A、1854年 B、1864年 C、1846年 D、1856年 正确答案：C 数学思维 1 美国哪位总统喜欢通过学习几何学来训练自己的推理和表达能力（） A、华盛顿 B、罗斯福 C、林肯 D、布什
2 仅存在有限对孪生的素数。（） 正确答案：× 3 下列哪个是孪生数对（） A、（17，19） B、（11，17） C、（11，19） D、（7，9） 正确答案：A 4 在赤道为地球做一个箍，紧紧箍住地球，如果将这一个箍加长1m，一只小老鼠不可以通过。（） 正确答案：× 5 谁写了《几何原本杂论》（） A、杨辉 B、徐光启 C、祖冲之 D、张丘 正确答案：B 数学学习 1 偶数和正整数哪个多（） A、偶数多 B、正整数多 C、一样多 D、无法确定 正确答案：C 2 高斯解决了着名的七桥问题（）。 正确答案：× 3 七桥问题解决的同时，开创了哪一门数学分支（ ） A、泛函分析 B、数论 C、图论与拓扑学 D、抽象代数
4 数学的抽象能力是数学学习的最重要的目的。（） 正确答案：√ 5 以下哪个汉字可以一笔不重复的写出（） A、日 B、田 C、甲 D、木 正确答案：A 从圆的面积谈起 1 以下什么成果是阿基米德首先得到的（） A、圆周率的值 B、圆的面积与圆的直径的平方成正比 C、抛物线弓形的面积 D、穷竭法 正确答案：C 2 从中国古代割圆术中可以看出什么数学思想的萌芽（） A、极限 B、微分 C、集合论 D、拓扑 正确答案：A 3 穷竭法的思想源于欧多克索斯。（） 正确答案：√ 4 下面哪个人物用穷竭法证明了圆的面积与圆的直径的平方成正比（） A、刘徽 B、欧多克索斯 C、欧几里得 D、阿基米德 正确答案：B 5 欧多克索斯完全解决了圆的面积的求法。（）
数学与思维的关系
数学与思维的关系 人类生活在丰富多彩、变化万千的现实世界里，无时无刻不在运用自己的思维活动并结合数学方法去认识、利用、改造这个世界，从而不断地创造出日新月异、五彩缤纷的物质文明和精神文明。可以说，数学是一切科学技术的基础，一切的科学都是通过数学计算来发现并解决问题的。然而，知识是有限的，而想象力才是无限的，所以数学的发展与思维有着密切相关的联系。从数学诞生那天起，它就与思维结下了不解之缘。创造数学，构造数学，学习数学，研究数学，都是思维的过程，所以说数学与思维有着千丝万缕的关系。 数学思维分为逻辑思维、形象思维、直觉思维。人的头脑分为左右脑，因此，不同的部分也负责不同的思维。逻辑思维属于左脑思维，而形象思维和直觉思维属于右脑思维。因此，要讨论数学与思维的关系，这三个方面是必不可少的，它们相互依存、密不可分。对数学思维的深刻理解，必须经历一番深沉的思索。当然，这种思索不应该是枯燥无味的，它应该充满机智、幽默和创造的活力。“深沉”的含义在于不能浅尝辄止，而应该有一种深入事物内部穷追不舍的精神。 一.数学与逻辑思维 逻辑思维，又称抽象思维，它是舍弃认识对象及具体形象，通过语言表达反应客观事物本质和内部规律性的思维。它是人们在认识过程中借助概念、判断、推理等思维反应现实的过程，具有抽象概括、间接反应、借助语言等特征。 在数学活动的过程中，逻辑思维常常成为其主线。数学与逻辑思维的关系至少可以追溯到数学还是一门经验性科学的时代。在残留的古埃及、古巴比伦、古印度和我国古代数学史料中，就已经有了简单的归纳、演绎、分析、综合的迹象。经过古希腊数学家们，特别是亚里斯多德和欧几里德的工作，数学同比较完善的形式逻辑体系结合起来，真正变成了一门演绎科学。从此，数学与逻辑总是密不可分地一起发展，数学在整个科学知识体系中成为逻辑性最强的一门科学。当然，数学与逻辑的结合程度并不总是一样的，有时十分紧密，有时却相对地松散一些。 从思维科学角度看，数学思维与逻辑思维的共同特征主要有以下几点： (1)数学思维与逻辑思维都具有极强的符号化和形式化特征，并且在现代数理逻辑中实现了高度的统一。 (2)数学的形式结构和逻辑的形式结构都是从人这个认识主体对于客体所加的作用和动作的最普遍的协调作用中抽象出来的。 (3)数学结构和逻辑结构都是具有一定相对独立性的客观的思想事物，它们的规律在科学的各分支领域都是普遍适用的。 逻辑思维在数学中有着很重要的作用，它是数学证明的工具，是检验数学真理的时间标准。我们知道，在数学中逻辑证明起着判断数学命题真伪的作用。特别是在现代数学中，由于高度的抽象
四年级数学思维训练计划
四年级数学思维训练计划 一、教学内容： 主要教学小学数学思维能力训练及与课本思考题相关的教学内容。 二、教学意义; 1培养学生学习数学的兴趣，充分认识有价值的数学，激发学习数学的热情与学好数学的勇气。 2、培养学生发现问题，分析问题，解决问题的数学探索与创新精神。 3、拓宽学生的知识视野，培养学生的问题意识与应用意识。 三、教学目标： 1、尊重学生的主体地位和主体人格，培养学生自主性主动性。引导学生在掌握数学思维成果的过程中学会学习，学会创造。 2、能积极参加数学活动，不断获得成功体验，进步树立学好数学信心。 3、课堂上围绕趣字，把数学知识融于活动中，在追求答案的过程中提高自己观察力，分析和口语表达能力，力求体现我们的智慧秘诀：做数学、玩数学、学数学。 4、通过活动，使学生掌握基本的数学知识和技能，增强分析问题和解决问题的能力。 四、课程内容： 1、源于基础，高于课本，教材中难度较大，思维型强的知识。 2、贴近学生比较现实的数学问题。 3、数学报或奥林匹克起跑线的有关内容。 五、重点、难点：
1、使学生掌握各种技能，计算技巧，解决问题的思路，培养学生能力，激发学生数学的兴趣。 2、引导学生探究，发现并掌握解决问题的方法。 六、学生基本情况分析： 本班学生共有27人，其中男生14人，女生13人。大部分学生对数学比较感兴趣，接受能力较强，数学思维比较活跃，具有思考探索能力和逻辑思维能力。一部分学生思维狭隘、分析、比较、综合能力相对较弱，需要在教师或同学的启迪和辅导下，才能解决数学问题，因此，教师要精心选择具有开放性，生活型、智趣性的思维训练题目，让每个学生在活动中发挥个性，全面发展。 七、改进教学方法，提高质量措施： 1、以课堂为载体，注意把辅导内容与课堂数学有机结合。 2、以兴趣为老师，开展丰富多彩的活动，提高数学能力。 3、以竞赛为抓手，形成强势效应，让学生了解数学，喜欢数学。 八、活动安排： 本学期共安排16课时，每周一课
数学的奥秘：本质与思维 满分期末考试
数学的奥秘：本质与思维王维克课程评价《数学的奥秘：本质与思维》期末考试（20） 班级：默认班级成绩：100.0分 一、单选题（题数：50，共50.0分） 单选题开始 1 设，则=？（）（1.0分） 1.0分 A、 B、+C C、 D、都不正确 我的答案：A 单选题结束单选题开始 2 设，下列不等式正确的是（）。（1.0分） 1.0分 A、 B、 C、 D、 我的答案：A 单选题结束单选题开始
3 求反常积分=？（1.0分） 1.0分 A、 B、 C、 D、 我的答案：B 单选题结束单选题开始 4 从中国古代割圆术中可以看出什么数学思想的萌芽？（）（1.0分） 1.0分 A、极限 B、微分 C、集合论 D、拓扑 我的答案：A 单选题结束单选题开始 5 求函数的麦克劳林公式。（）（1.0分） 1.0分 A、 B、 C、
D、 我的答案：B 单选题结束单选题开始 6 多项式在上有几个零点？（）（1.0分） 1.0分 A、1 B、0 C、2 D、3 我的答案：B 单选题结束单选题开始 7 设，，则（）。（1.0分） 1.0分 A、 B、 C、 D、 我的答案：C 单选题结束单选题开始 8 设曲线在点处的切线与轴的交点为，则 （）。（1.0分）
1.0分 A、 B、1 C、2 D、 我的答案：D 单选题结束单选题开始 9 求不定积分？（）（1.0分） 1.0分 A、 B、 C、 D、 我的答案：A 单选题结束单选题开始 10 设幂级数在处收敛，则此级数在处？（1.0分） 1.0分 A、条件收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、不确定 我的答案：B 单选题结束单选题开始 11
数学教学中的体会与思考
数学教学中的体会与思考 发表时间：2012-01-13T16:22:17.513Z 来源：《少年智力开发报》2011年第8期供稿作者：宿秋杰 [导读] 《新课程标准》提出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”。 宿秋杰黑龙江省同江市第三中学 新课程改革给广大教师提供了一个更广阔、更富有弹性，也更具有挑战力的创造空间，同时也是个难得的机遇，我们老师 “集体探讨、精心备课、动手自制教具、多媒体课件，都迸发出了前所未有的探索和研究热情，并且取得了丰硕的成果。下面，我就从三方面谈一谈我教改实验以来的一些体会与思考。 一、建立新型师生关系，让学生成为数学学习的主人 《新课程标准》提出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”。在我看来，要切实做到这一点，关键在于教师的观念的转变。作为一名参与课改实验的教师应该清楚认识到：1、教师不是课堂的“主宰”，而是学生学习动机的激发者，课堂气氛的营造者，课堂行为和学习效果的评价者。2、师生之间应该做到真正意义上的人格平等，相互尊重，建立民主、平等、合作、建设性的伙伴关系，从而成为新知识的共同学习者，探索者和收获者。在课堂教学中坚持教学民主，以学生学习的合作者身份，充分调动和激发学生学习的兴趣，努力营造一个民主合作，生动活泼能够让学生毫无顾忌地表达自己的想法和创意的宽松教学氛围，并大胆放手，尽量给学生多一点思考的时间，多一份活动的空间，多一次表现的机会，多一些尝试成功的喜悦，让他们亲身体验学习过程，成为学习的主角、知识的主动探索者。长期以往，我们的学生必定能建立《新课程标准》所倡导的自主合作探索的学习方式，进而最大限度的开发学生的禀赋和潜能，真正使学生得到全方位的发展。 二、创设生活情境，让数学学习生活化 数学知识来源于实践，又服务于实践，它与实际生活联系十分密切。《新课程标准》也指出“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”，而且在7~9年级教学建议中指出本学段的教学应结合具体的数学内容采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开。因此，在平时的数学教学中，教师要充分利用学生已有的知识背景和生活经验，尽量去创设一些生活情境，从中引出数学问题，并以此让学生感悟到数学问题的存在，引起一种学习的需要，从而使学生积极主动地投入到学习、探索中去，增强教学实效。要真正做好情境教学，关键在于教学情境的设计。我认为教学情境的设计要从学生的实际出发，要从是否有利于激发学生的兴趣、是否有利于启迪学生的数学思考，是否有利于培养学生探索精神、合作精神等方面考虑。 三、开展小组合作学习，有效促进学生共同发展。 《新课程标准》指出：动手实践，自主探索与合作交流是学生学数学的重要方式。因此，在新课程实施过程中，小组合作学习成为了一个重要的概念，“如何适当、有效地开展小组合作学习，组织学生活动、交流”就成为了一个倍受关注的热点问题。 关于小组合作学习，有很多新特点：教师权威淡化角色转变，学生主体性增强，学生面对面围桌而坐，在合作过程中，能主动地提出问题，自由展开讨论和交流，敢于尝试，学会倾听，以及进行自我反省，可以讲这种合作学习的方式，使每位学生都能在有限的合作时空里全员参与，在互动中互帮互学，共同发展。 我认为对于小组活动、合作学习应注意以下问题： 1、小组合作学习要适量、适度 小组合作学习是一种很好的教学组织形式，学生参与面广，参与有效率高，但并非任何时候都需要进行合作交流。在实际教学过程中，只有选择恰当的时机，才能保证活动、交流的有效进行。为此，教师在设计小组活动、交流时，首先必须考虑这样做是否有必要，教材中的重点、难点、学生的疑点及学生接受较困难的内容，一般可以结合具体内容和学生特点开展合作学习，通常我们可以组织辨析概念性问题的合作讨论，发现规律性知识的合作探讨，操作、实验、探究性问题的合作探究。但学生通过自主探索，能够独立完成内容就无须再开展合作学习，不能为了“合作”而“合作”，为了“活动”而“活动”。 2、避免小组合作学习流于形式。 我认为要解决这一问题可以从以下两方面努力：一方面是合理分组：为了充分发挥学生个体及学习小组的优势，在组建小组时尽量使成员在性格、兴趣、才能倾向、个性特征，学习成绩等诸方面保持相对平衡和合理的差异，实行优化组合。在学生进行合作学习时要使学生拥有充足、宽裕的发言、补充、更正和辩论的时间和空间，让各种不同程度学生的智慧得到尽情的发挥。 3、明确任务，正确指导，合理评价。 每次合作学习之前，教师应明确提出合作的目标和合作要求，让学生清楚的知道在合作活动、交流中自己要做什么，需要解决什么问题。对个别学生或个别小组有独到见解或出现创新性思维火花时，教师要及时给予鼓励和支持。在整个过程中，教师采取的都应是一种友好的、建设性的态度和行为，既不能过多地干预学生思考的过程和结果，又不能对学生的困难和疑问袖手旁观。同时，教师要对小组活动方式，小组活动的秩序，活动结果的汇报水平，组员学习的效果以及学生参与合作学习的态度，表现等方面作出积极的评价，使每一个学生都真切地体验到合作学习的成功和喜悦。 教师在新的课程环境下，必须重新审视合作学习的价值，积极营造适合学生进行合作学习的环境，呼唤教师角色的重新定位，时刻把握以学生发展为本这根主线，我们的课堂教学才能焕发出生命活力。
数学思维与数学文化
建筑中的数与形论建筑中的数学关系 学生：陈文琦 学号： 20135401 指导教师：舒永录 专业：建筑学 重庆大学建筑城规学院 2015年4月
Math in Architecture Undergraduate: Chen Wenqi Supervisor: Shu Yong lu Major: Architecture College of Architecture and Urban Planning Chongqing University April 2015
摘要：金字塔雄踞一方，长城虎踞龙盘，鸟巢、水立方以其惊艳的造型和空间体验使人流连，他们绝不是建筑设计师拍拍脑袋设计的方案，无论建筑如何异形，不管体量如何巨大，他们背后都有一股巨大的力量支撑起精美绝伦的建筑----数学。在近代建筑的发扎过程中，柯布西耶对数学的炉火纯青的使用，使其建筑达到了一个无可比肩的地步，在现代建筑的发展加速的时期，更需要了数学在形式、结构等方面的支持，数学在数、形方面支持着建筑的发展，本文通过探讨建筑中的数学应用，明确数学在建筑中的地位，为建筑的进一步发展提供新能源。 关键词：建筑设计，数学之美，形式，影响，新方向。 Abstract：Pyramid, a bird's nest, the water cube, a forbidding strategic point of the Great Wall, with its beautiful shape and space to hang around people, they are not designers design scheme of building a pat on the head, no matter how shaped building, regardless of how much volume, they are behind a huge support from the exquisite beyond compare building - the math. In the process of modern architecture in the hair, Corbusier on mathematical perfection in one's studies. use, make the building reached a comparable stage in the development of modern architecture, the acceleration period, need more support for Mathematics in the form, structure, mathematical aspects of the number, to support the development of architecture in this paper, through the discussion of mathematics application in architecture, clear the status of mathematics in the construction, provide new energy for the further development of building Keyword：The design of architecture, the beauty of mathematics, form, influence, a new direction.
浅谈语文教学中的思维训练
浅谈语文教学中的思维训练 思维能力是人的心理素质的核心部分，在学科教学中加强思维能力的培养是一项具有战略意义的工作。如何全面地系统地规划小学语文教学中的思维训练工作，是当前语文教学改革中所面临的一大问题。 一、思维训练要以语言训练、读写训练为主。认识事物、发展思维是各们学科教学的共同任务，不能为了“突出思维训练”，置文字训练于不顾，应当在听说读写的训练中，指导学生通过综合、分析、判断、推理、比较等思维方法，把词用得更准确，句子说得更具体，一段话写得更有条理，一篇文章写得更好。进行思维训练是为了更好地理解，更好地表达。理解、表达是出发点，是归宿，思维训练只是手段、途径。比如：学生读课文后说说对文章的理解，读句子、段落之间衔接的关系，这些都是语言文字的训练。语言教学的主要任务是让学生掌握语文知识，形成听说读写的能力。我们教《詹天佑》一课时，先让学生找到全篇的中心句，再看看作者是怎样一句一句围绕中心展开叙述的。在课文的讲述过程中，我们重点让学生通过读，去体会，感悟詹天佑是一个杰出的爱国工程师。教学过程中，教师应抓住课堂主线，引人入胜。语文教学的内容与思维形式有着内在的联系。语文就是语言文字，在小学阶段，主要学习字、词、句、段、篇的知识。思维的基本形式是概念、判断、推理。就以概念而言，各门科学都是通过形成专门的概念而构建起来的，是概念体系。思维中的每一个概念都要用词来表示。从这个意义上说，思维和语言文字的密切联系，首先表现在概念和词的不同分性上。教师在引导学生认识字词的过程，就是使学生的基础知识不断扩大、深化、精确的过程。教师要深刻地理解这种内在联系，就能够在教学实践中，自觉地把思维训练同知识传授有机地统一起来。语文教学的方法与思维的过程有着密切的关系。语文课加强思维训练对于改革课堂教学方法，提高教学质量有积极意义。比如，语文课强调逻辑性，以便有意识地影响学生的逻辑思维；同时，也要求学生的口头语言与书面语言具有逻辑性，以发展其逻辑思维。具体地说，语文教学掌握了科学的思维方法，才能提高认知速度和认知水平。按照科学方法组织训练过程，既能提高语文基础知识和基本技能的训练效率，又使思维训练由隐转现，由自发转为自觉。 二、思维训练要与语文教学过程保持统一小学语文思维训练，要充分利用语文教材的内容，挖掘教材中固有的思维训练因素，紧密配合语文知识教学，不加重学生负担，使思维
二年级数学上册应用题与思维训练集锦500已打印.docx
小学二年级上册应用题与思维训练集锦500题 一、想一想，填一填: 1、5+5+5+5+54-5+5=( 2 + 2 + 24-2-1=( )X ( )+ ( ) 2、找规律填数： (1) 6 11 16 ( ) 26 ( : ) (2) 20、 16、 ( )、 8、 4 (3) 2、 5、 8、 11、 14、 ( ) (4) 2、 3、 5、 8、 12、( ) (5)100, 95, 90, 85, 80, ( ), 70 (6) 2, 4, 6,( ),( ) )X ( ) 4+4+4+3=( )X ( )+ ( ) (7)15, 5, 12, 5, 9, 5,( ),() (8) 1. 3. 6. 10. 15.( (9) 14. 5? 12. 5. 10. 5.( (10) 1. 11. 2. 3、 13. 3. 15.( 4、 ).( ) )。 5、☆。☆△△☆。。☆△△厶 第20个是 ________ ,第30个是 _______ 6、如果△ + △ + △ +△二32 A +A + 0=25 O + O + ^ +☆二26 那么：△ + (? + ☆ = ( ) 7、 小芳今年8岁，他比爸爸小27岁，5年前爸爸比小芳大( )岁。 8、 一根电线，对折再对折，最后从中间剪开，剪开的电线一共有( )段。 9、 教室里8盏灯，全部亮着，现在关掉了 6盏灯，教室里还有( )盏灯。 10、小明做计算题，第一天做了总数的一半, ) 个题，正好全部做完，小明一共做了( 11、 右图1 一共有( )正方形。 12. 数一数，右图2中有( )个圆？ 第二天做了剩下的一半，第三天做了5 个计算题c 二、下而的图形算式中，他们各表示几? ⑴△ +△+△ =18 ⑵□ + △ =11 2、 04-04-0 = 18 o=( ) 3、 16+16+16 + 8 = △+0+0 图2 (9分) 30 □=< A 4-0=14 △=( )X ( ) ☆+☆+☆+☆=20 ☆=( )
关于数学的收获与思考
关于数学的收获与思考 培养目标 本专业方向培养具备良好的数学素养，掌握数学与应用数学的基本理论和方法，具有运用数学分析方法、借助计算机软件解决实际问题的能力，受到系统的科学研究训练的复合型、创业型应用人才。毕业生可以在科技、教育等领域从事研究、教学工作，或在银行、证券、保险等金融领域从事产品研发、理财、投资、资源优化及项目的开发、管理与策划工作，或在土木建筑、电子电气、交通运输、工业控制、地质矿业等工程领域承担数学建模工程师、算法工程师、优化工程师等工作，或能继续攻读本学科或相关学科硕士学位 培养要求 本专业学生主要学习数学和应用数学的基本理论、基本方法，受到数学建模、计算机和数学软件方面的基本训练，在数学理论及其在工程或金融领域应用方面受到良好的教育，具有较高的科学素养和较强的创新意识，具备科学研究、教学、解决实际问题等方面的基本能力和较强的更新知识能力。 毕业生应达到以下要求： 1．具有良好道德修养、诚信意识和文化素养； 2．具有较强的文字、语言表达能力，具有良好的团队精神和身心素质； 3．具有良好的英语交流、阅读和写作能力，熟练掌握计算机应用的基本技能； 4．具有比较扎实的数学和应用数学基础，受到严格的科学思维训练，掌握数学科学的思想方法； 5．具备较强的专业能力。其中 数理金融方向：掌握金融数学的基本原理及方法，掌握经济学、金融学基础理论知识，了解数学和应用数学理论及方法在金融领域的发展动态和应用前景，能熟练运用数学知识和Matlab、Eviews和SPSS等软件在银行、证券、保险等部门从事数据处理分析、风险评估和管理、证券投资、预测和决策等，具备从事金融实务工作的能力，并具备在该专业领域创新性地开展工作和持续发展的能力； 工程建模方向：掌握数学建模的基本原理及方法，了解数学建模在工程技术领域的发展动态和应用前景，能熟练应用Lingo建模软件和Matlab、SPSS等软件对社会企业的工程和商业运作过程中出现的资源优化、数据分析与挖掘、交通运输、物流管理等问题进行系统分析、建模，提供策略和方法，并具备在该专业领域创新性地开展工作和持续发展的能力； 6．了解数学科学发展的历史概况以及当代数学和应用数学理论及方法的发展动态和应用前景； 7．掌握资料查询、文献检索以及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法，具
浅谈语文教学中的思维训练
浅谈语文教学中的思维训练 摘要：思维能力是人的心理素质的核心部分，在学科教学中加强思维能力的培养是一项具有战略意义的工作。如何全面地系统地规划小学语文教学中的思维训练工作，是当前语文教学改革中所面临的一大问题。 关键词：语文教学;思维训练;能力 语言是思维的物质外壳，思维的质量决定着语言的发展水平。语言与思维的发展是相互促进的，训练学生的语言也就是训练其思维。语文作为一门基础学科，在培养思维品质上起着举足轻重的作用。在语文教学过程中，教师们都自觉或不自觉地不同程度地进行着思维训练。思维训练在语文教学领域中，几乎人人在做，天天在做，并不神秘。但此类教学活动有意识去做和无意识地进行，其效果是不一样的。 一、思维训练要以语言训练、读写训练为主 认识事物、发展思维是各们学科教学的共同任务，不能为了“突出思维训练”，置文字训练于不顾，应当在听说读写的训练中，指导学生通过综合、分析、判断、推理、比较等思维方法，把词用得更准确，句子说得更具体，一段话写得更有条理，一篇文章写得更好。进行思维训练是为了
更好地理解，更好地表达。理解、表达是出发点，是归宿，思维训练只是手段、途径。比如：学生读课文后说说对文章的理解，读句子、段落之间衔接的关系，这些都是语言文字的训练。语言教学的主要任务是让学生掌握语文知识，形成听说读写的能力。我们教《詹天佑》一课时，先让学生找到全篇的中心句，再看看作者是怎样一句一句围绕中心展开叙述的。在课文的讲述过程中，我们重点让学生通过读，去体会，感悟詹天佑是一个杰出的爱国工程师。教学过程中，教师应抓住课堂主线，引人入胜。语文教学的内容与思维形式有着内在的联系。语文就是语言文字，在小学阶段，主要学习字、词、句、段、篇的知识。思维的基本形式是概念、判断、推理。就以概念而言，各门科学都是通过形成专门的概念而构建起来的，是概念体系。思维中的每一个概念都要用词来表示。从这个意义上说，思维和语言文字的密切联系，首先表现在概念和词的不同分性上。教师在引导学生认识字词的过程，就是使学生的基础知识不断扩大、深化、精确的过程。教师要深刻地理解这种内在联系，就能够在教学实践中，自觉地把思维训练同知识传授有机地统一起来。语文教学的方法与思维的过程有着密切的关系。语文课加强思维训练对于改革课堂教学方法，提高教学质量有积极意义。 二、思维训练要与语文教学过程保持统一 小学语文思维训练，要充分利用语文教材的内容，