通信信号处理

通信信号处理

摘要：

在这通信信号处理这门课程中，老师给我们讲解了通信系统中的一些基本知识和一些关键技术，比如多输入多输出（MIMO，multiple-input multiple-output）、正交频分复用（OFDM，orthogonal frequency division multiplexing）以及比特交织编码调制（BICM，bit-interleaved coded modulation）等技术。这篇文章的主要内容就是对本课程内容的总结以及自己的理解。

一、基本知识

1.多径衰落

（1）概念

在通信系统中，由于通信地面站天线波束较宽，受地物、地貌和海况等诸多因素的影响，使接收机收到经折射、反射和直射等几条路径到达的电磁波，这种现象就是多径效应。这些不同路径到达的电磁波射线相位不一致且具有时变性，导致接收信号呈衰落状态；这些电磁波射线到达的时延不同，又导致码间干扰。若多射线强度较大，且时延差不能忽略，则会产生误码，这种误码靠增加发射功率是不能消除的，而由此多径效应产生的衰落叫多径衰落，它也是产生码间干扰的根源。对于数字通信、雷达最佳检测等都会产生十分严重的影响。

（2）分类

主要可以分为两种,频率选择性衰落和频率非选择性衰落（平坦型衰落）。

如果各条路径传输时延差别较大，传输波形的频谱较宽（或数字信号传输速率较高），则信道对传输信号中不同频率分量强度和相位的影响各不相同。此时，接收点合成信号不仅强度不稳定而且产生波形失真，数字信号在时间上有所展宽，这就可能千万前后码元的波形重叠，出现码间（符号间）干扰。这种衰落称为频率选择性衰落，有时也简称选择性衰落。

如果各条路径传输时延差别不大，而传输波形的频谱较窄（数字信号传输速率较低），则信道对信号传输频带内各频率分量强度和相位的影响基本相同。此时，接收点的合成信号只有强度的随机变化，而波形失真很小。这种衰落称为一致性衰落，或称平坦型衰落。瑞利信道（包络的一维统计特性服从瑞利分布）就是典型的平坦型衰落信道。

（3）防范措施

衰落作为一种乘性干扰，严重影响着通信系统的性能，因此必须采取相应的措施加以克服。比较有效的抗衰落措施有：

分集接收，就是将在接收端分散接收到的几个衰落情况不同（相互统计独立）的合成信号，再以一定的方式将它们合并集中，使总接收信号的信噪比得到改善，衰落的影响减小。这是一种历史较久、应用较广的克服衰落影响的有效方法。可用的分集方式有：空间分集、频率分集，角度分集、极化分集、时间分集等。

信号设计，所谓信号设计就是针对信道的情况，设计具有较强抗衰落能力的信号，并在发端收端采用相应的调制和检测技术。如采用多进制信号、时频相调制技术以及时频调制信号、伪噪声编码（伪随机编码）等扩频通信技术。

自适应通信技术，主要自适应均衡技术，就是根据信道对信号的影响，调整接收机参数，以抵消上述影响。例如，在数字微波通信中等容量的系统中，常以频域自适应均衡器对信道的频率特性进行补偿。在大容量系统中，除采用频域均衡器外，还采用了对波形进行补偿的时域自适应均衡器，效果显著。

2.RAKE接收机

（1）概念RAKE接收技术是第三代CDMA移动通信系统中的一项重要技术。在CDMA移动

通信系统中，由于信号带宽较宽，存在着复杂的多径无线电信号，通信受到多径衰落的影响。RAKE接收技术实际上是一种多径分集接收技术，可以在时间上分辨出细微的多径信号，对这些分辨出来的多径信号分别进行加权调整、使之复合成加强的信号。由于该接收机中横向滤波器具有类似于锯齿状的抽头，就像耙子一样，故称该接收机为RAKE接收机。

（2）原理

在CDMA扩频系统中，信道带宽远远大于信道的平坦衰落带宽。不同于传统的调制技术需要用均衡算法来消除相邻符号间的码间干扰，CDMA扩频码在选择时就要求它有很好的自相关特性。这样，在无线信道中出现的时延扩展，就可以被看作只是被传信号的再次传送。如果这些多径信号相互间的延时超过了一个码片的长度，那么它们将被CDMA接收机看作是非相关的噪声，而不再需要均衡了。

由于在多径信号中含有可以利用的信息，所以CDMA接收机可以通过合并多径信号来改善接收信号的信噪比。其实RAKE接收机所作的就是：通过多个相关检测器接收多径信号中的各路信号，并把它们合并在一起。由于信道中快速衰落和噪声的影响，实际接收的各径的相位与原来发射信号的相位有很大的变化，因此在合并以前要按照信道估计的结果进行相位的旋转，实际的CDMA系统中的信道估计是根据发射信号中携带的导频符号完成的。根据发射信号中是否携带有连续导频，可以分别采用基于连续导频的相位预测和基于判决反馈技术的相位预测方法。

基于连续导频信号，使用判决反馈技术的间断导频条件的信道估计方法LPF是一个低通滤波器，滤除信道估计结果中的噪声，其带宽一般要高于信道的衰落率。使用间断导频时，在导频的间隙要采用内插技术来进行信道估计，采用判决反馈技术时，先硬判决出信道中的数据符号，在已判决结果作为先验信息（类似导频）进行完整的信道估计，通过低通滤波得到比较好的信道估计结果，这种方法的缺点是由于非线性和非因果预测技术，使噪声比较大的时候，信道估计的准确度大大降低，而且还引入了较大的解码延迟。

延迟估计的作用是通过匹配滤波器获取不同时间延迟位置上的信号能量分布，识别具有较大能量的多径位置，并将它们的时间量分配到RAKE接收机的不同接收径上。匹配滤波器的测量精度可以达到1/4～1/2码片，而RAKE接收机的不同接收径的间隔是一个码片。实际实现中，如果延迟估计的更新速度很快（比如几十ms一次），就可以无须迟早门的锁相环。

延迟估计的主要部件是匹配滤波器，匹配滤波器的功能是用输入的数据和不同相位的本地码字进行相关，取得不同码字相位的相关能量。当串行输入的采样数据和本地的扩频码和扰码的相位一致时，其相关能力最大，在滤波器输出端有一个最大值。根据相关能量，延迟估计器就可以得到多径的到达时间量。

从实现的角度而言，RAKE接收机的处理包括码片级和符号级，码片级的处理有相关器、本地码产生器和匹配滤波器。符号级的处理包括信道估计，相位旋转和合并相加。码片级的处理一般用ASIC器件实现，而符号级的处理用DSP实现。移动台和基站间的RAKE接收机的实现方法和功能尽管有所不同，但其原理是完全一样的。

对于多个接收天线分集接收而言，多个接收天线接收的多径可以用上面的方法同样处理，RAKE接收机既可以接收来自同一天线的多径，也可以接收来自不同天线的多径，从RAKE 接收的角度来看，两种分集并没有本质的不同。但是，在实现上由于多个天线的数据要进行分路的控制处理，增加了基带处理的复杂度。

3.分集

（1）概念

根据信号论原理，若有其他衰减程度的原发送信号副本提供给接收机，则有助于接收信号的正确判决。这种通过提供传送信号多个副本来提高接收信号正确判决率的方法被称为分集。分集技术是用来补偿衰落信道损耗的，它通常利用无线传播环境中同一信号的独立样本

之间不相关的特点，使用一定的信号合并技术改善接收信号，来抵抗衰落引起的不良影响。空间分集手段可以克服空间选择性衰落，但是分集接收机之间的距离要满足大于3倍波长的基本条件。

（2）原理

分集的基本原理是通过多个信道（时间、频率或者空间）接收到承载相同信息的多个副本，由于多个信道的传输特性不同，信号多个副本的衰落就不会相同。接收机使用多个副本包含的信息能比较正确的恢复出原发送信号。如果不采用分集技术，在噪声受限的条件下，发射机必须要发送较高的功率，才能保证信道情况较差时链路正常连接。在移动无线环境中，由于手持终端的电池容量非常有限，所以反向链路中所能获得的功率也非常有限，而采用分集方法可以降低发射功率，这在移动通信中非常重要。

集技术包括2个方面：一是分散传输,使接收机能够获得多个统计独立的、携带同一信息的衰落信号;二是集中处理,即把接收机收到的多个统计独立的衰落信号进行合并以降低衰落的影响。因此，要获得分集效果最重要的条件是各个信号之间应该是“不相关”的。

（3）分类

空间分集

空间分集，又被称为天线分集，是无线通信中使用最多的分集形式，它既可以用于移动台，也可以用于基站，或者同时应用于两者。空间分集基于这样一个事实：在移动台端，如果天线间的相隔距离等于或者大于半个波长，或者在基站端分集天线间的相隔距离大于一定值(通常是几十个波长)，那么不同的分集天线上收到的信号包络将基本上是不相关的。空间分集按接收方法可以分为4类：反馈或扫描分集、选择分集、等增益分集及最大比率合并，分集增益依次增加。

极化分集

极化分集基于水平极化和垂直极化路径不相关这一特性。在传输信道的反射过程中，不同极化方向的反射系数不同，这使得信号的幅度和相位的变化产生差异，在经过足够多次的反射后，不同极化方向上的信号就变成相互独立或者接近相互独立。

频率分集

频率分集是在多个载频上传送信号，它基于在信道相干带宽之外的频率上不会出现相同的衰落的原理，理论上，不相关信道产生同样衰落的概率是各自产生的衰落概率的乘积。频率分集的缺点是不仅需要备用带宽，而且需要有和频率分集中采用的频道数相等的若干个接收机，所以一般应用在特殊业务中。

时间分集

时间分集是指以超过信道相干时间的时间间隔重复发送信号，以便让再次收到的信号具有独立的衰落环境，从而产生分集效果。

协作分集

协作分集是无线网络中的多个拥有独立无线的无线节点协作实现空间分集的方法。其最基本的思想是在无线接收端将直传信号（来自源节点）以及中继信号(来自中继节点)均作为有用信号以合并解码进而提升无线网络的通信性能（信道容量，可靠性等）。与通常方法相比，协作分集方法将中继信号视作有用信号，而非干扰信号。

协作分集的最简单场景包含一个源节点，一个中继节点以及一个目标节点，两两节点可以互相通信。在协作分集方法中，目标节点将收到并合并来自源节点的直传信号以及来自中继节点的中继信号。中继节点发送的中继信号亦来自源节点，但在转发之前需要进行处理。

协作分集的中继策略指中继节点对来自源节点信号的处理和转发方式。最基本的中继策略有放大转发，解码转发以及压缩转发等。

多用户分集

多用户分集是一种提高MIMO系统容量的新方法，但与传统MIMO方案不同，它是将所有发送和接收看作一个整体来处理，不是消除信道之间的衰落而是利用信道衰落特性，即信道的随机波动性来获得增益。实现多用户增益的途径则是公平调度。在实践中，用户数量，发送天线数，接收天线数，资源调度方法，功率分配方案，空间分集和多用户分集的联合方式等对多用户分集系统的容量有着不同程度的影响，唯有充分理解不同技术的本质才能更好地利用各自的优势，最大限度地增加系统的容量。

二、关键技术

1.MIMO

（1）概念

MIMO 表示多输入多输出。在第四代移动通信技术标准中被广泛采用，例如IEEE 802.16e (Wimax)，长期演进(LTE)。在新一代无线局域网(WLAN)标准中，通常用于 IEEE 802.11n，但也可以用于其他 802.11 技术。MIMO 有时被称作空间分集，因为它使用多空间通道传送和接收数据。只有站点（移动设备）或接入点（AP）支持 MIMO 时才能部署 MIMO。

MIMO 技术的应用，使空间成为一种可以用于提高性能的资源，并能够增加无线系统的覆盖范围。

利用MIMO技术可以提高信道的容量，同时也可以提高信道的可靠性，降低误码率。前者是利用MIMO信道提供的空间复用增益，后者是利用MIMO信道提供的空间分集增益。实现空间复用增益的算法主要有贝尔实验室的BLAST算法、ZF（zero-forcing，迫零）算法、MMSE （minimum mean square error，最小均方差）算法、ML（maximum likelihood，最大似然）算法。ML算法具有很好的译码性能，但是复杂度比较大，对于实时性要求较高的无线通信不能满足要求。ZF算法简单容易实现，但是对信道的信噪比要求较高。性能和复杂度最优的就是BLAST算法。该算法实际上是使用ZF算法加上干扰删除技术得出的。目前MIMO技术领域另一个研究热点就是空时编码。常见的空时码有空时块码、空时格码。空时码的主要思想是利用空间和时间上的编码实现一定的空间分集和时间分集，从而降低信道误码率。

（2）理解

MIMO技术大致可以分为两类：发射/接收分集和空间复用。传统的多天线被用来增加分集度从而克服信道衰落。具有相同信息的信号通过不同的路径被发送出去，在接收机端可以获得数据符号多个独立衰落的复制品，从而获得更高的接收可靠性。举例来说，在慢瑞利衰落信道中，使用1根发射天线n根接收天线，发送信号通过n个不同的路径。如果各个天线之间的衰落是独立的，可以获得最大的分集增益为n，平均误差概率可以减小到，单天线衰落信道的平均误差概率为。对于发射分集技术来说，同样是利用多条路径的增益来提高系统的可靠性。在一个具有m根发射天线n根接收天线的系统中，如果天线对之间的路径增益是独立均匀分布的瑞利衰落，可以获得的最大分集增益为mn。智能天线技术也是通过不同的发射天线来发送相同的数据，形成指向某些用户的赋形波束，从而有效的提高天线增益，降低用户间的干扰。广义上来说，智能天线技术也可以算一种天线分集技术。分集技术主要用来对抗信道衰落。相反，MIMO信道中的衰落特性可以提供额外的信息来增加通信中的自由度(degrees of freedom)。从本质上来讲，如果每对发送接收天线之间的衰落是独立的，那么可以产生多个并行的子信道。如果在这些并行的子信道上传输不同的信息流，可以提供传输数据速率，这被称为空间复用。需要特别指出的是在高SNR的情况下，传输速率是自由度受限的，此时对于m根发射天线n根接收天线，并且天线对之间是独立均匀分布的瑞利衰落的。

工作在MIMO天线配置下，能够在不增加带宽的条件下，相比SISO系统成倍地提升信息传输速率，从而极大地提高了频谱利用率。在发射端，高速率的数据流被分割为多个较低速

率的子数据流，不同的子数据流在不同的发射天线上在相同频段上发射出去。如果发射端与接收端的天线阵列之间构成的空域子信道足够不同，即能够在时域和频域之外额外提供空域的维度，使得在不同发射天线上传送的信号之间能够相互区别，因此接收机能够区分出这些并行的子数据流，而不需付出额外的频率或者时间资源。空间复用技术在高信噪比条件下能够极大提高信道容量，并且能够在“开环”，即发射端无法获得信道信息的条件下使用。2.OFDM

（1）概念

OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)即正交频分复用技术，实际上OFDM是MCM Multi-CarrierModulation，多载波调制的一种。其主要思想是：将信道分成若干正交子信道，将高速数据信号转换成并行的低速子数据流，调制到在每个子信道上进行传输。正交信号可以通过在接收端采用相关技术来分开，这样可以减少子信道之间的相互干扰ICI 。每个子信道上的信号带宽小于信道的相关带宽，因此每个子信道上可以看成平坦性衰落，从而可以消除码间串扰，而且由于每个子信道的带宽仅仅是原信道带宽的一小部分，信道均衡变得相对容易。

（2）原理

OFDM是多载波调制的一种。其主要思想是：将信道分成若干正交子信道，将高速数据信号转换成并行的低速子数据流，调制到在每个子信道上进行传输。正交信号可以通过在接收端采用相关技术来分开，这样可以减少子信道间相互干扰ICI。每个子信道上的信号带宽小于信道的相干带宽，因此每个子信道上的可以看成平坦性衰落，从而可以消除符号间干扰。而且由于每个子信道的带宽仅仅是原信道带宽的一小部分，信道均衡变得相对容易。在OFDM 传播过程中，高速信息数据流通过串并变换，分配到速率相对较低的若干子信道中传输，每个子信道中的符号周期相对增加，这样可减少因无线信道多径时延扩展所产生的时间弥散性对系统造成的码间干扰。另外，由于引入保护间隔，在保护间隔大于最大多径时延扩展的情况下，可以最大限度地消除多径带来的符号间干扰。如果用循环前缀作为保护间隔，还可避免多径带来的信道间干扰。

在过去的频分复用(FDM)系统中，整个带宽分成N个子频带，子频带之间不重叠，为了避免子频带间相互干扰，频带间通常加保护带宽，但这会使频谱利用率下降。为了克服这个缺点，OFDM采用N个重叠的子频带，子频带间正交，因而在接收端无需分离频谱就可将信号接收下来。OFDM系统的一个主要优点是正交的子载波可以利用快速傅利叶变换（FFT/IFFT）实现调制和解调。对于N点的IFFT运算，需要实施N2次复数乘法，而采用常见的基于2的IFFT算法，其复数乘法仅为（N/2）log2N，可显著降低运算复杂度。

在OFDM系统的发射端加入保护间隔，主要是为了消除多径所造成的ISI。其方法是在OFDM符号保护间隔内填入循环前缀，以保证在FFT周期内OFDM符号的时延副本内包含的波形周期个数也是整数。这样，时延小于保护间隔的信号就不会在解调过程中产生ISI。

由于OFDM技术有较强的抗ISI能力以及高频谱效率，2001年开始应用于光通信中，相当多的研究表明了该技术在光通信中的可行性。

（3）优点

在窄带带宽下也能够发出大量的数据。OFDM技术能同时分开至少1000个数字信号，而且在干扰的信号周围可以安全运行的能力将直接威胁到目前市场上已经开始流行的CDMA技术的进一步发展壮大的态势，正是由于具有了这种特殊的信号“穿透能力”使得OFDM技术深受欧洲通信营运商以及手机生产商的喜爱和欢迎；OFDM技术能够持续不断地监控传输介质上通信特性的突然变化，由于通信路径传送数据的能力会随时间发生变化，所以OFDM能动态地与之相适应，并且接通和切断相应的载波以保证持续地进行成功的通信；该技术可以自动地检测到传输介质下哪一个特定的载波存在高的信号衰减或干扰脉冲，然后采取合适的

调制措施来使指定频率下的载波进行成功通信；OFDM技术特别适合使用在高层建筑物、居民密集和地理上突出的地方以及将信号散播的地区。高速的数据传播及数字语音广播都希望降低多径效应对信号的影响。

OFDM技术的最大优点是对抗频率选择性衰落或窄带干扰。在单载波系统中，单个衰落或干扰能够导致整个通信链路失败，但是在多载波系统中，仅仅有很小一部分载波会受到干扰。对这些子信道还可以采用纠错码来进行纠错。

可以有效地对抗信号波形间的干扰，适用于多径环境和衰落信道中的高速数据传输。当信道中因为多径传输而出现频率选择性衰落时，只有落在频带凹陷处的子载波以及其携带的信息受影响，其他的子载波未受损害，因此系统总的误码率性能要好得多。通过各个子载波的联合编码，具有很强的抗衰落能力。OFDM技术本身已经利用了信道的频率分集，如果衰落不是特别严重，就没有必要再加时域均衡器。通过将各个信道联合编码，则可以使系统性能得到提高。OFDM技术抗窄带干扰性很强，因为这些干扰仅仅影响到很小一部分的子信道。可以选用基于IFFT/FFT的OFDM实现方法；信道利用率很高，这一点在频谱资源有限的无线环境中尤为重要；当子载波个数很大时，系统的频谱利用率趋于2Baud/Hz。

3.BICM（比特交织编码调制）

首先BICM也是一种编码调制方法。但不同于TCM（网格编码调制）主要适用AWGN信道，追求码信号间的最小欧氏距离最大化，BICM的提出主要是为了适应衰落信道，追求的是“码分集”特性。其在发射端编码器之后和调制映射器之前加入了比特交织器，而在接收端也相应地增加了解交织器。交织是一种有效且应用很广泛的对付突发差错的技术。映射方案也有不同，TCM中使用的是分割映射（SP映射），而BICM系统选用的是格雷映射（Gray映射）方案，不同的映射方案会产生不同的性能，其中SP映射是在欧氏距离规则下性能最优方案，而Gray映射是在汉明距离下的性能最优方案。总结起来，有以下几个特点：（1）在编码器和调制器之间加入了比特交织器，编码和调制过程分开；

（2）与TCM相比，使用了不同的映射方案可；

（3）以在接收端引入迭代反馈算法；

（4）适应于衰落信道。

优点是频带利用率高，抗衰落，设计灵活，主要应用于802.16、LTE、DVB-T等。

4.MIMO系统中的检测技术信号

考虑n T根发射天线n R根接收天线的MIMO系统，如图一所示。数据流被分成n T个子数据流，每个子流通过星座点映射后送给发射天线。

图1 MIMO系统模型

在接收端的一根天线会收到每根发送天线送出的信号，将所有接收天线收到的符号作为

一个矢量12(,,)R

T n x x x x =…，来表示，那么有如下关系成立： x Hs n =+

（1） 其中12(,,)T T n s s s =…，s 是发射信号矢量，Ｈ是R T n n ?维的矩阵，其元素,j i h 是

发射天线(1,2,,)T i i n =…到接收天线(1,2,,)R j j n =…的信道增益，12(,,)R

T

n n n n n =…，是各分量独立且都服从),0(2σN 分布的复白高斯噪声。

（1）迫零检测（ZF ，Zero-forcing ）

迫零检测是MIMO 系统中常用的检测器，其核心思想是在接收端通过线性变换消除不同天线发射信号间的干扰。将MIMO 系统的信号检测模型改写成如下形式：

1122T T n n x h s h s h s n =+++ （2）

其中(1,2,)i T h i n = 是H 的第i 列。

为了在接收端恢复(1,2,)i T s i n = 而排除其他分量的干扰，可以使用矢量i w 与x 作内积，其中i w 满足如下条件：

01i j i j w h i j ≠?=? =?

（3） 将(1,2,,)i T w i n = 作为行向量组成一个矩阵ZF W ，显然它应该满足ZF

W H I ?=，所以1()H H ZF W H H H -=（假设H 列满秩），此时发射信号估计值s

为 1()()H H ZF s H H H Hs n s W n - =+ =+ （4） 协方差矩阵为

{}

21()()H H ZF C E s

s s s H H σ-=--= () （5） 从上面这些式子可以看出，经过迫零检测器之后得到的对发射信号的估计值，完全消除了不同天线发送的数据之间的干扰，在高信噪比条件下有较好的性能。特别地，当噪声项为0时，严格地有s s = 。但在低信噪比或者信道矩阵H 接近奇异时，检测性能严重恶化。

（2）最小均方误差检测（MMSE ，Minimum Mean Square Error ）

上述介绍的迫零检测器可以完全滤除干扰却不考虑噪声的影响。最小均方误差检测则是基于最大化输出信干噪比（SINR ，Signal-Interference-and-Noise Ratio ）的考虑，在抑制噪声和消除干扰之间找到一个最佳的平衡点。

MMSE 检测的目标是找到估计值s

Wx = ，使其与真实值s 的差异尽可能小。MMSE 的目

标函数如下所示 2arg min ||||MMSE W

W E s Wx =- （6） 经过求解得212()H H MMSE W H H I H p σ-=+

，其中2()H E ss p I =，此时估计量的协方差

矩阵为 {}2

212()()H H MMSE C E s s s s H H I p σσ-=--= (+)

（7）

（3）球形译码（SD ，Sphere Decoding ）

由MIMO 系统模型中的假设，可得接收信号x 的条件概率密度为

2

221

1(|,)exp()()T n P x H s x Hs πσσ=-- (8) 显然发射信号s 的最大似然估计为：

2?arg max (|,)arg min n n s P x H s x Hs s s ==-∈Ω∈Ω (9)

其中Ω表示星座点集合，如对于QPSK 调制{11*,11*,1

1*,11*}i i i i Ω=-+ -- + -。最大似然检测（ML ，Maximum likelihood ）作为最优检测器，就是要在n

Ω中搜寻一个满足(3-12)的?s ，而这种可能性有T n M 种（M 为星座点集合中元素的个数），所以计算复杂度较高，很难在实际中应用。而SD 算法在保持性能接近ML 算法的条件下，降低了计算复杂度，有较大的应用潜力。下面介绍其原理。

对H 做QR 分解，即H QR =，其中Q 是R R n n ?的列正交的矩阵，即R H

n Q Q I =，R 是R T n n ?的上三角矩阵，则

2

()()()

()()())()R R R H H n H H n H H n x Hs QQ x Hs I QQ x Hs QQ x Hs I QQ x Hs Q x Rs I QQ x -=-+-- =-+--

=-+- (10) 上式中第二个等式成立是因为()H QQ x Hs -与()()R H n I QQ x Hs --正交。若令

H x Q x '=，则2?arg min n s x Hs s =-∈Ω等价为2

?arg min n s x Rs s '=-∈Ω

，又由R 的上三角特性，有 22211

2111111?arg min arg min ()arg min ()arg min [()(,)(,,,)]T T R T T T T T T T T T T n

n n n i ij j i n i j i i n n n i ij j n i j i

n n n n n n n n

s x Rs s x R s x s x R s s f s f s s f s s s s ===+==---'=-∈Ω'' =-+ ∈Ω' =-∈Ω =+++∈Ω∑∑∑∑∑ (11) 其中21(,,,)T T T n k n n k k kj j j k f s s s x R

s -=' = -∑ 。那么为了搜索得到最优解?s

，我们可以构造一棵树，第一层有M 个结点，不同结点的值是以Ω中不同元素作为自变量的函数

()()T T T n n n f s s ∈Ω的值，

第二层有2M 个结点，是由第一层的每个结点生成M 个子节点而来，该层结点的值由11()(,)T T T T T n n n n n f s f s s --+决定，直到第T n 层生成T n M 个叶节点，该层结点的值就是11111()(,)(,,,)T T T T T T T n n n n n n n f s f s s f s s s ---+++ ，那么找到该层中数值最小的点就找到了ML 解。下图是一个Ω有2个元素、3T n =的构造搜索树的例子。

图2 构造搜索树的例子

SD算法就是预先设定一个数值D，一旦某个结点的值超过这个值后，该结点以下的所有子结点不再搜索，从而减少了搜索时间。然而D的选择有一定影响，一旦选的过小将导致第一层结点的值就超过D或者搜到中间某一层时所有结点的值都超过了D，从而得不到最优解。SD-pruning算法有效解决了这个问题，它将预设值D先定为无穷大，然后搜到最后一层时更新这个预设值，后面搜到更小的值时继续更新。这样SD-pruning算法的性能达到了ML

的性能。