相互独立的随机变量

12.相互独立的随机变量

【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第三章第§4相互独立的随机变量

【教材分析】：在多维随机变量中，各分量的取值有时会相互影响，但有时会毫无影响，譬如一个人的身高X和体重Y救护相互影响，但与收入Z一般无影响，当两个随机变量的取值互不影响时，就称它们是相互独立的。本节将利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念，这是一个十分重要的概念。

【学情分析】：

1、知识经验分析

学生已经学习了两个事件相互独立的概念，对独立性有了一定的认识。

2、学习能力分析

学生虽然具备一定的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高。

【教学目标】：

1、知识与技能

理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法。

2、过程与方法

在知识的教学过程中，用类比的方法培养学生的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法．

3、情感态度与价值观

创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质．

【教学重点、难点】：

重点：二维随机变量独立性的判定方法。

难点：二维随机变量独立性的判定方法。

【教学方法】：讲授法启发式教学法

【教学课时】：1个课时

【教学过程】：

一、问题引入

若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A ，B相互独立。

【设计意图】：两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。

二、随机变量的独立性

(,)(),() (,). ,{,}{}{},(,)()(),.

X Y X Y F x y F x F y X Y x y P X x Y y P X x P Y y F x y F x F y X Y ≤≤=≤≤=　定义 设及分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数若对于所有有即则称随机变量和是的相互独立 1、若(,)X Y 为离散型随机变量

X Y 和相互独立充分必要条件：

()()()(),,i j i j P X x Y y P X x y i j N Y P =====∈

ij i j p p p ??=? (|)(|),j i i j j i p p P X x Y y P Y y X x ????======

2、若(,)X Y 为连续随机变量

X Y 和 相互独立充分必要条件：(,)()()(,)X Y f x y f x f y x y =?对任意实数

已知随机变量

例1已知(,)X Y 的联合分布律为

1

2 3

1

1/3 a

b 2

1/6

1/9

1/18

试确定常数 a 与 b ，使X Y 与相互独立。 解：先求(,)X Y 关于X Y ， 的边缘分布律：

1 2 3

{}Y j P Y y =

1

1/3 a

b 1

+3a b + 2

1/6

1/9

1/18

13

{}X i P X x =

12 19a + 1+18

b 1

要使X Y 与 相互独立， ij i j p p p ??=?

()()(),2222P X Y P X Y P =====，(,)()()3232P X Y P X P Y =====

X

Y

X

Y

111(),18183b =+?111()993a =+?，所以21,.99

a b ==

【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握离散型随机变量的独立性的应用。 例2 设随机变量(,)X Y 在区域 G 上服从均匀分布，

,,,001y x y x G =+==是由所围区域判定 X 与 Y 是否独立。

解：由条件知(,)X Y 的联合密度为,(,),

2(,),.0x y G f x y ∈?=??其他

,()1;021(),.0X x x f x -≤≤?=??其他，,()1;

021(),.

0Y y y f y -≤≤?=??其他

显然(,)()(),Y X f x y f x f y ≠?所以X Y 与不独立 。 例3设二维随机变量X Y 与～(

)221212,,,,N μσμσρ

试证： X Y 与相互独立的

充要条件是 ρ =0 。

证：(X ，Y )的联合概率密度为

12122212122112()()()][()2(1)2

21(,)21x y y x f x y μμμμρσσσσρπσσρ

-----??+-

-=

-e

其边缘概率密度分别为

2

121

()21

1(),

2x X x f x μσσπ--

-∞<<+∞=

e

2

222

()22

1(),

2y Y y f y μσσπ--

-∞<<+∞=

e

“?”：若 ρ = 0， (,)()(),X Y f x y f x f y =∴ 故 X Y 与 相互独立 。 “?”：

若X

Y 与相互独立 ， (,)()()X Y f x y f x f y =，令 12,x y μμ==

2

1

2

121

112221πσπσπσσρ

=

?

-，ρ = 0，

【设计意图】：通过这两个例子，让学生连续型随机变量的独立性的概念，二维正态随

0 1 x

y

机变量独立的充分必要条件是ρ = 0。

例4某经理到达办公室的时间均匀分布在8~12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时，设他们两人到达的时间相互独立， 求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率。

解：设X Y ， 分别为经理和秘书到达办公室的时刻，

则X Y

， 的密度函数分别为：

1,

,8124

(),0.

X x f x ?<

??其它1,,792(),0.Y y f y ?<

,8

(,)0x y f x y ?<<<

=???

，其它依题意所求概率为 1,}={81279,12

G x y x y <<<<-<

1

{112}(,)d d ().

8G

P X Y f x y x y G -≤==???的面积

G ABC AB C ''=?-?而的面积的面积的面积2

2

113111212212????=- ? ?????1

.6

=

{112}P X Y -≤1()8G =?的面积1

.48

=

1

5.48

因此负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过分钟的概率为

【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握由X Y 与独立可以得到联合概率密度函数，进一步解决实际问题。

.三、思考与提问：

独立性是否可以推广到多维随机变量的情形？ 四、内容小结

1、若离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为{,},,1,2,.ij P X i Y j p i j ====

X Y 和相互独立?{,}{}{}i j i j P X x Y y P X x P Y y =====

O x

y 8

?

12

?

7

9

A

B

B '

C

C '

G

2.(,)(,),(),(),X Y X Y f x y f x f y 设连续型随机变量的联合概率密度为边缘概率密度分别为则有

X Y 和相互独立?(,)()().X Y f x y f x f y =

五、课外作业：

P86： 14 ， 15 ， 16， 17

六、板书设计

相互独立的随机变量

一、问题引入

若P (AB )=P (A )P (B )，则称事件A ，B 相互独立 。

二、随机变量的独立性

定义 设),(y x F 及)(),(y F x F Y X 分别是二维随机变量),(Y X 的分布函数及边缘分布函数，若对于所有

y x ,有

}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤，即

)()(),(y F x F y x F Y X =，则称随机变量X

和Y 是相互独立的。

1. 若(,)X Y 为离散型随机变量

X Y 和相互独立充分必要条件：

()()()()

,,i j i j P X x Y y P X x y i j N Y P =====∈

ij i j

p p p ??=?

(|)(|),j

i i j j i p p P X x Y y P Y y X x ????======2. 若(,)X Y 为连续随机变量

X Y 和 相互独立充分必要条件：

(,)()()(,)

X Y f x y f x f y x y =?对任意实数例1 已知随机变量(,)X Y 的联合分布律为

1

2 3

1

1/3 a

b 2

1/6

1/9

1/18

试确定常数 a 与 b ，使X Y 与相互独立。

例2 设随机变量(,)X Y 在区域 G 上服从均匀分布，

,,,

001y x y x G =+==是由所围区域判定 X 与 Y 是否独立。

例3设二维随机变量X Y

与～

()

221212,,,,N μσμσρ 试证： X

Y

与相互独立的充要条件是 ρ =0 。

例 某经理到达办公室的时间均匀分布在8~12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时，设他们两人到达的时间相互独立， 求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率。

X

Y