小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）
任意四边形中的比例尖系（“蝴蝶定理”）：
① Si: S2 S4： S3 或者3 S3 S2 S4
② AO:OCSS2： S4 S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积矢系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例矢系。
【例1】（小数报竞赛活动试题）如图'某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，4 BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是
6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
【分析】根据蝴蝶定理求得AOD31 2 1.5平方千米，公园四边形
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成求：（1）三角形BGC的面积；⑵
D
4个三角形，其中三个三角形的面积已知,
AG:GC ?
【解析】⑴根据蝴蝶定理，S VBGC ,23 ,那么SVBGC 6 ；
⑵根据蝴蝶定理，AG: GC 12:36
任意四边形、梯形与相似模型
方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.92 0.58平方千
米
ABCD的面积是1 2 3 1.5 7.5平
【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图所示）。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的I ,且AO 2，DO 3，那么Co 的长度是DO 的长度的 _____________________ 倍。
3
【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”
，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件SVABD :
S/BCD 1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的矢系， 转
化为边的矢系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以 作AH 垂直BD 于H , CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等 于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使 用蝴蝶定理解决问题。
解法一 ：??? AO:OC S ABD ： S BDC 1 ：3 ,
???OC 236 , ???OC:OD 6:3 2:1 ?
解法二：作AH BD 于H , CG BD 于G ?
I
S
■ S
ABD
S
BCD ,
3 】CG ,
3
? OC ? 0C:OD 6:3
2:1 ?
【例3］如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，ACEF 、?OEF 、?ODF 、?BOE 的面积依次是2、
4、4和6。求：⑴求AOCF 的面积；（2）求AGCE 的面积。
【解析】⑴根据题意可知，△ BCD 的面积为2446 16，那么△ BCO 和CDo 的面积都是1628 , 所以△ OCF 的面积为
844；
-S AOD
-S
DOC ,
3 AO
QO
3
⑵由于4 BCO的面积为8, △ BOE的面积为6,所以AOCE的面积为86 2 ,
根据蝴蝶定理'EG:FG S C OE : S CoF2:4 1:2，所以S GCE :S GCF EG: FGI :2 ,
1 1 2
那E 么S GCE S CEF—2 -?
1 2 3 3
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
【解析】连接AD 、CD 、BC 。
21 公顷 SVADE =
-
39 18 公顷。
【解
：（CE DE ） o 同理有
VADE , VBCE 的面积比为(AE DE):(BE EC)。所以有 SVABEXSVCDE =
SVADE XSVBCE ，也就是说在所有凸四边形中'连接顶点得到
2条对角线，有图形分成上、
下、左、右
4个部分，有：上、
比为7E, 5沧二二派 下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即SVABE 6= SVADE 7 ,所以有
显然，最大的三角形的面积为
VABE 与VADE 的面积 21公顷。
【例5】（2008年清华附中入学测试题
为
。
）如图相邻两个格点间的距离是
1，则图中阴影三角形的面积
则可根据格点面积公式'可以得到
ABC 的面积为: ACD 的面积为:
31
3.5
67
4
ABD 的面积为：2 — 1
2
【例6] （2007年人大附中考题）如图‘边长为1的正方形ABCD 中，BE 2EC , CF FD ，求三角形AEG 的面积.
所以 BO : OD S ABc: S ACD 2:3.5
4:7、所以 SABO
S ABD
4
1
12 11
1 ‘求三角形ABC 的面积。
【解析】因为BD:CE 2:5，且BD //CE ，所以DA: AC 2:5 ,
S
ABC
S
DBC
【
【例如图，长方形ABCD中，BE:EC 2:3 DF: FCl :2 7】方形
ABCD的面积.
【例8】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，形
BDG的面积.
ABCD的面积是72平方厘米.
E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角
【解析】连
接
EF?
因为B E2EC , CFFD 所以S DEF(2 3 1 1
)S WABCD
1 2 12
因为S AED
,SWABCD，根据蝴蝶定理，O
AG : GF _丄6:1,
所以S AGD 6S G D F ^ADF SWABCD SAAl BCD ?
7 4 14
所以S AGE S AED S AGD SWABCD SWABCD SWABCD
2 14 7
即三角形AEG的面积是⑷
SWABCD
7
【
解
析】
连接AE，FE?
因为BE: EC 2:3 , DF: FC 1:2 ,所以SVDEF(5
、1 1 1
因为S/AED S 长方形A BCD , AG : GF 2 Ib 5U ,所以
2
1 1
)S氏方形ABCD S长方形ABCD
2 10
S/AGD 5 SVGDF 1 0平方厘米'所以SAFD 1 2平
三角形DFG的面积为2平方厘米，求长
【解析】设BD与CE的交点为0琏接BE DF ?
由蝴蝶定理可知EO : OC s∕BED : s∕BCD，而S/BED—SWXBCD , S∕βCD
4
1
所以EO :0C S/BED : SVBCD 1:2 故EO EC ?
1
方厘米?因为S/AFD — S长方形ABCD，所以长方形
6-SWABCD , 2
1
由于F 为CE 中点，所以EF -EC，故EO:EF 2:3 , FO :EO 1:2 .
2 1
由蝴蝶定理可知S/BFD :S/BED FO : EO 1: 2 ? 所以SVBFD S/BED
2
11 1、
那么S/BGD S/BFD SWABCD 10 10 6.25 （平方厘米）?
2 16 16
【例9］如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若
AOM、ABO和
BON的面积分别是3、2、1 ,贝U MNC的面积是___________ .
【解析】这道题给岀的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得SMON g沖S AOB
设SMON X，根据共边定理我们可以得
【例10】（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形AiA2AaA4AsAe的面积是2009平方厘米，BiB2B3B4BsB6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是______________ 平方厘米.
【解析】如图，设Be"与Bl A3的交点为O,则图中空白部分由6个与A2OA3-样大小的三角形组成，只要求出了A2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.
1
SAABCD
,
S
ANM
S MNC
S ABM
S MBC
?，解得X 22.5.
X
连接氏A、BeBi、BβA3.
设AlBlB6的面积为” 1 “，则BiA2B6面积为” V，AAzBe面积为” 2 “，那么AeAsBe面积为AAaBe 的2倍，为” 4 “，梯形AiA2A3Ae的面积为2242 12, A2BeAa的面积为” 6 “，B&2A的
面积为2 .
根据蝴蝶定理， 6 12
BO A30S B1A2B6 : S A3A2B6 ι: 6，故S A0A3 , S B A, A
12 1
所以SgjS弟形AA2AA号：12： 1： 7，即＞40/43的面积为梯形AAAA面积的寸,故为六边形
1 1 3
AA丛必丛5人6面积的丄，那么空白部分的面积为正六边形面积的丄6?，所以阴影部分面积为
14 14 7
3
2009 1 1148 （平方厘米）?
7
板块二梯形模型的应用
梯形中比例矢系（“梯形蝴蝶定理”）
①S√S3 a2: b2
2 2
②Si： S3： S?: S4 a : b : ab: ab ；
③S的对应份数为ab.
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间矢系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在
题目中有事半功倍的效果. （具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）【例11】如图'S22 , Ss4，求梯形的面积.
【解析】设O为昭份，S3为呼份，根据梯形蝴蝶定理，S34浒，所以b 2 ;又因为S22ab＞所以
a 1 ;那么S a21, S4 a
b 2，所以梯形面积S Si S2SaS412429，或者根
22
据梯形蝴蝶定理，Sab 1 2 9 .
【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC , BD交于O,已
知厶AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是_____________________ 平方厘米.
【解析】根据梯形蝴蝶定理，SVAOB : SVBOC a2： ab 25:35 ,可得a：b 5:7 ,再根据梯形蝴蝶定理，
SV A O B: SV D oC a2:b2 52 :72 25: 49 ,所以S/DOC 49 （平方厘米）.那么梯形ABCD的面积为
25 35 35 49 144 （平方厘米）.
【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O ,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角2
形BOC面积的?，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
【解析】根据梯形蝴蝶定理，S V AoB :SVBoC ab:b2 2:3，可以求出a： b 2:3 ,
2222
再根据梯形蝴蝶定理，SVAoD : SVBOC a:b2:3 4:9 .
通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【例13】（第十届华杯赛）如下图，四边形ABCD中，对角线三角形
ABD的面积3 ,那么OC的长是多少？三角形CBD的面积5
AC和BD交于0点，已知Aol ,并且
QRΓ>私所以力【解析］根据蝴蝶定理‘?>k√LJL√ 跚枳CO
3 5
,又AO 1 ,所以CO-.
C
三角形OBC 的面积是 9cm 2
，问三角形AOD 的面积是多少?
a 2 :
b 2 22 :32
4:9 ,
【巩固加图，梯形ABCD 中, AOB S COD 的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积
.
a :
b 4:9，所以 a:b 2:3，
2
SVAOD : SVAOB ab : a b : a 3: SVAOD SVCOB
3
■ 1
S 梯形 ABCD 1-2 1.8 1.8 2.7
【例15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，
已知三角形ADG 的面积是11 ，三角形BCH
【例⑷
梯形的下底是上底的1?5S AOD 4 Cm 2
2.3 , S AOD : S
【解析】根据梯形蝴蝶定理'SVAOB : SVACOD
的面积是23 ‘求四边形EGFH 的面积.
【解析】如图，连结EF ，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形
EFG 的面
积等于三角形ADG 的面积；三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积 是 11 23 34.
【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2
【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形
2分成左右两边，其面积正好等于三角形
1和三角
形3,所以1的面积就是36
16, 3的面积就是36
20.
【例16】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点?求图中阴影部分的面积.
【解析】因为M 是AD 边上的中点，所以AM :BC 1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道
AMG : ABG :
MCG : S
Λ
BCG
1 i
C' 2) ： C 1
2)
:
2 I
=
2:2:4
'设 AGM
所以正方形的面积为1 2 243 12份，S 阴影2 2 4份‘所以S 阴影：S 正方形r 所以S 阴妳 平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米， 那么
正方形ABCD 面积是 _________________________ 平方厘米.
【解析】连接DE ,根据题意可知BE: ADl ：2 ,根据蝴蝶定理得S w （1 2） 2
9 （平方厘米），,ECD 3 （平方厘
2 3份
,
t
米）'那么SWABCD 12 （平方厘米）.
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，E,F 是De 边上的三等分点，求阴影部分的面积.
【例19】 （2008年”奥数网杯”六年级试题）已知
ABCD 是平行四边形，
BC:CE 3： 2 ,三角形ODE 的
面积为6平方厘米?则阴影部分的面积是 ____________ 平方厘米.
A
D A D
【解析】连接AC .
由于ABCD 是平行四边形，BC:CE 3:2，所以CE : AD 2:3 ,
根据梯形蝴蝶定理'SVCOE : SVAOC : SVDOE : SVAOD 2 ：2 3： 2 3： 3 4:6:6:9，所以 SVAOC 6 （平方厘 米）,
SVAOD 9
【解析】因为E,F 是DC 边上的三等分点，所以EF: AB
s
^ AOE
OFB 3 份 ‘ AOB 9 份'S A ADE
BCF
1： 3,设S^0EF 1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道 2
（1 3）份，因此正方形的面积为4 4（1
3） 24
份‘ S 阴影 6，所以S 阴影：S 正方形6:24 1:4，所以S 阴影3平方厘米.
【例18】 如图‘在长方形 ABCD 中AB 6厘米AD 2厘米，AE
EFFB ，求阴影部分的面积.
【解析】方法一：如图，连接 DE , DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形
AED 的面积为
2632
2平方厘米.
由于EF ： DCl ：3 ,根据梯形蝴蝶定理'SVDEO : SVEFO 3:1，所以SVDEO
3
平方厘米’所以SVDE0> -2 1.5平方厘米，阴影部分的面积为
4
方法二：如图，连接DE
Fc
,由于
2
份，S 梯形EFCD
,zj
16 俗，S Λ Aa 匚
EF : DCl :3 ,设 SAOEF
s
^ BCF 1
3 4份，因此
12平方厘米，所以S 阴影
SVDEF ,而 S
DEF
4
2 1.5 3.5平方厘米. 1份，根据梯形蝴蝶定理，
S
长方形ABCD 4 164 24
3.5平方厘米
S
VADE 2
S^ OED 3
【例17】
b C
（平方厘米），又SV ABC SV A C D 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积为6 1521 （平
方厘米）.
（单位：平方厘米），阴影部【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示分的面积
是_________________ 平方厘米.
【分析】连接AE .
由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCD S OAE .根据蝴蝶定理，S
OCD S
OAE S
OCE S
OAD 4 9 36
,
故 S OCD 36,
所以S OCD 6 （平方厘米）?
【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示 位：平方厘米），阴影部分的面积是 _____________________ 平方厘米.
【解析】连接AE ?
由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCD S OAE ? 根据蝴蝶定理'SOCDSOAESOCESOAD2816 ,故SOCDN >所以SOCD 4 （平方厘米）?
1 1
另解：在平行四边形ABED 中^ADE-SYABED-I 6 8 12 （平方厘米）'
2 2
所以 S AOE S ADE S AOD 12
8
4 （平方厘米）
,
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为
8244 （平方厘米）?
【例20] 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF 的面积是5平方厘米，
10平方厘米?问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
BEF 的面积和三角形DEe 的面积相等，即其面积也是10平
方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形
BCE 的面积为10 10 5
20 （平方厘米），所以长方形的面积为
（单
CED 的面积是
【分析】连接BF ,根据梯形模型，可知三角形
20 10 60 （平方厘米）?四边形ABEF的面积为60 5 10 20 25 （平方厘米）.
CED的面积是6平【巩固】如图所示，BD > CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4平方厘米，方厘米?
问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
2
6-9 （平方厘米）?则三角形CBD 面积为15平方厘米，长方形面积为15 2 30 （平方厘米）?四 3
边形ABEF 的面积为30 4 6 9 11 （平方厘米）?
【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为
54 , OD 的长是16 , OB
的长是9.那么四边形OECD 的面积是多少？
【解析】因为连接ED 知道△ ABo 和厶EDO 的面积相等即为54，又因为OD ： OB=16: 9,所以△ AOD 的面积 为54 9
16 96，根据四边形的对角线性质知道： ZA BEO 的面积为：54 54 96 30.375,所以四
边形OECD 的面积为：54 96 30.375 119.625 （平方厘米）.
【例21】 （2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的
面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为 ___________________ 平方厘米.
【解析】连接DE 、CF ?四边形EDCF 为梯形，所以S EOD Sv-又根据蝴蝶定理，
【解析】（法1）连接BF ,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理
，可知三角形
BEF 的面积和三角形DEC 的面积 6平方厘米，再根据蝴蝶定 三角形 BCE 的面积为664 2 30 （平方厘米） 四边形ABEF 的面积为30 4 6
相等,即其面积也是 9 （平方厘 所以长方形的面积为 911 （平方厘
米）?
（法2）由题意
EF EC BCE 的面积为:
F
4 6 2
3
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任意四边形、梯形与相似模型 卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??） 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。 【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3
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一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型 1S 2 S
二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。
小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).
模型二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 △ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE) 厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4), S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份， 则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 三角形等高模型与鸟头模型 【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方 图⑵
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形么三 角形ABC的面积是多少？ ?/ EC =3AE --S A BC = 3S ABE 又??? AB =5AD --S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,??? S ABC 如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ ?/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE 又T BD =DC =4 , --S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE , 【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S A ABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】, 所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘 米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ ADE的面积等于1，那 = 15S ADE =15 . 【巩固】 【解析】连接AD . 【解 析】
几何五大模型 蝴蝶模型教学内容
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对角线的比例关系。 板块一 任意四边形模型 【例题精讲】 例1 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【举一反三】 1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知。 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC=？ A B C D G 32 1 例2 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O(如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的，且AO=2，DO=3，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O
② 221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 例3 如图，22S =，34S =，求梯形的面积。 S 4 S 3S 2 S 1 【举一反三】 1、如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米． 3525 O A B C D 例4 如图，梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．
六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型
六年级奥数专题几何五大 模型鸟头模型 The latest revision on November 22, 2020
几何五大模型——鸟头模型 本讲要点 一两点都在边上：鸟头定理： （现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。） 二一点在边上，一点在边的延长线上：
例1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米． 例2 例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。 （2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。 例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。 例4 三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少 例5 长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大
如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求 CDE △的面积。 2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等 于 ． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、 ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使 2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少 家庭作业 例6 A C E
小学奥数 几何五大模型(等高模型)
模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这 就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 三角形等高模型与鸟头模型
反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形； ⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点， 答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43 倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。 【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米， 那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。 C D B A
(word完整版)四年级奥数详解蝴蝶模型
详解蝴蝶模型 同学们大家好，今天我们来讲一下十分重要的蝴蝶模型的知识总结，推导过程就不写啦，上课老师都讲过的哟。 首先，蝴蝶模型是四边形中的模型哦！同学们可不要在三角形或者其他边形中去考虑使用蝴蝶模型呀。 一、任意四边形蝴蝶模型 如图，在任意四边形ABCD中连接四边形的两条对角线，会出现S1S3和S2S4两只蝴蝶。 我们有两个结论： （1）S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等，不是相加！)。想想特殊的四边形有哪些，这个结论在它们身上同样成立吗？ （2）S△ABD:S△BDC=AO：OC，和S△ADC:S△ABC=DO:OB(大三角形的面积比等于它们内部线段之比，或者叫它们的伤口之比：△ABD的伤口是AO，△BCD的伤口是OC，所以它们俩的面积之比就是AO:OC啦！)
二、梯形蝴蝶模型 如图，仍然是把梯形的对角线相连，仍然有两只蝴蝶，我们的结论是（1）因为梯形也是四边形，所以任意四边形蝴蝶模型的结论当然还成立啦：S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等）； （2）S2=S4（不平行的蝴蝶翅膀一样大）； （3）若梯形上底与下底之比为a:b，则图中四块小三角形的面积之比为 (注意：平行的蝴蝶的两个翅膀的面积份数是a的平方份和b的平方份！而且切记切记：该结论只能通过上下底的比求出四个小三角形的面积份数，而不能直接求面积)； 其实知识点就这么多，关键是怎么运用。 蝴蝶模型到底应该在什么时候用，又该怎么用呢？
首先，交叉！蝴蝶模型一定是在有两条线段交叉的时候使用，所以我们看到交叉一定要连接这两条交叉的线段的四个顶点去构造四边形呀！ 其次，蝴蝶找到了，就看该蝴蝶是任意四边形还是梯形。有平行那肯定是梯形啦！ 再次，如果是梯形蝴蝶，那我们还要考虑到底是使用不平行蝴蝶翅膀一样大的结论，还是使用已知上下底之比标份数的结论。若图中有边长之比，那往往应该找出梯形上下底之比去求每一块儿的份数来求解了。 举个例子： ABCD是平行四边形，ABED是梯形，三角形ODE的面积是6平方厘米，BC:CE=3:2,求阴影面积 首先我们看到AE和DC是交叉的，所以我们应该连接AC构造蝴蝶。如下图：
小学奥数几何五大模型
几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示， S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示， S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]， 则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！
如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]： S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]： （S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/su b]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
几何图形 五大模型
直线形面积计算的五大模型 一、等积变换模型 （1） 等底等高的两个三角形面积相等； （2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比 等于他们底的比） AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ??= 1h 为公共的高，所以 1 2 ::BD DC s s = （3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。 底和高均不同，所以 ()21 ::)(ABD CDE BD DC h s s h ??=?? 比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6， 那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6） 二、鸟头定理（共角定理） 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。 BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ??=??所以 E :E :D A B A C D A A B A A C s s ?? ∠=??A 为公共角，所以 推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。
三、蝴蝶定理模型 1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理） 1 2 4 3 ::s s s s =或者1 3 4 2 s s s s ?=? 1 4 2 3 1 2 4 3 +AO:OC s s s s s s s s == =：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。 2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理） 22 13 :a b s s =： 22 1324 ::a b s s s s =：：：ab ：ab 整个梯形对应的面积份数为： 2 (a+b) 四、相似模型 相似三角形性质： （金字塔模型） （沙漏模型） 下面的比例关系适用如上两种模型： 1、 AD AE DE AF AB AC BC AG === 2、 22 ::ADE ABC s s AF AG ??= 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下： （1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四 个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【例 2】 O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 任意四边形、梯形与相似模 型
B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?，那么6BGC S =； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 3】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角 形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方 法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得 出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， ∴13 AH CG =， ∴13 AOD DOC S S ??=， ∴13 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积 依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。
小学奥数平面几何五大模型
小学奥数平面几何五大定律 一、等积模型 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) ① 等底等高的两个三角形面积相等 如图(1)：D 为BC 中点，则S△ABD=S△ACD 如图(4)：l1平行于l2，则S△ACD=S△BCD ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比 如图(2)： S △ABDS △ACD=BDCD ③ 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比 如图(3)：BC=EF ，则 S △ABCS △DEF=h1h2 ④ 夹在一组平行线之间的等积变形 如图(4)：l1平行于l2 ，则 S△ABD=S△ACD 反之如果S△ABD=S△ACD，则可知直线l1平行于l2 ⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形) ⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ⑦ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底 相等，面积比等于它们的高之比 二、共角定理(鸟头定理) 两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O ），这两个三角形叫做共角三角形． D B h A B D C h1 h2 l2 l2 B C h1 F E D h2 B C D h
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 共角 互补角 图(1) 图(2) 如图(1)：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2)：D 在BA 的延长线上，E 在AC 上；∠BAC+∠BAC ＝180O (互补)， 则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE)；或 S △ABCS △ADE=AB × ACAD × AE 三、相似模型 数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。 相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。 相似符号：“∽” 相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形传递性：如果图A 相似于图B ，图B 相似于C ，则 A 相似C 即：图A ∽图B ，图B ∽图C ；则，图A ∽图B ∽图C a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) c a d b A B C D E A D E F C B D E O B A
小学奥数_几何五大模型(鸟头模型)讲解学习
模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方 厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份， 则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的 面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那 三角形等高模型与鸟头模型
么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ． 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲． 【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△， 所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积 为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍， 所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四 个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？ 任意四边形、梯形与相似模 型
B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？) 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角 形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方 法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， ∴13 AH CG =， ∴13 AOD DOC S S ??=， ∴13 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积 依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。
小升初几何重点考查内容————(五大模型——蝴蝶模型与燕尾模型)
(★★★) 如图，长方形ABCD 中，BE ∶EC ＝2∶3，DF ∶FC ＝1∶2，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积。
(★★★) 在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是多少平方厘米。 (★★★) 如图，在梯形ABCD中，AD∶BE＝4∶3，BE∶EC＝2∶3，且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ (★★★) 在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？ (★★★★) 如图，E在AC上，D在BC上，且AE∶EC＝2∶3，BD∶DC＝1∶2，AD与BE交于点F。四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积是______。
(★★★★★) 如图在△ABC 中， 2 3 DC EA FB DB EC FA ===，求 GHI ABC ??的面积的面积的值。 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那 么三角形ABC 的面积是___________。 A ．2.5 B ．4.5 C ．6.5 D ．8.5 E F D C B A
2．如图，正方形ABCD 面积为1，M 是AD 边上的中点，求图中阴影部分的面积。 A ． 13 B ． 34 C ． 49 D ． 14 3．如图：在边长为1的正方形ABCD 中，BE ＝2EC ，DF ＝2FC ；求四边形ABGD 的面积。 A ．13 B ．34 C ．12 D ．14 4．如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的 面积为6，则ABX △的面积等于 。 A ．2 B ．2.4 C ．3 D ．3.6 X Q P A B C 5．如图所示，三角形BDF 、三角形CEF 、三角形BCF 的面积分别是2、3、4，问四边形 ADFE 的面积是多少？ A ．185 B ．215 C ．395 D ．135 6．如图，三角形ABC 中，AF ∶FB ＝BD ∶DC ＝CE ∶AE ＝3∶2，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积。 A ．18 B ．17 C ．20 D ． 19
小学奥数-几何五大模型
模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长 度是多少？ 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ， 所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4 10814 FC =?=+． 【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？ 【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。 【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=， 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△， 任意四边形、梯形与相似模型
小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ :AG GC ？A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC ．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型
【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知 条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造 这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵1 3 ABD BCD S S ，∴1 3AH CG ，∴13AOD DOC S S ，∴13AO CO ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162 8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862， 根据蝴蝶定理， ::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1 1 2 21233 GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的