三角函数专题(解析版)

专题04 三角函数

易考点1 不能正确理解三角函数的定义

角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为

A ．－5

5 B ．55 C ．255

D ．±255

【错解】选C.

在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25

＝25

5，故选C ．

【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误．

【参考答案】D 1．定义

设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是

sin ,cos ,tan y x y

r r x

ααα=

==． 注意：正切函数tan y x α=

的定义域是ππ,2k k αα??

≠+∈????

Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .

2．三角函数值在各象限内的符号

三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

1．在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点，则等于

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】点是角终边上的一点，

，

从而，故选A.

【名师点睛】本题考查主要考查三角函数的定义以及二倍角的正切公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

易考点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值

已知cosθ＝t，求sinθ、tanθ的值．

【错解】①当0

θ为第一象限角时，sinθ＝1－cos2θ＝1－t2，tanθ＝sinθ

cosθ＝1－t2 t；

θ为第四象限角时，sinθ＝－1－cos2θ＝－1－t2，tanθ＝sinθ

cosθ＝－1－t2 t.

②当－1

θ为第二象限角时，sinθ＝1－cos2θ＝1－t2，tanθ＝sinθ

cosθ＝1－t2 t；

θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2

θ＝－1－t 2

，tan θ＝sin θ

cos θ＝－1－t 2

t

.

综上，sin θθθ=??

为第一、二象限角为第三、四象限角

，tan t

t θθθ??=??-??

为第一、二象限角为第三、四象限角.

【错因分析】上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1. 【试题解析】①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0； ②当－1

若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2

，tan θ＝1－t 2

t

；

若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2

，tan θ＝－1－t 2

t

.

③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在． ④当0

若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2

，tan θ＝1－t 2

t

；

若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2

，tan θ＝－1－t 2

t

.

⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0.

综上得：

【参考答案】见试题解析.

1．①利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化；

②利用

sin cos tan α

α

α=可以实现角α的弦切互化． 2．同角三角函数基本关系式的变形

（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； （2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan α

ααααα

=?=

； （3）

2

222

111tan 1,1cos sin tan αααα

-=-=． 3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．

2．已知，则

的值为 A ． B ． C ．

D ．

【答案】C

【解析】由已知，两边平方得

可得 即

即

故选C.

本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用. k 值的符号容易出错，tan100

表达式符号易错.

易考点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值

若sin θ＝3

3，求

cos(π)cos(2π)

3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()

222

θθθθθθθ--+

--++-+的值．

A ．0

B ．1

C ．6

D ．6-

【错解】选A. 原式＝

cos cos (sin 1)

θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θ

cos θsin θ＋cos θ＝0. 【错因分析】错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π

2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋

θ)＝－cos θ. 【试题解析】原式＝

cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ

，因为sin θ＝33，所

6=. 【参考答案】C

1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．

2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式．

利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形；

（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有

π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π

4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4

θ-等. 3．若

，则

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】由

两边同时平方，可得

，

，解得.

.故选D.

【名师点睛】在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．

要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．

对于n π＋α，若n 是偶数，则角n π＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角n π＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．

易考点4 不能正确理解三角函数图象变换规律

为得到函数y ＝cos(2x ＋π

3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象

A ．向左平移5π

12个长度单位 B ．向右平移5π

12个长度单位 C ．向左平移5π

6个长度单位

D ．向右平移5π

6个长度单位

【错解】选B.

y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π

12个长度单位，故选B ．

【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π

3

)的图象．

函数图象的平移变换解题策略

（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，

只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

4．已知函数

的部分图象如图所示，且

，

，则

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】由图象可得，，解得

， 故

，代入点可得

，

，即有， ，

又

，

，

故.

又

，

.

，

.

故选D.

【名师点睛】根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即； ②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即；

③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由

(ω>0)来确定ω；

④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为 (即令ωx ＋φ＝

易考点5 注意符号对三角函数性质的影响

已知函数f (x )＝2cos ????

π3－x 2.

（1）求f (x )的单调递增区间；

（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值． 【错解】（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π

3，

∴f (x )的单调递增区间为????

2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ????π3－x 2≤1， ∴[f (x )]max ＝2，[f (x )]min ＝－2.

【错因分析】（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响．

【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )；（2）f (x )max ＝2，f (x )min ＝－ 3.

1．三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解. 2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法

（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)； （2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．

3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 （1）已知三角函数解析式求单调区间：

①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）已知三角函数的单调区间求参数：先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． （3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）：形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. 4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法

（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式T =

2||ωπ，T =2||ωπ，T =||

ωπ求解． （2）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f （x 0）的值进行判断．

（3）若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋

2

π

（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0.

5．已知函数．将

的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，

则关于函数，下列命题正确的是 A ．函数在区间

上有最小值

B ．函数在区间

上单调递增

C ．函数的一条对称轴为

D ．函数的一个对称点为

【答案】B

【解析】由题意知平移后的解析式为：，因为此函数为偶函数，

所以y 轴为其对称轴之一，所以将代入可得

，

解得：，由的取值范围可得

，

所以原解析式为

，

A 选项，将区间代入函数，可得，根据图象可知无最值，

B 选项，将区间代入函数，可得，根据图象知函数单调递增，

C 选项，将代入函数，可得，所以

应为对称中心的横坐标，

D 选项，将代入函数，可得

，所以应为对称轴与x 轴交点.

故选B.

【名师点睛】本题综合考查函数图象的变换以及对称轴、对称中心、单调区间、最值等知识点，需要明

确解题思路，注意结合图象解题，会更容易理解.

易考点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误

已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝

17，sin （α＋β）＝14，则β＝ A ．

3π

B ．

2

3

π C ．2

33

ππ或

D ．34

ππ或

【错解】选C.

∵0<α<π，cos α＝

17，∴sin α=

又∵sin （α＋β）＝

14，∴cos （α＋β11.14

-

∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α. 又∵0<β<π，∴β＝

233

ππ或. 【错因分析】（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋ β）时不能正确判断符号，产生两角．

（2）结论处应由cosβ的值确定β的取值，由sinβ确定结论时易出现两解而造成失误．

【参考答案】A

利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．

1．给角求值

给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.

2．给值求值

已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：

（1）先化简所求式子．

（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．

（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．

3．给值求角

通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：

（1）已知正切函数值，则选正切函数．

（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是

π

(0,)

2

，则选正、余弦皆可；若角的范

围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为

ππ

(,)

22

，则选正弦较好.

4．常见的角的变换

（1）已知角表示未知角

例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，

(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，2

2

αβ

αβ

α+-=

+

，2

2

αβ

αβ

β+-=

-

.

（2）互余与互补关系 例如：π3π()(

)π44αα++-=，πππ()()362

αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角 例如：15°=45°?30°，75°=45°＋30°.

6．（1）在

中，

，则这个三角形的形状为 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形

D ．等腰三角形 （2）若，且，则

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】（1）B ；（2）C. （1）【解析】在

中，

，

，

三角形是钝角三角形，故选B.

【点睛】本题考查三角形的形状，两角和的余弦函数的应用，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.

（2）【解析】

两边平方得

可得

，

解得

，

.

则

则

故选C.

易考点7 求函数sin()y A x ω?=+的性质时出错

函数y ＝5sin(x ＋20°

)＋4cos(x ＋50°)的最大值为 . 【错解】41

函数的最大值为52＋42＝41.

【错因分析】形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．

【试题解析】y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°) ＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°]

＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30° ＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°) ＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，

∴max y ==【参考答案】21

1．三角恒等变换与三角函数的图象及性质相结合的综合问题

（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式．

（2）利用公式2π

(0)T ωω

=

>求周期．

（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．

（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．

2．研究y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的性质时，一定要先利用诱导公式把ω化为正数后求解.

7．已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）把

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个

单位，得到函数的图象，求函数

的图象的对称中心坐标.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）

由，得

，

所以

的单调递增区间是

.

（2）由（1）知，把

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不

变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，

所以函数

的图象的对称中心是

.

【名师点睛】本题主要考查的知识点是函数的图象变换，三角函数中的恒等变换应用，

以及正弦函数的图象，掌握在化简过程中各公式的运用是解此类问题的关键.

求三角函数的性质时，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再结合正弦函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的性质研究其相关性质．

易考点8 解三角形时忽略角的取值范围致误

在ABC △中，若3C B =，则

c

b

的取值范围为 A ．(0,3)

B ．(1,3)

C ．(0,3]

D ．(1,3]

【错解】选A. 由正弦定理，可得

2222sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,0 3.

c C B B B B B B B B b B B B

c

B B b c b

+===+=-≤<∴-≤-<>><

【错因分析】错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180??. 【试题解析】由正弦定理可得

222sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1,2

14cos 13,1 3.c C B B B B B B B B b B B B A B C C B B B c B b

+===+=-++=?=∴?<

<，即Q

【参考答案】B

1．利用正、余弦定理求边和角的方法：

（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．

（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 2．常见结论：

（1）三角形的内角和定理：

在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222

A B C

+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：

i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；

sin

cos 22A B C +=； cos sin 22

A B C

+=.