集合及集合的表示、运算

专题训练题组A ：集合及集合的表示【巩固提高】

1．下列四个集合中，是空集的是( )

A ．}33|{=+x x

B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=

C ．}0|{2≤x x

D ．},01|{2R x x x x ∈=+-

2．集合{}|(31)(4)0x Z x x ∈--=可化简为（ ）

A ．13??????

B ．{}4

C ．1,43??????

D ．1,43??--????

3．集合{}1,3,5,7,A =??? 用描述法可表示为（ ）

A ．{}|,x x n n N =∈

B ．{}|21,x x n n N =-∈

C ．{}|21,x x n n N =+∈

D ．{}|2,x x n n N =+∈

4．若以集合{},,S a b c =中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

5． 已知,,x y z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz

+++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ） A ．0M ? B ．2M ∈ C ． 4M -? D ．4M ∈

6．设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax ax bx =+++=+++．记集合{}|()0,S x f x x R ==∈．{},|()0,T x g x x R ==∈若|S |、||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）

A ．||1S =且||0T =

B ．||1S =且||1T =

C ．||2S =且||2T =

D ．||2S =且||3T =

7．用符号“∈”或“?”填空

(1)-3______N ，N ，N ； (2)1______,_______2

R R π-. 8. 方程组2,0

x y x y +=??-=?的解集用列举法表示为 .

9．设215|022x x ax ??∈--=????，则集合219|02x x x a ??--=????中所有元素之积为 . 10．由

||||(,)a b a b R a b +∈所确定的实数集合是 . 11．用描述法表示的集合{}

2|21,y y x x x R =-++∈可化简为 .

12．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈,如果1k A -?，且1k A +?，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.

13．已知集合?

?????

∈-∈=N x N x A 68|，试用列举法表示集合A .

14．分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）大于4-且小于6的整数所组成的集合；

（2）方程32560x x x --=的实数根所组成的集合.

15．已知集合A ={x R ∈|2210ax x ++=，a R ∈}.

（1）若A 中只有一个元素，实数a 的取值范围.

（2）若A 中至少有一个元素，实数a 的取值范围.

（3）若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围.

16．设集合{}

22|,,M a a x y x y z ==-∈. 求证：（1）一切奇数属于集合M ；

（2）偶数42()k k z -∈不属于M ；

（3）属于M 的两个整数，其乘积仍属于M .

【答案与解析】

1.【答案】D

【解析】选项A 所代表的集合是{}0并非空集，选项B 所代表的集合是{}(0,0)并非空集，选项C 所代表的集合是{}0并非空集，选项D 中的方程2

10x x -+=无实数根. 2.【答案】 B 【解析】解方程得121,43

x x ==，因为x Z ∈，故选B. 3.【答案】 C

【解析】集合A 表示所有的正奇数，故C 正确.

4.【答案】D

【解析】元素的互异性a b c ≠≠.

5.【答案】 D

【解析】{}4,0,4M =-，故选D.

6．【答案】D

【解析】当0a b c ===时，||1S =且||0T =；当20,40

a b a c ≠-<时，||1S =且||1T =；当20,40

a b a c ≠->时且b a c =+（比如1,3,4a c b ===）时，||2S =且||2T = ，故只有D 不可能. 7.【答案】 (1),,;(2),??∈∈∈.

8.【答案】(){}1，1

【解析】加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集.

9.【答案】92

【解析】

215|0

22x x ax ??∈--=????，∴21150222a ??-?-= ???，解得92a =-，代入21902x x a --=，得2199022x x -+=，由韦达定理，得所有元素之积为1292

x x =. 10.【答案】{}202-，，

【解析】对,a b 分类讨论可得.

11.【答案】 {}|2y y ≤

【解析】 2(1)2y x =--+，

2(1)0x --≤，2y ∴≤.

12．【答案】6 【解析】若1A ∈，因为1不是孤立元，所以2A ∈.设另一元素为k ，假设3k ≠，此时{}1,2,A k =，

1k A -?，且1k A +?，不合题意，故3k =.据此分析满足条件的集合为{}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8，共有6个.

13.【答案】{}2,4,5

【解析】由题意可知6x -是8的正约数，当61,5x x -==；当62,4x x -==；

当64,2x x -==；当68,2x x -==-；而0x ≥，∴2,4,5x =，即 {}5,4,2=A .

14.【答案】（1）{}2,1,0,1,2,3,4,5-- {}|46x Z x ∈-<<

（2）{}1,0,6- {}

32|560x R x x x ∈--=. 15.【解析】（1）若0a ≠时，则440a ?=-=，解得1a =，此时1x =-.

若0a =时，则12

x =-

∴0a =或1a =时，A 中只有一个元素.

（2）①A 中只有一个元素时，同上0a =或1a =. ②A 中有两个元素时，0,0

a ≠???>?，解得1a <且0a ≠.综上1a ≤.

（3）①0a =时，原方程为210x +=，得1,2x =-

符合题意； ②0a ≠时，方程2210ax x ++=为一元二次方程，依题意440a ?=-≤，解得1a ≥.

综上，实数a 的取值范围是1a ≥或0a =.

16．证明：（1）设a 为任意奇数，则21()a k k z =-∈，因为2221(1),k k k -=--且,1k k -均为整数，∴a M ∈.由a 的任意性知，一切奇数属于M .

（2）首先我们证明如下命题：

设：,x y z ∈，则x y +与x y -具有相同的奇偶性.

以下用反证法证明.

假设(42)k M -∈，则存在,x y z ∈，使得2242()()2(21)x y k x y x y k -=-?+-=-.若x y +与x y -同为

奇数，则（x y +）（ x y -）必定为奇数，而2(21)k -

表示偶数，矛盾；若x y +与x y -同为偶数，则（x y +）（ x y -）必定被4整除，但2(21)k -表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾.

综上所述，形如42k -的偶数不属于M .

（3）设,a b M ∈，则存在1122,,,x y x y z ∈，使得22221122,a x y b x y =-=-.

22221122()()ab x y x y =--

=22222222

121212121212122122x x y y x x y y x x y y x y x y +-+--

=2212121221()()x x y y x y x y ---，

又因为1212x x y y -，1221x y x y -均为整数， ∴ab M ∈.