线性代数作业及答案
《线性代数》作业
本课程作业由二部分组成：第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分； 第二部分为“主观题部分”，由4个解答题组成，第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分。作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。
客观题部分
一、选择题（每题1分，共15分）
1．三阶行列式031
042142
--的值为（ D ）
A 、1 ；
B 、－1 ；
C 、－2 ；
D 、2
2． n 阶行列式112
23100000000000000n n n n nn a a a a a a a -??
?
?
?
? ?
???
的值为（ C ）
A 、1a 2a 1n a - n a ；
B 、－1a 2a 1n a - n a
C 、（－1）n+1 1a 2a 1n a - n a ；
D 、0
3．2n a b
a b
a b
D c d c d
c d
=
的值为（ B ）。
A 、()n ab cd -；
B 、()n ad bc - ；
C 、()2n ad bc - ； D
、()2n ab cd - 。
4．若A 为n 阶可逆方阵，且 |A|＝a ，则 1||kA - ＝（ B ）
A 、1k a -；
B 、1n k a -；
C 、n ka -；
D 、1
k a -+ 5．设A 为n 阶方阵，且A ＝3，则1kA -＝（ B
） A 、13k - ； B 、13n k - ； C 、3a ； D 、3n k
6．设A 为n 阶不可逆方阵，则（ A ）
A 、A ＝0 ；
B 、A ＝0 ；
C 、Ax ＝0只有零解；
D 、A I +必为可逆方阵
7．设A ，B 为同阶对称矩阵，则（ B ）不一定是对称矩阵。
A 、A －
B 对称； B 、AB 对称 ；
C 、'A B +对称 ；
D 、'A B +对称
8．向量组1a ＝（－1，－1，1），2a ＝（2，1，0），3a =(1，0，1)，的秩是（ C ）
A 、0 ；
B 、1 ；
C 、2 ；
D 、3
9．设A ，B 均为n 阶可逆方阵，则（ A ）
A 111()A
B B A ---= B 、111()A B A B ----=-
C 、111()A B A B ---+=+
D 、11()kA kA --=
10．若齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知数个数，则改方程组（ A ）
A 、有唯一解
B 、无解
C 、有无穷多组解
D 、不一定有解
11．两个矩阵的特征多项式相同是这两个矩阵相似的（ B ）
A 、充分不必要条件；
B 、必要不充分条件；
C 、充要条件；
D 、不充分也不必要条件。
12．设1a ，…，n a 是n 元线性方程组AX ＝0的基础解系，则（ D
）
A 、1a ，…，n a 线性相关
B 、n ＝s －r （A ）
C 、AX ＝0的任意s －1个解向量线性相关
D 、AX ＝0的任意s ＋1个解向量线性相关
13．已知1β，2β是非齐次线性方程组AX ＝b 的两个不同的解，1η，2η是对应齐次线性方
程组AX ＝0的基础解系，1k ，2k 为任意常数，则AX ＝b 的通解必为（ B ）
A 、1k 1η＋2k （1η＋2η）＋12
2ββ- B 、1k 1η＋2k （1η－2η）＋122
ββ+
C 、1k 1η＋2k （1β＋2β）＋122ββ-
D 、1k 1η＋2k （1β－2β）＋122ββ+ 14．设A,B,C 都是n 阶方阵，则下列结论不正确的是（多选）：（
ABC ）
A 、由A ≠0且AB=CA 得B=C
B 、由A ≠0且AB=CA 得B=C
C 、由A ≠0, 由AB=AC 得B=C
D 、由A ≠0由AB=AC 得B=C 15．设三阶矩阵A 的全部特征值为1，－1，－2，则2A 的全部特征值为（ B
）
A 、 1，－1，－2 ；
B 、1，1，4 ；
C 、1，1，2 ；
D 、 1，－1，－4
主观题部分：
二、解答题（第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分）
1. 两个矩阵什么时候满足数的运算法则？举例说明你的结论。
解： AB=BA 且A,B 的行列式不为O 。
如：A=[1，0，O,1]，B ＝[2,0,0,3]
2. 若A 为n 阶方阵，I 是n 阶方正，问32
()()A I A I A A I -=-++一定成立吗？并说明理由。 解：若A 为n 阶方阵，则A 3- I=（A-I ）（A 2
+A+ I ）定成立，因为A 与单位矩阵E 为可交换矩阵。
3. 设A ＝11102
2110-?? ? ? ?-??，B ＝110110211-?? ? ? ???
。求矩阵方程XA ＝B 的解。 X=-2,-1,3
0,0,1
-2,-1/2,4
X 后面也是一个大括号哈！
4．设向量组1a ＝（1，0，1），2a ＝（－1，1，2），3a =(0，1，a )线性相关，求a 。 解: 3个三维向量线性相关的充分必要条件是它们构成的行列式等于0. 计算行列式 |a1,a2,a3| =
1 0 1
-1 1 2
0 1 a
r2+r1, r3-r2
1 0 1
0 1 3
0 0 a-3
|a1,a2,a3| = a-3.
所以a=3.
线性代数试题及答案.
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
线性代数课后作业答案(胡觉亮版)
第一章 1．用消元法解下列线性方程组： （1）??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =，得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： （2）???? ? ??--324423211123． 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ，得 行阶梯形：????? ? ?---0000510402321（不唯一）；行最简形：???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3．用初等行变换解下列线性方程组： （1）?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x
解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M ， 得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x ． （2）??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M ， 得方程组无解． 第二章 1.（2） 2 2 x y x y ． 解 原式()xy y x =-． （2）01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L ． 2.解 原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +-
线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
线性代数考试练习题带答案(6)
线性代数考试练习题带答案 说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0 线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. ||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 1 页 共 18 页 行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2. ||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 2 页 共 18 页 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i 第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。 4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 第三章 线性方程组 一、温习巩固 1. 求解齐次线性方程组??? ??=-++=--+=-++0 51050363024321 43214321x x x x x x x x x x x x 解： 化系数矩阵为行最简式 ???? ? ????→?????? ??----=000001001-0215110531631121行变换A 因此原方程同解于? ? ?=+-=0234 21x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为 ???? ?? ? ??+??????? ??-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。 2. 求解非齐次线性方程组?? ? ??=+=+-=-+8 31110232 2421321321x x x x x x x x 解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形 ?? ? ? ? ????→?????? ??---??→?????? ??--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A 因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。 3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。求向量γ，使βγα=+32。 解：??? ? ? --=-= 31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=- T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。 解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解： ； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??= 2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□， 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ； 解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3. 第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解， 则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=??+=? 解： 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-， 28212 63 D = =- 所以，125,62D D x y D D = ===- 2．123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解： 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---， 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----， 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3．21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=， 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--， 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以， 3121,0,1D D D x y z D D D = ===== ______________________________________________________________________________________________________________ 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 0010 0100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 0011 0000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 11111 3263 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 101 1110 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). 本次作业是本门课程本学期的第3次作业，注释如下： 一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题) 1. 设A为n阶方阵，且A2+A?5E=0,则(A+2E)?1=( )。 (A) A?E (B) A+E (C) 1 3 ( A?E ) (D) 1 3 ( A+E ) 正确答案：C 解答参考：A 2 +A?5E=0 ?A 2 +A?2E=3E?( A+2E )(A?E)=3E ?( A+2E ) ?1 = 1 3 (A?E) 2. 若n维向量α 1 ，α 2 ，?, α n 线性相关，β为任一n维向量，则( )。 (A) α 1 , α 2 ,?, α n ,β线性相关； (B) α 1 , α 2 ,?, α n ,β线性无关； (C) β一定能由α 1 , α 2 ,?, α n 线性表示； (D) α 1 , α 2 ,?, α n ,β的相关性无法确定。 正确答案：A 解答参考： 3. 设线性方程组{ 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 ?3 x 2 ?2 x 3 =1 }则此方程组。 (A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解 (D) 有基础解系 正确答案：A 解答参考： 4. 设n维向量组α1,α2,?,αs,若任一维向量都可由这个向量组线性表出,必须有。 (A) s= n (B) s< n (C) s> n (D) s≥ n 你选择的答案：[前面作业中已经做正确] [正确] 正确答案：D 解答参考： 5. 设α 1 , α 2 , α 3 ,β,γ 都是4维列向量，且4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β |=a ，| γ, α 1 , α 2 , α 3 |=b ，则4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β+γ |= (A) a+b (B) ?a?b (C) a?b (D) b?a 正确答案：C 解答参考： 6. 设B,C 为4阶矩阵，A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ，且α 1 , α 2 , α 3 是线性方程组Ax=0 的解，则它们是 (A) 基础解系 (B) 线性相关的 (C) 线性无关的 (D) A,B,C都不对 你选择的答案：[前面作业中已经做正确] [正确] 正确答案：B 解答参考： 7. 设n维列向量α= ( 1 2 ,0,?,0, 1 2 ) T ，矩阵A=I?α α T ，B=I+2α α T ，则AB= (A) 0 (B) ?I (C) I (D) I+α α T 正确答案：C 解答参考： 8. 设矩阵A m×n的秩r(A)=m<，下述结论中正确的是> (A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零 (C) 齐次方程组Ax=0只有零解 (D) 齐次方程组Ax=0只有零解 你选择的答案： D [正确] 正确答案：D 解答参考： 二、判断题(判断正误，共5道小题) 第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 线性代数期中练习 一、单项选择题。 1． 12 021 k k -≠-的充分必要条件是( )。 (A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2．若AB ＝AC ，当（ ）时，有B ＝C 。 (A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵 3．若三阶行列式M a a a a a a a a a =3332 31 232221 13 1211 ，则=---------33 32 312322 2113 1211222222222a a a a a a a a a （ ） 。 (A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M 4．齐次线性方程组123123123 000ax x x x ax x x x x ++=?? ++=??++=?有非零解，则a 应满足（ ）。 (A) 0a ≠； (B) 0a =； (C) 1a ≠； (D) 1a =． 5．设12,ββ是Ax b =的两个不同的解，12,αα是0=Ax 的基础解系，则Ax b = 的通解是（ ）。 (A) 11212121()()2c c αααββ+-+ + (B) 11212121 ()()2 c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121 ()()2 c c αββββ+-++ 二．填空题。 6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A ·B T = 。 7．已知A 、B 为4阶方阵，且A ＝－2，B ＝3，则| 5AB | = 。 | ( AB )-1 |= 。 8. 在分块矩阵A=B O O C ?? ??? 中，已知1-B 、1 -C 存在，而O 是零矩阵，则 =-1A 。 线性代数标准化作业答案 第一章：行列式 基础必做题：（一） 一、填空题： 1、3，n （n-1）； 2、1222+++c b a ； 3、70，-14； 4、-3M ； 5、1 二、选择题： 1、C 2、D 3、D 4、A 5、C 三、计算题： 1、解：原式 11 110 01)1()1(1 11 11C 1 21 11++++=--?-?-+--?-++cd ad ab abcd d c d c b a （）（展开按2、解：原式 3 1 323 121) c b a () c b a (0 00) c b a (0 111 )c b a (2cr r 2br r b a c 2c 2c 2b a c b 2b 111 )c b a (2222++=++-++-++------++----++++++++提公因子b a c c c b a c b b c b a c b a c b a r r r r 四、解： ) )()()((0 000001) (1 111 ) ()(c x b x a x c b a x c x b c a b b x a b a x c b a c b a x x c b c x b c b x c b a c b a x x f ---+++=------+++=+++= 因,0)(=x f 故,,,c b a x =或)(c b a ++-。 基础必做题（二） 一、填空题： 1、6，8； 2、0； 3、0，0； 4、4； 5、24 二、选择题： 1、D ； 2、C ； 3、A ； 4、A ； 5、A,B,D 三、1、解：原式 第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式251122 14 ---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式1 02325 4 03 --中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式2 5 1 122 1 4 --x 中，x 的代数余子式是 —5 。 6．计算0 00 0d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 8 1 141 102 --- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。 3．(7分)已知00 1 04 13 ≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()2 11 1 1 0100 011 1 1 11 11 -=--==λλλλλ D 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 033113 2104 21 711 7 2104 21 911 7 18904 213511 3 215 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 811 1 10 2129 4 2311-=-=D 1081 10 3 22954 311 2-==D 13510 1 3 2915 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是： x=27，y=36，z=—45 第二次 线性方程组部分填空题 1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r . 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+… +1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. 《线性代数与概率 统 计 》 第一部分 单项选择题 1．计算112212 12 x x x x ++=++？（A ） A ．12x x - B ．12x x + C ．21x x - D ．212x x - 2．行列式1 1 1 111111 D =-=--（B ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3 ． 设 矩阵 2311 11,112 0110 11A B -??? ? ????==????????-??? ? ，求AB =（B ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 率统计》 率统计》作业题 4．齐次线性方程组123123123 000x x x x x x x x x λλ++=?? ++=??++=?有 非零解，则λ=？（C ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 5．设???? ??=50906791A ，?????? ? ? ?=6735 63 00B ，求AB =？（D ） A ．1041106084?? ??? B ．1041116280?? ??? C ．1041116084?? ??? D ．1041116284?? ??? 6．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵， 且A a =,B b =,0 0A C B ?? = ??? ,则C =？（D ） A ．(1)m ab - B ．(1)n ab - C ．(1) n m ab +- D ．(1)nm ab - 7．设???? ? ? ?=34 3122 321 A ，求1 -A =？（D ） A ．1 3 23 53 22111?? ? ?- - ? ?-? ? B ．132********-?? ? ?- ? ?-?? C ．13 2353 22111-?? ? ?- ? ?-?? D ．13 23 53 22111-?? ? ?- - ? ?-? ? 8．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下 列结论中不正确的是（B ） A ．111[()]()()T T T A B A B ---= B ．111()A B A B ---+=+ C ．11()()k k A A --=（k 为正整数） D ．1 1()(0)n kA k A k ---=≠ （k 为 正整数） 9．设矩阵m n A ?的秩为r ，则下述结论正确的是（D ） A ．A 中有一个r+1阶子式不等于零 B ．A 中任意一个r 阶子式不等 于零 C ．A 中任意一个r-1阶子式不等于零 D ．A 中有一个r 阶子式不等于零 10．初等变换下求下列矩阵的秩， 32 1321 317051A --?? ?=- ? ?-? ? 的秩为？（C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3线性代数课后习题答案全)习题详解
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