高中物理解题难点突破临界与极值问题解题思路及方法(整理全)

高中物理中的临界问题与极值问题精品讲学案

一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分。

二、常见临界状态及极值条件

解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了提高解题速度，可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件：

1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角为045

2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时刻

3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰好不再滑下）μ=tg θ。

4.物体刚好滑动——静摩擦力达到最大值。

5.两个物体同向运动其间距离最大（最小）——两物体速度相等。

6.两个物体同向运动相对速度最大（最小）——两物体加速度相等。

7.位移一定的先启动后制动分段运动，在初、末速及两段加速度一定时欲使全程历时最短——中间无匀速段（位移一定的先启动后制动分段匀变速运动，在初速及两段加速度一定时欲使动力作用时间最短——到终点时末速恰好为零） 8.两车恰不相撞——后车追上前车时两车恰好等速。 9.加速运动的物体速度达到最大——恰好不再加速时的速度。 10.两接触的物体刚好分离——两物体接触但弹力恰好为零。

11.物体所能到达的最远点——直线运动的物体到达该点时速度减小为零（曲线运动的物体轨迹恰与某边界线相切）

12.在排球场地3米线上方水平击球欲成功的最低位置——既触网又压界 13.木板或传送带上物体恰不滑落——物体到达末端时二者等速。

14.线（杆）端物在竖直面内做圆周运动恰能到圆周最高点—最高点绳拉力为零（=0v 杆端）

15.竖直面上运动的非约束物体达最高点——竖直分速度为零。 16.细线恰好拉直——细线绷直且拉力为零。

17.已知一分力方向及另一分力大小的分解问题中若第二分力恰为极小——两分力垂直。

18.动态力分析的“两变一恒”三力模型中“双变力”极小——两个变力垂直。 19.欲使物体在1F 2F 两个力的作用下，沿与1F 成锐角 的直线运动，已知1F 为定值，则2F 最小时即恰好抵消1F 在垂直速度方向的分力。

20.渡河中时间最短——船速垂直于河岸，即船速与河岸垂直（相当于静水中渡河）。

21.船速大于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速逆向上行分速度与水速抵消。

22.船速小于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速与合速度垂直。 23.“圆柱体”滚上台阶最省力——使动力臂达最大值2R 。 24.机车从静止匀加速启动过程持续的最长时间——t e P P =

25.损失动能最小（大）的碰撞——完全弹性（完全非弹性）碰撞。 26.简谐运动速度最大——位移（恢复力、加速度）为零。

27.受迫振动振幅恰好达最大——驱动力的频率与振动系统的固有频率相等。 28.两个同相相干波源连线上振幅最大的点——两边距连线中点24

x n λ

=

?；反相波

源时/4

x λ

=?（2n+1） n=0,1,2,3… 29.只有机械能与电势能相互转化时，重力势能与电势能之和最小时，动能最大。 30.粒子恰不飞出匀强磁场——圆形轨迹与磁场边界相切。 31.纯电阻负载时电源输出功率最大——内外电阻阻值相等。 32.滑动变阻器对称式接法中阻值达最大——滑至中点。

33.倾斜安放的光滑导轨上的通电导体棒静止时，所加匀强磁场方向若垂直于斜面

的情况下磁感强度最小。

34.光从介质射向空气时恰不射出——入射角等于临界角。 35.刚好发生光电效应——入射光频率等于极限频率。

36.带电粒子恰好被速度选择器选中（霍尔效应、等离子发电）——电场力与洛力

平衡。

37.“地面卫星”（氢原子处于基态）时，势能最小、总能量最小、运动周期、角

速度均最小；速度、向心力、加速度均最大。

38.等量同性质点电荷连线的中垂线上场强最大的位置求解。

三、临界与极值问题一般解法 ,物理解题中求极值的常用方法

临界问题通常以定理、定律等物理规律为依据，分析所研究问题的一般规律和一般解的形式及其变化情况，然后找出临界状态，临界条件，从而通过临界条件求出临界值，再根据变化情况，直接写出条件。求解极值问题的方法从大的方面可分为物理方法和数学方法。物理方法即用临界条件求极值。数学方法包括

（1）利用矢量图求极值（2）用正（余）弦函数求极值；（3）抛物线顶点法求极值；（4）用基本不等式求极值。（5）单调函数端点值法求极值（6）导数法求解。一般而言，用物理方法求极值简单、直观、形象，对构建物理模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学建模能力要求较高，若能将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。

运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值

对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,

若a>0,则当x=-a b 2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-； 若a<0,则当x=-a b 2时,y 有极大值，为y max =a

b a

c 442

-； 2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0。(式中含y) 若y ≥A ，则y min ＝A 。 若y ≤A ，则y max ＝A 。

3、利用配方法求极值

对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。（2）当x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值 均值定理可表述为

≥+2

b

a a

b ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。

当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。

当a ＝b 时， (a+b) max ＝2

)(2

b a +。

5、利用三角函数求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y=

21Asin2α，在α=45o时，y 有极值2

A 。 对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如所示。

考虑asin θ+bcos θ＝ (

θθcos sin 2

2

2

2

b

a b b

a a ++

+)

＝22b a + (cos фsin θ+sin фcos θ)

＝22b a +sin(θ+ф) 其最大值为22b a +。 6、用图象法求极值

通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。

7、用分析法求极值

分析物理过程，根据物理规律确定临界条件求解极值。下面针对上述7种方法做举例说明。

a

b 图1

例1：如图2所示的电路中。电源的电动势ε＝12伏，内阻r ＝0.5欧，外电阻R 1＝2欧，R 2＝3欧，滑动变阻器R 3＝5欧。求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?

分析：设aP 间电阻为x ，外电路总电阻为R. 则：

10

)8)(2(532)53)(2())((321321

X X X X R R R X R R X R R -+=

++-++=

++-++=

先求出外电阻的最大值R max 再求出伏特计示数的最大值U max 。本题的关键是求R max ，下面用四种方法求解R max 。

[方法一] 用顶点坐标法求解

抛物线方程可表示为y ＝ax 2+bx+c 。

考虑R ＝10)8)(2(x x -+=10

16

62++-x x ，

设y ＝-x 2

+6x+16，

当x ＝a b 2-＝ —)

1(26

-＝3时，R max (3)＝101636)3(2+?+- ＝2.5Ω。

[方法二] 用配方法求解

考虑R ＝10)8)(2(x x -+ ＝101662++-x x =10

25

)3(2+--x 。

即x ＝3Ω时，R max ＝5.210

25

=Ω。

[方法三] 用判别式法求解

考虑R ＝10

16

62++-x x ，则有-x 2+6x+16-10R ＝0，

Δ＝b 2-4ac ＝36-4(-1)(16-10R)＞0，即：100-40R ≥0， R ≤2.5Ω，即R max ＝2.5Ω。

[方法四] 用均值定理法求解 考虑R ＝

10

)

8)(2(x x -+，设a ＝2+x ；b ＝8-x 。

当a ＝b 时，即2+x ＝8-x ， 即x ＝3Ω时，R max (3)＝

10

)

38)(32(-+ ＝2.5Ω。

也可以用上面公式(a+b)max ＝2

)]8)(2[(2

x x -+＝25，

R max ＝

10

)(max b a +＝1025

＝2.5Ω。 以上用四种方法求出R max ＝2.5Ω，下边求伏特计的最大读数。 I min ＝

r

R +max ε

＝

5

.05.212

+＝4(A)。U max ＝ε- I min r ＝12-4?0.5＝10(V)。即变阻器的滑动

头P 滑到R 3的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10伏。

例2：如图3所示。光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R ，在水平轨道上停着一个质量为M ＝0.99kg 的木块，一颗质量为m ＝0.01Kg 的子弹，以V 0=400m/s 的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R 多大时，平抛的水平位移是最大?且最大值为多少?

[解析]子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为V 1，则：

mV 0＝(m+M)V 1， 所以：V 1=

0V M m m +＝s m s m /4/40099

.001.001

.0=?+

设在轨道最高点平抛时物块的速度为V 2，由于轨道光滑，故机械能守恒：

2221)(2

1

)(2)(21V M m gR M m V m M +++=+ 所以：V 2=)/(])(4)[(2

1M m gR m M V M m ++-+

=R R Rg V 40161044422

1-=?-=

-

则平抛后的位移可以表示为：

图3

s =V 2t =V 210

4)4016(4R

R g R ?

-=?

＝4R R 4.02+-。

因为a=-1<0,所以水平位移S 应该存在最大值。当R=)

1(24

.02-?-

=-

a b =0.2m 时， S max ＝0.8m

例3：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以22m/s 的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s 的速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为6m ／s 2，试分析两车不相撞的条件。

[解析]要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足 V 0t-

S Vt at +<2

2

1 （式中S 为汽车刹车时与自行车间距） 代入数据整理得：3t 2-18t+S>0， 显然，当满足?＝b 2-4ac ≥0，

即?＝182-4?3S ≥0得：S ≤27m ，S min =27m 。当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件。

例4：如图4所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?

[解析]：设圆弧半径为R ，当小球运动到重力mg 与半径夹角为θ时，速度为V ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：

R

V m

m g N m gR m V 2

2cos cos 2

1

=-=θθ 解得小球对小车的压力为：N=3mgcos θ，其水平分量为：N x =3mgsin θcos θ=

θ2sin 2

3

mg 根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f= N x =

θ2sin 2

3

mg 可以看出：当sin2θ=1,即θ=45o时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：f max =mg 2

3

。

图4

例5：如图5所示。质量为m 的物体由力F 牵引而在地面上匀速直线运动。物体与地面间的滑动摩擦系数为μ,求力F 最小时的牵引角θ。(F 的方向是随θ变化的。)

[解析]：因物体匀速直线运动，所以有： Fcos θ-f ＝0 ①

f ＝μN ＝μ(mg-Fsin θ) ② ②代人①得：Fcos θ-μmg+μFsin θ＝0

即：F ＝θ

μθμsin cos +mg

。分母为两项不同名的三角函数，需要转

化成同名的三角函数，也就是需要“化一”。由前面的“化一”结论得：a sin θ+b cos θ＝

22b a +sin(θ+ф)

考虑本题分母：μs in θ+cos θ与a sin θ+b cos θ用比较法，得：a ＝μ；b ＝1。 于是tg ф＝

μ1=a b ，则ф＝arc tg μ1。所以，μsin θ+cos θ＝12+μsin(θ+arc tg μ

1)。 要使F 最小，则分母μs in θ+cos θ需最大，因此，θ+arc tg

μ

1

＝

2

π

。 所以有：θ＝

2π-arc tg μ1＝2

π

-arc ctg μ=arc tg μ。 即：θ=arc tg μ时，F 最小。

作为教师，运用“求导数”对本题验算非常简便。F ＝

θ

μθμsin cos +mg

。考虑0=θd dF ，则有μcos θ-sin θ＝0则θ＝arc tg μ，即当F 最小时，牵引角θ＝arc tg μ。

例6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为4米／秒2，4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为2米／秒2

，10秒后改为匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。

分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种

比较直观的方法。由题意可知，4秒后甲做匀速直线运动的速度为：V 甲=a 甲t 甲＝4?4＝16(m ／s)。

乙10秒后做匀速运动的速度为：V 乙＝a 乙t 乙＝2?10＝20(m ／s)。

可画出v —t 如上图6所示。图线在A(8，16)点相交，这表明在t ＝8

相等，因此．在t ＝8大距离。

即S max

＝21?4?16 + 4?16 —

2

1

?8?16＝32(m)。

用分析法求极值在物理计算中较常见。经过对物理状态或过程分析后求极值，不一定要用繁难的数学，关键是确定临界状态和过程的最值。

例7：如图7所示。AB 、CD 是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导轨间的距离为L ，导轨平面与平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B 。在导轨的AC 端连接一个阻值为R 的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab ，质量为m ，从静止开始沿导轨下滑。已知ab 与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计。求ab 棒的最大速度。

[解析]：采用分析法要注意抓三个环节，即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解。金属棒ab 横截面受力如上图7所示。

在下滑过程中，ab 受重力mg ，支持力N ＝mgcos θ，摩擦力f ＝μmgcos θ，安培力F ＝

R

V

L B 22。沿导轨平面有： mgsin θ-μmgcos θ-R

V

L B 22=ma ① ab 由静止加速下滑会导致：

a

图7

B

当a ＝0时，ab 速度到达最大，即：V ＝V max 所以①式变为

mgsin θ—μmgcos θ—R

V L B max

22=0 ②

②解式得：V max ＝

2

2)

cos (sin L B mg θμθ- 。

综上所述，求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法。针对有些习题所给的条件的“有界性”，运用求极值的方法时要特别注意，求出的极值不能“出界”，要注意定义域和值域的对应关系。

例8：如图8所示。已知电流表内阻忽略不计。ε＝10V ，r ＝1Ω，Ro ＝R ＝4Ω，其中R 为滑动变阻器的最大值。当滑动片P 从最左端滑到最右端的过程中，电流表的最小值是多少?最大值是多少?电流表的示数将怎样变化?

解：设滑动变阻器滑片P 左端的电阻为R 左，通过电流表的电流为I A ，

通过R o 的电流为I o ，由并联电路可知

A I I 0=0

R R 左 ① 由欧姆定律得：I ＝r R +总ε

即：I=

1

44410

+-++=

+-+左左

左

左并）（R R R r

R R R ε

②

I=I 0+I A = I A ）

（

左

10

+R R ③ 把③代入②式整理得I A ＝20

540

2

++-左左R R ④ 用配方法对④式求极值。

I A ＝

20

540

2

++-左左R R =25

.262540

2

+--）（左R

当R ＝2.5Ω时，I A 有极小值I Amin ＝

=5

.2640

1.52(A)。 当求电流表的最大值时，就需考虑R 的取值范围是“有界”的。这时的极值要与“界”的

图8

定义域对应，不能“出界”。当R 左＝0时，即由④式得I A p 在a ＝

20

40

＝2(A)。 当R 左＝R ＝4Ω时，由④式得I A P 在b ＝

67.120

45440

2

=+?+-(A)。 由此可得，电流表先从2A 减小到1.52A ，然后再增加到1.67A 。所以电流表的最大值是2A ，其变化是先减小后增大。

综上所述，求极值的七种方法是解高中物理题的常用方法。在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围。

四、典型问题剖析

例题1．某屋顶横断面是一等腰三角形ABC ，横梁AC=2L （定值），欲使雨水从屋顶面上流下来时间最短，求屋面的倾斜角（摩擦忽略不计，雨水初速为0） 解析：设倾斜角α，AB=s ∵F=mgsinα=ma ，∴a=gsinα ∵s=

=

∴

当α=45°时，等号成立

所以α=45°，雨水从屋顶（光滑）上流下所用的时间最短解法2.

21

sin cos 2

L g t αα=?

∴解得当0=45α时 t 有最小值。

例题2．从倾角为θ的固定长斜面顶点以初速度0v 水平抛出一小球， 不计空气阻力求自抛出经多长时间小球离斜面最远?

解法一：设经t 秒小球距离斜面最远，此时速度必与斜面平行，则

y x

v gt

tg v v θ=

=

所以 0v t tg g θ=时小球距离斜面最远。

解法二：小球远离斜面方向的初速度0=sin v v θ0离 远离斜面方向的加速度

=-gcos a θ离 所以远离斜面的速度减小至零时相距最远。令+0v a t =0离离

则

000

sin =cos v v v t tg a g g

θθθ=

=离离 时相距最远。

解法三：球与斜面距离22

001cos +sin 022

g S v t a t t v t θθ==-

?+?+离离 显然当002()2

v sin v

t tg g

θθθ=-=-时 距离最大

解法四：解析法。选初速度方向为x 轴正向，重力方向为y 轴正向，则代表该斜面的直线方程为y tg x θ=? 平抛物体轨迹方程为2

2

2g y x v =

，设抛物线上任意一点000(,)P x y

到该直线距离S =

=

注意到00tg x y θ?≥ 故S 2

002

cos sin 02g x x v θθ=-

?+?+ 显然二次函数有极大致的条件为20020sin cos 2()2v x tg g g v θθθ=-=- 即000x v

t tg v g θ==

例题3．一个质量为3kg 的物体放在长木板上，当木板一端抬起使它与水平方向成30°的固定斜面时，物体正好可以沿斜面匀速下滑。当木板水平固定时，用多大的水平拉力能将该物体拉动？

解析：在斜面上物体所受摩擦力与重力沿斜面向下的分力平衡 即F=mgsin30° 而滑动摩擦力f=μmgcos30°所以μ=tan30°在水平面上拉的时候压力大小等于重力大小。则水平面上的摩擦力f=μmg=mgtan30°所以拉力至少要达到这个值才能拉动物体， 例题4-1．某物体所受重力为200 N ，放在水平地面上，它与地面间的动摩擦因数是0.38，它与地面间的最大静摩擦力是80 N ，至少要用_________N 的水平推力，才能将此物体推动，若推动之后保持物体做匀速直线运动，水平推力应为_________N ；物体在地面上滑动过程中，若将水平推力减小为50 N ，直到物体再次静止前，它所受到的摩擦力为_________N ；物体静止后，此50 N 的水平推力并未撤去，物体所受的摩擦力大小为_________N.

解析：从静止推物体时推力至少达到最大静摩擦力80N 才可以推动物体；推动后当

推力大小与滑动摩擦力等值（200×0.38=76N ）时物体将做匀速直线运动；在物体滑动过程中水平推力若减小至50N ，物体受到的滑动摩擦力仍跟原来一样为76N ；物体静止后此50N 的水平推力并未撤去时物体受静摩擦力大小等于此时的水平推力大小50N 。

例题4-2． 如图所示，U 形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m 的金属棒ab ，ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为1L 、2L ，回路的总电阻为R 。从t=0时刻起，

在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场B=kt ，（k>0）那么在t 为多大时，金属棒开始移动。

解析：当磁场发生变化的时候，有感应电动势产生，在回路中就会产生感应电流，ab 棒会受到安培力的作用，则ab 有向左运动的趋势，则ab 就会受到向右的静摩擦

力的作用。当ab 棒受到安培力和静摩擦力的作用平衡时，由

12E kL L t ?Φ

=

=?可知，

回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由于安培力F=BIL ∝B=kt ∝t ，所以安培力将随时间而增大，所以ab 受到的静摩擦力也增大，二者始终是等值反向的，只要安培力的大小没有超过最大静摩擦力，ab 就始终处于静止状态。当安培力大于最大静摩擦力之后，ab 就会运动起来。在静止到运动之间就存在着一个从静止到运动的临界状态，此状态的临界条件就是安培力增大到等于最大静摩擦力。此时

有：

1212212,kL L mgR

kt L mg t R k L L μμ?

?==所以

例题4-3．如图3

所示两根平行的金属导轨固定在同一水平面上，磁感应强度

的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨电阻不计，导轨间距

；两根质

量均为

电阻均为

的平行金属杆甲、乙可在导轨上垂直于导轨滑动，与

导轨间的动摩擦因数均为

；现有一与导轨平行大小为

的水平恒力作

用于甲杆使金属杆在导轨上滑动，已知2

10m

g s = 求（1）

分析甲、乙二杆的运动的情况？（2）杆运动很长时间后开始，则再经过5秒钟二杆间的距离变化了多少？

解析：（1）金属杆甲在水平恒力

（这里0.5f mg μ==甲牛为甲杆所受的最大

静摩擦力）作用下将向右加速运动并切割磁感线产生逆时针方向的感应电流，因而使甲杆同时受到水平向左的安培阻力；乙杆中也因为有了电流而受到水平向右的

安培动力，两个安培力等值反向；开始时甲杆的切割速度

较小故安培力

=均较小，随

的增大则回路中的感应电流增大，所以两杆所受的安培力

=均

增大，故甲杆将向右作加速度减小的变加速运动；当时乙杆也将开始

向右作加速度逐渐增大的变加速运动；直到甲、乙二杆的加速度相等时（此时甲乙两杆速度差v ?最大，回路中动生电流最大即0.50.2=0.44

m BL v v v

I R ??????==

总， 每杆受安培力最大即0.50.2440

Bm m v v

F BI L ??==?

?= 乙杆的加速度最大即max 54Bm

F mg v

a m μ-?==-乙 甲杆的加速度最小即min 154Bm F F mg v

a m μ--?==-甲

且两杆的加速度相等，即15544

v v ??-

=- 所以 40m v s ?= 2max min ==5m a a s 乙甲） 甲乙两杆以共同的加速度52

m

s

，恒定的速度差40m s 向右做匀加速直线运动。即甲相对乙将向右做匀速直线运动而远离。

（2）依据上述分析知运动很长时间后甲乙两杆将以共同的加速度52

m

s 及恒定的

速度差40m s

向右做匀加速直线运动，亦即甲乙二杆间的相对运动速度为

=40m v s

相，因而此后经过5秒两杆间的距离将增加=405=200L v t m =?? 相

例题4-4．如图5所示，质量为kg M 2=的木块与水平地面的动摩擦因数4.0=μ，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N 的恒力F ，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度cm h 10=，木块M 可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？ 解析： 设当轻绳与水平方向成角θ时，对M 有

Ma F Mg F =--)sin (cos θμθ

整理得Ma Mg F =-+μθμθ)sin (cos

令A =+θμθsin cos ，可知，当A 取最大值时a 最大。 利用三角函数知识有：

)sin(12?θμ++=A ，其中2

11arcsin

μ?+=，而2max 1μ+=A ，与此相对应的角为

8.2111arcsin

902

≈+-=μθ

所以加速度的最大值为：22

max /8.61s m g M

F a ≈-+=

μμ

此时木块离定滑轮的水平距离为：cm h S 25cot ≈=θ

说明：此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度，当木块达到一定值时，有可能使物体脱离地面，此后物体将不在沿着水平面运动。因此，F 、M 、μ必须满足

θsin F ≤Mg 。此题所给数据满足上述条件，能够达到最大加速度。

例题4-5．如图3所示，质量为m=1kg 的物块放在倾角为的斜面体上，斜

面质量为

，斜面与物块间的动摩擦因数为

，地面光滑，现对斜面体

施一水平推力F ，要使物体m 相对斜面静止，试确定推力F 的取值范围。

（）

图3

解析：此题有两个临界条件，当推力F 较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F 较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向下。找准临界状态，是求解此题的关键。

（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F

，此时物块受力如图4

1

所示，取加速度的方向为x轴正方向。

图4

对物块分析，在水平方向有

竖直方向有

对整体有

代入数值得

（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F

2

对物块分析，在水平方向有

竖直方向有，

对整体有

代入数值得。

综上所述可知推力F的取值范围为：

例题4-6.如图4-6所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B

和斜面间动摩擦因数为μ（μ

解析：物体在斜面上可能恰好不上滑，也可能恰好不下滑，所以摩擦力可能有两个方向。

以B 为研究对象，由平衡条件得：B T m g =

再以A 为研究对象，它受重力、斜面对A 的支持力、绳的拉力和斜面对A 的摩擦作用．假设A 处于临界状态，即A 受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：cos N mg θ=

0,m m T f mg f N μ--==或：0,m m T f mg f N μ+-==

综上所得，B 的质量取值范围是：(sin cos )(sin cos )B m m m θμθθμθ-≤≤+ 例题5-1．甲物体以=4m v s 甲做匀速直线运动，乙物体在其后面5m 处沿同一直线

同一方向做初速为零加速度2

2m

a s =的匀加速直线运动，问乙物体是否可以追上

甲物体？并求出其间距离的最大值。

解法一：（1）乙物体一定可以追上甲物体。（2）用临界法分析求极值：乙物体加速至=4m v s 甲前，速度小于其前方的甲物体运动速度，此阶段其间距离不断增

大，当乙物体加速至=4m v s 甲后，速度大于其前方的甲物体运动速度，所以在尚

未追上甲物体前，其间距离不断减小，故等速时其间距离最大。令a t v ?=甲 解得

4

==22

v t s a =

甲 此时相距最远 22max 011

54222922

s s v t at m =+?-=+?-??=甲

解法二：（2）用抛物线顶点坐标法求极值：依据甲乙两物体各自运动规律可得出

其间的距离函数222

011+5424522

S S v t at t t t t =?-=+-?=-+

+甲 显然当

4

22(1)

t =-

=-s 时 2max

4(1)5-4=9m 4(1)

S ?-?=?-

例题5-2．如图所示，质量为6kg 的小球A 与质量为3kg 的小球B ，用轻弹簧相连后在光滑水平面上共同以速度0v 向左匀

速运动，在A 球与左侧竖直墙壁碰后两球继续运动的过程中，弹簧的最大弹性势能为4J ，若A 球与左侧墙壁碰撞前后无机械能损失，试求0v 的大小。

解析：这里弹性势能最大时即簧压缩量最大，亦即A 与左侧墙壁碰后以0v 为初速（碰墙壁无机械能损失）向右减速运动，B 仍以0v 为初速向左减速，但B 球质量小先减至零又反向向右加速运动，二者均向右运动等速时其间距离最小，此时簧的弹性势能最大。因为碰墙壁后向右运动过程A+B 系统总动量守恒，如果选向右为正方向则

00()()A B A B AB m v m v m m v +-=+

又因为碰墙壁后向右运动过程A+B （含簧）系统总机械能守恒则

22200111

()()4222

A B A B AB m v m v m m v +-=++ 联立求解并代入数值得01m v s = （1

3

AB m v s =）

例题5-3．（90年全国卷）在光滑的水平轨道上有两个半径都是r 的小球A 和B ，质量分别为m 和2m ，当两球心间距离大于L （L 比2r 大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间距离等于或小于L 时，两球间存在相互作用的恒定斥力F 。设A 球从远离B 球处以速度0v 沿两球连心线向原来静止的B 球运动，如图12-2所示，欲使两球不发生接触，0v 必须满足什么条件

解析 ： 据题意，当A 、B 两球球心间距离小于L 时，两球间存在相互作用的恒定斥力F 。故A 减速而B 加速。当B A v v >时，A 、B 间距离减小；当B A v v <时，A 、B 间距离增

大。可见，当B A v v =时，A 、B 相距最近。若此时A 、B 间距离r x 2>，则A 、B 不发生接触（图12-3）。上述状态即为所寻找的临界状态，B A v v =时r x 2>则为临界条件。

两球不接触的条件是：B A v v = （1）

2B A L S S r +- （2）

其中A v 、B v 为两球间距离最小时，A 、B 球的速度；A S 、

B S

为两球间距离从L 变至最小的过程中，A 、B 球通过的路程。

设0v 为A 球的初速度，

对于A+B 系统由动量守恒定律得 B A mv mv mv 20+= （3）

对于A 球由动能定律得022

011cos18022A A

F S mv mv ?=- （4） 对于B 球由动能定律得 02

1cos0(2)2

B B F S m v ?= （5）

联立解得：

m r L F v )

2(30-<

评析 本题的关键是正确找出两球“不接触”的临界状态，为B A v v =且此时r x 2> 例题6．如图所示，两质量相等的物块A 、B 通过一轻质弹簧连接，B 足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A 上施加一个水平恒力，A 、B 从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有 （ ） A ．当A 、B 加速度相等时，系统的机械能最大

B ．当A 、B 加速度相等时，A 、B 的速度差最大

C ．当A 、B 的速度相等时，A 的速度达到最大

D ．当A 、B 的速度相等时，弹簧的弹性势能最大

解析：分析本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理则

可以使问题更加简单。A 、B 物块在水平方向受力如右图上下，