专题06 基本初等函数(解析版)
专题06 基本初等函数
考点20 指数与指数函数
1．（2020北京卷6】已知函数12)(--=x x f x
，则不等式()0f x >的解集是 （ ）
A ．()1,1-
B ．()(),11,-∞-+∞
C ．()0,1
D ．()(),01,-∞+∞
【答案】C
【解析】不等式()0f x >化为2
1,x
x 在同一直角坐标系下作出y=2x ，y=x+1的图象（如图），得不等式
【答案】B 【解析】当0 x e e ，所以此时2 ()0--= e e f x x ，故排除A ．D ；又1 (1)2=->f e e ，故排除C ，选B ． 3．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 【答案】D 【解析】设235x y z k ===，因为,,x y z 为正数，所以1k >，则2log x k =，3log y k =， 5log z k =，所以 22lg lg 3lg 9 13lg 23lg lg8 x k y k =?=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ， 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32 x k z k =?=<，则25x z <，选D ． 4．（2016年全国I 卷）函数2 || 2x y x e =-在[–2，2]的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】∵2||2x y x e =-是偶函数，设2|| 2x y x e =-，则2 2 2 (2)228f e e =?-=-，所以 0(2)1f <<，所以排除A ，B ；当0 2x 时，22x y x e =-，所以4x y x e '=-， 又()4x y e ''=-，当0ln4x <<时，()0y ''>，当ln42x <<时，()0y ''<，所以4x y x e '=-在(0,ln 4)单调递增，在(ln 4,2)单调递减，所以4x y x e '=-在[0,2]有1 4(ln 41)y '--，所以4x y x e '=-在 [0,2]存在零点ε，所以函数22x y x e =-在[0,)ε单调递减，在(,2]ε单调递增，排除C ，故选D ． 5．（2017北京）已知函数1()3()3 x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】11 ()3 ()(3())()33 x x x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ． 6．（2015四川）设,a b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由指数函数的性质知，若333a b ，则1a b ，由对数函数的性质， 得log 3log 3a b ；反之，取12a ，1 3 b ，显然有log 3log 3a b ，此时01b a ，于是333a b ， 所以“333a b ”是log 3log 3a b <的充分不必要条件，选B ． 7．（2015山东）设函数31,1()2,1 x x x f x x - ?≥，则满足() (())2f a f f a =的a 的取值范围是 A ．2[,1]3 B ．[0,1] C ．2[,)3 +∞ D ．[1,)+∞ 【答案】C 【解析】由() (())2 f a f f a =可知()1f a ≥，则121a a ≥??≥?或1311 a a 3a ≥． 8．（2014安徽）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则 A ．c a b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a << 【答案】B 【解析】∵32log 71a >=>， 1.122b =>， 3.10.81c =<，所以b a c <<． 9．（2014浙江）在同意直角坐标系中，函数的图像可能是 【答案】D 【解析】当1a >时，函数()(0)a f x x x =>单调递增，函数()lo g a g x x =单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当01a <<时，函数()(0)a f x x x =>单调递增，函数()lo g a g x x =单 调递减，且过点(1，0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知C 错，因此选D ． 10．（2012天津）已知122a =，0.2 12b -??= ? ?? ，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a << 【答案】A 【解析】因为122.02.022)2 1(<==-b ，所以a b <<1，14log 2log 2log 252 55<===c ， 所以a b c <<，选A ． 考点21 对数与对数函数 1．（2020全国Ⅰ文8）设3log 42a =，则4 a -= （ ） x x g x x x f a a log )(),0()(=≥= A ． 116 B ．19 C ．18 D ．16 【答案】B 【解析】由3log 42a =可得3log 42a =，∴49a =，∴有1 49 a -=，故选B ． 2．（2020全国Ⅰ理12）若242log 42log a b a b +=+，则 （ ） A ．2a b > B ．2a b < C ．2a b > D ．2a b < 【答案】B 【思路导引】设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案． 【解析】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，∵22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+， ∴()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b b b +-+2 1 log 102 ==-<， ∴()(2)f a f b <，∴2a b <． ∴2 ()()f a f b -=2 2222log (2log )a b a b +-+=2 22222log (2log )b b b b +-+=2 2222log b b b --， 当1b =时，2 ()()20f a f b -=>，此时2 ()()f a f b >，有2a b >；当2b =时，2 ()()10f a f b -=-<，此时2 ()()f a f b <，有2a b <，∴C 、D 错误，故选B ． 3．（2020全国Ⅱ理9）设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在1,2?? +∞ ??? 单调递增 B ．是奇函数，且在11,22?? - ???单调递减 C ．是偶函数，且在1,2?? -∞- ?? ? 单调递增 D ．是奇函数，且在1,2?? -∞- ?? ? 单调递减 【答案】D 【解析】由 ()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ??≠±???? ，关于坐标原点对称， 又 ()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ； 当11,22x ?? ∈- ?? ?时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22?? - ??? 上单调递增，()ln 12y x =-在11,22 ?? - ??? 上单调递减， ()f x ∴在11,22?? - ??? 上单调递增，排除B ； 当1,2x ??∈-∞- ? ??时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +? ?=----==+ ?--?? ， 2121x μ=+ -在1,2? ?-∞- ?? ?上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2? ? -∞- ?? ? 上单调递减，D 正确．故选D ． 4．（2020全国Ⅱ文12理11）若y x y x ---<-3322，则 （ ） A ．()ln 10y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．0ln >-y x D ．0ln <-y x 【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令 ()23t t f t -=-， 2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<， 0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误； x y -与1的大小不确定，故 CD 无法确定，故选A ． 5．（2020全国Ⅲ文理4）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logisic 模型：()() 0.23531e t K I t --= +， 其中K 为最大确诊病例数．当() 0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t * 约为（ln193≈） （ ） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 【答案】C 【解析】 ()()0.23531t K I t e --= +，∴ ()( ) 0.2353 0.951t K I t K e * * --= =+，则 ( )0.2353 19t e *-=， ∴( ) 0.2353ln193t * -=≈，解得3 53660.23 t * ≈ +≈，故选C ． 6．（2020全国Ⅲ文10）设352 log 2,log 3,3 a b c ===，则 （ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】A 【思路导引】分别将a ，b 改写为331log 23a = ，351 log 33 b =，再利用单调性比较即可． 【解析】因为333112log 2log 9333a c = <==，355112 log 3log 25333 b c =>==， 所以a c b <<，故选：A ． 7．（2020全国Ⅲ理12）已知5445 58,138<<．设5813log 3,log 5,log 8a b c ===，则 （ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】A 【思路导引】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由 8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b < ，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出4 5 c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系． 【解析】解法一：由题意可知a 、b 、()0,1c ∈， ()22 2 528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ???? ++??==? ，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得4 5 b <； 由13log 8 c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得4 5 c >． 综上所述，a b c <<．故选A ． 解法二：易知(01)a,b,c ,∈，由()()22 2 5555558log 3log 8log 24log 32log 3log 81log 5444 a b +==?<=<=，知 a b <．∵8log 5b =，13log 8c =，∴85b =，138c =，即5585b =，44138c =又∵5458<，45138<， ∴445541385813c b b =>=>，即b c <．综上所述：a b c <<，故选A ． 8．（2020天津6）设0.8 0.70.713,,log 0.83a b c -??=== ??? ，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】D 【思路导引】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系． 【解析】因为0.7 31a =>，0.8 0.80.71333b a -?? ==>= ? ?? ，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=， 所以1c a b <<<，故选D ． 9．（2019全国Ⅰ理3）已知，则（） A．B．C．D． 【答案】A【解析】由题意，可知， ，，所以最大，，都小于1，因为 即，所以，故选A． 10．(2018全国卷Ⅲ)设 0.2 log0.3 a=， 2 log0.3 b=，则（） A．0 a b ab +< ab a b <+< C．0 a b ab +< ab a b <<+ 【答案】B【解析】由 0.2 log0.3 a=得 0.3 1 log0.2 a =，由 2 log0.3 b=得 0.3 1 log2 b =， 所以 0.30.30.3 11 log0.2log2log0.4 a b +=+=，所以 11 01 a b <+<，得01 a b ab + <<．又0 a>，0 b<，所以0 ab<，所以0 ab a b <+<．故选B． 11．(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1 x=对称的是（）A．ln(1) y x =-B．ln(2) y x =-C．ln(1) y x =+D．ln(2) y x =+ 【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,) x y，则其关于直线1 x=的对称点的坐标为(2,) x y -，由对称性知点(2,) x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以ln(2) y x =-，故选B． 12．(2018全国卷Ⅰ)已知函数2 2 ()log() =+ f x x a，若(3)1 = f，则a=________． 【答案】7 -【解析】由(3)1 f=得，2 2 log(3)1 a +=，所以92 a +=，即7 a=-． 13．(2018全国卷Ⅲ)已知函数())1 f x x =+，()4 f a=，则() f a -=___． 【答案】2 -【解析】由())14 f a a =+=，得)3 a=， 所以())11)1 f a a a -=+=-+=-+ 312 =-+=-． 0.20.3 2 log0.220.2 a b c === ，， a b c < < < << 5 log21 a=< 1 1 5122 2 2 1 log0.2log log5log5log42 5 b - - ====>=0.2 0.51 c= log2 a== 1 5 0.2 1 0.5 2 ?? ==== ? ??22 5log42 >=> 1 2 ? < ? a c << 14．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0?=?>?，≤， ，， x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取 值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 【答案】C 【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 15．（2017新课标Ⅰ）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在(0,2)单调递增 B ．()f x 在(0,2)单调递减 C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称 D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称 【答案】C 【解析】由2(1) ()(2) x f x x x -'= -，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确． 16．（2017新课标Ⅱ）函数2 ()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞ 【答案】D 【解析】由2280x x -->，得2x <-或4x >，设228u x x =--，则(,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 17．（2016年全国II 卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是 A ．y =x B ．y =lg x C ．y =2x D ． y = 【答案】D 【解析】函数lg 10x y =的定义域为(0,)+∞，又lg 10 x y x ==，所以函数的值域为(0,)+∞，故 选D ． 18．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1 ()2,1 x x x f x x -+- A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 【答案】C 【解析】由于2(2)1log 43f -=+=，22log 12 1 log 6 2(log 12) 226f ，所以2(2)(log 12)f f -+= 9，故选C ． 19．（2015新课标1）设函数()y f x =的图像与2 x a y +=的图像关于直线y x =-对称， 且(2)(4)1f f -+-=，则a = A ．1- B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C 【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2 x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即 2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C ． 20．（2013新课标）设，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】， 由下图可知D 正确． 21．（2012新课标）当102 x <≤ 时，4log x a x <，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0, 2 B ．2 C ． D ．2) 357log 6,log 10,log 14a b c ===c b a >>b c a >>a c b >>a b c >>33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+ 【答案】B 【解析】由指数函数与对数函数的图像知1201 1log 4 2 a a <??，解得212a <<，故选B ． 22．（2019天津理6）已知5log 2a =，0.5 og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a < < D ．c a b << 【答案】A 【解析】 由题意，可知， ．，所以最大，，都小于1．因为即，所以，故选A ． 23．(2018天津)已知2log e =a ，ln 2b =，1 2 1 log 3 c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】D 【解析】因为2log e >1a =，ln 2(0,1)b =∈，1 222 1 log log 3log 13 c e ==>>． 所以c a b >>，故选D ． 24．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =， 则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a << 【答案】C 【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8 12 2<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ． 25．（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原 子总数N 约为8010．则下列各数中与M N 最接近的是 （参考数据：lg 3≈0．48） A ．3310 B ．5310 C ．7310 D ．9310 【 答 案 】 D 【 解 析 】 设 361 80310 M x N ==，两边取对数得， 5log 21a =<1151 2222 1log 0.2log log 5log 5log 425 b --====>=0.2 0.51c = 15 0.210.52??==== ??? 225log 42>=>12?< ?a c 361 36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810 x ==-=?-≈，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，选D ． 26．（2015北京）如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是 A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{}|12x x -<≤ 【答案】C 【解析】如图，函数2log (1)y x 的图象可知，2()log (1)f x x ≥的解集是 {|11}x x ≤． 27．（2015天津）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记 0.5log 3a =，()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a << 【答案】C 【解析】因为函数()2 1x m f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x f x =-， 所以2 21 log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ? ?===-=-=-= ?? ?，()2log 5b f = 2log 5214=-=， ()02(0)210c f m f ===-=，所以c a b <<，故选C ． (x +1) 28．（2014山东）已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成 立的是 A ．0,1a c >> B ．1,01a c ><< C ．01,1a c <<> D ．01,01a c <<<< 【答案】D 【解析】由图象可知01a <<，当0x =时，log ()log 0a a x c c +=>，得01c <<． 29．（2013陕西）设a ， b ， c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是 A ． B ． C ．()log og g l lo a a a b c bc = D ． 【答案】B 【解析】a ，b ，c ≠1． 考察对数2个公式： ，对 选项A ：，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项B ： ，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项C ： ，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项D ： ，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B ． 30．（2013浙江）已知为正实数，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】取特殊值即可，如取 ． 31．（2013天津）已知函数是定义在R 上的偶函数， 且在区间单调递增．若实数a 满足 · log log log a c c b a b =·log lo log g a a a b a b =()log g og o l l a a a b b c c +=+a b b y x xy c c a a a a log log log ,log log log = +=b a b a b b c c a c c a log log log log log log = ?=?a b b b a b c c a c c a log log log log log log = ?=?c b bc a a a log log log ?=）（c b c b a a a log log )log +=+（y x ,y x y x lg lg lg lg 222+=+lg()lg lg 222x y x y +=y x y x lg lg lg lg 222 +=?lg()lg lg 222xy x y =lg lg lg lg 10,1,2 2,223,x y x y x y +===+=()lg lg11lg lg 22,21x y x y +?==()f x [0,)+∞ ， 则a 的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】因为函数是定义在R 上的偶函数，且，所以 ，即，因为函数在区间 单调递增，所以，即，所以，解得，即a 的取值范围是，选C ． 32．（2012安徽）23(log 9)(log 4)?= A ． 14 B ．1 2 C ． 2 D ． 4 【答案】D 【解析】23lg 9lg 42lg 32lg 2 log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3 ?= ?=?=． 33．（2011北京）如果,0log log 2 12 1< A ．1y x << B ．1x y << C ．1x y << D ．1y x << 【答案】D 【解析】根据对数函数的性质得1x y >>． 34．（2011安徽）若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是 A ． 1(,)b a B ．(10,1)a b - C ．10 ( ,1)b a + D ．2(,2)a b 【答案】D 【解析】当2x a =时，2lg 2lg 2y a a b ===，所以点2 (,2)a b 在函数lg y x =图象上． 35．（2011辽宁）设函数122,1 ()1log ,1 x x f x x x -?=?->?≤，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+∞） D ．[0，+∞） 【答案】D 【解析】当1x ≤时122x -≤，解得0x ≥，所以01x ≤≤；当1x >时， 21log 2x -≤，解得1 2 x ≥，所以1x >，综上可知0x ≥． 36． (2018江苏)函数()f x =的定义域为 ． 【答案】[2,)+∞【解析】要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，即2x ≥，则函数()f x 的定义域是[2,)+∞． 37． (2016年浙江) 已知1a b >>，若5log log 2 a b b a += ，b a a b =，则a = ，b = ． 212 (log )(log )2(1)f a f f a ≤+[1,2]10,2?? ???1,22?? ???? (0,2]()f x 12 2log log a a =-222122 (log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤2(log )(1)f a f ≤[0,)+∞2(log )(1)f a f ≤2log 1a ≤21log 1a -≤≤1 22 a ≤≤1,22?? ???? 【答案】4 2【解析】设log b a t =，则1t >，因为215 22t t a b t +=?=?=，因此 2 2222, 4.b a b b a b b b b b b a =?=?=?== 38. （2015浙江）若4log 3a =，则22a a -+=_______． ，∴ ，∴． 39. （2014天津）函数2 ()lg f x x =的单调递减区间是________． 【答案】(,0)-∞【解析】22lg ,0 ()lg 2lg ||2lg(),0x x f x x x x x >?===?- ，知单调递减区间是(,0)-∞． 40. （2014重庆）函数2()log )f x x =的最小值为_________． 【答案】14 - 【解析】()2 22221()log (22log )log log 2f x x x x x =?+=+ 22111(log )244x =+--≥．当 且仅当21 log 2 x =- ，即x =时等号成立． 41. （2013四川）的值是____________． 【答案】1【解析】lg101==． 42. （2012北京）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则2 2 ()()f a f b += ． 【答案】2【解析】由()1f ab =，得10ab =，于是2 2 2 2 ()()lg lg f a f b a b +=+ 2(lg lg )2lg()2lg102a b ab =+===． 考点22二次函数与幂函数 1．（2020江苏7）已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时，23 ()f x x =，则(8)f -的值是 ． 【答案】4- 【解析】()y f x =是奇函数，当0x ≥时，2 3 ()f x x =，则23 (8)(8)84f f -=-=-=-． 2．（2020浙江9）已知,a b ∈R 且0ab ≠，若()()()20x a x b x a b ----≥在0x ≥上恒成立，则 （ ） A ．0a < B ．0a > C ．0b < D ．0b > 【答案】C 【思路导引】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案． 3log 4=a 3234=?=a a 33 431322=+ =+-a a 【解析】当0a <时，在0x ≥上，0x a -≥恒成立，∴只需满足()()20x b x a b ---≥恒成立，此时 2a b b +<，由二次函数的图象可知，只有0b <时，满足()()20x b x a b ---≥，0b >不满条件； 当0b <时，在[)0,+∞上，0x b -≥恒成立，∴只需满足()()20x a x a b ---≥恒成立，此时当两根分别为x a =和2x a b =+， （1）当0a b +>时，此时02a a b <<+，当0x ≥时，()()20x a x a b ---≥不恒成立， （2）当0a b +<时，此时2a b a +<，若满足()()20x a x a b ---≥恒成立，只需满足 0a < 当0a b +=时，此时20a b a +=>，满足()()20x a x a b ---≥恒成立， 综上可知满足()()()20x a x b x a b ----≥在0x ≥恒成立时，只有0b <，故选C ． 3．(2016全国I) 若1a b >>，01c <<，则 A ．c c a b < B ．c c ab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c < 【答案】C 【解析】选项A ，考虑幂函数c y x =，因为0c >，所以c y x =为增函数，又1a b >>，所以c c a b >，A 错．对于选项B ，c c ab ba <()c b b a a ?<，又()x b y a =是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C ． 4．(2016全国III) 已知4 32a =，254b =，13 25c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】A 【解析】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，且幂函数13 y x =在R 上单调递增，指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a c <<，故选A ． 5．（2016年全国I 卷）若0a b >>，01c <<，则 A ．log log a b c c < B ．log log c c a b < C ．c c a b < D ．a b c c > 【答案】B 【解析】因为01c <<，所以log c y x =在(0,)+∞上单调递减，又0b a <<，所以log log c c a b <，故选B ． 6．(2014新课标)设函数()113,1,,1, x e x f x x x -? =??≥?则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是__． 数学2019届高考复习基本初等函数专题强化练 习（附答案） 初等函数包括代数函数和超越函数，以下是基本初等函数专题强化练习，希望对考生复习数学有帮助。 1.(文)(2019江西文，4)已知函数f(x)=(aR)，若f[f(-1)]=1，则a=() A. -1 B.-2 C.1 D.2 [答案] A [解析] f(-1)=2-(-1)=2， f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=. (理)(2019新课标理，5)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=() A.3 B.6 C.9 D.12 [答案] C [解析] 考查分段函数. 由已知得f(-2)=1+log24=3，又log2121，所以 f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，故选C. 2.(2019哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2，-)，则满足f(x)=27的x的值是() A. B. C. D. [答案] B [解析] 设f(x)=x，则-=(-2)，=-3， f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=. 3.(文)已知命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是() A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4 [答案] C [解析] y=2x在R上是增函数，y=2-x在R上是减函数， y=2x-2-x在R上是增函数，所以p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数为真命题，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题，故q1：p1p2为真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(p1)p2为假命题，q4：p1(p2)是真命题.故真命题是q1、q4，故选C. [点拨] 1.由指数函数的性质首先判断命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假. 2.考查指、对函数的单调性是这一部分高考命题的主要考查方式之一.常常是判断单调性;已知单调性讨论参数值或取 值范围;依据单调性比较数的大小等. (理)已知实数a、b，则2a2b是log2alog2b的() 第一部分基本初等函数知识点整理 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数 1、 指数与指数幂的运算： 复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n (a m )n =a mn (a*b)n =a n b n 2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根， 其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。此时，a 的n 次方根用符号 表示。 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。 注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 式子n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的 ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 4、 有理数指数米的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ) ,,0(R s r a ∈>． 5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂a a （a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。 （二）、指数函数的性质及其特点 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？ （1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1 函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式 )0()(≠+=a b ax x f )0()(≠= k x k x f 图像 定义域 R R {}0|≠x x R 值域 R ） ，（∞+0 必过点 ）（b ,0 ） ，（c 0 ) 1,(1,--k k ） （ ） （1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 在R 上单增 )2-a b -∞，（为减 ),2+∞-a b （为增 ）为减，（0-∞）为减，（∞+0 为减 为增，101<<>a a 最大最小值 在R 不存在最大最小值 开口向上有最小值 a b a c y 442min -= 不存在最大最小值 在R 上不存在最大最小值 奇偶性 非奇非偶函数 为奇函数00≠=b b 偶函数 为非奇非为偶函数，00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数 对称性 为常数。 对称， 函数图像关于直线任何一点对称；关于图像上t t x a y +=1 - 对称 直线函数图像关于 a b x 2-= 函数图像关于原点对称； 对称。 直线和关于 对称，直线图像关于x y x y -== 既不成中心对称也不成轴对称。 渐近线 无 无 . 00==y x 直线或者直线 .0=y 直线 ) 0()(2≠++=a c bx ax x f ) 10()(≠=a a a x f x 且＞0＞a ＞a 0 ＞k ) ,44[ 2 +∞-a b a c ），（），（∞+?∞00-x a y =) 10(<a x y O 1 函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数 含绝对值函数 解析式 ) 10(log ≠>=a a y x a 且 ) 0(≥=x x y b a b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像 O 1 y x ) 10(log <<=a y x a ) 1(log >=a y x a O y x x y =1 1 定义域 ()∞+，0 [)∞+，0 0}x |{x ≠ R 值域 R [) ∞+，0 (][) ∞+∞，，ab ab 22--Y [)+∞-,a b 必过点 ）（0,1 () 1,1 )2,(2,ab a b ab a b -- ）（ ) ,(,a b b a b a --）（ 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 单调递减。 单调递增。，, 101<<>a a 为增函数 定义域内 递增。递减，，递减，递增，，???? ??+∞???? ????? ? ? ????? ??∞,00,---a b a b a b a b (][)函数。 上为常值为增函数。 为减函数。 ，],[,-b a b a +∞∞ 最大最小值 无最大最小值 最小值为 0min =y ，无最 大值 无最大最小值 a b y -=min 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 奇函数 对称性 既不是轴对称也不是中心对称 既不是轴对称也不是中心对称 关于原点成中心对称 关 于 直 线 2 b a x += 对称。 渐近线 直线x=0 ax y =和0=x O y x a b a b -ab 2ab 2-O y x a b a b -的情况 只了解中学研究方便通常 ） （00>>+=b a x b ax y 为偶函数0=+b a 第二章：基本初等函数 第I 卷（选择题) 一、选择题５分一个 1.已知ｆ（ｘ）=a ｘ５ +bx 3+ｃx ＋１（a≠０),若f=ｍ，则f(﹣2０14）=( ) A ．﹣m ? B ．m ? Ｃ．０ D ．2﹣m 2.已知函数f （x ）＝lo ｇａ(6﹣ａx)在[0,2］上为减函数,则a 的取值范围是( ） A ．（０，１) B ．（1,3）?C ．（１,3]?D.［3，+∞） 3．已知有三个数ａ=( ）﹣ 2，b ＝4 ０．3 ,c ＝80.２ 5,则它们之间的大小关系是( ) A ．a 基本初等函数测试题 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有下列各式： ①n a n ＝a ； ②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0 ＝143 x y +; ④ 6 － 2 ＝ 3 －2. 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．函数y ＝a |x | (a >1)的图象是( ) 3．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝－2x C ．y ＝log 0.1x D ．y ＝x 12 4．三个数log 215 ，20.1,2－1 的大小关系是( ) A ．log 215<20.1<2－1 B ．log 215<2－1<20.1 C ．20.1<2－1 一、简答题 1、设． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的定义域和值域． 2、设函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； (3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． 4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是： P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*) (1)写出第x月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x月的销售量g(x)＝ (单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403) 6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋a ln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求 证:. 9、已知命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围． 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 专题5 基本初等函数与函数应用 编写：邵永芝 一、知识梳理 1、如果一个实数x 满足 ，那么称x 为a 的n 次实数方根。 2、（1）n N +∈ 时，n = ，（2）n = ；当n 为正偶 = 。 3、分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m n a = （0,1a m n N n +>∈>、，且）；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n a -= （0,1a m n N n +>∈>、，且） 4、有理数指数幂的运算性质：（1）r s a a = （2）()r s a = （3）()r ab = 5、指数函数的概念：一般地， 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 ，值域为 。 6、对数的概念：如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即 ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 。 7、对数与指数的关系：若0,1a a >≠，则x a =N ?log a N = 。 对数恒等式：log a N a = ；log N a a = 。 (0,1)a a >≠ 8、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么； （1）log a (M ·N )＝ （2）log a M N ＝ （3）log a M n ＝ 9、换底公式：log a N ＝log log b b N a (a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0)． 10、．对数函数的定义：一般地，我们把 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是(0，＋∞)．值域：R ． 11、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数． 12、幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)： （1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)． （2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减． 此文档下载后即可编辑 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的 n 次方等于 a （n 1,且 n x n a ，则x 称a 的n 次方根 n 1且n N ）， 1）当 n 为奇数时， a 的n 次方根记作 n a ； 2）当 n 为偶数时，负数 a 没有 n 次方根，而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作 n a （a 0） （2）．幂的有关概念 ①规定： 1） a n a a a （n N * ；2） a 0 1（a 0）； n a m (a 0,m 、n N * 且 n 1) 0,r 、 s Q)； 2)(a r )s a r s (a 0,r 、s Q)； 3) (a b)r a r b r (a 0,b 0,r Q)。 （注）上述性质对 r 、 s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果 a （a 0,且a 1） 的 b 次幂等于 N ，就是 a b N ，那么数 b 称以 a 为底 N 的 对数，记作 log a N b,其中a 称对数的底， N 称真数 1）以 10为底的对数称常用对数， log 10 N 记作lg N ； 基本初等函数 n 个 m 3) a p 1 1 (p Q ， 4） a n a p ②性质： 1) a r a s a r s (a N ） ，则这个数称 a 的 n 次方根。即若 3）当 n 为偶数时， n a |a| a(a 0) 。 a(a 0) 2）以无理数e（e 2.71828 ）为底的对数称自然对数，log e N ，记作ln N ； ②基本性质： 1）真数 N 为正数（负数和零无对数） ；2） log a 1 0 ； 3） log a a 1 ；4）对数恒等式： a logaN N 。 ③运算性质：如果 a 0,a 0,M 0, N 0, 则 1) log a (MN ) log a M log a N ； 2) log a M log a M log a N ； a N a a 3) log a M n n log a M (n R) ④换底公式： log a N log m N (a 0,a 0,m 0, m 1, N 0), log m a 1) log a b log b a 1；2)log a m b n n log a b 。 m 2．指数函数与对数函数 (1) 指数函数： ①定义：函数 y a x （a 0,且a 1） 称指数函数， 1）函数的定义域为 R ；2）函数的值域为 （0, ） ； 1时函数为减函数，当 a 1 时函数为增函数。 1）指数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以 x 轴为渐近线（当 0 a 1时，图象向左无限接近 x 轴，当 a 1时，图 象向右无限接近 x 轴）； 3）对于相同的 a （a 0,且a 1），函数 y a x 与y a x 的图象关于 y 轴对称 ③函数值的变化特征： （2）对数函数： ①定义：函数 y log a x （a 0,且a 1） 称对数函数， 1）函数的定义域为 （0, ） ；2）函数的值域为 R ； 3）当 0 a ②函数图 专题02 函数及基本初等函数 第三讲 函数的概念与性质答案部分 2019年 1.[1,7]-【解析】由2 760x x +-，得267 0x x --，解得17x -． 所以函数276y x x =+-的定义域是[1,7]-． 2.D 【解析】设 ，则 ， 所以f (-x )=e 1x --， 因为设 为奇函数，所以()e 1x f x --=-， 即()e 1x f x -=-+． 故选D ． 3.130 15 【解析】①草莓和西瓜各一盒的价格为6080140120+=>，则支付 14010130-=元； ②设促销前顾客应付y 元，由题意有()80%70%y x -，解得1 8 x y ，而促销活动条件是120y ，所以max min 111201588 x y ?? ==?= ???. 学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 4.A 【解析】由基本初等函数的图像与性质可知，只有12 y x =符合题意.故选A. 5.C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log )(log 4)4 f f =， 因为33lo g 4log 31>=，2303 2 02 2 21- -<<<=，所以233 2 302 2 log 4- - <<<， 又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233 2 31(2)(2)(log )4 f f f -->>. 故选C ． 2015-2018年 1．D 【解析】当0x ≤时，函数()2x f x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的 大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+ 此文档下载后即可编辑 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的 对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； 专题三 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1． 考点07 易 下列各式中成立的一项是( ) A. 7 1 77n n m m ??= ??? B. = ()34 x y =+ =2. 考点07 中难 函数1 1x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. ()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4 3． 考点07 难 函数2 212x x y -??= ??? 的值域为( ) A. 1,2 ??+∞???? B. 1,2 ??-∞ ?? ? C. 10,2 ?? ?? ? D. [)0,2 4． 考点08 易 已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的 取值范围是( ) A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 5．考点08 易 已知2log 0.3a =,0.12b =, 1.30.2c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B.c a b << C. a c b << D. b c a << 6． 考点08中难 函数y = ） A ．(0,8] B ．(2,8]- C ．(2,8] D ．[8,)+∞ 7． 考点08中难 函数212 log (617)y x x =-+的值域是( ) A. R B. [8,)+∞ C. (,3)-∞- D. [)3,+∞ 8．考点07，考点08 易 函数()log (1)x a f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A. 12 B. 14 专题3 基本初等函数 【三年高考】 1．【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 【答案】D 【考点】指、对数运算性质 【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示. 2．【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-， 0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a << 【答案】C 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 3．【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080 .则下列各数中与M N 最接近的是 （参考数据：lg 3≈0.48） （A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： 设 361 80310 M x N == ，两边取对数， 36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810 x ==-=?-=，所以93.28 10 x =，即M N 最接近9310，故选D. 【考点】对数运算 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的 运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是361 80310 x =时，两边取对数，对数运算公式包 含log log log a a a M N MN +=，log log log a a a M M N N -=，log log n a a M n M =. 4．【2016高考新课标3理数改编】已知43 2a =，25 4b =，13 25c =，则,,a b c 大小关系 是 ． 【答案】b a c << 【解析】 试题分析：因为4 223 3 5 244a b ==>=，1223 3 3 2554c a ==>=，所以b a c <<． 考点：幂函数的图象与性质． 【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不 §2 初等解析函数及其基本性质 一、基本初等函数 1.指数函数 ()y i y e z x sin cos exp += 加法定理 ()2121exp exp exp z z z z +=?。 z e z =exp ，即()y i y e e e e e x yi x yi x z sin cos +=?==+。 周期性 z e 是周期为()Z ∈k i k π2的周期函数。 2.对数函数 定义2 满足()0≠=z z e w 的函数()z f w =称为复变量z 的对数函数，记为Lnz w =。关于Lnz w =的表达式： 令θ i re z iv u w =+=,，则πθθk v r e re e e e u i iv u iv u 2,+==?==+， 即Argz v z r u ===,ln ln 。从而 注：Lnz 是多值函数，Argz 是多值函数。 当Argz 取主值z arg 时，Lnz 为单值函数，称其为Lnz 的主值，记为z ln ，即 z i z z arg ln ln += ?i k z Lnz π2ln += 注：当0>=x z 时，x x i x z ln arg ln ln =+=——实对数函数。 例2 证明对数运算性质： ⑴2121Lnz Lnz z Lnz +=?；⑵212 1 Lnz Lnz z z Ln -=。 证明⑴ 由对数定义表达式， 212121ln z iArgz z z z Lnz +=? ()2121ln Argz Argz i z z ++?= 2211ln ln iArgz z iArgz z +++=21Lnz Lnz +=； 同理可证⑵式。 例3 求()??? ? ? ?+--i Ln 232 1 ,3ln 及主值。 解 ( )() i i π+= -+-=- 3ln 2 1 3arg 3ln 3ln ； i k i i i i Ln π22321arg 2321ln 2321+??? ? ??+-++-=???? ??+- i k i k i πππ??? ? ? +=++=3122321ln ； 主值：i i i ππ32 321ln 2321ln =+=??? ? ??+- 。 由Lnz 的表达式，容易知道，有分析性质： Lnz 在除原点及负实轴的平面内连续且解析。 i k z i z Lnz π2arg ln ++=，而z arg 在原点及负实轴上不连续，即 Lnz 在除原点及负实轴的平面内连续。 又 在除原点及负实轴的平面内，z w e z w ln ,==有定义且互为反函数，有求导法则， z e dz z d w dw de w 1 11ln ===.Lnz ∴在除原点及负实轴的平面内解析。 从而，应用对数函数Lnz 时，皆指其除原点及负实轴的平面内的某一分支。 3.复数乘幂b a 及其计算 定义3 复数b a ,构成的乘幂：bLna b e a =，其中0≠a 。 可以分析讨论知道，其取值情况有： 1.(年广东卷文)若函数y 二f(x)是函数y 二a(a .0,且a=1)的反函数，且f(2) =1,则 所以,a = 2,故 f (x) = log 2 x ,选 A. x 亠3 y =lg 的图像，只需把函数 y =lg x 的图像上所有 10 ( ) A .向左平移3个单位长度，再向上平移 1个单位长度 B .向右平移3个单位长度，再向上平移 1个单位长度 C. 向左平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长 度 答案 C 1 o 3 a = g 2,b = log 1 3,c =(-).，则 2 2 A a 基本初等函数、函数与方程专题 1．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( ) 解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln [(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D ．故选A ． 2． 若0＜a ＜b ＜1，m ＝a b ，n ＝b a ，p ＝log b a ，则m ，n ，p 这三个数的大小关系正确的是( ) A ．n ＜m ＜p __ B ．m ＜n ＜p C ．p ＜m ＜n D ．p ＜n ＜m 解析：选B 由0log b b ＝1，而0 题型一 求函数值 【题型要点解析】 已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． 例1．若函数f (x )＝a |2x － 4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝4 23 1-?? ? ??x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【答案】 B 例2．已知函数f (x )＝??? 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0，3x 2＋ln 1＋x 2－x ，x <0， 若f (x －1)