高一数学函数一二次函数知识点及测试题

高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题

一次函数二次函数知识点：

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x ?)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

二次函数

1．解析式、待定系数法

若()2

f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．

变式1：若二次函数()2

f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点

坐标为(0,11)，则

A ．1,4,11a b c ==-=-

B ．3,12,11a b c ===

C ．3,6,11a b c ==-=

D ．3,12,11a b c ==-=

变式2：若()()2

23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______．

变式3：若二次函数()2

f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、

()2,0B x ，且2212269

x x +=

，试问该二次函数的图像由()()2

31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？

2．图像特征

将函数()2

361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最

大值或最小值，并画出它的图像．

变式1：已知二次函数()2

f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则

122x x f +??= ???

A ．2b a -

B ．b

a - C ． c D ．244ac

b a

-

变式2：函数()2

f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、

()1f -、()1f 的大小关系是

A ．()()()110f f f <-<

B ．()()()011f f f <-<

C ．()()()101f f f <<-

D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2

f x ax bx c =++的图像如右图所示，

请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．）单调性 已知函数()2

2f x x x =-，()()2

2[2,4]g x x x x =-∈．

(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．

x

y

O

变式1：已知函数()2

42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是

A ．3a ≥

B ．3a ≤

C ．3a <-

D ．3a ≤- 变式2：已知函数()()2

15f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，那么()2f 的取

值范围是_________．

变式3：已知函数()2

f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．

4．最值

已知函数()2

2f x x x =-，()()2

2[2,4]g x x x x =-∈．

(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．

变式1：已知函数()2

23f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取

值范围是

A ．[)1,+∞

B ．[]0,2

C ．[]

1,2 D ．(),2-∞

变式2：若函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则M + m 的值等于________． 变式3：已知函数()2

2

4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的

值．

5．奇偶性

已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．

变式1：若函数()()()

22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()

f x 是

A ．增函数

B ．减函数

C ．常数

D ．可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数()()2

312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标

是________．

变式3：设a 为实数，函数1||)(2

+-+=a x x x f ，R x ∈．

(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．

6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换

已知22

43,30

()33,0165,16

x x x f x x x x x x ?++-≤

=-+≤

(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数2

23y x x =-++的单调区间． 变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．

给下列命题：①)(x f 必是偶函数；

② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x =1对称；

③ 若02

≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数；

④)(x f 有最大值||2

b a -．

其中正确的序号是________．③

变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题： ①当c =0时，)(x f y =是奇函数；

②当b =0，c >0时，方程0)(=x f 只有一个实根；

③)(x f y =的图象关于点（0，c ）对称；

④方程0)(=x f 至多有两个实根．

上述命题中正确的序号为 ．

7．（北师大版第54页A 组第6题）值域

求二次函数2

()26f x x x =-+在下列定义域上的值域： (1)定义域为{}

03x Z x ∈≤≤；(2) 定义域为[]2,1-． 变式1：函数()2

()2622f x x x x =-+-<<的值域是

A ．?-???

B ．()20,4-

C ．920,2?

?- ??

? D ． 920,2?

?- ??

?

变式2：函数y =cos2x +sin x 的值域是__________．

变式3：已知二次函数 f (x ) = a x 2 + bx （a 、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x ) = f (1－x )，且方程 f (x ) = x 有等根．

(1)求 f (x ) 的解析式；

(2)是否存在实数 m 、n （m < n ），使 f (x ) 的定义域和值域分别为 [m ,n ] 和 [3m ,3n ]，如果

存在，求出 m 、n 的值，如果不存在，说明理由．

8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题

当,,a b c 具有什么关系时，二次函数()2

f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于

零？

变式1：已知函数 f (x ) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．

(I)若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； (II)若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．

变式2：已知函数2

()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a

的取值范围．

变式3：若f (x ) = x 2 + bx + c ，不论 α、β 为何实数，恒有 f (sin α )≥0，f (2 + cos β )≤0．

(I) 求证：b + c = －1； (II) 求证： c ≥3；

(III) 若函数 f (sin α ) 的最大值为 8，求 b 、c 的值． 9．（北师大版第54页B 组第1题）根与系数关系

右图是二次函数()2

f x ax bx c =++的图像，它与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，试确

定,,a b c 以及12x x ，12x x +的符号．

变式1：二次函数b ax y +=2

与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为

C ．

x

y

O x

y

O O

x

y

A ．

B ．

变

式

2

：

直

线

3-=mx y 与抛物线

x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=23,m +-

23:323C y x mx m =+--中至少有一条相交，则m 的取值范围是．

变式3：对于函数 f (x )，若存在 x 0 ∈ R ，使 f (x 0) = x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ) 的不动点．如果函数 f (x ) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x 1、x 2．

(I)若 x 1 < 1 < x 2，且 f (x ) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > 1

2

；

(II)若 | x 1 | < 2 且 | x 1－x 2 | = 2，求 b 的取值范围． 10．（北师大版第52页例3）应用

绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进

货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

变式1：在抛物线()2

f x x ax =-+与x 轴所围成图形的内接

矩形(一边在x 轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a 是正实数．

变式2：某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）

(1) 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关

系式；

(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B

两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？

变式3：设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a ) ．

（Ⅰ）求g (a )；（Ⅱ）试求满足)1

()(a

g a g 的所有实数a ．

二次函数答案

1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法

变式1： 解：由题意可知2

2

241411

b

a ac b

a

c ?-=??-?=-??=???

，解得31211a b c =??=-??=?，故选D ．

变式2： 解：由题意可知

212b +=，解得b =0，∴012

c

+=，解得c =2． 变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为()()2

31f x x k =--+， 展开得()2

363f x x x k =-+-+，

∴121232,3

k x x x x -+==

， ∴()2

22

1212122629x x x x x x +=+-=

，即()2326439

k --=，解得4

3k =．

所以，该二次函数的图像是由()()2

31f x x =--的图像向上平移 43 单位得到的，它的

解析式是()()2

4313f x x =--+

，即()2

5363

f x x x =-+-． 2．（北师大版第52页例2）图像特征

变式1： 解：根据题意可知1222x x b a +=-，∴ 122x x f +??= ???

2

44ac b

a -，故选D ． 变式2： 解：∵()()11f x f x +=-，∴抛物线()2

f x x px q =++的对称轴是1x =，

∴ 12

p

-

=即2p =-， ∴()2

2f x x x q =-+，∴()0f q =、()13f q -=+、()11f q =-+， 故有()()()101f f f ->>，选C ． 变式3： 解：观察函数图像可得： ① a >0(开口方向)；② c =1(和y 轴的交点)；

③ 4210a b ++=(和x 轴的交点)；④10a b ++<(()10f <)；

⑤ 2

40b a ->(判别式)；⑥ 122b

a

<-

<(对称轴)． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性

x

y

O

变式1： 解：函数()2

42f x x ax =++图像是开口向上的抛物线，其对称轴是2x a =-，

由已知函数在区间(),6-∞内单调递减可知区间(),6-∞应在直线2x a =-的左侧， ∴26a -≥，解得3a ≤-，故选D ．

变式2：解：函数()()2

15f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，由于其图像(抛物

线)开口向上，所以其对称轴12a x -=或与直线12x =重合或位于直线1

2

x =的左侧，即应有

11

22

a -≤，解得2a ≤， ∴

()()241257f a =--?+≥，即()27f ≥．

变式3：解：函数()2

f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是2

k

x =

， ∵ 已知函数在[2,4]上是单调函数，∴ 区间[2,4]应在直线2

k

x =的左侧或右侧， 即有

22k ≤或42

k

≥，解得4k ≤或8k ≥． 4．（人教A 版第43页B 组第1题）最值

变式1： 解：作出函数()2

23f x x x =-+的图像，

开口向上，对称轴上x =1，顶点是(1，2)，和y 轴的交点是(0，3)， ∴m 的取值范围是12m ≤≤，故选C ．

变式2： 解：函数有意义，应有2

40x -+≥，解得22x -≤≤，

∴ 2

044x ≤-+≤ ?

02≤ ?

06≤，

∴ M =6，m =0，故M + m =6．

变式3： 解：函数()f x 的表达式可化为()()2

4222a f x x a ?

?=-+- ??

?．

① 当022

a

≤

≤，即04a ≤≤时，()f x 有最小值22a -，依题意应有223a -=，x

y

O

解得1

2a =-

，这个值与04a ≤≤相矛盾． ②当02

a <，即0a <时，()2

022f a a =-+是最小值，依题意应有2223a a -+=，

解得1a =，又∵0a <，∴1a =

③当

22

a

>，即4a >时，()2216822f a a a =-+-+是最小值，

依题意应有2168223a a a -+-+=，解得5a =4a >，∴5a =为所求．

综上所述，1a =5a = 5．（人教A 版第43页A 组第6题）奇偶性

变式1： 解：函数()()()

22111f x m x m x =-+-+是偶函数 ? 2

10m -= ?

1m =±，

当1m =时，()1f x =是常数；当1m =-时，()2

21f x x =-+，在区间(],0-∞上()

f x 是增函数，故选D ．

变式2：解：根据题意可知应有120a a -+=且0b =，即1

3

a =且0

b =，∴点(),a b 的坐标是1,03?? ???

．

变式3： 解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-，此时，)(x f 为

偶函数；

当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2

++=-a a a f ，

)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠，此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．

（II ）（i ）当a x ≤时，4

3)21

(1)(2

2+

+-=++-=a x a x x x f ， 若2

1

≤

a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2

+=a a f ．

若21>

a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=4

3

)21(，且)()2

1

(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数4

3)21(1)(2

2+

-+=+-+=a x a x x x f ，

若21-

≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-4

3

)21(，且)()2

1

(a f f ≤-，

若2

1

->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的

最小值为1)(2+=a a f ．

综上，当21-

≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43

； 当21

21≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；

当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +4

3

．

6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换

变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．

当0x ≥时，()2

2

2314y x x x =-++=--+， 当0x <时，()22

2314y x x x =--+=-++．

作出函数图像，由图像可得单调区间．

在(),1-∞-和(]0,1上，函数是增函数；在[]1,0-和()1,+∞上，函数是减函数． 变式2： 解：若1,1,a b ==则22

()|21|21f x x x x x =-+=-+，显然不是偶函数，所以①是不正确的；

若1,4,a b =-=-则2

()|24|f x x x =+-，满足)2()0(f f =，但)(x f 的图像不关于直线x =1对称，所以②是不正确的；

若02≤-b a ，则22

()|2|2f x x ax b x ax b =-+=-+，图像是开口向上的抛物线，其

对称轴是x a =，∴)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数，即③是正确的；

显然函数()2

()|2|f x x ax b x R =-+∈没有最大值，所以④是不正确的．

x

y

O

变式3： 解：22,0

()||,0

x bx c x f x x x bx c x bx c x ?++≥?=++=?-++

(1)当c =0时，()f x x x bx =+，满足()()f x f x -=-，是奇函数，所以①是正确的；

(2)当b =0，c >0时，22,0

(),0

x c x f x x x c x c x ?+≥?=+=?-+

方程0)(=x f 即200x c x ?+=?≥? 或20

x c x ?-+=?

显然方程200x c x ?+=?≥?无解；方程20

0x c x ?-+=?

的唯一解是x =，所以② 是正确

的；

(3)设

()

00,x y 是函数()||f x x x b x c =++图像上的任一点，应有

0000||y x x bx c =++，

而该点关于（0，c ）对称的点是()00,2x c y --，代入检验00002||c y x x bx c -=--+即0000||y x x bx c -=---，也即0000||y x x bx c =++，所以()00,2x c y --也是函数()||f x x x bx c

=++图像上的点，所以③是正确的； (4)若1,0b c =-=，则()||f x x x x =-，显然方程||0x x x -=有三个根，所以④ 是不正确的．

7．（北师大版第54页A 组第6题）值域

变式1： 解：作出函数()2

()2622f x x x x =-+-<<的图象，容易发现在32,2

??- ??

?

上

是增函数，在3,22??????

上是减函数，求出(2)20f -=-，(2)4f =，39

()22

f =

，注意到函数定义不包含2x =-，所以函数值域是920,2

??- ??

?

．

变式2：解：∵ y = cos2x +sin x =－2sin 2x +sin x +1，令t = sin x ∈ [－1,1]，

则y =－2t 2+t +1，其中t ∈ [－1,1]，

∴y ∈ [－2, 98 ]，即原函数的值域是[－2, 9

8 ]．

变式3： 解：(I) ∵

f (1 + x ) = f (1－x )，

∴ －b

2a

= 1，