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对称导数的研究-学生毕业论文正文
对称导数的研究
1 引言
人们之所以引入各种形式的导数概念，是因为导数是研究函数的重要工具，而对称导数也是诸多导数概念的一种，但是导数和对称导数在研究许多问题时有着异曲同工之处.当然有很多数学研究者对它们都进行了深入的研究，同时本文也对对称导数做了一些初步的研究和讨论.
在1967年就有文献提出了一阶对称导数的概念，并且有一系列的定理和命题都是由对称导数而引发的，从而使微分学在今后的研究中有更广的作用，同时对称导数的概念也得到了许多应用.有关对称导数的概念在国内文献中也有介绍和研究，但仍有一些有关传统导数的定理还没在对称导数中得到推广.
函数性质研究的核心内容就是导数，但是对于一些微积分的理论等也有不少研究.而本文则利用对称导数的基本定义、性质以及与导数性质的同异做了些许阐述，同时也对微分中值定理做了一些研究，如函数的连续性以及函数的可导与连续的关系，同时还可以将对称导数的应用推广到更深层次的研究上.
在数学教材上一般在讲述微分中值定理时，按照的先后顺序是先引入Rolle引理、其次是Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等等.像这样由浅入深，逐步深入的处理方式是使得学者能更自然易懂的接受，当然也已经成为了大家公认的标准讲法.一般要证明Lagrange和Cauchy中值定理，都是通过适当的引入Rolle定理，然后再借助辅助函数的构造便可证明出来.
众所周知，Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理是微分学中最常用的中值定理.而本文根据对称导数的一些性质概念及微分中值定理，将关于对称导数微分中值定理进行了推广以及具有等式型的微分中值定理以及带对称导数的洛比达法则和达布定理，为此为今后的研究应用提供了帮助.
本文总共分为五个部分。本文第一部分为引言。第二部分给出了对称导数的概念，并给出了一些关于对称导数的性质。如函数的连续性以及函数的可导与连续的关系。第三部分是得出了关于对称导数具有等式型的中值定理。第四部分是对对称导数的Rolle中值定理、Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理进行了推广。第五部分是通过带Dini导数的洛必达法则和达布定理联想到带对称导数的洛必达法则和达布定理并给出了证明。
2 基本概念
定义 2.1 设函数()f x 在x 的某个领域内有定义，若极限 0
()()
lim
2h f x h f x h h
→+--
存在，则称此极限为()f x 在点x 的对称导数, 记作()s f x .
结论1 若函数()f x 在点0x 可导,则0()s f x 一定存在，并且值相等.
证明： '000000()()()()
1()lim []2h f x h f x f x h f x f x h h +→+---=+-
0000()()lim ()2s
h f x h f x h f x h
+→+--==.
反之, 如果函数0()s f x 存在,但函数()f x 在点0x 不一定可导. 例 设()f x =||x , 函数()f x 在0x =点对称可导, 但是却不可导.
证明：0(0)(0)
(0)lim 2s h f h f h f h →+--=
0||||
lim
02h h h h
→--==. 而0(0)(0)
(0)lim h f h f f h →+-'=
||0||
h h h h -==. 0||lim 1,h h h +→=
0||
lim 1h h h -→==-. 所以(0)f '不存在.
结论2 函数()f x 对称可导, 函数()f x 不一定连续. 例 1,0
()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩
在0x =处不连续，但却是对称可导.
证明： 0(0)(0)
(0)lim 2s x f x f x f x ∆→+∆--∆=∆
=01(1)
lim 2x x x x
∆→∆+--∆+∆
02lim
12x x
x ∆→∆==∆. 即()f x 在0x =点处对称可导. 结论3 函数()f x 连续, 但对称导数未必存在.
例 ()f x =0x =处连续，但(0)s f 不存在. 证明：显然()f x 在x=0处连续，但
0(0)(0)
lim 2h f h f h h
→+--=
02h h
→=
1
3
2300
2lim lim 2h h h h h -→→==.
而2
2
3
3
lim ,lim h h h
h
-+--→→=-∞=+∞.
所以(0)s f 不存在.
3、关于对称导数的中值定理
引理 3.1[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 对称可导，则函数()()()f x u x v x =+在点0x 也对称可导，且
000()()()s s s f x u x v x =+.
引理 3.2[1] 设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内对称可导，对(,)x a b ∀∈， ()s f x 有限，()()f a f b =，则,(,)c d a b ∃∈及12120,0,1λλλλ≥≥+=，使得 12()()0s s f c f d λλ+=. 这定理的形式类似于罗尔定理.
定理 3.3设()f x 在[,]a b 上连续，对(,)x a b ∀∈，()s f x 有限，则,(,)c d a b ∃∈及
12120,0,1λλλλ≥≥+=，使得
12()()
()()s s f b f a f c f d b a λλ-=+-.
证明：令
()1
()()1()1
f a a F x f b b f x x =,
由()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内对称可导，则可知()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内对称可导，且
()1
1()1()()()1()1()1()()1
f a a a f a f a a
F x f b b f x x b f b f b b
f x x ==-+. 由于 1
()1
()()()
1()1()a f a f a a
F a f a a
b f b f b b =-+
, 1()1()
()()1()1()
a f a f a a
F b f b b b f b f b b =-+
.
易知()()F a F b =，且对(,)x a b ∀∈，1()1()()
1
()1
s s a
f a F x f x b
f b =-
.
由于()s f ξ有限,故()s F x 有限.由引理 3.2知, ,(,)c d a b ∃∈及
12120,0,1λλλλ≥≥+=，使得
12()()0S S F c F d λλ+=. 故
11
22
1()11()1()()
01
()1
1
()1
s s
a f a a f a f c f d
b f b b f b λλλλ-+-=.
则可证得
12()()
()()s s f a f b f c f d b a
λλ-=+-.
这定理的形式类似于拉格朗日定理.
定理3.4 设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)x a b ∀∈, ()s f x 、()s g x 有限.()s g x 存在且对(,)x a b ∀∈，()0s g x ≠, 则,(,)c d a b ∃∈及12120,0,1λλλλ≥≥+=, 使得
1212()()
()()()()()()
s s s s f c f d f a f b g a g b g c g d λλλλ+-=
-+. 证明：假设()()0g b g a -=，即()()g b g a =. 则可知满足由引理3.2的条件，即
12,(,)a b ηη∃∈及12120,0,1λλλλ≥≥+=，使得
1122()()0s s g g ληλη+=.
由于()0s g x ≠且12120,0,1λλλλ≥≥+=，故可知1122()()s s g g ληλη+不可能为0， 故 ()()0g b g a -≠. 令
()()1
()()()1()()1
f a
g a F x f b g b f x g x =,
且
()1()1()()()()
()
()1
()1
()()
g a f a f a g a F x f x g x g b f b f b g b =-+
.
因为()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，()s f x 、()s g x 在(,)a b 内存在，故()F x 在(,)a b 内对称可导，则
()1()1()()
()
()1
()1
s s s g a f a F x f x g x g b f b =-.
由定理3.3知，,(,)c d a b ∃∈及12120,0,1λλλλ≥≥+=，使得
12()()
()()s s F b F a F c F d b a λλ-=+-
1122()1()1()1()1
()()()()
()1()1()1()1
s s s s g a f a g a f a f c g c f d g d g b f b g b f b λλλλ=-+- 1212()1()1[()()][()()]
()1()1
s s s s
g a f a f c f d g c g d g b f b λλλλ=+-+.
且由于
()1()1()()()()
()
()1
()1
()()g a f a f a g a F a f a g a g b f b f b g b =-+
,
()1()1()()()()
()
()1
()1
()()g a f a f a g a F b f b g b g b f b f b g b =-+
.
易知 ()()F a F b =, 即
()()
0F b F a b a -=-. 故
1212()1()1
[()()][()()]0()1()1
s s s s g a f a f c f d g c g d g b f b λλλλ+-+= .
由于对(,)x a b ∀∈，()0s g x ≠,且12120,0,1λλλλ≥≥+=， 故 12()()0s s g c g d λλ+≠ 即
1212()()
()()()()()()s s s s f c f d f a f b g a g b g c g d λλλλ+-=
-+. 即定理得证.
这定理的形式类似于柯西定理.
注：定理3.3和定理3.4，江晓琼在文献[1]中已经证明了，但本文运用了不同的方法使其得证.
4 关于对称导数微分中值定理的推广
定理4.1（Rolle 中值定理的推广1）
如果()f x 在(,)a b 内对称可导，且lim ()lim ()x a
x b
f x f x A +-
→→==，其中A 为有限、或+∞或-∞，则存在,(,)c d a b ∈及12120,0,1λλλλ≥≥+=,使得 12()()0s s f c f d λλ+=. 证明：
（1）A 为有限值时，则令
(),(,)
(),,f x x a b F x A x a b
∈⎧=⎨=⎩,
可知()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内对称可导，即由引理3.2知，,(,)c d a b ∃∈及
12120,0,1λλλλ≥≥+=使得
1212()()()()0s s s s F c F d f c f d λλλλ+=+=.
(2) A =+∞时，由于()f x 在(,)a b 内对称可导，则()f x 在(,)a b 内连续，故由lim ()lim ()x a
x b
f x f x +-
→→==+∞可知，对充分大的0M >,0(,)x a b ∃∈，使0()f x M <. 则y M =和()y f x = 至少有两个交点11(,())x f x ，22(,())x f x . 即12()()f x f x M ==，
12,(,)x x a b ∈（不妨设12x x <）, 则 ()f x 在[]12,x x 上满足引理3.2的条件，故
12,(,)(,)c d x x a b ∃∈⊂及12120,0,1λλλλ≥≥+= 使得
12()()0s s f c f d λλ+=. （3）A =-∞时，类似（2）即可得证. 定理4.2 (Rolle 中值定理的推广2)
如果()f x 、()g x 、()h x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内对称可导，则存在,(,)c d a b ∈及
12120,0,1λλλλ≥≥+=，使得
121212()
()()()
()
()
0()()()()()()
s s s s s s f a g a h a f b g b h b f c f d g c g d h c h d λλλλλλ=+++.
证明：令
()()()
()()
()()()()()
f a
g a
h a F x f b g b h b f x g x h x =. 由于()f x 、()g x 、()h x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内对称可导，则可知()F x 在
[],a b 上连续，在(,)a b 内对称可导.
且
()()()()()()()()()()()()()()()()g a h a f a h a f a g a F a f a g a h a g b h b f b h b f b g b =-+, ()()()()()()()()
()
()
()()
()()
()
()
g a h a f a h a f a g a F b f b g b h b g b h b f b h b f b g b =-+.
易知()()0F a F b ==，则由引理3.2可知,(,)c d a b ∃∈及12120,0,1λλλλ≥≥+=. 使得
12()()0s s F c F d λλ+=. 即
121212()
()()()
()
()
0()()()()()()
s s s s s s f a g a h a f b g b h b f c f d g c g d h c h d λλλλλλ=+++.
则定理得证.
定理4.3 (Lagrange 中值定理的推广)
如果()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内对称可导，且(0)f a +与(0)f b -存在，则存在,(,)c d a b ∈及12120,0,1λλλλ≥≥+=，使得
12(0)(0)
()()s s f b f a f c f d b a
λλ--++=-.
证明：（1）当(0)f a +=(0)f b -时，由引理3.2知，结论成立. （2）当(0)f b -≠(0)f b -时，作辅助函数
(0)(0)
()()(0)()f b f a F x f x f a x a b a
--+=-+---.
易知()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内对称可导，且
(0)(0)
(0)(0)(0)()0f b f a F a f a f a a a b a
--++=+-+-
-=-,
(0)(0)
(0)(0)(0)()0f b f a F b f b f a b a b a
--+-=--+--=-.
由引理3.2知，,(,)c d a b ∃∈及12120,0,1λλλλ≥≥+=使得 12()()0s s F c F d λλ+=. 而
(0)(0)
()()s s f b f a F c f c b a
--+=--,
(0)(0)
()()s s f b f a F d f d b a --+=--.
故
12(0)(0)
()()s s f b f a f c f d b a
λλ--++=-.
则定理得证.
定理4.4 (Cauchy 中值定理的推广)
如果()f x 、()g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内对称可导，且对任意的
(,),()0s x a b g x ∈≠，且(0),(0),(0),(0)f a f b g a g b +-+-都存在，则存在,(,)c d a b ∈，
及12120,0,1λλλλ≥≥+=，使得
1212()()(0)(0)
()()(0)(0)
s s s s f c f d f b f a g c g d g b g a λλλλ+--+=
+--+. 证明：首先要证明(0)(0)0g b g a --+≠.
假设(0)(0)0g b g a --+=，即(0)(0)g b g a -=+，则由引理3.2知，
12,(,)a b ηη∃∈及12120,0,1λλλλ≥≥+=，使得
1122()()0s s g g ληλη+=.
由于对任意的(,),()0s x a b g x ∈≠ ，故 1122()()0s s g g ληλη+≠, 故
(0)(0)0g b g a --+≠.
作辅助函数
(0)(0)
()()(0)[()(0)](0)(0)
f b f a F x f x f a
g x g a g b g a --+=-+-
-+--+.
易知()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内对称可导，且
(0)(0)
(0)(0)(0)[(0)(0]0(0)(0)f b f a F a f a f a g a g a g b g a --++=+-+-
+-+=--+,
(0)(0)
(0)(0)(0)[(0)(0]0(0)(0)
f b f a F b f b f a
g b g a g b g a --+-=--+-
--+=--+. 即(0)F a +(0)F b =-，则由定理4.3知，,(,)c d a b ∃∈及12120,0,1λλλλ≥≥+=，使得
12(0)(0)
()()s s F b F a F c F d b a
λλ--++=-.
故
11
22(0)(0)(0)(0)()()()()0(0)(0)(0)(0)
s s s s
f b f a f b f a f c
g c f d g d g b g a g b g a λλλλ--+--+-+-=--+--+.
由于对∀(,),()0s x a b g x ∈≠，则有
1212()()(0)(0)
()()(0)(0)
s s s s f c f d f b f a g c g d g b g a λλλλ+--+=
+--+. 故定理得证.
5 带对称导数的洛必达法则和达布定理
引理1[6] 设:f R R →在[,]a b 上为上半连续，在(,)a b 内对称可导.若()()f a f b <，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0s f ξ≥.
引理2[6] 设:f R R →在[,]a b 上为下半连续，在(,)a b 内对称可导.若()()f a f b >，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0s f ξ≤.
定理5.1（对称导数的洛必达法则）
若 （1）()f x ，()g x 在()0U a 内连续，()()lim lim 0x a
x a
f x
g x →→==；
（2）()s f x ，()s g x 在()0U a 内有限，且对()0x U a ∀∈，()0s g x ≠；
（3）若()()lim s s x a f x r g x →=，则()()lim x a f x g x →存在，且()
()
lim
x a f x r g x →=. 证明：令()()
f x x a x x a ϕ≠⎧=⎨
=⎩
， ()()
g x x a
x x a
ψ≠⎧=⎨=⎩. 则()x ϕ，()x ψ在点a
的某邻域()U a 内连续.对()0x U a ∀∈，在以x 与a 为端点的区间上()x ϕ，()x ψ满足
定理
3.4的条件，则在x 与a 之间存在点c ，d 及1
2
120,0,1λλ
λλ≥≥+=.使得
()()()()()()()()12
12
s s
s s
x a c d x a c d ϕϕλϕλϕψψλψλψ-+=-+. 因为()()0a a ϕψ==，x a ∀≠，有
()()()()()(),,s s x f x x g x c f c ϕψϕ===,
()()()()()(),,s
s s s s s d f d c g c d g d ϕ
ψψ===.
从而
()()()()()()
1212()()()()s s
s s f x f c f d x a x a g x g c g d λλϕϕψψλλ+-==
-+.
因为c ，d 在x 与a 之间，所以当x a →时有,c a d a →→，于是有
()()()()()()1
2,12
lim lim
s
s s s x a c a d a f x c d g x c d λϕλϕλψλψ→→→+=+
=()()()()()()1
2,,1212
lim lim s
s s s s s c a d a c a d a c d c d c d λϕλϕλψλψλψλψ→→→→+++ =()()()()1,12lim s s s c a d a s c c d c ϕλψψλλψ→→++()()
()
()
2,21lim s s
s c a d a s
d d c d ϕλψψλλψ→→+. 由于 ()
()
lim s s
x a x r x ϕψ→=,故 ()()()11,1212lim s s s c a d a c r c d λϕλλψλψλλ→→=++，()()()12
,1
212lim s s s c a d a d r c d λϕλλψλψλλ→→=++. 故 ()
()
lim
x a
f x r
g x →=. 即定理得证.
定理5.2（对称导数的达布定理）设()f x 在[],a b 上连续，()s f x 在(),a b 内 有限，()s f a 与()s f b 存在且()()s s f a f b ≠，则对于()s f a 与()s f b 之间的任一值ρ， 存在(),,c d a b ∈及120,0λλ≥≥且121λλ+=，使得 ()()12s s f c f d λλρ+=.
证明： 不妨设()()s s f a f b ρ<<. 令
()()F x f x x ρ=-,
则()F x 在[],a b 上连续且()()0s s F a f a ρ=-<，()()0s s F b f b ρ=->，则 ∃
,(0,)h r b a ∈-，使得
()()0F a h F a +-<，()()0F b r F b -->.
因此
()()F a h F a +<，()()F b r F b -<.
由引理2知，存在(),c a a h ∈+，使得()0s F c ≤.由引理1知，存在(),d b r b ∈-，
使得()0s F d ≥.
(1) 当(),()S S F c F d 都等于0时，显然()()120s s F c F d λλ+=.
(2) 当(),()S S F c F d 至少有一个不等于0时，不妨设()0S F d ≠，令
()0()
s s F c a F d =-≥, 则存在1210,0,11a a a λλ=≥=≥++121λλ+=, 使得 12()()0s s F c F d λλ+=.
故可知存在120,0λλ≥≥，121λλ+=使得()()120s s F c F d λλ+=.
即
()()120s s f c f d λρλρ⎡⎤⎡⎤-+-=⎣⎦⎣⎦.
这表明
()()12s s f c f d λλρ+=.
即定理得证.
6 结束语
本论文在学习研究前人相关研究成果的基础上，简单的给出了一些对称导数的性质后,本文研究了有关对称导数和导数的一些性质的区别，如对称可导和函数连续性之间的联系.本文还重点推广了对称导数微分中值定理以及得出了具有等式型的对称导数微分中值定理,所得结果使对称导数在应用中能更好的发挥作用.同时还得出了带对称导数的罗比达法则和达布定理.
我们还可以推广出关于对称导数的泰勒公式以及对称导数微分中值定理的高阶形式等, 总之，研究对称导数是非常有意义的.
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致谢
本论文是在江慎铭老师严格要求和精心指导下完成的。导师严谨的治学态度、求实的工作作风、创新的学术思想、孜孜不倦的敬业品德是我一生需要学习的。我今后将在自己的工作岗位上积极进取、发奋图强，努力回报导师的殷切教诲。
在论文的整个过程中，江老师不厌其烦一次次指出论文中的错误与不足、一次次的提出论文的改进方案和办法，让我得以解决论文中所遇到的一个个问题与难点，包括最开始对于对称导数的概念以及一些定义都从未接触过，是老师给予了我方向性的引导，使我侧重于考虑一些有意义的工作，同时也深深的认识到自己的专业知识有限，最重要的是让我明白了要以怎样的态度来面对一项你要完成的事情。
感谢大学四年所有任课和给过我帮助指导的老师，谢谢四年一直帮助我们的学院领导和辅导员老师，太多要感谢的老师、太多感谢的话语，无法一一言表，真心的感谢你们。
感谢陪我度过大学四年的所有同学，因为你们，我的大学显得很精彩，因为你们，
我完成了一张画面丰富的大学拼图，谢谢你们！
数学论文导数及应用
数学论文导数及应用 导数作为微积分知识的一个重要组成部分，在人们的生活中占据着举足轻重的地位。接下来店铺为你整理了数学论文导数及应用，一起来看看吧。 数学论文导数及应用篇一 【摘要】导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的形态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力。因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数(解析式、值域、最(极)值、单调区间等)问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题。 【关键词】导数;新课程;应用 导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。 一、导数在高中数学新课程中的地位 《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成。在系列1和系列2中都选择了导数及其应用。显然，导数的重要性不言而喻。 二、导数在解题中的应用 导数作为高中新教材的新增内容，有广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。 (一)利用导数解决函数问题 利用导数可以求函数的解析式，求函数的值域，求函数的最(极)值，求函数的单调区间。
例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，确定函数的解析式。 解因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为(0，d)，又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，从而c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。解得a=2，b=-9，所以所求函数解析式为y=2x3+9x2+12x-4。 例2 求函数f(x)= - 的值域。 解：f(x)定义域为[-1/2，+∞)，由于f′(x)= - = ，又2 - = ，可见当x>-1/2时，f′(x)>0.所以f(x)= - 在[-1/2，+∞)上是增函数。而f(-1/2)=- /2，所以函数f(x)= - 的值域是[- /2，+∞)。 例3 求函数f(x)=x3-3x在[-3，3/2]上的最大值和最小值。 解由于f′(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1)，则当x∈[-3，-1)或x∈(1，3/2]时，f′(x)>0，所以[-3，-1]，[1，3/2]为函数f(x)的单调增区间;当x∈(-1，1)时，f′(x)<0，所以[-1，1]为函数f(x)的单调减区间。又因为f(-3)=-18，f(-1)=2，f(1)=-2，f(3/2)=-9/8，所以，当x=-3时，f(x)取得最小值-18;当x=-1时，f(x)取得最大值2。 例4 求f(x)=x3+3/x的单调区间。 解：f(x)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，又f′(x)=3x2-3/x2= ，由f′(x)>0，得x<-1或x>1;又由f′(x)<0，得-1 (二)利用导数解决切线问题 例5 已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称I是C1和C2的公切线，求公切线l的方程。 解由C1：y=x2+2x，得y′=2x+2，所以曲线C1在点P(x1，x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-x12。 (1) 由y=-x2+a，得y′=-2x，所以曲线C2在点Q(x2，-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2)，即y=-2x2x+x22+a。 (2)
数学专业毕业论文-导数在高中数学教学中的应用
数学专业毕业论文-导数在高中数学教学中的应用导数在高中数学中的应用 学生姓名 院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级 2008级班 学号 指导教师 四川师范大学教务处 二?一一年五月 导数在中学数学中的应用 学生: 指导老师: 内容摘要:导数的思想方法在中学数学中是非常重要的, 在解决许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用.本文着重运用导数的基本知识和理论, 来解决中 学数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题;在掌握导数的相关概念的基 础上应用导数作出特殊函数的图像;应用导数解题的一般方法证明某些不等式或 等式的成立问题;解决数列的有关问题;再根据导数所具有的几何意义在解析几何中切线相关问题及求夹角问题等几何问题进行了一些探讨. 关键字:导数函数不等式解析几何 Derivatives in high school mathematics teaching Abstract: the thinking method of derivative in middle school mathematics is very important, except the guiding role in solve many problems as commanding
and to simplify the numerous role. In this paper the basic knowledge and using derivatives, to solve the middle school mathematics theory of the function of image, monotonicity and most value function problem,In master derivative based on the concept of application related to make a special function of images of derivative,The general method of solving application derivative to prove some inequality or equation established problem, Solve problems related series, Again according to the geometrical meaning which derivative in analytic geometry in tangent related problems and geometric problems for Angle problems are analyzed . Key words: derivative function inequality Analytic geometry 目录 1 引言 (1) 2.1 函数连续的定义 (2) 2.2 导数的定义 ....................................... 2 3 导数在函 数问题中的应用 (3) 3.1 利用导数作函数的图像 (3) 3.2 利用导数求参数的值 (4) 3.3 判断函数的单调性 (5) 3.4 研究方程的根 (5) 3.5 求函数极值或最值 ................................. 6 4 导数在证 明等式和不等式问题中的应用 (8) 4.1导数在不等式证明中的应用 (8)
浅谈导数及应用毕业论文
0000/)()(lim )()(lim lim )(0x x x f x f x x f x x f x y x f x x o x o x --=?-?+=??=→→?→?； 2． 导数的几何意义：函数y =f (x )在0x 处的导数的几何意义，就是曲线y =f (x )在点),(00y x 处的切线的斜率，即斜率为)(0x f ' 过点P 的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-. 3. 导函数、可导：如果函数y =f (x )在开区间),(b a 的每点处都有导数，即对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(0x f '，从而构成了一个新的函数)(0x f ', 称这个函数)(0x f '为函数y =f (x )在开区间的导函数，简称导数。此时称函数y =f (x )在开区间),(b a 可导. 4． 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点0x 处可导，那么函数y =f (x )
在点0x 处连续. 5. 依定义求导数的方法： （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+=??)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 6．几种常见函数的导数： 0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；x x 1)'(ln =；e x x a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。 7．导数的四则运算法则： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+； [()]'()Cu x Cu x '=；' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 8． 复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或'x y =f ′(u ) ?′(x ). 9. 求导数的方法: (1)求导公式 (2)导数的四则运算法则 (3)复合函数的求导公式 (4)导数定义 10.导数的概念及运算的相关例题 例1（1）求曲线1 22+=x x y 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t t t S +-=，求t=3时的速度 分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y =f (x )在0x 处的导数就是曲线y =f (x )在点),(00y x p 处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间
对称导数的研究-学生毕业论文正文.doc
对称导数的研究-学生毕业论文正文
对称导数的研究 1 引言 人们之所以引入各种形式的导数概念，是因为导数是研究函数的重要工具，而对称导数也是诸多导数概念的一种，但是导数和对称导数在研究许多问题时有着异曲同工之处.当然有很多数学研究者对它们都进行了深入的研究，同时本文也对对称导数做了一些初步的研究和讨论. 在1967年就有文献提出了一阶对称导数的概念，并且有一系列的定理和命题都是由对称导数而引发的，从而使微分学在今后的研究中有更广的作用，同时对称导数的概念也得到了许多应用.有关对称导数的概念在国内文献中也有介绍和研究，但仍有一些有关传统导数的定理还没在对称导数中得到推广. 函数性质研究的核心内容就是导数，但是对于一些微积分的理论等也有不少研究.而本文则利用对称导数的基本定义、性质以及与导数性质的同异做了些许阐述，同时也对微分中值定理做了一些研究，如函数的连续性以及函数的可导与连续的关系，同时还可以将对称导数的应用推广到更深层次的研究上. 在数学教材上一般在讲述微分中值定理时，按照的先后顺序是先引入Rolle引理、其次是Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等等.像这样由浅入深，逐步深入的处理方式是使得学者能更自然易懂的接受，当然也已经成为了大家公认的标准讲法.一般要证明Lagrange和Cauchy中值定理，都是通过适当的引入Rolle定理，然后再借助辅助函数的构造便可证明出来. 众所周知，Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理是微分学中最常用的中值定理.而本文根据对称导数的一些性质概念及微分中值定理，将关于对称导数微分中值定理进行了推广以及具有等式型的微分中值定理以及带对称导数的洛比达法则和达布定理，为此为今后的研究应用提供了帮助. 本文总共分为五个部分。本文第一部分为引言。第二部分给出了对称导数的概念，并给出了一些关于对称导数的性质。如函数的连续性以及函数的可导与连续的关系。第三部分是得出了关于对称导数具有等式型的中值定理。第四部分是对对称导数的Rolle中值定理、Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理进行了推广。第五部分是通过带Dini导数的洛必达法则和达布定理联想到带对称导数的洛必达法则和达布定理并给出了证明。
导数论文
导数的应用 微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数和微分。导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。对此，我们开展了有关”导数的应用”的课题讨论, 主要对导数在函数中的应用进行简单的探讨。 我们知道，函数的性质有单调性、周期性、奇偶性、对称性等，对于函数的研究我们通常借助于它的图像。导数就是对函数的图像与性质的总结与拓展，且是研究函数单调性和求最值的重要工具。导数是当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。所以，在学习了常规解决一些函数问题的方法后，我们探讨了有关对导数的应用，来解决函数问题。 早期导数概念 大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E 就是我们所说的导数f'(A)。 导数的定义： 设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内) 时，相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在,则称函数y = f(x) 在点x0 处可导,并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数,记为f'(x0) . 即导数第一定义 可表示为：f '(x0)=lim[x→x0] [f(x)-f(x0)]/(x-x0) =lim[h→0] [f(x0+h)-f(x0)]/h =lim [Δx →0] Δy/Δx 设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内) 时相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) 如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在则称函数y = f(x) 在点x0 处可导并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数记为f'(x0) ,即导数第二定义 可见导数是某种特殊的极限，是有限和无限之间相互转化的有力工具。 我们学习了以下几种在函数问题中对导数的应用: 1、运用导数判断单调性、求单调区间。 一般的，设函数y=f(x) 如果在某区间上导函数f’(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上导函数f’(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数。 注意：如果在某个区间内恒有f’(x)=0，则f(x)为常值函数。 函数的单调区间必定是它定义域的子集，所以在求函数单调区间时，先要确定函数定义域，在求出使导数的值为正或负的x的范围时，要与定义域求两者的交集。 基本步骤:（1）求定义域 （2）求出函数的导函数 （3）求解不等式f’(x)>0,及f’(x)<0解得单调性。 2、运用导数求函数极值。 一般的，设函数f（x）在x。附近有定义，如果对x。附近的所有的点，都有f（x）
数学论文导数及应用范文
数学论文导数及应用范文 导数的几何意义伴随着导数进入高中数学教材后，给函数图象及性质的研究开辟了一条新的途径.下面是店铺为你整理的数学论文导数及应用，一起来看看吧。 数学论文导数及应用篇一 一. 利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率 函数y=f(x)在点的导数表示曲线y=f(x)在点处切线的斜率,这就是导数的几何意义。我们通过例题看一下,如何利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率。 例题1 求曲线y=x2在点(1,1)处切线的方程。 解:由导函数定义 应用点斜式方程,可得曲线在(1,1)处的切线方程:y-1=2(x-1) 即2x-y-1=0 . 二. 利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等。 导数的物理意义没有统一的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义。例如,变速直线运动路程函数S对时间t的导数就是瞬时速度;瞬时速度V对时间t的导数就是加速度;通过导体某截面的电量Q对时间t的导数就是电流强度。下面我们看一个具体的例题。 例题2 已知物体的运动规律为s=t3(米) ,求这个物体在t=2秒时的速度。 解:有导函数的定义 有运动物体运动路程对时间的物理意义可知 将t=2,带入上式,得 三. 利用导数的符号判别函数在某一区间的单调性及利用导数证明不等式 导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。具体例题如下: 例题3 讨论函数的单调性。
解: ,当x>0时, >0 ;当x<0时, <0 .函数的定义域为 ,因为在内 <0,所以函数在上单调减少;因为在内 >0,所以函数在上单调增加。 例题4 证明当x>0时, 解:设则 , 在x=0时为零,在内均大于零,故函数在上单调增加,对于任何x>0,有 .即 所以 四. 利用导数研究函数的极值 根据导数在驻点两侧的符号,可以判断函数在该驻点是极大值还是极小值。需要注意的是极值点可能是驻点,也可能是导数不存在的点。下面我们看一个有驻点求极值的例题: 例题5 求函数的极值 . 解:这个函数的定义域为 令 =0,求得驻点 在内, >0 ;在(1,3)内, <0;在内, >0.由此可知, 五. 利用导数研究函数函数的最大值和最小值。 人们做任何事情,小到日常用具的制作,大至生产科研和各类经营活动,都要讲究效率,考虑怎样以最小的投入得到最大的产出,这类问题在数学上往往可以归纳为求某一函数在某个区间内的最大与最小值的问题。 例6、把长度为16cm的线段分成两段,各围成一个正方形,它们的面积之和的最小值为多少? 解:设一段长为xcm,则另一段长(16-x)cm. ∴面积和 ∴S′= -2,令S′=0有x=8. 在内, <0 ;在(8,16)内, >0 . ∴当x=8时,S有最小值8cm2. 数学论文导数及应用篇二 摘要：微分中值定理和导数应用是微积分课程的重要组成部分和微分学的核心内容之一，同时它也是微积分课程教学的重点和难点问题.本文就如何做好这部分的教学做了研究与探讨. 关键词：微分中值定理导数应用微积分课程教学
导数与函数的对称性
导数与函数的对称性 函数是数学中的基础概念之一，而导数是研究函数变化率的重要工具。导数与函数之间存在着一种有趣的对称性，即导数可以帮助我们研究函数的性质，而函数本身也可以通过导数的信息来刻画其特征。本文将从不同角度来阐述导数与函数的对称性，并探讨它在数学研究和实际应用中的重要性。 一、导数的定义与性质 首先我们需要明确导数的定义，导数可以理解为函数在某一点上的变化率。如果函数f(x)在点x处可导，那么它的导数f'(x)就是该点处的斜率，即函数曲线在该点处的切线的斜率。导数的定义可以用极限来表述，即： f'(x) = lim_(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h (其中lim表示极限) 导数具有一些重要的性质，其中最基本的是导数的线性性质和乘积法则。线性性质表明如果函数f(x)和g(x)分别在某点可导，那么它们的线性组合也在该点可导，且导数满足如下关系： 1. (cf(x))' = cf'(x) （其中c是常数） 2. (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) 乘积法则则给出了乘积函数的导数计算规则，即： (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 这些性质为我们研究函数的导数提供了有力的工具。
二、导数与函数的对称性 导数与函数之间存在着一种有趣的对称性，即导数可以帮助我们研 究函数的性质，而函数本身也可以通过导数的信息来刻画其特征。具 体来说，导数可以帮助我们找出函数的最值点、拐点、增减性等信息，而函数本身也可以通过导数的信息来反推函数的性质。 1. 导数帮助函数研究 导数可以帮助我们找出函数的最值点。如果函数在某点的导数为零，那么该点可能是函数的最值点。通过求解导数为零的方程，我们可以 找到函数的临界点，在临界点附近进行进一步研究，以确定函数的最 值点。 导数还可以帮助我们找出函数的拐点。拐点是函数曲线由凹向上凸 或由凸向上凹的点，即曲线变化趋势发生改变的点。通过求解导数的 导数（即二阶导数）为零的方程，我们可以找到函数的拐点。 导数还可以帮助我们研究函数的增减性。如果函数在某点的导数大 于零，那么函数在该点附近是增函数；如果函数在某点的导数小于零，那么函数在该点附近是减函数。通过分析导数的正负变化，我们可以 描绘出函数的增减性。 2. 函数反推导数的信息 除了导数帮助我们研究函数外，函数本身也可以通过导数的信息来 反推函数的特征。例如，给定一个函数的导数，我们可以通过对导数
导数定义及其在中学数学中的应用 毕业论文
导数定义及其在中学数学中的应用毕业论文 一、导数的定义 导数是微积分中最基本的概念之一，它是指函数在某一点处的变化率。更具体地说，设函数y=f(x)，x0为区间I内的一点，当x在x0处取近似于x0的值时对应的函数值之差Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与x0处的自变量增量Δx之比，即Δy/Δx的极限为： lim Δx→0 Ε0Δy/Δx=dy/dx=f'(x0) 如果这个极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)。其中 f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，也可以用dy/dx、 y' 或者 df/dx 表示。 二、导数在中学数学中的应用 1. 切线与法线 导数的最重要的应用之一是用于求函数在某一点处的切线与法线，这也是导数最基本的应用之一。在求解中，我们首先求出函数在该点处的导数，然后求出该点处的坐标，进而求解出函数在该点处的切线和法线。 例如，对函数y=x^2，求该函数在点(x0, y0)处的切线和法线，其中x0表示点的横坐标，y0表示点的纵坐标。 解法： 首先求出函数y=x^2在点(x0, y0)处的导数： f'(x0)=2x0 然后代入点(x0, y0)得： y-y0=f'(x0)(x-x0) 化简后得： y-y0=2x0(x-x0) 这个公式就是函数y=x^2在点(x0, y0)处的切线的方程式。 同样的，可以通过求解出函数在该点处的导数，进而求解出函数在该点处的法线的方程式。理论上说，导数是极限，但在实际的计算中，我们一般采用微小的增量等量的方法来近似于导数，而这个近似值就可以被用于实际计算中。 2. 最值的求解
另一个导数在中学数学中常见的应用就是求解函数的最大值和最小值。具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，且函数在区间内的某点x0处的导数f'(x0)=0或不存在，则f(x)在点x0处取得了最大值或最小值。因此，我们可以通过求出函数的导数，并找到导数等于0的点或导数不存在的点，就可以求解出函数的极大值和极小值。 以函数y=x^3-3x+1为例，求解该函数的最大值和最小值。 解法： 首先求出该函数的导数： y'=3x^2-3 然后令y'=0，求出临界点： 3x^2-3=0 得到x=±1。 然后我们把临界点及区间两端的值代入函数中，找出函数的最大值和最小值： f(-1)=5，f(1)=-1，f(0)=1 综上所述，当x=1时，函数取得最小值-1；当x=-1时，函数取得最大值5。 3. 函数图像的分析和绘制 导数也可以用来分析和绘制函数的图像，通过对函数的导数进行分析，可以确定函数的特性和整个函数图像的走向。例如，通过对导数的符号和拐点进行分析，可以 确定函数的增减性和凹凸性，从而可以绘制出整个函数的图像。 对于函数f(x)，如果f'(x)>0，则表示该函数在x处单调递增；如果f'(x)<0，则 表示该函数在x处单调递减。同样的，如果f''(x)>0，则表示该函数在x处下凸；如果f''(x)<0，则表示该函数在x处上凸。 例如，对于函数y=x^4-4x^3+6x^2，可以通过求导数，进而确定函数的增减性和凹凸性，进而绘制出函数的图像。 解法： 首先求出该函数的导数和二阶导数： y'=4x^3-12x^2+12x y''=12x^2-24x+12 然后观察y'的符号和y''的拐点，可以确定函数的增减性和凹凸性：
导数的实际应用论文2000字
导数在实际生活中的最优化应用 摘要：在我们的实际生活中，数学知识的应用无处不在，许多领域都与数学密切相关，如经济领域、医学领域、工业领域、天文领域、工程领域等。数学中的导数知识是在实际生活中应用比较广泛的。本文就对实际生活中导数最优化应用的相关问题进行分析和探讨。 关键词：导数；实际生活；最优化应用 一、引言 将数学知识与实际生活进行结合，可以更好地让人们理解一些较难掌握的知识点、公式以及定理等，是提高人们应用数学知识能力的关键。导数作为数学知识的重要内容之一，其本身具有强大的实际应用价值，在一些生产和生活领域中，导数的应用可以高效地解决对最大值、最小值以及最优化等问题。本文对导数知识加以理解和应用，真正将其深入到实际生活中，就具体最优化问题进行科学的解决的相关问题。 二、导数知识概念的有关分析 导数是指一个函数的因变量对于自变量的变化率，即当自变量的增量趋于零时，因变量的增强和自变量的增量之商的极限就是导数。在高等数学微积分中，导数一直是其中一个关键且重要的概念，本身具有较强的基础性特点。早在十七世纪，导数是作为一个新概念由著名的数学家费马所研究并提出的。在当时，导数本身主要应用于对函数极值的求解上（最大值与最小值），其相关概念还不够完善和
系统。在十七世纪后期，生产力水平的提高也极大地推动了科学技术的发展，很多著名的数学家对微积分进行了系统性的研究，并且对导数的概念也重新进行了定义。对于社会生产和科学技术的发展来说，导数本身是一个重要的数学知识。对于实际生活中的很多问题和很多事物之间的数量 关系，很难利用一个数值来进行精确表示，这对于相关研究工作来说具有很大的影响。通过导数的应用，可以将导数其中的变化率，从而解决了很多问题，因此导数在诸多领域中都得到了全面利用。例如，在物理领域瞬时速度研究、经济领域中变化率问题、统计领域人口增长率等多方面内容的研究上，导数的应用都获得了很大的成效。 对于一个函数来说，如果其本身存在导数，那么这个函数本身就是可微分的，也就是可导的，这是解决一些实际生活中最优化问题的前提。导数的应用中，很多领域的最优化问题都可以利用相应的导数来解决。例如，在工业生产中，如何最大限度地提高工业生产效率，节约生产成本等，这些都可以归属于最优化问题，同时也都可以利用导数来解决。在具体应用的过程中，利用导数解决最优化问题时要从以下几个步骤来入手：首先，对实际问题进行全面分析，就其中的关键量重点加以明确，并对不同关键量之间的关系进行仔细分析，结合分析结果构建数学模型，列出不同变量的函数关系，结合具体情况，对变量范围进行划分，制订出定义域。其次，根据函数关系来完成求导的过程，并且对具体的极值点、实根以及不可导点进行确定。通过对不同极值点、实根以及不可导点中不同函数值的计算，再采取相应的对比方式，实现对最小值或者最大值的求解。最后，再根据求解的结果，结合实际问题，分析和解决实际问题，这是最优化问题的求解过程。
应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数
应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数 湖北省黄冈中学 袁小幼 [教学目标] 知识与技能：（1）掌握三次函数对称中心的求法；（2）掌握三次函数切线方程的求法；（3） 了解过一点作三次函数图像切线条数的结论. 过程与方法：（1）应用导数研究三次函数的方法；（2）由特殊实例猜想一般一般结论，然后 证明的思想；（3）多种情形通过分析减少讨论种类. 情感与态度：（1）通过自主深入探究，增强学生学生学习数学的兴趣，独立思考的能力.（2） 让学生感数学结论的完整美，数形结合的统一美. [教学过程] 1 三次函数图像的对称性 1.1 创设情景，提出问题 三次函数3()f x x =是奇函数，它的对称中心是(0,0)（几何画板展示），那么一般的三次函数是否有对称中心呢？ 观察函数32()321g x x x x =-++（几何画板展示），它也有对称中心（1，1），那么怎样求三次函数的对称中心？ 1.2 回归通法，探究发现 研究三次函数我们最常用的就是通过研究其导数来研究它本身，我们分别画出 (),()f x g x 的导函数图像（几何画板展示） ，和原函数的对称性联系起来，通过归纳得到，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同. 1.3 追根索源，理解本质 为什么会有这样的结论？因为对称点的切线是平行的（几何画板展示）.所以对于任意三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，它的图像有唯一的对称中心(,())33b b f a a - -.① 2 过一点作三次函数图像切线条数的探究 2.1 因势利导，引出问题 三次函数过对称中心(,())33b b f a a - -的切线是如何的？通过实例来探究,32()321g x x x x =-++在对称中心（1，1）处的切线方程为20x y +-=，这和我们以前形成的切线的印象不同，但它就是三次函数的切线，因为它符合切线的定义.我们注意这样的切线只有一条，那么当这一点在别的地方，切线有多少条？ 2.2 恰当分类，实例探索 因为三次函数是中心对称图形因此对称部分的情形应该是一样的，过对称中心的切线和三次函数的图像把平面分成四部分，所以上下是一种情形，左右是一种情形，三次函数图像上的点是一种情形，过对称中心的切线上的点（除对称中心）是一种情形.我们选择三次函数32 ()321g x x x x =-++为例来探究.先选右边的点(3,0)，设切点，列方程，有多少条切线，对应有多少个切点，对应方程有多少个根，对于三次方程，又有少个根，对应它的图
导数的应用-化学-毕业论文
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毕业论文 导数在经济学中的应用
1 引言 对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现[1]。因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。 导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义[2]。其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问题和弹性问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。 数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具[3]。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我认为应当进一步研究相对变化率。 总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策。 在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。通过研究成本所引起的边际收益与边际成本的的比较，分析绝对数相对变化率的经济问题，特别具体分析因缺乏弹性的商品和富有弹性的商品的价格变动所产生的影响。同时将弹性分析与边际分析有机结合，衡量出如何确定最优的价格，获得最大的利润。从而帮助企业做出更精明的决策，为其提供精确的数值和创新思路。 导数的概念：设函数y=f （x ）在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点0x 处取得增量x ∆（点0x +x ∆仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量y ∆=f （0x +x ∆）-f （0x ）；如果y ∆与x ∆之比当x ∆→0时的极限存在，则称函数y=f （x ）在点0x 处可
论文--浅谈导数的应用
论文--浅谈导数的应用LT
0 引言 导数]1[来源于人类的社会实践，服务于人类的社会实践，导数是人类进一步学习数学和其他自然科学的基础，用导数来研究函数的性质，是研究现代科学技术中必不可少的工具．导数是在极限概念的基础上建立起来的，是微分学的一个重要概念，也是一个重要的解题方法.学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的切线方程.导数还是对函数图像与性质的总结和概括，是研究函数单调性的最佳的重要工具，是初等数学和高等数学的重要衔接点．导数还可以解决生产和生活中的最优决策和最优设计问题，即最大值、最小值问题． 1 导数的产生和发展 导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限的基础上建立起来的]9[，它是微分学中最重要的概念．而微分是微分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术中有着广泛的应用．我们知道在一定条件下一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前，哪个概念产生在后呢？ 1.1 微分概念的导出背景 当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变．微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确的估计出这个改变量．我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度．在中学里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为7．9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它． 设卫星当前时刻在地球表面附近的A点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒钟后本应到达B点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的而是C点．BC=4．9米是自由落体的物体在重力加速度的作用下，第一秒中
平面曲线对称性的判别方法学士学位论文
毕业论文 平面曲线对称性的判别方法 目录 1引言 (1) 2平面曲线对称性定义 (1) 2.1由直角坐标方程表示平面曲线对称性的定义 (1) 2.2由参数方程表示平面曲线对称性的定义 (2) 2.3由极坐标方程表示平面曲线对称性的定义 (4) 3平面曲线对称性判定 (4) 3.1由直角坐标方程表示平面曲线对称性的判定 (4) 3.1.1关于直线对称 (4) 3.1.2关于点对称 (6) 3.1.3举例 (8) 3.2由参数方程表示平面曲线对称性的判定 (10) 3.2.1关于直线对称 (10) 3.2.2关于点对称 (11) 3.2.3举例 (12) 3.3由极坐标方程表示平面曲线对称性的判定 (14) 3.3.1对称性判定 (14) 3.3.2举例 (15) 4结束语 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
平面曲线对称性的判别方法 数学系本0802班冯文平 指导教师：兰旺森 摘要：平面曲线的对称性对于函数研究具有重要意义。利用函数的奇偶性和导数的有关概念，推导出几个用导数的方法判定函数图像对称性的结论，并通过实例验证了这些结论对判断一般曲线的对称性是方便可行的。本文给出了平面曲线轴对称与点对称的定义和判定定理,指出可以用类似求一元函数极值和拐点的办法判定曲线的对称轴和对称中心,从而平面曲线的对称性可以归结为导数应用问题。 关键词：平面曲线，对称性，直角坐标方程，参数方程，极坐标方程。 Determine of plane curve’s symmetry FengWenping Class 0802, Mathematics Department Tutor: LanWangsen Abstract:Symmetry of plane curve is important to function research. With the relevant concepts about parity of function and derivative, the paper is designed to deduce several conclusions that can measure the symmetry of general curve by derivative method, and test and verify these conclusions are convenient and workable though living examples. This article includes the definition andtheorem of exial symmetry and center symmetry, and also points out that thedetermine of symmetry axisand center of symmetry is similar to calculating extremum and inflexion point of function. So determine ofplane curve’s symmetry comes down to the application of derivative. Key words:plane curve, symmetry, rectangular coordinate system, parametric equation, polar coordinates equation.
导数应用论文
导数的应用 目录 [摘要] (2) 一.引言 (2) 二．导数的概念 (2) 三．导数的求法 (3) 1．显函数导数 (3) 1．1导数的四则运算： (3) 1．2复合函数与反函数求导法则 (3) 1．3基本初等函数求导公式 (3) 2．隐函数导数 (4) 3．由参数方程所确定的函数求导法 (4) 4．分段函数的导数 (4) 四．导数的性质 (4) 五．导数的应用 (5) 1．导数在函数中的应用 (5) 1．1利用导数判断函数的单调性 (6) 1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (7) 1．3利用导数求函数的极值和最值 (8) 1．4利用导数知识描绘函数图形 (13) 1．5利用导数求参数问题 (15) 2．导数在曲线中的应用 (16) 3．利用导数研究方程的根 (17) 4．应用导数证明不等式 (17) 5．导数在数列中的应用 (18) 6．利用导数求极限——洛必达法则 (19) 6．1“0 ”型和“ ∞ ∞ ”型 (19) 6．2其他形式 (20) 7．物理学中的导数 (20) 8．经济学中的导数应用 (21) 结束语： (22) 参考文献： (22)
[摘要] 导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以 解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学 生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的 广泛应用，现已成为高考的热点知识 本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学 中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用 [关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用 一.引言 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考 查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以 导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问 题等，考题不难，侧重知识之意。 高考考查导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f (x )在x=x 0处的导 数，表示曲线在点P （x 0 , y 0）处的切线斜率。 ③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合 等。 二．导数的概念 1、定义：0'0000 ()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 左导数：0'0000 ()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'00 00()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- '''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔== 可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件 导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x ∆→∆→∆+∆-===∆∆