2第一部分的2-6讲函数的等高线

第二讲 函数的等高线、梯度线及有关的作图问题

——鲨鱼袭击目标的前进途径

等高线和梯度线有广泛的实际应用，例如在地理学中绘制地貌图，在气象学中绘制气象图等等.本实验通过鲨鱼袭击目标这一例子介绍二元函数的等高线和梯度线的绘制，最后介绍用等高线来做一元隐函数的图形及微分方程的积分曲线.

2.1 等高线的绘制

二元函数),(y x f z =在空间表示的是一张曲面，这个曲面与平面c z =的交线在xoy 面上的投影曲线c y x f =),(称为函数),(y x f z =的一条等高线，我们可以用Matlab 作出等高线的图形.

等高线的作图命令为“Contour ”，最基本格式为 Contour[二元函数，{自变量1，自变量1最小值，自变量1最大值}，{自变量2，自变量2最小值，自变量2最大值}]

例1 作出)

(22y x xe

z --=在区间32,22≤≤-≤≤-y x 上的等高线.

解 [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:3); Z = X.*exp(-X.^2-Y.^2); [C,h] = contour(X,Y,Z);

set(h,'ShowText','on','TextStep',get(h,'LevelStep')*2) colormap cool

运行后见图（2.1）.

2.2 矢量场图

矢量场图（又称速度图）是指由指令quiver 实现的.它主要用于描写函数),(y x f z =在点),(y x 的梯度大小和方向。其一般的调用格式为：

quiver(X,Y,DZX,DZY) 例2 作出函数)

(22y x xe

z --=的等高线和矢量场.

解 [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2,-1:.2:2);

Z = X.*exp(-X.^2 - Y.^2);

[DX,DY] = gradient(Z,.2,.2);% 求二元函数矩阵Z 的梯度指令，0.2 为x 、

y 方向上的计算步长. DX,DY 是

y

z x z ????,.

[C,h] = contour(X,Y,Z); hold on

quiver(X,Y,DX,DY) colormap hsv hold off

运行后见图（2.2）.

图（2.1）等高线及其标注

图（2.2）等高线和矢量场

2.3 梯度线的描绘

设L 为平面曲线，如果L 上任意一点处的切线与函数),(y x f z =在该店处的梯度位于同一直线上，则称L 为),(y x f z =的梯度线。现在来讨论如何作出函数),(y x f z =的梯度线。下面我们一等步长的折线段来近似模 拟函数的梯度线。设步长为λ，从点0P (00,y x )出发，沿梯度方向前进λ得到点),(111y x P ，即

)

,(),(),(0020020001y x f y x f y x f x x y x x ++=λ

)

,(),(),(002

002

0001y x f y x f y x f y y y x y ++=λ

,

再从),(111y x P 出发沿梯度线向前进λ得到点),(222y x P ,依次得到一列点，利用"plot"做出此点集的图形，即得梯度线的图形. 例3.作出函数2

2

y x z -=的梯度线.

clear all t=cputime; syms x y

S= sym(x^2 -y^2); Sx=diff(S,'x'); Sy=diff(S,'y'); x0=1;y0=1; lamda=0.01; i=1;

sx(1)=x0; sy(1)=y0; for i=2:400

fx=subs(Sx,{x,y},{sx(i-1),sy(i-1)}); fy=subs(Sy,{x,y},{sx(i-1),sy(i-1)});

sx(i)=sx(i-1)+lamda*fx./sqrt(fx.^2+fy.^2); sy(i)=sy(i-1)+lamda*fy./sqrt(fx.^2+fy.^2);

end

plot(sx,sy) cputime-t

运行后见图（2.3）.

图（2.3）梯度线

2.4 鲨鱼袭击目标的前进途径

海洋生物学家发现，当鲨鱼在海水中察觉到血液的存在时，就会沿着血液浓度增加得最快的方向前进去寻找目标.根据在海水中世纪测试的结果，如果以流血目标处作为原点在海面上建立直角坐标系，则在海面上点P(x,y)处的血液浓度近似等于4

22

10/)2(),(y x

e y x

f +-=（x,y 的单位为m,f(x,y)单位的百

万分之一） 键入

[x,y] = meshgrid(-1:.05:1,-1:.05:1); z =exp((-x.^2-2*y.^2)/10^4); [C,h] = contour(x,y,z); hold on

运行后，作为函数的等高线，得到图（2.4）.

由题设条件和梯度的性质可知，鲨鱼袭击目标的前进途径即为),(y x f 的梯度线，下面作出),(y x f 的梯度线，有前面梯度线的绘制可知，

图（2.4）4

22

10/)2(),(y x

e y x

f +-=的等高线

syms x y

S= sym(exp((-x.^2-2*y.^2)/10^4));; Sx=diff(S,'x'); Sy=diff(S,'y'); x0=1;y0=1; lamda=0.01; i=1;

sx(1)=x0; sy(1)=y0; for i=2:400

fx=subs(Sx,{x,y},{sx(i-1),sy(i-1)}); fy=subs(Sy,{x,y},{sx(i-1),sy(i-1)});

sx(i)=sx(i-1)+lamda*fx./sqrt(fx.^2+fy.^2); sy(i)=sy(i-1)+lamda*fy./sqrt(fx.^2+fy.^2); end

plot(sx,sy) hold on 得到图（2.5）：

再运用hold on 命令把等高线和梯度线在同一坐标系中显示，得图（6）.

图（2.6）等高线和梯度线

函数的梯度线在实际中有广泛的应用，例如在温度场总热量的流动也是

沿着梯度线方向的.

习题

1.一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在

坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该

点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个青蛙，问这只青蛙应沿什么方向爬

行才能最快到达较凉快的地点？(应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方

向）爬行)

第三讲 函数的极值、最值及有关的最优化问题

——水轮机最优化问题

最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。

3.1多元函数的偏导数

1．调用格式一：

diff('多元函数','自变量',n)

其中，n 为所求偏导数的阶数．

例 1 已知y x z 2cos 2

=，求x y z x z ?????2,

和2

2y z

??. 解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集： pzpx=diff('x^2*cos(2*y)','x') p2zpypx=diff(pzpx,'y')

p2zpy2=diff('x^2*cos(2*y)','y',2)

取名为exa9 保存，再在命令窗口中输入命令exa9，程序运行结果如下： pzpx =

2*x*cos(2*y) p2zpypx = -4*x*sin(2*y) p2zpy2 =

-4*x^2*cos(2*y)

即)2sin(4),2cos(22y x x y z y x x z -=???=??,)2cos(4222y x y

z -=??. 2．调用格式二：

syms x y z … diff(f,自变量,n)

例2 已知)5sin(3

2

z y x +-，求z

y x u

y x u x u ?????????32,

, 解 在命令行中依次输入：

syms x y z

u=sin(x^2-y^3+5*z); ux=diff(u,x); uxy=diff(ux,y); uxyz=diff(uxy,z); uz3=diff(u,z,3); ux,uxyz,uz3

运行结果如下： ux =

2*cos(x^2-y^3+5*z)*x uxyz =

30*cos(x^2-y^3+5*z)*y^2*x uz3 =

-125*cos(x^2-y^3+5*z)

3.2 隐函数的导数

在 Matlab 中没有直接求隐函数导数的命令，但可调用Maple 中求隐函数导数的命令， 调用格式如下：

maple('implicitdiff(f(u,x,y,z,…，)=0,u,x)')

例3 求由多元方程x2 + y2 + z2 = xyz 所确定的隐函数x

z ?? 解 在命令行中输入：

pzpx=maple('implicitdiff(x^2+y^2+z^2-x*y*z=0,z,x)') 运行结果是： pzpx =

(2*x-y*z)/(-2*z+x*y) 即 xy z x yz

3.3一元函数的极（或最）值

例1 求 x e f x

sin 2-=在80<

主程序为:

f='2*exp(-x).*sin(x)';

fplot(f,[0,8]); %作图语句

[xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8) f1='-2*exp(-x).*sin(x)';

[xmax,zmin]=fminbnd (f1, 0,8)

ymax=-zmin

运行结果：

xmin = 3.9270 ymin = -0.0279 xmax = 0.7854 ymax = 0.6448

3.4 多元函数的极（或最）值

在 Matlab 中同样有求多元函数的极（或最）小值的函数，但由于多元函数的形式比较复杂，不同情况用到不同的Matlab 函数．若要求多元函数u 在某一区域的极（或最）大值，可转化为求u -在该区域内的极（或最）小值．

1．非线性无约束情形

求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式是：

[x,fval]=fminsearch(‘f’,x0) %fminsearch 是不能设定约束范围的

f 是被最小化的目标函数名，x0 是求解的初始值向量．

例４ 求二元函数2

3

3

1042),(y xy xy x y x f +-+=的最值点和最值． 解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集： %必须对自变量进行转化x=x(1)，y=x(2)

[Xmin,fmin]=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0,0]); [Xmax,Fmin]=fminsearch('-2*x(1)^3-4*x(1)*x(2)^3+10*x(1)*x(2)-x(2)^2',[0,0]); fmax=-Fmin; Xmin,fmin Xmax,fmax

取名为exa10保存，再在命令窗口中输入命令exa10，程序运行结果如下： Xmin =

1.0016 0.8335 fmin = -3.3241 Xmax =

-1.0000 1.0000 fmax = 5.0000

2．非线性有约束情形

非线性有约束优化问题的数学模型如下：

ub x lb beq x Aeq b x A x ceq x c x M ≤≤≤?≤?=≤,,,0)(,0)(),inf(

式中，lb beq b x ,,,和ub 是向量，A 和Aeq 是矩阵，)(x c 和)(x ceq 为函数，返回量．)(),(x c x f 和)(x ceq 可以是非线性函数．求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式如下：

[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

nonlcon 参数计算非线性不等式约束c(x)<=0 和非线性等式约束ceq(x)=0．

例 5 求表面积为2

6m 的体积最大的长方体体积．

解 设长方体的长、宽、高分别为x1、x2、x3，则 f(x)=-x(1)*x(2)*x(3)，

S.t x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3=0， x(i)>0,i=1,2,3．

⑴ 建立函数文件fun1

打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：

function F=fun1(x) %函数文件必须是function 开头 F=-x(1)*x(2)*x(3);

单击“保存”按钮，自动取名为fun1，再击保存． ⑵ 建立非线性约束函数文件yceq function [c,ceq1]=yceq1(x)

c=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3; ceq1=[];

保存方法同上，自动取名为yceq1，再击保存． ⑶ 编制主程序：

打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集： x0=[3;3;3]; %给长宽高一个初值 A=[];b=[]; Aeq=[];beq=[]; lb=[0,0,0];ub=[];

[xmax,fmin]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq1'); %函数要加单引号 Vmax=-fmin;

xmax,Vmax

取名为exa11保存，再在命令窗口中输入命令exa11，程序运行结果如下： xmax = 1.0000 1.0000 1.0000 Vmax = 1.0000

例6求三元函数xyz z y x f -=),,(满足约束条件72220≤++≤z y x 的最小值。

⑴ 建立函数文件fun3

打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：

function F=fun3(x) %函数文件必须是function 开头 F=-x(1)*x(2)*x(3);

单击“保存”按钮，自动取名为fun3，再击保存． ⑵ 建立非线性约束函数文件yceq3 把约束条件72220≤++≤z y x 改写为

72

220

22≤++≤---z y x z y x

因为两个约束均为线性，所以符合矩阵不等式b x A ≤?的形式，其中

??????---=221221A ，??

?

???=720b .

(2) 编制主程序：

打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集： x0=[10;10;10]; %在此点处开始寻找 A=[-1 -2 -2; 1 2 2];b=[0; 72];

[xmax,fmin]=fmincon('fun3',x0,A,b); %函数要加单引号 xmax,fmin

取名为zuizhi3保存，再在命令窗口中输入命令zuizhi3，程序运行结果如下： xmin = 24.0000 12.0000

12.0000 fmin =

-3.4560e+003

例 7水轮机最优化问题

众所周知，三峡水电站是中国最大的水电站。已知，水是通过输水管从水坝送到发电所，而输水管中水流速度的变化依赖于外界条件。

若发电所有三个不同的水电涡轮，每个涡轮都有一个已知的、特定的功率输出函数来提供发电所需的功率。而发电功率又是输送到涡轮的水流速度的函数。将进入发电所的水分成体积不同的三部分，分别到达每个涡轮，因此，我们的目标就是，若给定任意一个总的水流速度，如何分流才能使总的输出功率最大。

根据试验证据和伯努利方程，每个涡轮的输出功率可用二次方程式模型描述，

)106.1170)(1008.41277.089.18(2621511T Q Q Q KW --?-?-+-= )106.1170)(1069.41358.051.24(2622522T Q Q Q KW --?-?-+-=

)106.1170)(1084.31380.002.27(2623533T Q Q Q KW --?-?-+-=

1225250,1110250,1110250321≤≤≤≤≤≤Q Q Q

其中，i Q 表示通过第i 个涡轮机的水流流速，单位为立方英尺/秒；i KW 表示第i 个涡轮机的输出功率，单位为千瓦；T Q 表示进入发电所的总的水流速度，单位为立方英尺/秒。

1、如果三个涡轮机一起工作，需要确定通过每个涡轮机的水流速度i Q ，使得总输出功率最大。当来流速度T Q 一定时，可以用拉格朗日乘子解出总的输出功率321KW KW KW ++在满足约束条件321Q Q Q Q T ++=下的最大值，这个最大值一定是来流速度T Q 的函数。

2、当T Q 取何值时问题1中的结果才是有效的？

3、当进入发电所的水流速度为2500ft 3/s （1立方英尺(ft3)=0.0283立方米(m3)）,该如何分流才能使总输出功率最大？（1）用1的结果计算；（2）直接用Matlab

中的非线性有约束优化问题的fmincon 函数求解 4、现在我们是让三个涡轮一起工作，那有没有可能在某种情况下一个涡轮工作能产生更大的电量呢？做出三个功率输出函数的图像，并讨论当来流速度为1000 ft 3/s 时应如何分配水流，是让三个涡轮一起工作还是只用一个？（如果只用其中一个，那么该用哪一个）当来流速度为600 ft 3/s 时又该如何分配呢？ 5、对于某个来流速度而言，或许选择两个涡轮工作最好。若来流速度为1500 ft 3/s ，那么应该选择哪两个涡轮一起工作最好？用拉格朗日乘子计算，如何给两个涡轮分配来流才能使输出功率最大，这样分配是否比同时启动三个涡轮更有效？

6、如果来流速度为3400 ft 3/s ，那么该如何分配？

解答：

1、当来流速度T Q 一定时，若同时启动三个涡轮机，那么，根据拉格朗日乘子法计算总输出功率321KW KW KW KW ++=满足约束条件

321Q Q Q Q T ++=的极大值。设拉格朗日函数为

)(),,,(321321321T Q Q Q Q KW KW KW Q Q Q F -+++++=λλ.

由此得到微分方程组

???

???

?????=-++=+?-?-=+=??=+?-?-=+=??=+?-?-=+=??------.

0;

0)106.1170)(1068.71380.0(;0)106.1170)(1038.91358.0(;0)106.1170)(1016.81277.0(3

2126353

3

32625222

2

6151

11

T T T T Q Q Q Q Q Q dQ dKW Q F Q Q dQ dKW Q F Q Q dQ

dKW Q F λλλλλλ

求解命令如：

eq1=sym('(0.1277-8.16*10^(-5)*Q1)*(170-1.6*10^(-6)*QT^2)+Q4=0');

eq2=sym('(0.1358-9.38*10^(-5)*Q2)*(170-1.6*10^(-6)*QT^2)+Q4=0');

eq3=sym('(0.1380-7.68*(10^(-5))*Q3)*(170-1.6*(10^(-6))*QT^2

)+Q4=0');

eq4=sym('Q1+Q2+Q3-QT=0');

[Q1,Q2,Q3,Q4]=solve(eq1,eq2,eq3,eq4) 运行得：

Q1 =

.34101340604408089070665757782322*QT-75.182723623418919942437324850413 Q2 =

.29665985003408316291751874573960*QT+20.949784139968189047943649170643 Q3 =

54.232939483450730894493675679770+.36232674392183594637582367643717*QT 取四位有效数字得：

???

??+=+=+-=.3623.02330.54;2967

.09498.20;3410

.01827.753

21T T T Q Q Q Q Q Q (3.1) 每个分水流速度i Q 都是总水流速度T Q 的函数。显然，总输出功率KW 也是

T Q 的函数。

2、根据(3.1)式，及i Q （3,2,1=i ）的取值范围11102501≤≤Q ，

11102502≤≤Q ，12252503≤≤Q ，可以解得，

??

?

??≤≤≤≤≤≤5

.32313.540;8.3636772;3.34467.953T T T Q Q Q 因此，当同时启动三个涡轮机时，总水流速度必须满足

8.36367.953≤≤T Q ，才能应用(3.1)式计算i Q 。

3、（1）当总流速度2500=T Q ft 3/s 时，在问题2中算出的取值范围之内，应用(3.1)式算出当777.351=Q ft 3/s ，762.59942=Q ft 3/s ，960.0498

3=Q ft 3/s 时总输出功率KW 取得最大值，且最大值为28412千瓦。

（2）计算机求解 首先建立函数

⑴ 建立函数文件fun2

打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：

function F=fun2(x) %函数文件必须是function 开头

y1=(-18.89+0.1277*x(1)-4.08*10^(-5)*x(1)^2)*(170-1.6*10^(-6)*(x(1)+x(2)+x(3))^2);

y2=(-24.51+0.1358*x(2)-4.69*10^(-5)*x(2)^2)*(170-1.6*10^(-6)*(x(1)+x(2)+x(3))^2);

y3=(-27.02+0.1380*x(3)-3.84*(10^(-5))*x(3)^2)*(170-1.6*10^(-6)*(x(1)+x(2)+x(3))^2); F=-(y1+y2+y3);

⑵ 建立非线性约束函数文件yceq2 function [c,ceq2]=yceq2(x) c=x(1)+x(2)+x(3)-2500; ceq2=[];

⑶ 编制主程序：

打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：

x0=[20;30;10]; %从该点处开始解决问题 A=[];b=[];

Aeq=[];beq=[]; %如果没有不等式存在,则令A=[],b=[] lb=[250,250,250];ub=[1110,1110,1225];

[Qmax,fmin]=fmincon('fun2',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq2');

%函数要加单引号

Wmax=-fmin; Qmax,Wmax 运行得

Qmax =

777.3508

762.5994

960.0498

Wmax =

2.8412e+004

4、做出每个涡轮机单独工作时其输出功率关于来流速度的函数图像，程序如下:

x1=[250:0.01:1110];

x2=[250:0.01:1110];

x3=[250:0.01:1250];

q=2500;

y1=(-18.89+0.1277.*x1-4.08.*10.^(-5).*x1.*x1).*(170-1.6.*10.^(-6).*q.*q);

y2=(-24.51+0.1358.*x2-4.69.*10.^(-5).*x2.*x2).*(170-1.6.*10.^(-6).*q.*q);

y3=(-27.02+0.1380.*x3-4.08.*10.^(-5).*x3.*x3).*(170-1.6.*10.^(-6).*q.*q);

plot(x1,y1,':')

hold on

plot(x2,y2,'--')

plot(x3,y3,'-')

xlabel('流速');

ylabel('输出功率');

运行得图（3.1）

图（3.1）三个涡轮机单独工作时其输出功率关于来流速度的函数图像

如图（3.1）所示，“:”线表示第一个涡轮机随水流速度的输出功率，“--”线表示第二个涡轮机随水流速度的输出功率，而“—”线则表示第三个涡轮机的输出功率。观察上图可知，当来流速为1000ft 3/s 时，“—”线在最上方，如果只用一个涡轮机工作，应选择第三个涡轮机才能使输出功率最大。而当来流速度为600 ft 3/s 时，“:”线在最上方，即第一个涡轮机输出功率最大。

当来流速度为1000 ft 3/s 时，若只启动第三个涡轮机，根据(3.1)式，及i Q 的取值范围解得2501=Q ft 3/s ，2502=Q ft 3/s ，5003=Q ft 3/s 时算得总的输出功率最大，最大值为8214=KW 千瓦。而如果只用第三个涡轮机工作，则总的输出功率为11818=KW 千瓦。所以应只选择第三个涡轮机单独工作最好。

当来流速度为600 ft 3/s 时，根据i Q 的取值范围，不能同时启动三个涡轮机，若只启动一个，则选择第一个涡轮机单独工作输出功率最大，最大值为7292千瓦。

5、观察图（3.1）可以看出，当来流速度超过500 ft 3/s 后，“--”一直处于最下方，也就是说，在同样的水流速度下，第二个涡轮机的输出功率最小。当来流速度为1500 ft 3/s 时，若只用两个涡轮机工作，应该选择第一和第三个涡轮机一起工作最好。此时用拉格朗日乘子法计算总输出功率31KW KW +满足约束条件31Q Q Q T +=的极大值。设拉格朗日函数

)(),,(313131T Q Q Q KW KW Q Q F -+++=λλ

由方程

?????????=-+=+?-?-=+=??=+?-?-=+=??----.

0;0)106.1170)(1068.71380.0(;

0)106.1170)(1016.81277.0(3126353332

6151

11T T T Q Q Q Q Q dQ dKW Q F Q Q dQ dKW Q F λλλλ

此时解得

??

?+=+-=T T Q Q Q Q 5152

.065.02534848

.065.025331 (3.2) 根据1Q 和3Q 的取值范围，从(3.2)式解得适合此式的T Q 的取值范围为

]5.2251,8.649[。

当T Q =1500 ft 3/s 时，用Matlab 求解的解得2.6621=Q ft 3/s ，8.8373=Q ft 3/s ，总的输出功率最大，最大值为18208 ft 3/s 。而此时若同时启动三个涡轮机一起工作，根据（3.1）式计算出436.33741=Q ft 3/s ，

465.9396

2=Q ft 3/s ，597.72313=Q ft 3/s ，总输出功率为16539千瓦。显然，此时只启动两个涡轮机工作更有效。

根据(3.2)式和(3.1)式，绘出总输出功率KW 关于总来流速度T Q 的函数图像。程序如下：

l=0.01;%步长 q0=953; qe=3636; q1=[q0:l:qe];

x1=-65.0253+0.4848.*q1; x3=65.0253+0.5152.*q1;

y1=(-18.89+0.1277.*x1-4.08.*10.^(-5).*x1.*x1).*(170-1.6.*10.^(-6).*q1.*q1);

y3=(-27.02+0.1380.*x3-3.84.*10.^(-5).*x3.*x3).*(170-1.6.*10.^(-6).*q1.*q1); z=y1+y3;

plot(q1,z,':','LineWidth',2) hold on

q1=[q0:l:qe];

x1=-75.1827+0.341.*q1; x2=-20.9498+00.2967.*q1; x3=54.233+0.3623.*q1;

y1=(-18.89+0.1277.*x1-4.08.*10.^(-5).*x1.*x1).*(170-1.6.*10.^(-6).*q1.*q1);

y2=(-24.51+0.1358.*x2-4.69.*10.^(-5).*x2.*x2).*(170-1.6.*10.^(-6).*q1.*q1);

y3=(-27.02+0.1380.*x3-3.84.*10.^(-5).*x3.*x3).*(170-1.6.*10.^(-6).*q1.*q1);

y=y1+y2+y3; h=z-y;

aa=find(h==min(abs(h)));%找交点所对应的迭代次数 q2=l*aa+q0 %计算交点所对应的流速

y(aa) %计算交点所对应的输出功率

text(q2,y(aa),'*(2.1038e+003,2.3898e+004)') plot(q1,y,'-','LineWidth',2) xlabel('流速'); ylabel('输出功率');

运行得图（3. 2）。虚线表示同时启动第一和第三个涡轮机时总输出功率随

总水流速度的变化情况，而实线则表示三个涡轮机同时启动时总输出功率随总水流速度的变化情况。观察图（3. 2），两条曲线大约在8.2103=T Q 处有个交点，说明，当8.2103906<T Q 后，三个涡轮同时启动较好。

图（3. 2）总输出功率KW 关于总来流速度T Q 的函数图像

6、请同学们自己解答。

习题

1. 求下列函数的极小点

1) ()212

3222118294x x x x x X f +-++=；

2) ()21212

221222

3x x x x x x X f -+-+

=； 3) ()()224121+-=x X f .

第1），2）题的初始点可任意选取，第3）题的初始点取为()T

X 1,00=.

2. 梯子长度问题

一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架7m 长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?

3. 陈酒出售的最佳时机问题

某酒厂有批新酿的好酒,如果现在就出售,可得总收入0R

=50万元(人民币),如果窖藏起来待来日(第n 年)按陈酒价格出售,第n 年末可得总收入

6

0n e

R R =(万元),而银行利率为r =0.05,试分析这批好酒窖藏多少年后出售

可使总收入的现值最大. (假设现有资金X 万元,将其存入银行,到第n 年时增值为)(n R 万元,则称X 为)(n R 的现值.)并填下表：

第一种方案：将酒现在出售，所获50万元本金存入银行； 第二种方案：将酒窖藏起来，待第n 年出售。

（1）计算15年内采用两种方案，50万元增值的数目并填入表1，2中； （2）计算15年内陈酒出售后总收入)(n R 的现值填入表3中。

表2 第二种方案