最小二乘法和线性回归模型

最小二乘法及其应用..

最小二乘法及其应用 1．引言最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）

最小二乘法求线性回归方程

数学必修3测试题说明：全卷满分100分，考试时间120分钟，交卷时只需交答题卷，考试时不能使用计算器. 参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n x y x n y x b n i i n i i i -=-?-= ∑∑==, 1 2 21 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ”可用于（） A 、输出a=10 a=10 C 、判断a=10 D 、输入a=10 2、已知甲、乙两名同学在五次数学测验中的得分如下：甲：85，91，90，89，95；乙：95，80，98，82，95。则甲、乙两名同学数学学习成绩（） A 、甲比乙稳定 B 、甲、乙稳定程度相同 C 、乙比甲稳定 D 、无法确定 3、下列程序语句不正确．．．的是（） A 、INPUT “MA TH=”；a+b+c B 、PRINT “MA TH=”；a+b+c C 、c b a += D 、1a =c b - 4、在调查分析某班级数学成绩与物理成绩的相关关系时，对数据进行统计分析得到散点图（如右图所示），用回归直线?y bx a =+近似刻画其关系，根据图形，b 的数值最有可能是（） A 、 0 B 、 1.55 C 、 0.85 D 、 —0.24 5、用秦九韶算法求n 次多项式011 1)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，当0x x =时，求)(0x f 需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（） A 、 n n n n ,,2 ) 1(+ B 、n,2n,n C 、 0,2n,n D 、 0,n,n 6、为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x 应该是（） INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF 第4题

用最小二乘法求线性回归方程

最小二乘法主要用来求解两个具有线性相关关系的变量的回归方程，该方法适用于求解与线性回归方程相关的问题，如求解回归直线方程，并应用其分析预报变量的取值等．破解此类问题的关键点如下： ①析数据，分析相关数据，求得相关系数r，或利用散点图判断两变量之间是否存在线性相关关系，若呈非线性相关关系，则需要通过变量的变换转化构造线性相关关系． ②建模型．根据题意确定两个变量，结合数据分析的结果建立回归模型． ③求参数．利用回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式，求出b，a，的值．从而确定线性回归方程． ④求估值．将已知的解释变量的值代入线性回归方程y=bx+a中，即可求得y的预测值．注意:回归直线方程的求解与应用中要注意两个方面：一是求解回归直线方程时，利用样本点的中心（x，y）必在回归直线上求解相关参数的值；二是回归直线方程的应用，利用回归直线方程求出的数值应是一个估计值，不是真实值．经典例题：下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1,2.，……，17）建立模型①：y=+；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：y=99+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由．思路分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测. 解析：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–+×19=（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+×9=（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利

多元线性回归与最小二乘估计

多元线性回归与最小二乘估计 1．假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理多元线性回归模型： y t = β0 +β1x t 1 +β2x t 2 +…+βk - 1x t k -1 + u t (1.1) 其中y t 是被解释变量（因变量），x t j 是解释变量（自变量），u t 是随机误差项，βi , i = 0, 1, … , k - 1是回归参数（通常未知）。对经济问题的实际意义：y t 与x t j 存在线性关系，x t j , j = 0, 1, … , k - 1, 是y t 的重要解释变量。u t 代表众多影响y t 变化的微小因素。使y t 的变化偏离了E( y t ) =多元线性回归与最小二乘估计 1．假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理多元线性回归模型： y t = β0 +β1x t 1 +β2x t 2 +…+βk - 1x t k -1 + u t (1.1) 其中y t 是被解释变量（因变量），x t j 是解释变量（自变量），u t 是随机误差项，βi , i = 0, 1, … , k - 1是回归参数（通常未知）。对经济问题的实际意义：y t 与x t j 存在线性关系，x t j , j = 0, 1, … , k - 1, 是y t 的重要解释变量。u t 代表众多影响y t 变化的微小因素。使y t 的变化偏离了E( y t ) =β0 +β1x t 1 +β2x t 2 +…+βk - 1x t k -1决定的k 维空间平面。当给定一个样本（y t , x t 1, x t 2 ,…, x t k -1）, t = 1, 2, …, T 时, 上述模型表示为 y 1 =β0 +β1x 11 +β2x 12 +…+βk - 1x 1 k -1 + u 1, 经济意义：x t j 是y t 的重要解释变量。 y 2 =β0 +β1x 21 +β2x 22 +…+βk - 1x 2 k -1 + u 2, 代数意义：y t 与x t j 存在线性关系。 ……….. 几何意义：y t 表示一个多维平面。 y T =β0 +β1x T 1 +β2x T 2 +…+βk - 1x T k -1 + u T , (1.2) 此时y t 与x t i 已知，βj 与 u t 未知。 j k j k T Tj T k T k T (T ) (k )(T (T k ) x x x y u x x x y u x x x y u b b b ----创?′骣骣骣骣÷ 鼢??珑?÷鼢??珑?÷鼢??珑?÷鼢??珑?÷鼢??珑?÷鼢?=+?÷珑?鼢??÷珑?鼢?÷?鼢?珑?÷鼢??珑?÷ 鼢??珑?÷鼢?珑??桫桫桫桫 11 11110 1212212121 1111111L L L L L L L L L L M M M L L ) 1 (1.3) Y = X β+ u , (1.4) 为保证得到最优估计量，回归模型（1.4）应满足如下假定条件。假定 ⑴ 随机误差项u t 是非自相关的，每一误差项都满足均值为零，方差 2 相同且为有限值，即 E(u ) = 0 = 骣÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?桫 00M , Var (u ) = E(u ?u ?' ) =σ2I = σ2骣÷ ?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷ ?桫10000001O .

最小二乘法曲线拟合原理及matlab实现

曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ?来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ?最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。因此没必要取)(i x ?=i y ，只要使i i i y x -=)(?δ尽可能地小）。原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。求近似曲线)(x ?。并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(?δ，i=1,2,...,m 。常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： ....... 4、把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

6. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。 MATLAB实现： MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。调用格式：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。 [p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。 polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x) [y,DELTA]=polyval(p,x,s) y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。 [y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。如下给定数据的拟合曲线： x=[,,,,,]， y=[,,,,,]。解：MATLAB程序如下： x=[,,,,,]; y=[,,,,,]; p=polyfit(x,y,2) x1=::; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 运行结果如图1 计算结果为： p = 即所得多项式为y=^2++ 图1 最小二乘法曲线拟合示例对比检验拟合的有效性：例：在[0,π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2π]区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。在MATLAB中输入如下代码： clear x=0::pi; y=sin(x); [p,mu]=polyfit(x,y,9)

偏最小二乘回归方法(PLS)

偏最小二乘回归方法 1 偏最小二乘回归方法（PLS）背景介绍在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。多元线性回归中，一般采用最小二乘方法（Ordinary Least Squares :OLS）估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。为消除这种影响，常采用主成分分析（principal Components Analysis :PCA）的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。最小偏二乘回归方法（Partial Least Squares Regression ：PLS）就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。它于1983年由S.Wold 和 C.Albano 等人首次提出并成功地应用在化学领域。近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量（又称成分），然后对它们进行回归建模。偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化（主成分分析）以及两组变量间的相关性分析（典型性关分析），即集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。下面将简单地叙述偏最小二乘回归的基本原理。 2 偏最小二乘法的工作目标 2.1 偏最小二乘法的工作目标在一般的多元线性回归模型中，如果有一组因变量Y={y 1, ?,y q} 和一组自变量 X={x 1, ?,x p} ，当数据总体能够满足高斯—马尔科夫假设条件时，根据最小二乘法，有 Y =X（X T X）-1X T Y Y 将是Y 的一个很好的估计量。从这个公式容易看出，由于（X T X）必须是可逆矩阵，所以

回归系数最小二乘法

回归系数的最小二乘法现在我们用最小二乘法来估计模型中的未知参数0β和1β.假设有n 组独立观测值：)()()( 1122,,,,...,,n n x y x y x y （例1中的n=16）,则由（2）有 01,1,2,...,i i i y x i n ββε=++= ()21,2,n,n 2 2 0101=1 =1 0,...==(--)i i n i i i i i E D Q Q y x εεσεεεββεββ===∑∑且，，，相互独立记，称()01,Q ββ为偏离真实直线的偏差平方和。最小二乘法就是10ββ和的估计 ^ ^ ,01ββ，使得()01 ^^ 0,1,,=min 01Q Q ββββββ?? ??? 为此，将上式分别对01ββ、求偏导数，得n 01=10 n 01=11-2(--)=-2(--) i i i i i i Q y x Q y x ββββββ??=?????????∑∑令上式^^ 0101,,ββββ取代，得 n ^^0=1 ^^ 01=1 (y --)=0(y --)=0i i i i n i i i i x x x ββββ???????∑∑于是有 ^^0111 ^^2011 11n n i i i i n n n i i i i i i i n x y x x x y βββ β=====?+=????+=??∑∑∑∑∑此方程组称为正规方程。由正规方程解得^ ^0 1^122y x xy x y x x βββ-- ?=-???-=??-? 或^ 1 12 1 ()() () n i i i n i i x x y y x x β==--= -∑∑ 其中2 21111 1111,,,n n n n i i i i i i i i i x x y y x x xy x y n n n n ========∑∑∑∑