MATL新编计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
M A T L新编计算方法迭代法牛顿法二分法实验报
告
Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
姓名 实验报告成绩
评语：
指导教师（签名）
年 月 日
说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。
实验一 方程求根
一、 实验目的
用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。
二、 实验原理
(1)、二分法
对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。将所给区间二分，在分点
2a b x -=判断是否0)(=x f ；若是，则有根2a
b x -=。否则，继续判断是否0)()(
若是，则令x b =,否则令x a =。否则令x a =。重复此过程直至求出方程0)(=x f 在[a,b]中的近似根为止。
（2）、迭代法
将方程0)(=x f 等价变换为x =ψ（x ）形式，并建立相应的迭代公式
=+1k x ψ（x ）。
（3）、牛顿法
若已知方程 的一个近似根0x ，则函数在点0x 附近可用一阶泰勒多项
式))((')()(0001x x x f x f x p -+=来近似，因此方程0)(=x f 可近似表示为
+)(0x f 0))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(')
(00x f x f 。取x 作为原方程新的近似根1x ，然后将1x 作为0x 代入上式。迭代公式为：=+1
k x -0x )(')(k k x f x f 。
三、 实验设备：MATLAB 软件
四、 结果预测 （1）11x = （2）5x = （3）2x =0,09052
五、 实验内容
（1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不
超过3105.0-?。
（2）、取初值00=x ，用迭代公式
=+1k x -0x )(')(k k x f x f ，求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差不超过3105.0-?。
（3）、取初值00=x ，用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误
差不超过3105.0-?。
六、 实验步骤与实验程序
（1） 二分法
第一步：在MATLAB 软件，建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件如下：
function x=agui_bisect(fname,a,b,e)
%fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度
fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数，求fa
fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数，求fb
if fa*fb>0 error('两端函数值为同号');
end
%如果fa*fb>0，则输出两端函数值为同号
k=0
x=(a+b)/2
while(b-a)>(2*e) %循环条件的限制
fx=feval(fname,x);%把x代入代入函数，求fx
if fa*fx<0%如果fa与fx同号，则把x赋给b，把fx赋给fb
b=x;
fb=fx;
else
%如果fa与fx异号，则把x赋给a，把fx赋给fa
a=x;
fa=fx;
end
k=k+1
%计算二分了多少次
x=(a+b)/2 %当满足了一定精度后，跳出循环，每次二分，都得新的区间断点a和b，则近似解为x=(a+b)/2
end
第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下>>fun=inline('exp(x)+10*x-2')
>> x=agui_bisect(fun,0,1,*10^-3)
第三步：得到计算结果，且计算结果为
（2）迭代法
第一步：第一步：在MATLAB 软件，建立一个实现迭代法的MATLAB函数文件如下：
function x=agui_main(fname,x0,e)
%fname为函数名dfname的函数fname的导数， x0为迭代初值
%e为精度，N为最大迭代次数(默认为100)
N=100;
x=x0; %把x0赋给x，再算x+2*e赋给x0
x0=x+2*e;
k=0;
while abs(x0-x)>e&k k=k+1 %显示迭代的第几次 x0=x; x=(2-exp(x0))/10 %迭代公式 disp(x)%显示x end if k==N warning('已达到最大迭代次数');end %如果K=N则输出已达到最大迭代次数 第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下>>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >> x=agui_main(fun,0,1,*10^-3) 第三步：得出计算结果，且计算结果为 以下是结果的屏幕截图 （3）牛顿迭代法 第一步：第一步：在MATLAB 软件，建立一个实现牛顿迭代法的MATLAB 函数文件=如下： function x=agui_newton(fname,dfname,x0,e) %fname为函数名dfname的函数fname的导数， x0为迭代初值 %e为精度，N为最大迭代次数(默认为100) N=100; x=x0; %把x0赋给x，再算x+2*e赋给x0 x0=x+2*e; k=0; while abs(x0-x)>e&k k=k+1 %显示迭代的第几次 x0=x; x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);%牛顿迭代公式 disp(x)%显示x end if k==N warning('已达到最大迭代次数');end %如果K=N则输出已达到最大迭代次数 第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下>>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >> dfun=inline('exp(x)+10') >> x=agui_newton(fun,dfun,0,*10^-3) 第三步：得出结果，且结果为 以下是结果的屏幕截图 七、实验结果 （1）11x= （2）5x= （3）2x=0,09052 八、实验分析与结论 由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：二分法要循环k=11次，迭代法要迭代k=5次，牛顿 法要迭代k=2次才能达到精度为3105.0-?的要求，而且方程0210=-+x e x 的 精确解经计算，为, 计算量从大到小依次是:二分法,迭代法,牛顿法。由此可知，牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。而这三种方法中，牛顿法不仅计算量少，而且精确度高。从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快。可是迭代法是局部收敛的，其收敛性与初值x0有关。二分法收敛虽然是速度最慢，但也有自己的优势，可常用于求精度不高的近似根。迭代法是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问题。对与不同的题目，可以从三种方法的优缺点考虑用哪一种方法比较好。 插值法数值上机实验报告 实验题目： 利用下列条件做插值逼近，并与R (x) 的图像比较 考虑函数：R x y=1 1+x2 （1）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的10次Newton插值多项式的图像； π),i=0,1,...,20.给出它的20次Lagrange插值多项式（2）用节点X i=5cos(2i+1 42 的图像； （3）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段线性插值函数的图像；（4）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的三次自然样条插值函数的图像； （5）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段三次Hermite插值函数的图像； 实验图像结果： 实验结果分析： 1.为了验证Range现象，我还特意做了10次牛顿插值多项式和20次牛顿插值多项式的对比图像，结果如下图（图对称，只截取一半） 可以看出，Range现象在高次时变得更加明显。这也是由于高次多项式在端点处的最值随次数的变大很明显。可以料定高次多项式在两侧端点处剧烈震荡，在更小的间距内急剧上升然后下降，Range现象非常明显。 2.分析实验（2）的结果，我们会惊讶地发现，由于取21个点逼近，原本预料的Range现象会很明显，但这里却和f(x)拟合的很好。（即下图中Lagrange p(x)的图像）。可是上图中取均匀节点的20次牛顿多项式逼近的效果在端点处却很差。料想是由于节点X i=5cos2i+1 42 π ,i=0,1,...,20 取得很好。由书上第五章的 知识，对于函数y=1 1+x ，y 1 2对应的cherbyshev多项式的根恰好为X i= 5cos2i+1 42 π ,i=0,1,...,20 。由于所学限制，未能深入分析。 （3）比较三次样条插值图像和Hermit插值图像对原函数图像的逼近情形。见下图： 牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法： 姓名 实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年 月 日 说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。 实验一 方程求根 一、 实验目的 用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、 实验原理 (1)、二分法 对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。将所给区间二分，在分点 2a b x -=判断是否0)(=x f ；若是，则有根2a b x -=。否则，继续判断是否0)()( +)(0x f 0))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(') (00x f x f 。取x 作为原方程新的近似根1x ，然后将1x 作为0x 代入上式。迭代公式为：=+1 k x -0x )(')(k k x f x f 。 三、 实验设备：MATLAB 软件 四、 结果预测 （1）11x = （2）5x = （3）2x =0,09052 五、 实验内容 （1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不超 过3105.0-?。 （2）、取初值00=x ，用迭代公式=+1 k x -0x )(') (k k x f x f ，求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差不超过3105.0-?。 （3）、取初值00=x ，用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差 不超过3105.0-?。 六、 实验步骤与实验程序 （1） 二分法 第一步：在MATLAB 软件，建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件如下： function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数，求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号'); end 《数值分析》实验报告一 姓名: 周举 学号: PB09001046 实验一 一、实验名称 方程求根 二、实验目的与要求： 通过对二分法和牛顿法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点； 比较二者的计算速度和计算精度。 三、实验内容： 通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点 。 （一）二分法 算法：给定区间[a,b]，并设f （a ）与f （b ）符号相反，取δ为根的容许误差，ε为值的容许误差。 （1）令c=(a+b)/2 （2）如果(c-a)< δ或)(c f <ε，则输出c ，结束；否则执行（3） （3）如果f(a)f(c)<0，则令)()(,c f b f c b ←←；否则，则令 )()(,c f a f c a ←←，重复（1），（2），（3）。 （二）牛顿迭代法：给定初值0x ，ε为根的容许误差，η为)(x f 的容 许误差，N 为迭代次数的容许值。 （1）如果)(x f <η或迭代次数大于N ，则算法结束；否则执行（2）。 （2）计算)('/)(0001x f x f x x -= （3）若 < 或 < ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。 （4）令 = ，转向（1）。 四、实验题目与程序设计 1、二分法 3.1.1、用二分法求方程 a. f(x)= x x tan 1--在区间[0，π/2]上的根, c. f(x)=6cos 22-++-x e x x 在区间[1，3]上的根。 源程序： 3.1.1.a #include 数值分析实验报告记录 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数值分析实验报告 （第二章） 实验题目： 分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、史蒂芬森迭代法求方程 的根，观察不同初始值下的收敛性，并给出结论。 问题分析： 题目有以下几点要求： 1.不同的迭代法计算根，并比较收敛性。 2.选定不同的初始值，比较收敛性。 实验原理： 各个迭代法简述 二分法：取有根区间的重点，确定新的有根区间的区间长度仅为区间长度的一版。对压缩了的有根区间重复以上过程，又得到新的有根区间，其区间长度为的一半，如此反复，……，可得一系列有根区间，区间收敛到一个点即为根。 牛顿迭代法：不动点迭代法的一种特例，具有局部二次收敛的特性。迭代格式为 割线法：是牛顿法的改进，具有超线性收敛的特性，收敛阶为1.618. 迭代格式为 史蒂芬森迭代法：采用不动点迭代进行预估校正。至少是平方收敛的。迭代格式为 这里可采用牛顿迭代法的迭代函数。 实验内容： 1.写出该问题的函数代码如下： function py= f(x) syms k; y=(k^2+1)*(k-1)^5; yy=diff(y,k); py(1)=subs(y,k,x); py(2)=subs(yy,k,x); end 2.分别写出各个迭代法的迭代函数代码如下： 二分法： function y=dichotomie(a,b,e) i=2; m(1)=a; while abs(a-b)>e t=(a+b)/2; s1=f(a); s2=f(b); s3=f(t); if s1(1)*s3(1)<=0 b=t; else a=t; end m(i)=t; i=i+1; end y=[t,i+1,m]; end 牛顿迭代法： function y=NewtonIterative(x,e) i=2; en=2*e;m(1)=x; while abs(en)>=e s=f(x); t=x-s(1)/s(2); en=t-x; x=t; m(i)=t; i=i+1; end y=[x,i+1,m]; end 牛顿割线法： function y=Secant(x1,x2,e) i=3; m(1)=x1,m(2)=x2; while abs(x2-x1)>=e s1=f(x1); s2=f(x2); t=x2-(x2-x1)*s2(1)/(s2(1)-s1( 1)); x1=x2; x2=t; m(i)=t; i=i+1; end . 牛顿插值法一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 x?x)f(二、实验内容：给定函数，已知： 4832401.2)?.?1449138f(2.f.f(20)?1.414214(2.1) 549193.)?1f(2.4516575(f2.3)?1. 三、实验要求：以此作为函数2.15插值多项式在处的值，用牛顿插值法求4 次Newton（ 1）2.15?N(2.15)。在MATLAB中用内部函数ezplot绘制出的近似值4次Newton插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB中用内部函数ezplot可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor编辑器，输入Newton插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); 0 / 3 . %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到： 求一个整数开根号--二分法和牛顿迭代法（求根） 问题叙述 求解1232cos 0x x -+=的解；通过编写matlab 程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程，通过两种方法的比较，分析二者求解方程的快慢程度。 一、问题分析 由matlab 画图命令，容易得到此方程解的范围为（2，4）；两种迭代方法，在使用相同的误差（0.00001）的情况下，得出matlab 迭代次数，通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。 二、实验程序及注释 （1）、二分法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； a=2;b=4; %求解区间； er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; %误差分析； while er>er0 x0=.5*(a+b); y0=f(x0); if ya*y0<0 b=x0; %二分法求解程序； else a=x0; ya=y0; end disp([a,b]);er=b-a;k=k+1 %显示各个区间值和求解次数； end disp([a,b]); %显示最后一个区间值； （2）、牛顿迭代法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； b=3;a=4;k=0; %求解区间； y0=f(b);y=f(a); while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0); b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序； a=t;y=f(a); k=k+1; disp([b,a]);k %显示各个区间值和求解次数； end disp([b,a]); %显示最后一个区间值； 二分法和牛顿法的比较 二分法的基本思想是对有根区间[a,b]逐次分半，首先计算区间[a,b]的中间点x0，然后分析可能出现的三种情况：如果f(x0)f(a)<0，则f(x)在区间[a,x0]内有零点；如果f(x0)f(b)<0，则f(x)在区间[x0,b]内有零点；如果f(x0)=0，则x0是f(x)在区间[a,b]内所求零点。但是二分法的缺点是收敛速度慢且不能求复根。牛顿迭代法的基本思想是将方程f(x)=0中函数f(x)线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解其迭代函数为) (') ()(x f x f x x -=?。牛顿迭代法的缺点是可能发生被零除错误，且可能出现死循环。 用二分法和牛顿法分别计算多项式02432 3 =-+-x x x 的解。该多项式的解为1、1+i 和1-i ，使用二分法计算时，区间为(-1,2)，使用牛顿法计算时取初始值为0。误差都为0.0001。 编程如下 二分法(erfen.m)： syms x ; fun=x^3-3*x^2+4*x-2; a=-1; b=2; d=0.0001; f=inline(fun); e=b-a; k=0; while e>d c=(a+b)/2; if f(a)*f(c)<0 b=c; elseif f(a)*f(c)>0 a=c; else a=c;b=c; end e=e/2; k=k+1; end k x=(a+b)/2 牛顿法(newton.m)： function [k,x,wuca] = newton() k=1; x0=0; tol=0.0001; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); x1=x0-yx1/yx2; while abs(x1-x0)>tol x0=x1; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); k=k+1; x1=x1-yx1/yx2; end k x=x1 wuca=abs(x1-x0)/2 end function y1=fun(x) y1=x^3-3*x^2+4*x-2; end function y2=fun1(x) y2=3*x^2-6*x+4; end 分析结果得知，在相同的误差精度下，二分法需要计算15次，而牛顿法只需计算5次，得知牛顿法比二分法优越。 实验报告：牛顿差值多项式&三次样条 问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数2 1()25f x x 作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。 实验内容： （1）牛顿插值多项式 1.1 当n=10时： 在Matlab 下编写代码完成计算和画图。结果如下： 代码： clear all clc x1=-1:0.2:1; y1=1./(1+25.*x1.^2); n=length(x1); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p ; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i); end syms P P=sum(p); P10=vpa(expand(P),5); x0=-1:0.001:1; y0=subs(P,x,x0); y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0); plot(x0,y0,x0,y2) grid on xlabel('x') ylabel('y') P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0202e-1 4*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0 并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。 Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形 从图形中我们可以明显的观察出插值函数在两端点处发生了剧烈的波动，产生了极大的误差，即龙格现象，当n=20时，这一现象将更加明显。 1.2 当n=20时： 对n=10的代码进行修改就可以得到n=20时的代码。将“x1=-1:0.2:1;”改为“x1=-1:0.1:1;”即可。运行程序，我们得到n=20时的牛顿插值多项式，结果为：P20(x)= 260188.0*x^20 - 1.0121e6*x^18 + 2.6193e-12*x^17 + 1.6392e6*x^16 + 2.248e-11*x^15 - 1.4429e6*x^14 - 4.6331e-11*x^13 + 757299.0*x^12 + 1.7687e-11*x^11 - 245255.0*x^10 + 2.1019e-11*x^9 + 49318.0*x^8 + 3.5903e-12*x^7 - 6119.2*x^6 - 1.5935e-12*x^5 + 470.85*x^4 + 1.3597e-14*x^3 - 24.143*x^2 - 1.738e-14*x + 1.0 同样的，这里得到了该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.2）。 (1)二分法求解非线性方程： #include 实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。 3算法描述 1.分段线性插值流程图 2.分段二次插值流程图 3.拉格朗日插值流程图 4程序代码及注释 1.分段线性插值 实验报告内容： 一：不动点迭代法解方程 二：牛顿插值法的MATLAB实现 完成日期：2012年6月21日星期四 数学实验报告一 日期：2012-6-21 所以，确定初值为x0=1 二：不断迭代 算法： 第一步：将f(x0)赋值给x1 第二步：确定x1-x0的绝对值大小，若小于给定的误差值，则将x1当做方程的解，否则回到第一步 编写计算机程序： clear f=inline('0.5*sin(x)+0.4'); x0=1; x1=f(x0); k=1; while abs(x1-x0)>=1.0e-6 x0=x1; x1=f(x0); k=k+1; fprintf('k=%.0f,x0=%.9f,x1=%.9f\n',k,x0,x1) end 显示结果如下： k=2,x0=0.820735492,x1=0.765823700 k=3,x0=0.765823700,x1=0.746565483 k=4,x0=0.746565483,x1=0.739560873 k=6,x0=0.736981783,x1=0.736027993 k=7,x0=0.736027993,x1=0.735674699 k=8,x0=0.735674699,x1=0.735543758 k=9,x0=0.735543758,x1=0.735495216 k=10,x0=0.735495216,x1=0.735477220 k=11,x0=0.735477220,x1=0.735470548 k=12,x0=0.735470548,x1=0.735468074 k=13,x0=0.735468074,x1=0.735467157 >>。。。 以下是程序运行截图： 本科生实验报告 实验课程数值计算方法 学院名称信息科学与技术学院 专业名称计算机科学与技术 学生姓名 学生学号 指导教师 实验地点 实验成绩 二〇一六年五月二〇一六年五月 实验一非线性方程求根 1.1问题描述 实验目的：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法，。 实验内容：试分别用二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)，求x5-3x3+x-1= 0 在区间 [-8,8]上的全部实根，误差限为10-6。 要求：讨论求解的全过程，对所用算法的局部收敛性，优缺点等作分析及比较， 第2章算法思想 2.1二分法 思想：在函数的单调有根区间内，将有根区间不断的二分，寻找方程的解。 步骤： 1.取中点mid=(x0+x1)/2 2.若f(mid)=0,则mid为方程的根，否则比较与两端的符号，若与 f(x0) 异号，则根在[x0,mid]之间，否则在[mid,x1]之间。 3并重复上述步骤，直达达到精度要求，则mid为方程的近似解。 2.2 简单迭代法 思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值，使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。 步骤：1.构造迭代公式f(x)，迭代公式必须是收敛的。 2.计算x1,x1=f(x0). 3.判断|x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤。 4．输出x1,即为方程的近似解。 开始 输入x0,e X1=f(x0)|x1-x0| 2014级硕士研究生数值分析上机实习 (第一次) 姓名：乔永亮 学号：14S030125 学院：船舶与海洋工程学院 实习题目：分别用二分法和Newton 迭代法求方程02010223=-++x x x 的根. 实习目的：掌握两种解法，体会两种解法的收敛速度. 实习要求：用C 程序语言编程上机进行计算，精确到8位有效数字. 报告内容： 1. 确定实根的个数以及所在区间. 解：对函数3 2 ()21020f x x x x =++-求导，得2 ()34100f x x x '=++=。 易知()0f x '>恒成立，所以函数(x)f 没有极值，只有一个实根。又可以知道(1)0f <,(2)0f >方程在区间(1,2)有一个实根，且为奇数重根，可以二分法和Newton 求解 2. 将最后两次计算结果填入下表（保留8位数字）： 3. 实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会？ 在编程的过程中由于对基本计算原理的理解有一定不足，同时对编程语言的不熟悉，导致在编程过程中错误百出，耗费了大量时间。但是通过课本以及网络对所需知识的不断学习，通过尝试不同的方法，最终还是得到了几种不同的思路与方法。通过这次编程，深深的感受到自己的不足，同时也明白了数学与计算机编程的紧密结合，不努力提高自己在当今社会就要被淘汰。 4. 两种解法的计算程序（此页写不下时可以加页）： 二分法（Fortran 语言） program Analysis1 real::a,b,c,m real::fa,fc a=1. b=2. m=0.0001 !-------------------- do while(abs(b-a)>=m) c=(a+b)/2 fa=a**3+2.*a*a+10.*a-20 fc=c**3+2.*c*c+10.*c-20 if(fa*fc<0) then b=c else a=c end if write(*,"(f10.7)")c end do pause end program Anslysis1 牛顿迭代法（Fortran语言） program Analysis2 implicit none !定义变量---------------------------------------------------------------external f,df real m,x0,x1,f,df integer i !初始化变量-------------------------------------------------------------m=0.0001 x0=1.5 !牛顿迭代法-------------------------------------------------------------do while(abs(f(x0))>=m) x1=x0-f(x0)/df(x0) x0=x1 i=i+1 write(*,"(i4,f10.7)")i,x0 end do 《数值分析》课程实验报告 用拉格朗日和牛顿插值法求解函数值 算法名称用拉格朗日和牛顿插值法求函数值 学科专业xxxxx 作者姓名xxxx 作者学号xxxxx 作者班级xxxxxx xxx大学 二〇一五年十二月 《数值分析》课程实验报告 得到的近似值为。 拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。 2.牛顿插值法 在命令窗口输入： x=[ ]; y=[ ]; xt=; [yt,N]=NewtInterp(x,y,xt) z=::2; yz=subs(N,'t',z); figure; plot(z,sqrt(z),'--r',z,yz,'-b') hold on plot(x,y,'marker','+') hold on plot(xt,yt,'marker','o') h=legend('$\sqrt{x}$','牛顿','$(x_k,y_k)$','$x=$'); set(h,'Interpreter','latex') xlabel('x') ylabel('y') 得到结果及图像如下： yt = N = - *t^4 + *t^3 - *t^2 + *t + 得到√的近似值为，插值函数为 N =- *t^4 + *t^3 - *t^2 + *t + ， 其计算精度是相当高的。 Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f(x)的近似函数P(x)，从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。 实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。 二分法和牛顿迭代法求解方程的比较 200822401018 徐小良 一、问题叙述 求解1232cos 0x x -+=的解；通过编写matlab 程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程，通过两种方法的比较，分析二者求解方程的快慢程度。 二、问题分析 由matlab 画图命令，容易得到此方程解的范围为（2，4）；两种迭代方法，在使用相同的误差（0.00001）的情况下，得出matlab 迭代次数，通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。 三、实验程序及注释 （1）、二分法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； a=2;b=4; %求解区间； er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; %误差分析； while er>er0 x0=.5*(a+b); y0=f(x0); if ya*y0<0 b=x0; %二分法求解程序； else a=x0; ya=y0; end disp([a,b]);er=b-a;k=k+1 %显示各个区间值和求解次数； end disp([a,b]); %显示最后一个区间值； （2）、牛顿迭代法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； b=3;a=4;k=0; %求解区间； y0=f(b);y=f(a); while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0); b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序； a=t;y=f(a); k=k+1; disp([b,a]);k %显示各个区间值和求解次数； end disp([b,a]); %显示最后一个区间值； 牛顿插值法 一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 二、实验内容：给定函数 x x f =)(，已知： 414214.1)0.2(=f 449138.1)1.2(=f 483240.1)2.2(=f 516575.1)3.2(=f 549193.1)4.2(=f 三、实验要求： （1）用牛顿插值法求4次Newton 插值多项式在2.15处的值，以此作为函数的近似值)15.2(15.2N ≈。在MATLAB 中用内部函数ezplot 绘制出4次Newton 插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB 中用内部函数ezplot 可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton 插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor 编辑器，输入Newton 插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到： y =1.4663 wucha =1.0e-06 * -0.4376 -0.3254 -0.3026 0.0888 0.3385 P = - (4803839603609061*x^4)/2305843009213693952 + (7806239355294329*x^3)/288230376151711744 - (176292469178709*x^2)/1125899906842624 + (1624739243112817*x)/2251799813685248 + 1865116246031207/4503599627370496 （2）在MATLAB命令窗口输入： >> v=[0,6,-1,3]; >> ezplot(P),axis(v),grid >> hold on >> x=0:0.1:6; >> yt=sqrt(x);plot(x,yt,':') >> legend('插值效果','原函数') >> xlabel('X') >> ylabel('Y') >>title('Newton插值与原函数比较') 回车即可得到图像1-1。 计算方法实验 题目： 班级： 学号： 姓名： 目录 计算方法实验 (1) 1 实验目的 (3) 2 实验步骤 (3) 2.1环境配置： (3) 2.2添加头文件 (3) 2.3主要模块 (3) 3 代码 (4) 3.1主程序部分 (4) 3.2多项式方程部分 (4) 3.3核心算法部分 (8) 3.4数据结构部分 (13) 4运行结果 (19) 4.1拉格朗日插值法运行结果 (19) 4.2牛顿插值法运行结果 (20) 4.3多项式拟合运行结果 (20) 5总结 (21) 拉格朗日插值法 (21) 牛顿插值法 (21) 多项式拟合 (21) 6参考资料 (22) 1 实验目的 1.通过编程对拉格朗日插值法、牛顿插值法以及多项式拟合数据的理解 2.观察上述方法的计算稳定性和求解精度并比较各种方法利弊 2 实验步骤 2.1环境配置： VS2013，C++控制台程序 2.2添加头文件 #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "stdafx.h" 2.3主要模块 程序一共分成三层，最底层是数据结构部分，负责存储数据，第二层是交互部分，即多项式方程部分，负责输入输出获得数据，最上层是核心的算法部分，负责处理已获得的数据。具体功能如下： ●数据结构部分 数据结构部分是整个程序的最底层，负责存储部分。因方程系数作为数据元素插入和删除操作较少，而顺序表空间利用率大且查看方便，故此程序选用顺序表保存系数。数据结构文件中写的是有关顺序表的所有基本操作以供其他文件调用。本次实验使用列主元高斯消元法作为求解方程组的方法，所以也用了二维顺序表存储数组。综上，数据结构部分文件是前两个试验的文件内容和，稍作修改。 ●常系数微分方程部分 多项式方程部分是程序的第二层，内容主要是常系数微分方程导数的计算和显示菜单部分。 ●算法部分 算法部分分为两个文件，一个是插值部分，一个是拟合部分。 插值部分文件负责有关插值的核心算法，处于整个程序最上层部分，负责拉格朗日插值法和牛顿插值法的具体实现过程。调用方程文件的函数，将获得的数据进行处理运算，将结果返回给方程主函数和输出的第二层。每种方法有两个函数，一个为仅仅实现一次插值的算法，另一个是和方程部分联系的 实验报告（作业） 课程名称计算方法 班级与班级代码 专业数学与应用数学 指导教师 学号 姓名 提交日期 2012年6月1日 广东商学院教务处制 目录 一、实验目的 (1) 二、实验方法 (1) (1)拉格朗日插值 (1) (2)牛顿插值 (1) 三、实验内容 (2) 四、实验程序 (2) (1)拉格朗日插值 (2) (2)牛顿插值 (3) 五、实验结果 (4) (1) 拉格朗日插值 (4) (2)牛顿插值 (4) 六、结果分析 (4) 实验四 插值问题 一、 实验目的 用拉格朗日插值和牛顿插值的方法，在已知函数在点n x x x ,,,10 的函数值n y y y ,,,10 的情况下，求插值节点x 的函数值y ，即求)(x f 。并比较结果，说明为什么相等。 二、 实验方法 （1） 拉格朗日插值 根据n x x x ,,,10 ；n y y y ,,,10 构造插值多项式 ()k n k n k j j j k i n y x x x x x p ????? ? ??--=∑∏ =≠=00 将插值点x 代入上式，就可得到函数)(x f 在点x 处的函数值的近似值。 （2） 牛顿插值 根据n x x x ,,,10 ；n y y y ,,,10 构造插值多项式 ()()()()()()()() 110100100,,,,----++-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x f x f x N 牛顿插值公式中各项的系数就是函数)(x f 的各阶均差（差商） ()()n x x x f x x f x f ,,,,,,),(10100 ，因此，在构造牛顿插值公式时，常 常先把均值差列成一个表，此表称为均差表。插值法数值上机实验报告
牛顿迭代法
MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
数值分析报告-二分法和牛顿法方程求根
数值分析实验报告记录
牛顿插值法试验报告
求一个整数开根号--二分法和牛顿迭代法(求根)
数值分析——二分法和牛顿法
数值分析实验报告-插值、三次样条(教育教学)
二分法和牛顿法求解非线性方程(C语言)
计算方法实验报告 插值
matlab(迭代法-牛顿插值)Word版
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))
二分法 牛顿迭代法
数值分析课程实验报告-拉格朗日和牛顿插值法
二分法和牛顿迭代法求解方程的比较
牛顿插值法实验报告
计算方法上机作业插值与拟合实验报告
计算方法(李桂成著) 实验报告 插值问题