函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质

一、知识点

1．对函数单调性的理解

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。②复合函数的单调性规则是“同增异减”。 2．函数的奇偶性的定义：

（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。

（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。

（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 3．奇偶函数图象的对称性

（1）若)(x a f y +=是偶函数，则?=-?-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线

a x =对称；

（2）若)(x b f y +=是偶函数，则?-=-?+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点

)0,(b 中心对称；

4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。 二、例题讲解

1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12

+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】

试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.

2．2

()24f x x x =-+的单调减区间是 .

【答案】(,1)-∞ 【解析】

试题分析：将函数进行配方得22

()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性．

3．函数2

2log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）

A ．（－∞，－3）

B ．（－∞，－1）

C ．(1，+∞)

D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】

试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)

(1,)-∞-+∞．

22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4

x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴2

2log (23)y x x =+-在

(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．

考点：复合函数的单调性．

4．已知5)2(22

+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）

A.2a ≤-

B.2a ≥-

C.6-≥a

D.6-≤a 【答案】B 【解析】

试题分析：函数5)2(22

+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区

间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。 考点：二次函数的单调性。

5．已知偶函数f （x ）在[0，∞）上是增函数，则不等式的解集是

【答案】}3

231x {<

试题分析：根据偶函数的性质：()()()x f x f x f =-=,所以()()

??

?

??<-=-311212f x f x f ,函数在[0，∞）上是增函数，所以3112<

-x ,311231-<-

231<

6．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有2121()(()())0x x f x f x -->.

则满足(21)f x -＜1()3

f 的x 取值范围是( ) A.（12，23） B.［13，23） C. （13，23） D.［12，23

）

【答案】A 【解析】

试题分析：因为2121()(()())0x x f x f x -->，所以函数()f x 在),0(+∞上单调增. 由(21)f x -＜1()3

f 得：.3

2

21,31120<<<

-

7．已知函数4)(2

+-=ax x x f ，若)1(+x f 是偶函数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1- C ．2- D ．2

【答案】D 【解析】

试题分析：函数4)(2

+-=ax x x f 的对称轴为x=2a ，因为)1(+x f 是偶函数，所以2

a

-1=0，解得a=2，故选D.

考点：1.二次函数的性质；2.函数的奇偶性.

8．设f （x ）定义R 上奇函数，且y ＝f （x ）图象关于直线x ＝

13对称，则f （－2

3

）＝（ ） A ．－1 B ．1 C ．0 D ．2

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意可得，2()(),()()3f x f x f x f x -=-=-，所以22

()()(0)0

33f f f -=-=-=，选C.

考点：函数的奇偶性及对称性.

9．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21

,f x x x

=+ ,则()1f -= ( ) A.2-

B. 0

C. 1

D. 2

【答案】A

【解析】()()11 2.f f -=-=-

【考点定位】本题考查函数的奇偶性的应用，根据()()f x f x -=-直接运算()()11 2.f f -=-=-而若求()f x 在(),0-∞上的解析式再求()1f -便多余了.

10．已知)(x f 在R 上是奇函数,且满足)()4(x f x f =+,当)2,0(∈x 时,2

2)(x x f =,则)7(f 的值为

（ ）

A ．2-

B ．2

C ．98-

D ．98 【答案】A 【解析】

试题分析：

)()4(x f x f =+，根据周期函数定义可知()

f x 是周期为4的周期函数，

∴()()()7181f f f =-+=-，又根据函数()f x 是奇函数，可得()1f -=()1f -，因为()10,2∈，所以

()211212f -=-??=-.故正确答案为选项A.

考点：周期函数的定义和性质;奇函数定义和性质. 11．设偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()

1

3f x f x +=-

,且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =,则()107.5f =（ ）

A ．10

B ．110

C ．-10

D ．110

- 【答案】B 【解析】

试题分析：因为()()

1

3f x f x +=-

，所以()()6f x f x +=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，又()()11

1860.5(0.5)(0.5)(2.5)( 2.5107.5)

f f f f f f ?-==-=-

=--=，而( 2.5)10f -=-，故

()107.5f =

1

10

，故选B ． 考点：函数的性质．

12．设)(x f 是周期为2的偶函数，当10≤≤x 时, )1(2)(x x x f -=,则=-)2

5(f 【答案】2

1 【解析】

试题分析：5511()(2)()()2222f f f f -=-=-==2

1 考点：周期函数，函数奇偶性.

13．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1）时，242,20,(),0 1.

x x f x x x ?--≤≤=?<

()

2f ＝

A ．0

B ． 1

C ．1

2

D ．1- 【答案】D

【解析】

试题分析：因为()f x 是周期为3的周期函数，

所以2

511134212222f f f ????????

=-+=-=?--=- ? ? ? ?????????

故选D.

考点：函数周期性的概念和分段函数的概念.

14．已知函数()f x 是定义在区间[-2，2]上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式

(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围（ ）

A.1[1,)2

- B. 1，2 C. (,0)-∞ D.(,1)-∞ 【答案】A 【解析】

试题分析：根据题意知,函数在[)0,2-上单调递增,在[]2,0上单调递减.首先满足??

?≤≤-≤-≤-2

22

12m m ,可得

21≤≤-m .根据函数是偶函数可知:)()(m f m f -=,所以分两种情况:

当20≤≤m 时,根据不等式(1)()f m f m -<成立,有12-21m m m m <-≤≤-<-或,解得102

m ≤<

;当20m -≤<时,根据不等式(1)()f m f m -<成立,有12 -21m m m m -<-≤≤-<或,解得

10m -≤<;

综上可得112

m -≤<

. 考点：偶函数性质.

15．已知函数f(x)对任意实数x ，y 恒有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－2. (1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求证：f(x)是R 上的减函数； (3)求f(x)在区间[－3,3]上的值域；

(4)若?x ∈R ，不等式f(ax 2

)－2f(x)

9

8

，＋∞) 【解析】解：(1)取x ＝y ＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 取y ＝－x ，则f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＝－f(x)对任意x ∈R 恒成立，∴f(x)为奇函数．

(2)证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 10，f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)<0， ∴f(x 2)<－f(－x 1)，又f(x)为奇函数， ∴f(x 1)>f(x 2)．

∴f(x)是R 上的减函数．

(3)由(2)知f(x)在R 上为减函数，

∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)，

∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6， ∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6]．

(4)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax 2

)＋f(－2x)

则f(ax 2

－2x)

∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2

－2x>x －2， 当a ＝0时，－2x>x －2在R 上不是恒成立，与题意矛盾；

当a>0时，ax 2

－2x －x ＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>98

； 当a<0时，ax 2－3x ＋2>0在R 上不是恒成立，不合题意． 综上所述，a 的取值范围为(9

8

，＋∞)． 三、习题

1．设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2015)＝________． 【答案】1

【解析】由条件，f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.

2．偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________． 【答案】3 【解析】

试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．

考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．

3．若()()()4f x x a x =-+为偶函数，则实数a =_______. 【答案】4. 【解析】 试题分析：

()()()()2444f x x a x x a x a =-+=+--，则()()()()2

44f x x a x a -=-+-?--

()244x a x a =---，由于函数()f x 为偶函数，因此()()f x f x -=，即()244x a x a +-- ()244x a x a =---，于是有()240a x -=对任意x R ∈都成立，所以404a a -=?=.

考点：函数的奇偶性

4．函数2

(),,.f x x ax b a b R =-+∈

若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ． 【答案】2≥a 【解析】

试题分析：根据题意可知:二次函数开口向上,对称轴为2a x =

,根据题意可知:区间(,1)-∞在对称轴2

a x =的左侧,所以

12

≥a

. 考点：二次函数的性质.

5．已知2

12

()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）

A.(1,)+∞

B.(2,)+∞

C.(,0)-∞

D.(,1)-∞ 【答案】C 【解析】

试题分析：函数)(x f 是复合函数,其定义域令022

x x -,即

).2(0,∞+?∞-）（,根据复合函数的单调性:同增异减.该函数是增函数,其外函数是v u 2

1log =为减函数,其内函数为x x v 22

-=也必是减函数,所以

取区间）（0,∞-.

考点：复合函数单调性的判断.

6．已知y ＝f(x)＋x 2

是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________. 【答案】－1

【解析】∵y ＝f(x)＋x 2

是奇函数，且f(1)＝1，

∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12

]，∴f(－1)＝－3. 因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.

7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()21f =且对任意x R ∈都有()()3f x f x +=，则

() 2014f = ．

【答案】1 【解析】

试题分析：由()()3f x f x +=知，()f x 是以周期为

3

的周期函数，所以

()()()()()()201467131132221f f f f f f =?+==-=-==.

考点：函数的性质.

8．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=-，且(1)2f =，则

(2013)(2015)f f +=_________．

【答案】2-

【解析】

试题分析：由f （x+3）=-f （x ），得f （x+6）=-f （x+3）=-[-f （x ）]=f （x ）， 即函数f （x ）的周期是6．

所以f （2013）=f （335×6+3）=f （3）=-f(0)，f （2015）=f （336×6-1）=f （-1）=-f(1)=-2． 因为f （x ）是定义在R 上的奇函数， 所以根据奇函数的性质可知f （0）=0， 所以(2013)(2015)f f +=0+(-2)=-2． 考点：函数奇偶性的性质．

9．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,

(),01,x x f x x x ?-+-≤<=?≤

，

则3()2

f = . 【答案】1

【解析】

试题分析：311

()()421224

f f =-=-?

+=. 【考点定位】周期函数及分段函数.

10．(x)f 是R 上的奇函数，当0x ≥时，3

(x)x ln(1x)f =++，则当0x <时，()f x =（ ）

A ．3x ln(1x)---

B ．3x ln(1x)+-

C ．3x ln(1x)--

D ．3

x ln(1x)-+-

【答案】C 【解析】

试题分析：试题分析：∵0x <，∴0x ->，∴3

()()ln(1)f x x x -=-+-，又∵(x)f 是R 上的奇函数，

∴3()()ln(1)f x x x -=-+-，∴3

()ln(1)f x x x =--.

考点：1.函数的奇偶性；2.函数解析式.

11．已知函数()f x 满足()(1)(2),f x f x f x x R =+-+∈．当()0,3x ∈时，2

()f x x =，则(2014)f =

（ ）

A ．5

B ．5-

C ．1-

D ．1 【答案】C 【解析】

试题分析：由?+-+=)2()1()(x f x f x f )3()2()1(+-+=+x f x f x f ，从而)3()(+-=x f x f ，故()f x 的周期为6，1)1()4()43356()2014(-=-==+?=f f f f 考点：函数的性质

12．已知函数()f x ∞∞是(-,+)上的奇函数,且()(2)f x f x =-,当[1,0]x ∈-时,1()12x

f x ??

=- ???

，则

()()20142015f f += __．

【答案】1- 【解析】

试题分析：因为()f x 是奇函数，所以()()()22f x f x f x =-=--即()()2f x f x -=-，所以函数

()f x 的周期为4T =,所以()()()()()()2014503422,2014503433f f f f f f =?+==?+=，当2x =时，代入

()(2)f x f x =-，解得：

()()200f f ==，当3x =时，

()()1

1311121

2f f -??

=-=-=-=- ???

，所以()()()()2014201523011f f f f +=+=-=-，所以答

案为：1-.

考点：1.函数的周期；2.函数的奇偶性.

13．已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]内递减，若f(1－m)＋f(1－m 2

)<0，求实数m 的取值范围． 【答案】－1≤m<1

【解析】由f(x)的定义域是[－2，2]， 知2122122m m ≤≤??

≤≤?－－，

－－，

解得－1≤m≤3.

因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m 2

)，即f(1－m)

－1)．

由奇函数f(x)在区间[－2，0]内递减，所以在[－2，2]上是递减函数，所以1－m>m 2

－1，解得－2

14．函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为( ) （A ）{|22}x x x ><-或 （B ）{|22}x x -<< （C ）{|04}x x x <>或 （D ）{|04}x x << 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意可知()(),f x f x -=

即(2)()(2)()x ax b x ax b ---+=-+，(2)0a b x -=恒成立，故20a b -=，即2b a =， 则()(2)(2)f x a x x =-+.

又函数在(0,)+∞单调递增，所以0a >.(2)0f x ->即(4)0,ax x ->解得0x <或4x >. 故选C ．

考点：函数的奇偶性、单调性，一元二次不等式的解法. 15．若奇函数)(x f 在(0，＋∞)上是增函数，又0)3(=-f ，则0()

x

f x <的解集为( )． A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(0,3) 【答案】B 【解析】

试题分析：)(x f 是奇函数且在),0(+∞上是增函数，0)3(=-f ;)(x f ∴在)0,(-∞上是增函数且

0)3(=f ；由

0)(

得???>0

)(00)(0x f x x f x 或 ，3003<<<<-x x 或（如图）；故选B ．

考点：函数的奇偶性、单调性．

16．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是减函数，又(2)0f -=，则(3)()0x f x -?<的解集是

【答案】(,2)(0,2)(3,)-∞-+∞

【解析】

试题分析：∵()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是减函数，∴()f x 在(,0)-∞内是减函数，∵(2)f -＝(2)f -＝0，∴(2)f ＝0，则当20x -<<或2x >时，()0f x <，当02x <<或2x <-时，()0f x >，则不

等式(3)()0x f x -?<等价为30()0x f x ->???

②．由①得30202x x x ->??-<<>?或，解得3x >；

由②得30

202

x x x -

<-<或2x <-或

02x <<．

考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3．抽象函数；4．函数图象的应用．

17．已知定义的R 上的函数()f x 满足)1()1(x f x f -=+且在),1[+∞上是增函数，不等式)1()2(-≤+x f ax f 对任意1,12x ??∈????

恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A.[]3,1-- B ．[]2,0- C ．[]5,1-- D ．[]2,1- 【答案】B 【解析】

试题分析：由已知条件得()f x 的图象关于1x =对称，且在),1[+∞上是增函数，在(,1]-∞上是减函数，因为1,12x ??∈????，所以11,02x ??-∈-????，由对称性得，当不等式)1()2(-≤+x f ax f 对任意1,12x ??

∈????

恒成立

时，则022ax ≤+≤，1,12x ??

∈????

恒成立，则20a x -≤≤，故实数a 的取值范围是[]2,0-．

考点：1、函数的图象与性质；2、恒成立问题. 18．已知x∈[－3，2]，求f(x)＝14x －1

2

x ＋1的最小值与最大值． 【答案】最小值

3

4

，最大值57. 【解析】f(x)＝

14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝122x ?? ?

?

?－－2＋34.∵x ∈[－3，2],∴14≤2－x

≤8.则当2－x

＝

12，即x ＝1时，f(x)有最小值34

；当2－x

＝8，即x ＝－3时，f(x)有最大值57. 19．已知9x －10×3x

＋9≤0，求函数y ＝1

14x -??

?

??

－412x

??

???

＋2的最大值和最小值．

【答案】y max ＝2.y min ＝1

【解析】由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0，解得1≤3x

≤9，∴0≤x ≤2.

令(

12)x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2

－4t ＋2＝4(t －12)2＋1， 当t ＝1

2

即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.

20．已知函数

2

()(sin cos )cos(π2)f x x x x =++-． （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；

（2）求)(x f 在区间3[,]44

ππ

上的取值范围．

【答案】（1）22

T π

π==，3[,

]88k k ππππ-++，()k Z ∈ ；（2）[0,1].

【解析】 试题解析：（1）

2()(sin cos )cos(2)f x x x x π=++-，

()1sin 2cos 2f x x x ∴=+-1)42sin(2+-=πx ，∴函数()f x 的最小正周期为22

T ππ==.

由 2222

4

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤-

≤

+，()k Z ∈，得 38

8

k x k π

π

ππ-

+≤≤

+，()k Z ∈ ∴()f x 的单调增区间是3[,

]8

8

k k ππ

ππ-++，()k Z ∈

（2）434

ππ

≤

≤x

45424πππ≤-≤∴x 1)42sin(22≤-≤-∴πx ，0)114

x π∴≤-+≤

∴函数)(x f 在区间??

?

???43,4ππ上的取值范围为[0,1].

考点：1.三角函数的化简，周期与单调性；2.三角函数的取值范围.

21．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2

()2f x x x =-。 （1）求(0)f 及((1))f f 的值；

（2）求函数()f x 在(,0)-∞上的解析式；

（3）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围。 【答案】（Ⅰ）(0)0f = ，((1))(1)(1)1f f f f =-==-； （Ⅱ）设0x <，则0x ->2

2

()()2()2f x x x x x -=---=+，

∵()f x 偶函数，∴2

()()2f x f x x x -==+，∴当0x <时，2

()2f x x x =+。 （Ⅲ）设函数()y f x =及y m =，

方程()0f x m -=的解的个数，就是函数()y f x =与y m =图象交点的个数。 作出简图（略）利用数形结合思想可得10m -<<。

22．已知定义域为R 的函数1

21

()2

x x f x a +-=+是奇函数. （1）求a 的值

（2）判断并证明()f x 的单调性；

（3）若对任意的t R ∈，不等式2(1)(1)0f mt f mt ++->恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】 【解析】

试题解析：(1) 由(1)(1)0f f +-=得1

420211a a a -

+=?=++，检验: 2a =时,

121()22x x f x +-=

+ 111212(21)12()222(22)22x x x x

x x x x f x ---+-++----===

+++，()()0f x f x ∴+-=对x R ∈恒成立,即()f x 是奇函数.

(2)判断:单调递增

证明:设1212,x R x R x x ∈∈<且则

121212121211212112121

()()()

222222121

x x x x x x x x f x f x ++-----=-=-++++

121221*********[(1)(1)]221212121(21)(21)x x x x x x x x -=---=-=++++++

12

1222x x x x <∴<即1

2

22

0x

x -<

又12210,210x x +>+>即12

12

220(21)(21)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <

()f x ∴在R 上是增函数

(3)

()f x 是奇函数

∴不等式22

(1)(1)0(1)(1)f mt f mt f mt f mt ++->?+>-

()f x 在R 上是增函数

∴对任意的t R ∈，不等式2

(1)(1)0f mt f mt ++->恒成立

即211mt mt +>-对任意的t R ∈恒成立，即2

20mt mt -+>对任意的t R ∈恒成立

第一类:当0m =时,不等式即为20>恒成立,合题意;第二类:当0m ≠时,有2080m m m >??

?=-

综上:实数m 的取值范围为08m ≤<

考点：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，函数的恒成立问题,考查了分类讨论的数学思想. 23．定义在R 上的函数),(x f y =当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,有)()()(b f a f b a f =+。 （1）求证：1)0(=f ，

（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ； （3）若1)2()(2

>-x x f x f ，求x 的取值范围。 【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) (0,3) 【解析】

(1)证明: 令0,1a b ==，得(01)(0)(1)(1)(0)(1)f f f f f f +=?=, 又因为0>x 时，1)(>x f 所以1)0(=f

(2) 令,a x b x ==-，得(x ())()()(0)(x)()f x f x f x f f f x +-=-?=-，即1

()()

f x f x =

- 因为当0>x 时，()10f x >>，所以当0x <时，0x ->，1

()0()

f x f x =

>-， 又因为1)0(=f ，所以对任意的R x ∈，恒有0)(>x f

(3) 任取12x x R <∈，依题意，可得2121112111()()()()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=--

121()[()1]f x f x x =--

因为12x x R <∈,所以210x x ->,所以21()1f x x ->，又因为对任意的R x ∈，恒有0)(>x f 所以21121()()()[()1]0f x f x f x f x x -=-->即12()()f x f x <，所以()f x 是R 上的增函数 由2

2

2

()(2)1(2)(0)30f x f x x f x x x f x x ->?+->?-> 可得其解集: (0,3)x ∈

考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题,二次不等式．

24．已知定义域为R 的函数2

22)(1++-=+x x b

x f 是奇函数．

（1）求b 的值；

（2）用定义法证明函数)(x f 在R 上是减函数；

（3）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．

【答案】（1）1=b ；（2）详见解析；（3）3

1

-

∴函数f （x ）在R 上是减函数．

（3）可得)2()2()2(2

22t k f k t f t t f -=--<-, 函数)(x f 为R 上的减函数 所以有,R t ∈?0232>--k t t ，所以 0124<+=?k 解得3

1-

25．已知二次函数2

()21(0)g x mx mx n m =-++>在区间 [0,3]上有最大值4，最小值0. （1）求函数)(x g 的解析式； （2）设()2()g x x f x x

-=

.若(2)20x x

f k -?≤在[3,3]x ∈-时恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）12)(2

+-=x x x g ；（2）[)33,+∞． 【解析】

试题解析：（1）∵2

()(1)1g x m x m n =--++， ∴函数)(x g 的图象的对称轴方程为1=x ．

0m > 依题意得(1)0(3)4g g =??

=? ，即10314m n m n -++=??++=?，解得10

m n =??=? ，∴12)(2

+-=x x x g ． （2）∵()2()g x x f x x -=，∴()21

()4g x x f x x x x

-==+-． ∵(2)20x x

f k -?≤在[3,3]x ∈-时恒成立，即124202

x x x k +--?≤在[3,3]x ∈-时恒成立，

∴211

()4()122

x x k ≥-+在[3,3]x ∈-时恒成立，

只需 2max

11()4()122x x k ??

≥-+ ???． 令x

t 21=

，由[3,3]x ∈-得1[,8]8t ∈

设()h t =2

41t t -+，

∵22

()41(2)3h t t t t =-+=--，∴函数()h x 的图象的对称轴方程为2t =．

当8t =时，取得最大值33.∴max ()(8)33k h t h ≥== ∴k 的取值范围为[)33,+∞．

考点：1、函数恒成立问题；2、函数解析式的求解及常用方法；3、二次函数在闭区间上的最值．