最新分数的巧算和速算
1
分数的速算与巧算
【专题解析】
在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。
（1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。
（2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。
【典型例题】
例1. 计算：（1）5698÷8 （2）16620
1
÷41
分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+9
8
），除以一个数变成乘
以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。（2）把题中的16620
1
分成
41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。
（1）5698÷8＝（56+98）÷8＝（56+98）×81＝56×81+98×8
1＝7+
91＝79
1 （2）166
201÷41 = (164 +20
41
)×411= 164×411+2041×411= 4
20
1 【举一反三】
计算：（1）64
17
8
÷8 （2）145
75÷12 （3）545
2
÷17 （4）17012
1
÷13
例2. 计算：20041
20042004
20052006
÷+
分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母200420052004?÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006?，又可以约分。
聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出
÷2004
20042005
2005
的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11
÷1
2005
也是很好算的，这一方法就留给你们吧！ 1
2006
?÷+20042006原式=20042005
2
1
200620051
200620061
?
+
?=+=2005=200420042006 【举一反三】
计算：（5）2000÷200020012000+2002
1
（6）238÷
238239238+2401
例3. 计算：
1994
199219931
19941993?+-?
分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子
变形。1993×1994-1 =（1992+1）×1994-1 = 1992×1994+1994-1 = 1992×1994+1993，这样使原式的分子、分母相同，从而简化计算。
1994199219931
19941993?+-? =
1994
1992199311994)11992(?+-?+ =
1994199219931993
19941992?++? = 1
【举一反三】
计算：（7）
2013
201120121
-20132012?+?
（8）
1
198919881987
19891988-??+
例 4. 计算： （1）323232128128×256256
161616
（2）
05
200520052020052005200507
2007200720200720072007++++
分析与解：根据算式中各数的特点，变形后再约分计算。 （1）323232128128×256256161616＝10101321001128??×10012561010116??＝4
1
（2
）
05
2005200520200520052005072007200720200720072007++++＝
100010001
20051000120052005100010001
20071000120072007?+?+?+?+
＝100010001﹚10001﹙12005100010001﹚10001﹙12007++?++?＝2005
2007
【举一反三】 计算： （9）
254254484848÷127127
242424
（10）
363636363636252525
252525++++
3
例5. 计算：
21+41+81+161+321+641+128
1 分析与解：此题的解法有两种。
第一种方法：观察上面的算式发现，2个128
1相加得641，2个
641
相加得321，2个321相加得161
，……，因此，在原算式中可以先“借”
来一个1281，最后再“还”一个1281，构造一个1281+1281
，使计算
简便。（过程略）
第二种方法：设S ＝21+41+81+161+321+641+128
1
，则2S ＝1
＋21+41+81+161+321+64
1 两式相减得：2S －S ＝（1＋21+41+81+161+321+64
1
）－
（21+41+81+161+321+641+128
1） S ＝1－128
1
即21+41+81+161+321+641+1281＝128
127 （即错位相减法） 【举一反三】
计算： （11）21＋41＋81＋161＋321＋641 （12）1＋
3
1
＋61＋121＋241＋481＋96
1
（13）31＋91＋271＋811＋2431＋7291 （14）51＋251＋1251＋6251＋3125
1
例6. 计算：（1＋
21＋31＋41）×（21＋31＋41＋51）－（1＋21＋31＋41＋51
）×（21＋31＋4
1） 分析与解：本题就是设数法解题的典型，可设：1＋21＋31＋4
1
＝
a ，21＋31＋4
1
＝b.则：
原式＝a （b ＋51）－（a ＋51）b ＝ab ＋51a －ab －51b ＝5
1
（a
－b ）＝5
1
【举一反三】
4
计算：（15）（
21＋31＋41＋51）×（31＋41＋51＋61）－（
21＋31＋4
1
＋51＋61
）×（31＋41＋5
1）
（16）（
81＋91＋101＋111）×（91＋101＋111＋121）－（81＋91＋101
＋111＋121）×（91＋101＋11
1）
一：单选题
1. 人工智能的目的是让机器能够（D ），以实现某些脑力劳动的机械化。
A. 具有完全的智能
B. 和人脑一样考虑问题
C. 完全代替人
D. 模拟、延伸和扩展人的智能
2. 下列关于人工智能的叙述不正确的有（C ） 。
A. 人工智能技术它与其他科学技术相结合极大地提高了应用技术的智能化水平。
B. 人工智能是科学技术发展的趋势。
C. 因为人工智能的系统研究是从上世纪五十年代才开始的，非常新，所以十分重要。
D. 人工智能有力地促进了社会的发展。
3. 自然语言理解是人工智能的重要应用领域，下面列举中的（C ）不是它要实现的目标。
A. 理解别人讲的话。
B. 对自然语言表示的信息进行分析概括或编辑。
C. 欣赏音乐。
D. 机器翻译。
4. 下列不是知识表示法的是（A ）。 A. 计算机表示法 B. 谓词表示法
C. 框架表示法
D. 产生式规则表示法
5. 关于“与/或”图表示知识的叙述，错误的有（D ）。
A. 用“与/或”图表示知识方便使用程序设计语言表达，也便于计算机存储处理。
B. “与/或”图表示知识时一定同时有“与结点”和“或结点”。
C. “与/或”图能方便地表示陈述性知识和过程性知识。
D. 能用“与/或”图表示的知识不适宜用其他方法表示。
6. 一般来讲，下列语言属于人工智能语言的是（D ）。 A. VJ B. C# C. Foxpro D. LISP
7. 专家系统是一个复杂的智能软件，它处理的对象是用符号表示的知识，处理的过程是（C ）的过程。
A. 思考
B. 回溯
C. 推理
D. 递归
8. 确定性知识是指（A ）知识。 A. 可以精确表示的 B. 正确的
C. 在大学中学到的知识
D. 能够解决问题的
9. 下列关于不精确推理过程的叙述错误的是（B ）。
A. 不精确推理过程是从不确定的事实出发
B. 不精确推理过程最终能够推出确定的结论
C. 不精确推理过程是运用不确定的知识
D. 不精确推理过程最终推出不确定性的结论
10. 我国学者吴文俊院士在人工智能的（A）领域作出了贡献。
A. 机器证明
B. 模式识别
C. 人工神经网络
D. 智能代理
5
分数的速算和巧算 1
第一讲:分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找 通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利 用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
(完整版)分数的巧算教师版
分数的速算与巧算 （一）分数巧算（求和） 分数求和的常用方法： 1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。 2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。 3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。 4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。 5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。 典型例题 一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差2008 1 ，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首 项+末项）×项数÷2来计算。 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 =（20081＋20082007）×2007÷2 =211003 二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321 ＋64 1 分析：解法一，先画出线段图： 从图中可以看出： 21 ＋41＋81＋161＋321 ＋64 1=1－641=6463 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数 64 1 ，就能凑成 32 1 ，依次向前类推，可以求出算式之和。 21 ＋41＋81＋161＋321 ＋64 1 =21 ＋41＋81＋161＋32 1 ＋（641＋641）－641 =21 ＋41＋81＋161＋（321+32 1 ）－641 ……
六年级奥数分数的速算与巧算
第一讲 分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论： 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差
分数乘除法速算巧算.教师版
gillie 教学目标 分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。 分数基本运算的常考题型有 （1）分数的四则混合运算 （2）分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择 （3）复杂分数的化简 （4）繁分数的计算 知识点拨 分数与小数混合运算的技巧 在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。 技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。 技巧2:在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。 技巧3:在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。 技巧4:在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。 技巧5:在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。 目归例题精讲 【例1】5 的分母扩大到32,要使分数大小不变，分子应该为_________________________________ 。 8 【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛 【解析】根据分数的基本性质：分母扩大倍数，要使分数大小不变，分子应该为扩大相同的倍数。分母扩大：32-8=4 （倍），分子为：4X5=20。 【答案】20 【巩固】小虎是个粗心大意的孩子，在做一道除法算式时, 这道算式的正确答案是 ____________________ 。 【考点】分数乘除法【难度】2星 【关键词】走美杯，初赛，六年级 一 5 5 【解析】根据题意可知，被除数为120 5 =75，所以正确的答案为75一：一 5=90。 8 6 分数乘除法速算巧算 把除数 5 看成了 5 来计算，算出的结果是 6 8 【题型】填空 120，
速算与巧算
速算与巧算 在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。 一、加法中的速算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11） =（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 二、减法中的速算 1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。 ①300-73-27 ②1000-90-80-20-10 解：①式= 300-（73＋27）＝300-100=200 ②式=1000-（90＋80＋20＋10）＝1000-200＝800 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 ①4723-（723＋189）②2356-159-256 解：①式=4723-723-189 ＝4000-189=3811 ②式=2356-256-159 ＝2100-159 =1941 3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。 ①506-397 ②323-189 ③467＋997 ④987-178-222-390 解：①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上）=109
分数加减法速算与巧算(教师版)
分数加减法速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。 知识点拨 一、基本运算律及公式 一、加法 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。即：a＋b＝b＋a 其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15. 总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变． 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。 即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8). 总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。 二、减法 在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数． 在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：a＋（b－c）＝a＋b－c
a－（b＋c）＝a－b－c a－（b－c）＝a－b＋c 在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。 如：a＋b－c＝a＋（b－c） a－b＋c＝a－（b－c） a－b－c＝a－（b＋c） 二、加减法中的速算与巧算 速算巧算的核心思想和本质：凑整 常用的思想方法： 1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有 相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”． 2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整． 3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加． 4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把 多加的数减去，把少加的数加上） 【例 1】1141041004 2282082008 +++=_____ 【考点】分数约分【难度】1星【题型】计算【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，一试 【解析】原式=1111=2 2222 +++ 【答案】2 【例 2】如果 111 207265009A +=，则A=________（4级） 例题精讲
分数的速算与巧算(教师)
分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数
分数的巧算和速算
分数的速算与巧算 【专题解析】 在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。 （1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。 （2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。 【典型例题】 例1. 计算：（1）569 8 ÷8 （2）16620 1÷41 分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+9 8），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。（2）把题中的166 20 1 分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。 （1）569 8÷8＝（56+9 8）÷8＝（56+9 8）×8 1＝56×8 1+9 8×8 1＝7+9 1＝7 9 1 （2）166201÷41 = (164 +20 41)×411= 164×411+2041× 41 1= 4201 【举一反三】 计算：（1）64 17 8 ÷8 （2）145 7 5 ÷12 （3）545 2÷17 （4）170 12 1 ÷13
例2. 计算：20041 20042004 20052006 ÷+ 分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母200420052004?÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006?，又可以约分。 聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看 出÷2004 20042005 2005 的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11÷1 2005 也是很好算的，这一方 法就留给你们吧！ 1 2006 ?÷ +20042006原式=20042005 1 200620051 200620061 ? + ?=+=2005=200420042006 【举一反三】 计算：（5）2000÷200020012000+2002 1 （6）238÷238 239238+240 1 例3. 计算： 1994 199219931 19941993?+-? 分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子变形。1993×1994-1 =（1992+1）×1994-1 = 1992×1994+1994-1 = 1992×
小学数学 速算与巧算
速算与巧算 知识要点 在各类数学竞赛中，都有一定数量的计算题。计算题一般可以分为两类：一类是基础题，主要考查对基础知识理解和掌握的程度；另一类则是综合性较强和灵活性较大的题目，主要考查灵活、综合运用知识的能力，一般分值在10分到20分之间。这就要求有扎实的基础知识和熟练的技巧。 1.速算与巧算主要是运用定律：加法的交换律、结合律，减法的性质，乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，除法的性质等。 2.除法运算规律： (1)A÷B＝1÷B A (2)a÷b±c÷b＝(a±c)÷b 3.拆项法： (1)111 1(1) n n n n =+ ++ (2) 11 () d n n d n n d =- ++ (3) 1111 () () n n d d n n d =- ++ (4) 1111 (1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n ?? =- ??+++++ ?? (5) 22 (1)111 11 (1)11 n n n n n n n n n n +++ =+=-++ +++ (6)将1 A 分拆成两个分数单位和的方法：先找出A的两个约数a1和a2，然后分子、分母分 别乘以(a1＋a2)，再拆分，最后进行约分。 1 A ＝12 12 1() () a a A a a ?+ ?+ ＝12 1212 ()() a a A a a A a a + ?+?+ ＝ 1212 12 11 ()() A A a a a a a a + ?+?+ 4.等差数列求和： (首项＋末项)×项数÷2＝和 5.约分法简算：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式。 典例巧解 例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)
分数、小数四则运算中速算与巧算(一)解读
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 分数、小数四则运算中的巧算（一） 同学们好！今天我们重点和同学们研究分数、小数四则运算中的速算与巧算。在整数运算中有不少巧算的方法。如，利用加法的交换律和结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，以及和、差、积、商变化的规律进行巧算，使计算简便。这些简单规律和方法，同样适用于今天研究的内容，下面我们共同研究几例，请石老师指导。例1. 1837 065813 2718513 1 713 ? +? -?+ ÷. 解：原式=? -
?+? + ?1837 27 18065813 513 1320 . =?- +?+ 1837 27 0658 135 13 ( . ( =? +?=+
=1817 0651 2 47 1320 3 31140 . 例2. 计算：1997199719981997÷原式=+ ÷( 199719971998 1997 =÷+ ÷=+? =1997199719971998 1997 11 19981 1
1 11998 例3. 计算1997199719971998 ÷ 原式转化为= ÷11997 19971998 1997 = + ÷= += = 119971997199819971111998 119991998 19981999 ( 观察比较例2、例3在解题技巧上有什么不同？例4. 解关于x 的方程
x x x x x x x x 81 31511224531 281151124531813 505155813 505155 +?-=?++?-=?++-=+=+( . ( . . . . . 1124 66 661124 144 x x x ==÷= 例5. 已知1624 1 770012 781. [( ]. ?-?÷=□，那么□＝________。（第12届初赛题）解：设□为x ，于是此题转化为解关于x 的方程。 1624 1
20180420五年级奥数分数的速算与巧算
五年级奥数 分数的速算与巧算（一） 一、知识要点 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 5、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 （三）、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+
分数的巧算练习题
分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。 分数基本运算的常考题型有 （1） 分数的四则混合运算 （2） 分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择 （3） 复杂分数的化简 （4） 繁分数的计算 分数与小数混合运算的技巧 在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。 技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。 技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。 技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。 技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。 技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。 模块一、分数与小数的混合运算 【例 1】 计算 125.2310.753 ÷-? 【巩固】 计算 450.320.375159 ÷+? 【巩固】 计算 38257180.6518171371313 ?+?-?+÷ 【巩固】 (04年希望杯1试)计算1130.42(4.3 1.8)26524???÷?-????? 例题精讲 知识点拨 教学目标
【巩固】 173829 728191 335577 ÷+÷+÷=． 【巩固】计算： 131313 958659 353535 ?????? -?+-?++-? ? ? ? ?????? L 【巩固】将下列算式的计算结果写成带分数：0.523659 119 ?? 【例 2】计算：(第十二届迎春杯决赛试题) 5442 50.827.62 1.25_________ 9955 ???? -+?÷+?= ? ? ???? ． 【巩固】 111111 762353 235353762376 ?????? ?-+?+-?- ? ? ??????? 【巩固】（第十届“迎春杯”决赛试题）计算： 9494794 (20 1.652020)47.50.8 2.5 95952095 ?-+???? 【例 3】计算 16525 859 3110217 33332 51223693 ?÷? ÷? 【巩固】计算 59 193 5.22 19930.4 1.6 910() 52719950.51995 196 5.22 950 +- ? ÷+ ? -+ 【巩固】计算 4480 7 8333 ÷ 21934 25909 ÷ 18556 1 35255
分数的巧算和速算资料.docx
分数的速算与巧算 【专题解析】 在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。 （ 1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使 计算过程更简便。两个整数相除（后一个不为 0）可以直接写成分数的形式。两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数 乘另一个分数的倒数的形式。 （ 2）错位相减法： 根据算式的特点， 将原算式扩大一个整数倍 （ 0 除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。 【典型例题】 例 1. 计算： 8 ÷ 8 （ 2） 166 1 ÷ 41 （1） 56 9 20 分析与解：（ 1）直接把 56 8 拆写成（ 56+ 8 ），除以一个数变成乘 9 9 以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。 （ 2）把题中的 166 1 分成 20 41 的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。 （ 1） 56 8 ÷ 8＝（ 56+ 8 ）÷ 8＝（ 56+ 8 ）× 1 ＝56× 1 + 8 × 1 9 9 9 8 8 9 8 ＝ 7+ 1 ＝ 7 1 4 1 20 【举一反三】 计算： 8 ÷ 8 （ 2）145 5 ÷ 12 （ 3）54 2 ÷ 17 （ 1） 64 17 7 5 1 （ 4） 170 ÷ 13 例 2. 2004 1 计算： 2004 2004 2006 2005 分析与解： 数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母 2004 2005 2004 ，这算式可以运用乘法分配律等 于 2004 2006 ，又可以约分。 聪 明 的 同 学 们 ， 如 果 你 的 数 感 很 强 的 话 ， 不 难 看 出 2004 2005 2004 的被除数与除数都含有 2004，把他们同时除于 2004 2005 得到 1 1 1 也是很好算的，这一方法就留给你们吧！ 9 9 （ 2 ） 166 1 ÷ 41 = (164 + 41 ) × 1 = 164 × 1 + 41 × 1 = 20 20 41 41 20 41 2005 原式 =2004 2004 2006 1 2005 2006
整数分数小数四则运算地速算与巧算(小升初)
第1讲 整数、小数四则运算的速算与巧算 1、四则运算基础知识 一、解题的四大步骤：看陷阱、找相似、定技巧、查错误 1、看陷阱：减法、除法、括号中陷阱最多。计算次序（优先级）、去（添）括号（负号变号，有乘积因数要遍乘）。 2、看相似：发现数据特点，找到相似的数据，确定解题技巧。 3、定技巧：活用公式、提公因数、组合配对、拆解凑整、裂项消项。 （1）)11(1)(1k n n k k n n +-=+ （2）n m n m n m 11+=?+ 4、查错误：每一步都要检查一下，上下比对、检查，有没有明显错误。 二、四则运算的常见问题 1、计算错误。书写不规范；数字次序错误；加法或乘法计算错误，约分未完；对位、进位、借位时错误。 2、错用公式。，加法或乘法的交换律、结合律、分配律不熟悉，出现乱用、错用引起错误。 3、观察不周。计算时没有找到简便、合理的方法导致计算过程复杂，出现错误。 4、去括号、计算次序错误。括号前有负号，打开后没变号；添括号，前面有负号没有变号；括号前有乘积因数，没有将乘积因数乘以所有项；漏写某些项；漏写括号，导致计算次序错误。在减法、除法和乘除与加减的混合题中。优先级从高到低：括号（小、中、大）、乘方、乘除、加减。同级时按次序。 三、注意事项： 1、有一定规律且运算的项多时，必有简便方法。 2、尽可能化小数为分数。 3、小数和分数混合，先看小数和分数的分母能否先约分。 4、数序复杂的可先不计算，以便后面统一消项或约分。 5、有多个乘除项时，把分母或分子放在一起，并分别放在分数线的上边和下边，避免约分未完或出现遗漏。 6、带分数乘法时，有时可不通分或化为假分数，直接将带分数表示为整数+分数，用乘法分配律计算。 7、注意题目有意设置的简便运算的陷阱。如3.46 + 5.64，很多人很容易得到10或9的结论。
小学奥数经典巧算和速算方法
常用的巧算和速算方法 【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为 所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100 =101×100÷2 =5050。 又如，计算“3+5+7+………＋97+99=？”，可以计算为 所以，3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。 这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题： “今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？” 题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。问她一共织了多少布？ 张丘建在《算经》上给出的解法是： “并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：二匹一丈”。 这一解法，用现代的算式表达，就是
1匹=4丈，1丈=10尺， 90尺=9丈=2匹1丈。（答略） 张丘建这一解法的思路，据推测为： 如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式就是 5＋…………＋1 在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。 若把这个式子反过来，则算式便是 1+………………＋5 此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。 假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”这一特点，那么，就会出现下面的式子： 所以，加得的结果是6×30=180（尺） 但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。所以，这妇女30天织的布是 180÷2=90（尺） 可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
六年级数学分数的速算与巧算
六年级数学讲义（2016年春季班） 第一讲 分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n =-??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元
(精心整理)分数巧算基础知识
分数巧算基础知识 进行分数简便运算时，运用分数的基本性质、结合四则运算定律进行计算；也可在分数值不变的情况下，将分数分拆，使运算简便。 一、基础知识 1、 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大 小不变。这叫做分数的基本性质。 2、常用运算定律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：a ＋b ＋c ＝ (a ＋b)＋c a ＋ (b ＋c)＝ (a ＋c)+b 乘法交换律：ab ＝ba 乘法结合律：abc ＝ (ab)c ＝a(bc)＝ (ac)b 乘法分配律：a(b ＋c)＝ab ＋ac ab ＋ac= a(b ＋c) 减法的运算性质：a －b －c ＝a － (b ＋c) 除法的运算性质：a ÷b ÷c ＝a ÷(b ×c) a ÷(b ×c)= a ÷b ÷c= a ÷c ÷b a ÷ b × c ＝a ÷(b ÷c) a ÷(b ÷c)= a ÷b ×c 3、 分数变形：分子是1，分母是非零的自然数的真分数叫分数单位。运算时可以把分 数拆分成单位分数，以方便运算。 1 1×2 =1－21 12×3 =21－31 13×4 =31－41 21+31=3232X =6 5（分子是1的两个分数相加，和的分子是两分母之和，和的分母是两分母的乘积） 12×4 =（21－41）×21 （分母两数差为2，所以乘以2 1） 15×9 =（51－91）×41 （分母两数差为4，所以乘以4 1） 第二节 分数巧算方法 1、凑整法 在整数简单运算中，是把数字凑成整十、整百、整千等整数。而在小分和分数运算中，是把分数凑成整数，便于计算。 例题：3 41+63 2+143+831 =(341+143)+(632+831) =5+15
分数小数速算与巧算
速算与巧算 一级运算：加法、减法 二级运算：乘法、除法 三级运算：乘方、开方 带符号搬家：在同级运算中，每个数可以带着它前面的符号搬家。这里的同级运算是指同为一级运算（即只包含加法和减法）或同为二级运算（即只包含乘法和除法）。加减法中，第一个数的前面相当于是“+”，乘除法中，第一个数的前面相当于是“ ” 运算顺序：在同级运算中，从左至右依次计算 在混合运算中，先算三级、再算二级、最后算一级 在任何运算中，有括号要先算括号里的。同时有小括号和中括号，要先算小括 号里的，再算中括号里的。 加法凑整特点：两个加数的尾数互补，即和为整十、整百、整千...... 减法凑整特点：被减数和减数尾数相同，即差为整十、整百、整千...... 例1、9+99+999+9999+99999= 例2、1÷2÷3÷4÷5÷6×720= 例3、计算：6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78+1.89 例4、计算4.75-9.64-(1.36-8.25)
例5、计算：5×64×25×125×2006 例6、（56789+67895+78956+89567+95678）÷7 例7、计算：l-2+3-4+5-6+…+2005-2006+2007 例8、计算：34.5×8.23-34.5＋2.77×34.5 例9、计算：3.1415×252-3.1415×152
例10、计算：8.88×0.15+265×0.0888+5.2×8.88+0.888×20 例11、计算：6.25 × 0.16＋264×0.0625＋5.2×6.25＋0.625×20 例12、计算：147.75×8.4+4.792+409×2.1+0.9521×479 例13、计算：2003×2001÷111+2003×73÷37 例14、 = ? -1999 1998 1997 1999
六年级分数的速算与巧算(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 六年级分数的速算与巧算——教师版 〖书海导航〗 分数的速算与巧算是小学数学的重要内容，也是各类数学竞赛的重要内容之一。 分数的速算与巧算既有知识要求，也有能力要求，法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键在于掌握运算技巧，对算式进行认真观察，剖析算式的特点及各数之间的关系，巧妙地、灵活地运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，既快又准，这对开拓知识、启迪思维、培养学生综合分析、推理能力和灵活、快速、准确的运算能力，使智能得到协调发展，都有很大的帮助。 〖孤岛寻宝〗 [例1] 计算： 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…..+ 1 99×100 寻宝路线图：原式＝（1－1 2 ）+（ 1 2 － 1 3 ）+（ 1 3 － 1 4 ）+…..+ （1 99－ 1 100 ） ＝1－ 1 2 + 1 2 － 1 3 + 1 3 － 1 4 +…..+ 1 99 － 1 100
＝1－ 1 100 ＝99 100 〖巧练密笈〗 1. 1 4×5 + 1 5×6 + 1 6×7 +…..+ 1 39×40 2. 1 10×11 + 1 11×12 + 1 12×13 + 1 13×14 + 1 14×15 〖孤岛寻宝〗 [例2] 计算： 1 2×4 + 1 4×6 + 1 6×8 +…..+ 1 48×50 寻宝路线图：原式＝（ 2 2×4 + 2 4×6 + 2 6×8 +…..+ 2 48×50 ）× 1 2 ＝【（1 2 － 1 4 ）+（ 1 4 － 1 6 ）+（ 1 6 － 1 8 ）…..+ （ 1 48 －1 50）】× 1 2