《理论力学》一

《理论力学》一

一．填空题

1. 限制质点运动的物体(如曲线、曲面等 )称为( 约束 )。 2．惯性力（ 约束 ）对应的反作用力，（ 称作 ）牛顿第三定律。 3. 如果力只是位置的函数，并且它的旋度等于零，即满足

0F F F z y x )(z

y

x

=??

????

=

??k j i r F 则这种力叫做( 惯性力 )。 4．真实力与参考系的选取（ 无关 ），而惯性力却与参与系的选取（相关）。 5．质点系的动能等于质心的动能与各质点相对（速度矢量和）的动能之和。 6. 限制质点运动的物体(如曲线、曲面等 )称为(约束 )。 7．同一质点系中各质点之间的相互作用力称为（约束反力 ）

二．选择题

1. e a r r θθθθ)2( +=称为质点的( C )。 a. 法向加速度 b. 切向加速度

c. 横向加速度

d. 径向加速度 2．][)(r F m en '??-=ωω称为A

a.平动惯性力

b.离心惯性力

c.科氏惯性力 3． ττdt

dv

a =

称为质点的( C )。 a. 法向加速度 b. 横向加速度

c. 切向加速度

d. 径加速度

4． 质点系中所有内力对任一力矩的矢量和A

a. 等于零

b. 不等于零

c. 不一定等于零

5. e a r

r r r )(2θ -=称为质点的( A )。 a.径向加速度 b.横向加速度

c.切向加速度

d.法向加速度 6．质点系内力所作的功A

a. 等于零

b. 不等于零

c. 不一定等于零 7. n a v n ρ

2

=

称为质点的( B )。

a. 横向加速度

b. 法向加速度

c. 径向加速度

d. 切向加速度

8．如果作用在质点上的力都是保守力，或虽是非保守力作用但非保守力不作功

或所作功之和等于零。则质点系机械能A

a. 守恒

b. 不守恒

c. 不一定守恒 9．)2(v F r m c ?-=ω称为A

a.科氏惯性力

b.离心惯性力

c.平动惯性力

三．简答题

1．在曲线坐标系中，单位矢量和基矢有无区别？若有，区别何在？ 答：有区别，主要是角度变化。

2．瞬时速度中心；瞬时速度中心可以有加速度吗？ 答：可以有

3．写出质点系的动能定理，说明内力作功之和不为零的原因。

答：质点系动能定理：dT=F*vdt=F*dr.如果所有的力都是保守力就为零了。 4．写出柯尼格定理的表达式并说明式中各项的意义。 答：柯尼格定理的表达式为：

其中：第一段字母表达式是质心运动的动能，第二个表达式是质心相对质心的动能之和。这个式子说明质点系的动能等于质心的动能与各质点相对质心的动能之和

5．写出柯尼格定理的表达式并说明式中各项的意义。 答：同上 6．科氏力。

F c =m(-2ω×v r )

7．曲线坐标系中基矢与单位矢的区别。

答：他们之间相对于拉莫系数，因为此系数不等于1所以基矢和单位矢不相同。 四．计算题

1．两根等长的细杆AC 和BC 在C 点用铰链连接，放在光滑的水平面上，如图

所示。设两杆由图示位置无初速度的开始运动，求铰链C 着地时的速度（见图）。

[解] 因圆锥与地面接触，所以接触线上任意瞬时的各点速度为O ，因此，OD 为瞬时轴。圆锥自纸面向里转动，瞬时角速度沿瞬时轴，方向如图所示，P 点的速率为

A 点的转动加速度为

而

又

，且

与下垂直，

a 1的方向与r 垂直

A 点的向轴加速度 a 2 = ω ? ( ω ? r )

a 2的方向沿AE 方向。

题1图

2．高为h 、顶角为2α的园锥在一平面上

滚动而不滑动。如已知此锥以匀角速度ω绕o ξ轴转动，试求园锥底面上A 点的转动加速度a 1和向轴加速度a 2的量值。

[解] 设P 为人(或平台)的重量，r 为平台的半径，Ω为平台的角速度，ω为人相对于平台的角速度，于是人的绝对角速度为

(1)

不受外力矩作用时，该系统的动量矩守恒，于是有

(2)

式中，I 台和I 人分别为平台和人的转动惯量，其值为

(3)

将(1)式和(3)式代入(2)式，得

(4)

x 题2图

于是人的绝对角速度为 (5)

z

人走过一周的绝对角位移为

3．质量分别为m和m’的两个质点，用一固有长度为a的弹性绳相连，绳的弹性系数k= (2m m’ω2) /(m+m’)，将此系统放在水平管内，管子绕管上某点以角速度ω转动，试求任意瞬时两质点间的距离。设开始时质点相对管子是相对静止的。

[解] 在管子上建立动坐标以O为极点，管子为极轴，由质点的相对运动方程

对m有 (1)

对m'有 (2)

其中T为弹性力

，

将(1)式xm'减(2)式xm得

将代入，并化简得

这方程的解为

且

当t=0时，υ=0 ∴ B=0，则 S=2a + Acosωt，当t=0时，S=a ∴ A=-1， S=a(2-cosωt) 4．小球重w，穿在y=f(x)曲线的光滑钢丝上，此曲线通过坐标原点并绕竖直轴Oy以角速度ω转动。如欲使小环在曲线上任何位置处均处于相对平衡状态，求此曲线的形状及曲线对小环的约束反力。

[解] 用极坐标系列出质点A及B的运动微分方程：

A点： (1)

(2)

B点： (3)

由(1)及(3)得 (4)

又由题给条件知：，故 (5)

利用(2)，把(4)中的消去，得 (6)

积分得 (7)

因当，

把C的值代入(5)得

令，得，即

由此得

《理论力学》二

一．填空题

1．凡约束方程中不含有时间t的约束称为（稳定约束），否则就是（不稳定约束）。

2．在有心力作用下，质点运动的角动量（守恒）。

3．刚体绕最大或最小惯量主轴的转动都是（稳定）的，而绕转动惯量是中间值的惯量主轴的转动是（不稳定）的。

4.∑

=

-?

?

=

s

1

j

j

j

L

q

q

L

h

称为（广义能量）。

5．第一宇宙速度就是人造地球卫星围绕地球表面作（圆周运动）所需的初速度。

6．物体在力偶矩的作用下，只能产生（转动），而在力矩的作用下，不仅能产生（转动），也能产生（平动）。

7．满足条件

∑=

=δ?

n

1 i

i

i

r

R

的约束叫作（理想约束）。

8．第二宇宙速度υ

2

是指在地面发射人造星体脱离（地球）引力作用所需要的最小（初速度）。

9．刚体定点转动的角动量L一般（不与）角速度ω共线。

10．当正则变量q、p变换为Q、P时，如果正则方程保持形式不变，那么这种变换称为（正则变换）。

11．有心运动一定是（平面）运动。

12．在任一瞬时，系统的状态可用（ 2S ）维相空间中的一个点表示，这个点叫做相点。

13．我们把完全描述一个力学体的运动所需要的（独立坐标数）叫做该本系的自由度。

14．刚体在空间的任一位置可由三个（刚体内不在同一直线上的三个质点的位置）唯一确定。

二．选择题

1．质点在平方反比引力场中运动时，若E<0,则轨道为（ a ）。

a.椭圆

b.抛物线

c.双曲线

d.圆

2. 刚体作定轴转动时的自由度数为（ c ）。

a.6

b.3

c.1

3. 哈密顿正则方程是含有2S个方程的( b )阶长微分方程组。

a.二

b.一

c.高

4．拉格朗日函数L为力学体系的动能与势能( a )

a.之差

b.之和

5．哈密顿函数H是指系统的( c )。

a.广义动量

b.广义速度

c.广义能量

6．9.7≈=Rg v Km/s 是人造卫星的（ a ）宇宙速度。 a.第一 b.第二 c.第三 7．刚体的惯性张量（ c ）个分量组成。 a.1 b,3 c.9 d.6

8．哈密顿函数H 中有无循环坐标与（ c ）的选取有关。 a.广义动量 b.广义速度 c.广义坐标 9．约束方程为

0),(=t r f 和 0),,(=t r r f 的约束为

a.稳定约束

b.不稳定约束

10．质点作椭圆轨道运动时，总能量只与（ a ）有关。 a.半长轴 b.半短轴 c.椭圆具体形状 11. 哈密顿正则方程给出了( c )的运动速度。 a.质点 b.物体 c.相点 12．虚位移是( b ) a.真实的 b.想象的

13. 对作用在刚体上力的简化，主矢与简化中心选取（ c ），主矩与简化中心选取（ c ）。

a.有，有

b.有，无

c.无，有

d.无，无

三．简答题

1．力矩和力偶矩有何区别？

答: 要注意力矩和力偶矩是有区别的。一物体在力偶矩的作用下，只能产生纯转动，而

在力矩的作用下，不仅能产生转动，也能产生平动。

2．惯量矩阵为什么可以对角化？

答: 惯量张量(或叫惯性张量)，由九个分量组成，它描述了刚体的质量分布，是刚体对

定点O 的转动惯性的量度。惯量张量对应一个三阶方阵I ，叫惯量矩阵。在惯量矩阵I 中，对角元素为转动惯量，非对角元素为惯量积。所以惯量矩阵可以对角化

3．哈密顿函数的物理意义。

答: 密顿函数H 。这个函数的变量是q j 、p j 、和t ，它的物理意义是代表广义能量，在稳定约束情况下它就是总机械能。

4．刚体定点转动时，定义绕轴的转动惯量为I=n ·I ·n ，试计算I=

n ·I ·n =∑i

m i [r i 2-( n ·r i )2]，其中惯量张量I =∑i

(E r i 2-r i r i )，n 为ω方向的

单位矢量（ω=ωn ）。 答:

)

n r (m )

r (m i i 2i i

i i i 2i i

i r r n r r E n l n ?-=-?=?∑∑

则 )r (m i i 2i i

i n r r n n n n l n ??-?=??∑

(1)

上式右端第二项可写为

2i i i i i )())((r n r n r n n r r n ?=??=??

代入式(1)中，得 ])(r [m 2i 2i i

i r n n l n ?-=??∑

即: ])(r [m I 2i 2i i

i r n n l n ?-=??=∑

(2)

5．什么叫正则变换？

答: 当正则变量q 、p 变换为Q 、P 时，如果正则方程保持形式不变，那么这种变换称为正则变换。 6．惯量张量是否具有厄米性？ 答: 有 . 7．自由度。

答: 我们把完全描述一个力学体的运动所需要的 独立坐标数 叫做该本系的自由度

8．有心运动的性质。

答: 1．角动量L 守恒

(1) 有心运动一定是平面运动。 (2) 速度矩h 或面积速度守恒。

2．对于F (r )的有心力，因是保守力，因而机械能守恒。

9．惯量矩阵为什么可以对角化？

答: 惯量张量(或叫惯性张量)，由九个分量组成，它描述了刚体的质量分布，是刚

体对定点O 的转动惯性的量度。惯量张量对应一个三阶方阵I ，叫惯量矩阵。在惯量矩阵I 中，对角元素为转动惯量，非对角元素为惯量积。所以惯量矩阵可以对角化

10．相空间。

答: 我们把s 个广义坐标q j 和广义动量p j 所确定的2s 维空间叫作相空间或相宇 11．拉格朗日方程给出能量积分的条件是什么？

答: 对于完整、有势的力学体系来说，拉格朗日函数不显含时间t ，仅说明体系存在广

义能量积分，但不一定存在能量积分(即机械能守恒)。只有拉格朗日函数不显含时间，且r i 也不显含时间这样两个条件同时存在，体系才有能量积分。

12．广义动量。

答;在拉格朗日方程

j j j Q q T

q

T dt d =??-?? (j=1，2，3)

由于j 的取值关系，自由质点有三个自由度，实际上它是三个二阶常微分方程。 其中Q j 为广义力，而

j q

T

??称为广义动量。 13．若矢量A =A x i +A y j +A z k ，B =B x i +B y j +B z k ，求并矢A B 的表达式。 答: AB =A x B x ii + A x B y ij + A x B z ik +A y B x ji + A y B y jj +A y B z jk +A z B x ki + A z B y kj + A z B z kk

14．循环坐标。

答: 如果拉氏函数中不显含某个广义坐标q j ，则称q j 为循环坐杯或可遗坐标。 四．计算题

1．质量为M 的滑块被约束在水平OX 轴上无摩擦地滑动。滑块上有一质量为m 的平面单摆，摆长为l 。用拉氏方程求解系统的运动微分方程。

[解] (1) 体系由滑块M 和单摆m 构成，需三个坐标x 1，x 2，y 2，但因存在摆长l 的约束，所以s=3-1=2，取q 1=x 1=x ，q 2=θ，则因

???

??θ-=θ+==cos y sin x x x x 2

21l l

?????θ

θ=θθ+==sin y cos x x x x 221 l l 所以 θθ+θ++=++=cos x m m 2

1x )m M (21)y x (m 21x M 21T 22222222 l l θ-=cos m g V l

由此得 θ+θθ+θ++=cos m g cos x m m 2

1x )m M (21L 222l l l 注意，写拉格朗日函数时所用的速度都是绝对速度。把拉格朗日函数L 代入拉格朗日方程，最后得

?????=θ+θ+θ=θθ++0sin g cos x cos m x

)m M (

l l 常数

2． 质量为m 的质点，在方向朝椭圆焦点的牛顿引力f=αm/r 2的作用下走一半

长轴为a 的椭圆轨迹，试导出公式v 2=α(r 1-a

1

)。式中v 为质点速率，r 为质

点到力心的距离，α为比例常数。

[解] 因为质点m 在有心力场中运动，故其速度矩h=r 2θ守恒，故有关系式

θ

-=d du r

，hu r =θ

椭圆的极坐标方程为 p

c o s e 1r 1u θ+==

式中p 为椭圆的正焦弦，其值为 )e 1(a p 2-=

P 与引力常数μ的关系为 p

h 2

-=μ，于是，质点沿椭圆运动速度满足下列关系式：

)a

1r 2(])cos p e p 1()sin p e [(h ]u )d du [(h )r (r 222222222-μ=θ++θ-=+θ=θ

+=υ

3． 一匀质梯子，一端置于摩擦系数为

21的地板上，另一端斜靠在摩擦系数为3

1 的墙上。一人的体重为梯子的三倍，爬到梯子顶端时梯子尚未开始滑动。求梯子与地面的倾角最小是多少？

[解] 梯子受力情况如图，设最小角为θ。

1222221111W 3W N 3

1

N F N 21N F ==μ==

μ=∴

列梯子的平衡方程 N 2 – F 1 = 0

(1)

F 2 – W 1 – W 2 + N 1 = 0 (2)

对A 点取矩心 0a N atg F 2

a

W 111=-θ+? (3)

由(1) 11112N 21N F N =

μ==，则11222N 6

1N 2131N F =?=μ= 将F 2值代入(2)式，得 11W 724N =

，则11W 7

12

F = 将N 1、F 1值代入(3)式，得 24

41

tg =

θ， 24

41tg 1

-=θ∴

4．用哈密顿原理证明重力场中自由落体的真实运动规律是Z=

2

1gt 2。 [解] 设物体的质量为m ，速度为υ，则物体的动能和势能分别为2z m 2

1

T =和V=-mgz 。因此 m gz z g 2

1V -T L 2

+== 代入哈密顿原理δS=0，得 ?=+δf i t t 20dt ]m gz z g 2

1

[ 变分后得

?

=+f i

t t 0dt ]z m g δz δz [m (1)

括号中的第一项可以写成 z z m z)z (m dt

d

z z

m δ-δ=δ 故(1)式成为

?

=δ--δf i

t t 0dt )]z z m (g z)z (m dt d

[

积分得 ?=δ--δf

i t t i

f 0zdt )z

m (g t t z z m (2)

由于对两端固定的等时变分有0|z |z r i t t =δ=δ，因此(2)式中的第一项等于零。又因为对任意δz ，式(2)都成立，所以有

0z

g =-

积分两次得 2gt 2

1

z =

5．推导正则方程（不用哈密顿原理）。

[解] 依 L q

P H s

-=αα

α∑ ，故H q P L s

a

-=αα∑ 把L 代入H —原理中，得 0dt )H q

P (Ldt s 22

1

t 1

t t t s

a

=-δ=δ=δ??∑αα H=H(p 、q 、t)，故算出(2)中的变分，且注意0t =δ，得

0)q q H

P p H p q q

P (21

t t s a =δ??-δ??-δ+δ?

∑α

αα

ααααα (1)

但 ∑∑α

αααααδ=δs

s

)]q (dt d P [)q P ( ∑∑αααααδ-δ=s

s q P )q P (dt d (2)

把(1)代入(2)，得

?

∑+δα

α

α21

t t 1

2s

t t q P ∑α

αα

αααα=δ??+-δ??-s

0dt ]q )q H

p (p )p H q

[(

(3)

∴ 两端点相同，故 0t t q t t q 21==δ==δαα 则(3)式变为

0dt ]q )q H P (p )p H q

[(21

t t s

a =αδ??+-δ??-

?∑α

αααα

δp α及δq α在积分范围内是任意的，且是相互独立的，故得

α

αα

α??-=??=q H p

p H

q

(α=1、2……s)

6．如果质点受有心力作用而作双纽线r 2=a 2cos2θ的运动时，则F=-3ma 4h 2/r 7，试证明之。

[ 证]令 r 1u =，由不得 θ-=∴θ-=θ=θθ2sin r a r ,2sin a 2rr 22cos a r 22

22得 则

θ=θ--=θ=θ2s i n r

a )2s i n r a (r 1d dr dr du d du 32

22 和 3

252

43

2262222r 2c o s a 2r 2s i n a 3r 2c o s a 2)r 2s i n a (r 2s i n a r 3u d dr r u d u d θ+

θ=θ

+θ-θ-=θ??+θ??=θθθ

代入比耐公式，得

m F )r r 3r 3a 3(r h ,m F )r 1r 2cos a 2r 2sin a 3(u h 5

44422325242

2

-=+--=+θ+θ

7

24r h m a 3F -=∴

7．一质量为m 的质点用线挂起而成单摆，线的长度为l ，按已知规律l=l(t)变化，用拉格朗日方程求摆的运动微分方程。

[解] 根据题意知此系统为保守系统，且l=l(t)，是一不稳定约束，所以此问题的自由度为s =1，广义坐标取角量，即q=?，取极坐标系，单摆的动能为 式 )(m 2

1

T 222?

+= l l ，势能为 V = - mg l cos ? (以OC 轴为零面)

则拉氏函数为 ?+?

+=cos m g )(2m L 2

22l l l )2(m )L

(dt d ,sin m g L ,m L

22?+?

=?

???-=θ???=?

?? l l l l

代入拉氏方程 0L

)L (dt d =?

??-???

得 0s i n g 22=?+?+?

l l l l ，即 0g sin 2=?+?+?l

l l

8．利用哈密顿原理推导出拉格朗日方程。

[解] 因为L=L(q j ，j q

，t)，所以有 ?

∑∑∑??

∑??

∑=δ??-

??-=δ??-δ??-δ??=???+δ??-δ??=δ??+δ??+δ??=δ=δf i

f i f i

f

i f i

t t j

j j

j

j j t t j j

j j i f j j t t j

j j

j j j j t t t t j

j j j j 0dt q ]q L

)q L

(dt d [dt

]q q L

q )q L (dt d [t t q q L dt ]q q L

q )q L (dt d )q q L (dt d [

dt ]t t

L

q q L q q L [

Ldt S

由于积分号下的δq i 的任意性，故得

0q L )q

L (dt d j j =??-?? (j=1，2，3…，s)

9．长2a 的均质棒AB 以铰链悬挂在A 点，如起始时棒自水平位置无初速度运动，并且当棒通过竖直位置时铰链突然松脱，棒成为自由体。试证以后运动中，捧的质心轨迹国一抛物线。并求棒质心下降h 距离后，棒一共转了几转？

10．假如S

p 和S a 为质点在近日点和远日点的速率，试证：S p : S a =(1+e):(1-e)。式中e 为椭圆轨道偏心率。

[证] 质点运动轨道如图所示，为一椭圆轨道，在有心力场中，质点的动量矩守恒，故

有p a S )e 1(a S )c a ( -=+，或p

a S )e 1(a S )e 1(a -=+ 式中a

c e =

是椭圆的偏心率，∴ p

S :a S =(1+e):(1-e)。

11． 质量为M 半径为r 的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，

绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m 的物体。该圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，

用拉氏方程求圆柱体质心的加速度a 1，物体的加速度a 2及绳中张力T （见图）。

题11图

[解] 取广义坐标为x

V

T L c m gx V x

)M 83

m (21r )2x

(Mr 2121x M 81x 2m I 2

1

)2x (M 21x 2m T 222

2222c 22-=+-=+=?++=ω++=

代入

0x

L )x L (dt d =??-?? 得

g m 8M 3m 8x a ,g m 8M 3m 8x

1+==+= ，园柱加速度为g m

8M 3m

4x 21a 2+==

13． 由哈密顿原理推导正则方程。

[解] 依 L q

P H s

-=αα

α∑ ，故H q P L s

a -=αα∑ 把L 代入H —原理中，得 0dt )H q

P (Ldt s 22

1

t 1

t t t s

a

=-δ=δ=δ??∑αα H=H(p 、q 、t)，故算出(2)中的变分，且注意0t =δ，得

0)q q H

P p H p q q

P (21

t t s a =δ??-δ??-δ+δ?

∑α

αα

ααααα (1)

但 ∑∑α

αααααδ=δs

s

)]q (dt d P [)q P ( ∑∑αααααδ-δ=s

s q P )q P (dt d (2)

把(1)代入(2)，得

?

∑+δα

α

α21

t t 1

2s

t t q P ∑α

αα

αααα

=δ??+-δ??-

s

0dt ]q )q H

p (p )p H q

[(

(3)

∴ 两端点相同，故 0t t q t t q 21==δ==δαα 则(3)式变为

0dt ]q )q H P (p )p H q

[(21

t t s a

=αδ??+-δ??-?

∑α

αααα δp α及δq α在积分范围内是任意的，且是相互独立的，故得

α

αα

α??-=??=q H p

p H

q

(α=1、2……s)

14． 质量为m 的质点，在重力场中以初速v 0和水平线成α角抛射。用哈密顿原

理求该质点的运动微分方程。

[解] m gy )y x (m 2

1

L 22-+= 依哈密顿原理 δs = 0 ??=δ-δ+δ=δ=δ2

1

21

t t t t 0dt )y m g y y m x x

m (Ldt s 依)y (dt

d

y

),x (dt d x

δ=δδ=δ 置换后进行分部积分

xdt x

m t t x x m dt )x (dt

d

x m dt x x

m 2121

2

1t t 12t t t t δ-δ=δ=δ??? ydt y

m t t y y m dt )y (dt

d

y m dt y y

m 2121

2

1

t t 12t t t t δ-δ=δ=δ??

? 由于在1t 和2t 时刻0x =δ和0y =δ，故以上两式右端第一项为零，故有

[]0dt y )m g y m (x x m 2

t 1

t =δ++δ?

由于x ，y 是独立变量，且δx ，δy 是任意的，因此有

0x m = ，0x = ，m g y m -= ，g y

-= 上式反映着质点在水平方向作匀速运动，坚直方向作匀加速运动。由于x 是循环坐标，故质点沿x 轴的动量x

m 守恒，由于L —函数不显含时间，故机械能守恒E m gy m 2

1

2=+υ，这就是质点的运动积分

16．一质点受一与距离2

3次方反比的引力作用在一直线上运动，试证此质点自无

穷远到达a 时的速率和自a 静止出发到达4

a 时的速率相同。

17．利用拉格朗日方程推导刚体定点转动动力学方程的Z 分量的表达式。

18．一质量可忽略的弹簧当它不受力时，长为ι，当其受力时，弹性力与伸长成正比，比例系数为k ，将弹簧的一端连在水平轴的o 点上，另一端系在质量为m 的质点上，，设质点在竖直平面内运动，求质点的拉格朗日函数与哈密顿函数。

19．设质量为m 的质点受重力作用，被约束在半顶角为α的圆锥面内运动，试

以r 、θ

。

[解] 约束方程 Z = rctg α

)r sin r (2m )z r r (2m T 22222

222?+α=+?+= α

-?+α

=-=α

==m grctg )r sin r (2m V T L m grctg m gz V 2

222

0dt ]m grctg )r sin 1r (2m [

s 2

1

t t 2222=α-?+α

δ=δ? 0dt )r gctg r r r sin r r (

21

t t 2

22=αδ-?δ?

+δ?+α

δ?

(1)

r r )dt r (dt

d

r r δ-=δ ， （2） δ??-δ??-δ??=?δ?

22

2r r r 2)r (dt

d r （3） 上两式代入(1)并整理

??=??-δαα+α?-α-δ??+αδ2121t t 2t t 2

221

2220dt )r (dt d rdt )cos sin g sin r r (sin 1t t r sin r r （4）

注意 0t t r

,0t t t 2

t 1

21

21=δ=δ?==δ?

，及δ?、δr 任意性，由(4)得

? 2r =常数 0cos sin g sin r r

2=αα+α?-

第19题图

20．质点在有心力作用下运动，此力的量值为质点到力心距离r 的函数，而质点

的速率与此距离成反比，即v=r

a

。如果a 2>h 2(h=r 2θ )，求质点的轨道方程。

设当r=r 0时，θ=0。

[解] 因为质点在有心力作用下运动，故其动量矩守恒，速度矩h 为常数，即

2

2r h )(h r =θ

∴=θ

常数，r

a =

υ 又因在极坐标中 222222222

2

r

h r )r (r

r a )r (r

+=θ+=∴

θ+=υ 22

h a r

1r

-±= (1) 又因为 θ

=θθ=θ?θ==d dr

r h d dr dt d d dr dt dr r

2

(2)

把(1)式代入(2)式，得 2

22h a r 1d dr r h -±=θ

，或θ-±

=d h h a r dr 22 积分，得者说 ??θ-±=θr

r 0220d h

h a r dr

由此可得，质点的运动轨迹方程为 θ-±=h

h a r r 2

20n l (对数螺旋线)

21．用哈密顿正则方程求弹簧振子的运动规律。

[解] 悬点为0，θ-=θ

=cos m g V ,I 2

1T 20l

殊 dt )cos m g I 21(s 21t t 20?θ+θδ=δl dt )sin m g I (21

t t 0?θδθ-θδθ=l dt )]sin m g I I (dt

d [

2

1

t t 00?θδθ-δθθ-δθθ=l dt ]sin m g I [t t I 21t t 0120δθθ+θ-δθθ=?l 0dt ]sin m g I [2

1

t t 0=δθθ+θ

-=?l 因积分号下的δθ是任意的。θ=θθ=θ+θ

∴sin ,,0sin m g I 0很小时当l 有 0I m g 0

=θ+θl

则 π?=ωπ

=

τ2m g I 20

l

22．推导哈密顿原理。

解: 现在假想有一体系沿着位形空间中两个相邻的路径运动。加在系统上的任何约束都保持不变，沿着曲线的时间间隔t f -t i 和端点的位置都保持不变。例如。我们可以通过改变与时间有关的一个或更多的坐标来得到不同的路径。如果原来的曲线满足这些运动方程，牛顿定律给出了满足初始条件和最终条件的有限解，那么邻近路径(即领近曲线)就一定不满足运动方程。为了进一步分析这一特点，让我们把δx i 叫做x i 的―变分‖，用它表示任意时刻t 邻近路径和真实路径的差。由以前的知识知道，对保守系统作用在体系上的力所作的功等于势能改变量的负值。对两条路径间的势能变分，有

∑∑δ?=δ?=δ-=n

t

=i i i i n

t

i i i m V r r

r F 这里Ｆi 是作用在第i 个质点的力，式中应用了牛顿第二定律。上式右端又可写成

])(dt d

[m i

i

i

i

i

i

r r r r

δ?-δ?∑ 而动能的变分为 ∑δ?=T δi

i i i m r r

可见 ()∑δ?=δT δi

i i i

dt

d

m V -r r 对时间积分，注意到右边含有因子i r δ，其在两端点的积分结果必为零(因为所有不同路径的起点和终点都是相同的两点)。因此我们得到

??

δ=δ==δf

i

f i

t t t t S Ldt 0Ldt

其中 ?=f

i

t t Ldt S

称为保守力系作用下的哈密顿原理