平行四边形及矩形复习练习题
平行四边形及矩形复习练习题
姓名___________班级__________学号__________分数___________
一、选择题
1．（11736－2011浙江义乌）如图，DE 是△ABC 的中位线，若BC 的长是3cm ，则DE 的长是( ) A ．2cm ； B ．1.5cm ； C ．1.2cm ； D ．1cm ；
E A B
C
D
A
B
C
D
（第1题图） （第3题图）
2．（12787－2011广东广州）已知□ABCD 的周长为32，AB ＝4，则BC ＝( )
A ．4
B ．12
C ．24
D ．28
3．（14441－2011湖南郴州）如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A ．A
B ＝D
C ，A
D ＝BC
B ．AB ∥D
C ，A
D ∥BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BC
D ．AB ∥DC ，AB ＝DC
4．（14187－2011湖南娄底）下列命题中，是真命题的是( )
A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B ．两条对角线相等的四边形是矩形
C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5．（14263－2011湖南张家界）顺次连接任意一个四边形四边的中点所得到的四边形一定是
（ ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C 菱形
D 正方形 6．（15254－2011黑龙江哈尔滨）如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点0，∠AOB ＝60°，
AB ＝5，则AD 的长是( )
A ．53
B ．52
C ．5
D ．10
A C
A
B
C D
O
（第6题图） （第8题图）
7．（12413－2011山东枣庄）如图，边长为(m ＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边长是( )
A ．m ＋3
B ．m ＋6
C ．2m ＋3
D ．2m ＋6
8．（737－八年级下期末考试模拟试题（3））如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，可供添加的条件有①BC AB ⊥；②BC AB =；③BD AC ⊥；④
BD AC =，其中能使它变为矩形的是( )
A ．①②
B ．②④
C ．③④
D ．①④
9．（1034－08宁夏）平行四边形ABCD 中，AC ，
BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出
平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是( )
A ．A
B ＝B
C ； B ．AC ＝B
D ； C ．AC ⊥BD ； D ．AB ⊥BD ；
10．（6295－2009福建漳州）如图，要使□ABCD 成为矩形，需添加的条件是( )
A ．A
B B
C =
B ．A
C B
D ⊥
C ．90ABC ∠=°
D ．12∠=∠
1 2
B
C
D
A
O
图1
图2
（第10题图） （第12题图）
二、填空题
11．（12917－2011广东珠海）在□ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，则□ABCD 的周长为____________cm ．
12．（3206－2011河北）如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________．
13．（14609－2011福建泉州）如图，在四边形
ABCD 中， P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点AD ＝BC ∠PEF ＝18°，则∠PFE 的
度数是 ．
C
F
D
B
E
A
P
A
B
B 1
C D
E
（第13题图） （第14题图）
14．（13252－2011江苏南通）如图，在矩形纸片
ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝CE ．若
将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B 1重合，则AC ＝ cm ．
15．（3619）矩形的两条对角线的夹角为60，一
条对角线与短边的和为15厘米，则短边长为________．
三、证明题
16．（13129－2011广西钦州）如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，BE ∥DF ．求证：BE ＝DF ．
A
B C
F
E D
17．（12151－2011广西梧州）如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接DE ．延长DE 交AB 的延长线于点F ．求证：AB ＝BF ．
18．（15268－2011黑龙江哈尔滨）如图，四边形
ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，BE ⊥AC ，垂
足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，求证DF ＝BE ．
A
B D
E
F
四、解答题
19．（12230－2011宁夏）已知，E 、F 是四边形
ABCD 的对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，BE ＝DF ，BE ∥DF ．求证：四边形A BCD 是平行四边形．
A
B
C
D E
F
D
C
B A E
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的性质： （1）：平行四边形对边相等(即：AB=CD,AD=BC)； （2）：平行四边形对边平行(即：AB//CD,AD//BC)； （3）：平行四边形对角相等(即：∠A=∠C,∠B=∠D)； （4）：平行四边形对角线互相平分(即：O A=OC，OB=OD)； 判定方法：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 考点1 特殊的平行四边形的性质与判定 1．矩形的定义、性质与判定 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）矩形的性质：矩形的对角线_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。 （3）矩形的判定 有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。 温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。 2．菱形的定义、性质与判定 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）菱形的性质 菱形的_______都相等；菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。 （3）菱形的面积
第4题 F E D C B A 第2题 A B C D E T R Q P O D C B A 平行四边形和矩形练习题 1、在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =7，∠B 、∠C 的平分线分别交AD 于E 、F ，则EF = ． 第1题 第3题 第4题 第6题 2．如图，在矩形ABCD 中，DC=2BC ，在DC 上取一点E ，使EB=AB ， 连结EA ，则∠DAE=____________。 3、如图，△ABC 是边长为1的等边三角形．取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ， 得到四边形EDAF ，它的面积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到 四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2．照此规律作下去，则S 2011= ． 4．如图，在矩形ABCD 中，BC=6cm ，AE= 2 3 AD,∠CBF=30°，且点A 与F 关于BE 对称，则BE=________________,AB=_____________________。 5．矩形ABCD 中，点E 为边AB 上的一点，过点E 作直线EF 垂直对边CD 于F ，若S AEFD ：S BCFE =2：1，则DF ：FC= 。 6．如图,在□ABCD 中，AB =3，AD =4，∠ABC =60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 。 7、如图，AC 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在AC 上，要使四边形BFDE 是平行四边形，还需要增加的一个条件是 (只要填写一种情况). 第7题 第9题 第10题 第11题 第13题 8、已知□ABCD 的周长为28，自顶点A 作AE ⊥DC 于点E ，AF ⊥BC 于点F . 若AE =3，AF =4，则 CE-CF= . 9、如图，有一块直角三角形的木板AOB ，∠O=90°，OA=3，OB=4，一只小蚂蚁在OA 边上爬行（可以与O 、A 重合），设其所处的位置C 到AB 的中点D 的距离为x ，则x 的取值范围是__________ 10、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF =45o ，且AE+AF = ，则平 12、平行四边形的一条边长为12cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ） A.5 cm 和7 cm B.20 cm 和30 cm C.8 cm 和16 cm D.6 cm 和10 cm 13、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，则下列结论不正确的是_______ A 、S △AFD =2S △EF B B 、BF= 2 1 DF C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ ADC 14、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°四边形ACDE 是平行 四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交 CE 于点G ，连结BE . 下列结论中： ① CE =BD ；② △ADC 是等腰直角三角形；③ ∠ADB =∠AEB ； 一定正确 的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 15、如图，在□ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上， 则图中面积相等的平行四边形有（ ） （A ）0对 （B ）1对 （C ）2对 （D ）3对 16、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，DC//AB ，BC=3， DC=4，AD=5．动点P 从B 点出发，B →C →D →A 沿边运动，则△ABP 的最大 面积为（ ）A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 17、如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，O 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线交BO 的延长线于点E ， 则四边形ABDE 是什么四边形？并说明理由。 18．如图，在矩形ABCD 中，P 是AD 上任一点，PQ ⊥AC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ，DT ⊥AC 于点T ，问：PQ 、PR 、DT 三条线段能否组成三角形？若能，请证明；否则，请说明理由。 19．如图，在矩形ABCD 中，从顶点C 作对角线BD 的垂线与∠A 的平分线相交于点E 。求证：BD=CE 。 20．若一次函数y ＝2x －1和反比例函数x k y 2 的图象都经过点(1，1)． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A 的坐标； (3)利用(2)的结果，若点B 的坐标为(2，0)，且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标． A B E
课题： 平行四边形的判定与性质的综合运用 目标：1.熟练掌握平行四边形的判定与性质，并会灵活运用。 2.总结线段“倍分”、“和差”问题的思路，形成一定的思维模型。 3.培养学生运用知识分析问题解决问题的能力，特别是将题设与结论结合的综合分析能力。 重点：平行四边的性质和判定的综合、灵活运用。 难点：解题思路的获得——辅助线的构造 教学方法：引导分析。 教学过程： 25.(2017年三模题)如图,在平行四边形ABC 中,AC ⊥BC,点E 是CD 的中点,连接AE,作AF ⊥AE 交BC 于F. (1) 若AC=6，BC=8，求AE 的长; (2) G 为BC 延长线上一点,且AG+CG=BC,求证:AF=2EG. (1)小题分析:由勾股定理和直角三角形斜边中线性质易得. (2)小题分析: 分析思路1 考虑到点E 是CD 中点,且EG 在结论中出现,试着构造“X”形全等三角形,于是延长GE 交AD 于H.易知△CEG ?△DEH,∴CG=DH,GE=EH.由已知AG+CG=BC 及平行四边形的性质得,AG+DH=BC=AD=AH+DH ,∴AG=AH,由等腰三角形“三线合一”得,AE ⊥GH,又AE ⊥AF,∴AF ∥HG,∴四边形AFGH 是平行四边形,∴AF=HG,∴AF=2EG.(全等三角形的判定性质,等腰三角形“三线合一”,平行四边形的判定性质).
分析思路2 仍然从中点E 出发考虑构造“X”形全等三角形,延长AE 与CG 的延长线交于点H,易知△ADE ?△HCE,∴AE=EH,AD=CH,由已知及平行四边形的性质有 AG+CG=BC=AD=CH=GH+CG,∴AG=GH,∴∠4=∠2,因为∠4+∠3=90°,∠2+∠FAG=90°,∴∠3=∠FAG,∴AG=FG,∴GH=FG,∴AF=2EG. 分析思路3 第一点 由题设AG+CG=BC,这是线段和差的典型问题,可考虑“截长”或“补短”.试着延长AG 点M,使GM=CG,则AG+CG=AG+GM=AM,∴AM=AD.因此连接DM,得△ADM 为等腰三角形.∴∠ADM=∠AMD.延长BG 交DM 于点P,则∠ADM=∠GPM,∴∠GPM=∠GMP,∴GP=GM=GC,∴∠CMP=90°.在Rt △CAD 和Rt △CM 中,AE=(1/2)CD=ME.由上易得△AEM ?△AED,∴∠1=∠2,∴AE ⊥MD(三线合一).而AE ⊥AF,∴AF ∥DM.∴四边形AFPD 是平行四边形,∴AF=PD.又易知,PD=2EG(三角形中位线性质).∴AF=2EG. 第二点 从结论AF=2EG 分析,这是线段倍分问题,既可考虑作“分”也可作“倍”(事实上均可，若“分”则用梯形中位线性质,若“倍”则用三角形全等),都能得到平行四边形.如用“倍”即为分析思路1. (3)后记： ①本题涉及平行线、三角形、四边形的几乎所有重要知识点：垂直于同一直线的直线平行,平行于同一直线的直线平行;等腰三角形定义、性质、“三线合一”;直角三13 24H G E B D C A
平行四边形（教师版） 一、平行四边形 【入门测】 1、如图：在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．D （A）4个（B）5个（C）8个（D）9个 2、如图，在平行四边形ABCD中，剪去大小不同的平行四边行EGFC，得到另两个图形，将三个图形分别标上（L）、（M）、（N），记周长分别为l、m、n，则必有（）C A．n 一、平行四边形 【笔记】 1、平行四边形的性质 ①边：对边平行且相等 ②角：对角相等 ③对角线：互相平分 ④对称性：只是中心对称图形 【例1】如图在□ABCD 中，已知AD=8cm ，AB=6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于 cm （平行线+角平分线→等腰）（对应过1，2补1） 【答案】2 【例2】在□ABCD ，对角线相交于点O ，已知AOB BC AB ?==,8,6的周长是18，求AOD ?的周长。 （对角线性质）（对应过3补2） 【答案】20 【过关检测】 （☆）1. 如图，在□ABCD ，E 、F 是对角线BD 上的两个点且DF=BE ，试猜想AE 与CF 有何数量关系及位置关系并加以证明。 《平行四边形及矩形》测试题 班级 1.平行四边形的两邻边分别为3、4,那么其对角线必（ B.小于7 C.大于1且小于7 D.小于7或大于1 CAB的度数分别为（ 4.口ABCD中, EF过对角线的交点0, AB=4, AD=3 0F=1.3,则四边形BCEF的 周长为（） 6.如图所示,在口ABCD中 , E, F分别在BC, AD上,若想使四边形AFCE为平 行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ①AF=CF ②AE=CF ③/ BAE W FCD ④/ BEA玄FCE A.①或② B .②或③ C .③或④ D .①或③或④ 7.如图4,在口ABCD中, AD=5,AB = 3,AE 平分 /BAD 交BC边于 A. 2和3 B . 3和2 C . 4和1 D . 1和4 2.如图1，四边形ABCD是平行四边形，/ D=120°,/ CAD=32 . J则/ ABC / 姓名 A.大于1 A.28 ° , 120° B.120 ° , 28° C.32 120° D.120 ,32° 3 .在口ABCD中, / A：/ B :/ C :/ D的值可以是 A.1 : 2 : 3 : B.1 : 2 : 2 : 1 C.1 : 1 : 2 : D.2 : 1 : 2 : 1 A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 5.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（ A.AB=CD AD// BC B.AB=CD AB// CD C.AB// CD AD// BC D.AB=CD AD=BC 点E,则线段BE、EC的长度分别为（ 2 8. 如图，口 ABCD 中, BD= CD / C = 70°, A 、20° B 、250 C 、300 9. 平行四边形没有而矩形具有的性质是（ 10.矩形ABCD 勺对角线相交于点0,如果MBC 的周长比人AOB 的周长大10cm, 则 AD 的长是（ ）A 、5cm B 、7.5cm C 、10cm .填空题 13. 如果平行四边形的一条边长是 8, —条对角线长为6, 线长m 的取值范围是 14. 平行四边形的周长等于 56 cm ,两邻边长的比为3 ： 1,那么这个平行四边 形较长的边长为 15. 如果一个矩形较短的边长为 5 cm ,两条对角线所夹的角为60°,则这个矩 形的面积是 16. 矩形是面积的60, 一边长为5,则它的一条对角线长等于 17.在口ABCD 中, AB=AC,若口ABCD 勺周长为 38 cm ,^ ABC 的周长比□ ABCD 勺周长少10测，求口 ABCD 勺一组邻 边的长. 18.如图，在□ ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点, AE± BD 于点 E ,则/ DAE=( 、350 A 、对角线相等 B 、对角线互相垂直 C 、对角线互相平分 D 、对角相等 D 、12.5cm 11.如图, 12.已知: 则BC= cm, CD 且 AE=CF 求证：/ EBF=/ FDE 那么它的另一条对角 cm. □ ABCD 中,/ 1 = 平行四边形一边 1．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C D ，分别落在C D '' ，的位置上，EC'交AD于点G．已知58 EFG ∠=°，那么BEG ∠ = °． 2．如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________． 3．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______c m2． 4．如图所示，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______． 16.如图所示，平行四边形ABCD的周长是36cm，由钝角顶点D向AB、BC?引两条高DE、DF，且DE=43cm，DF=53cm，求这个平行四边形的面积． 17.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，且G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF与GH互相平分． 18．如图，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE?是怎样的四边形，并证明你的结论． 5．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8，M是BC上一点，BM=2，N是AC?上一动 点，则BN+MN的最小值为_________． 6．如图所示，在△MBN中，BM=6，点A、C、D分别在MB，NB，MN?上，?四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，那么平行四边形ABCD的周长是_______。 7.在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB?的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______． 8．平行四边形ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为_______. 19．已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上． （1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积． （2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积． 9.如图所示，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A?落在点A1处，已知OA=3， AB=1，则点A的坐标是_______ 10.如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC?于E，PF⊥BD于F， 则PE+PF的值为________． 长方形、正方形、平行四边形的特征与知识 长方形性质 ①对角线相等且互相平分 ②有四条边 ③对边平行且相等 ④四个角都相等且都是直角 ⑤四个角度数和为360° ⑥有2条对称轴 ⑦在没有数据的情况下，水平的那一边为长，垂直的那一边为宽。 长方形判定 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②对角线相等的平行四边形是矩形 ③有三个角是直角的四边形是矩形 ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形 长方形面积计算公式 面积公式矩形面积公式：长×宽 长方形面积字母公式：S=ab 长方形周长计算公式 长方形周长文字公式：(长+宽)×2 长方形周长字母公式：C=(a+b)×2 正方形性质 边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直 内角：四个角都是90°； 对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。 判定方法 1：对角线相等的菱形是正方形。 2：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形。 3：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。 4：一组邻边相等的矩形是正方形。 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。 7.有一个角为直角的菱形是正方形。 依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。面积计算公式：S=a×a 或：S=对角线×对角线÷2 周长计算公式: C=4a 正方形是特殊的矩形, 菱形，平行四边形，四边形 平行四边形特点 ⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。（简述为“平行四边形的对边相等”） ⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。（简述为“平行四边形的对角相等”） （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”） （4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 判定 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 性质 ⑴连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。 ⑵如果一个四边形的对角线互相平分， 那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。 ⑶平行四边形的对角相等，两邻角互补 ⑷过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 ⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。 ⑹平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形） 平行四边形中常用辅助线的添法 一、连结角线或平移对角线 二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形 三、连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 四、连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等 平行四边形对边平行 平行四边形的对角相等 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 面积与周长 《平行四边形及矩形》同步测试题 一、填空题 1．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠D＝1∶2∶4，∠C＝108°，则∠A＝ . 2．边长为10 cm的正方形的对角线长是 cm，这条对角线和正方形一边的夹角是，这个正方形的面积是 cm2． 3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA交AB于E，且△BCE的周长为10 cm，CD＝5 cm，则梯形ABCD的周长是． 4．若矩形的一条短边的长为5 cm，两条对角线的夹角为60°，则它的一条较长的边为cm．5．如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠， 使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为 . 6．菱形的周长为40 cm，如果把它的高增加4 cm，周长不变， 3倍，则菱形的原面积是． 那么面积变为原来的 2 7．在四边形ABCD中，AB＝CD，要使其变为平行四边形，需要 增加的条件是．(只需填一个你认为正确的条件即可) 8．如图4－165所示；折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠， 使AD落在对角线BD上，A对应A′，得折痕DG，若AB＝2，BC＝1，则 AG＝ . 二、选择题 9．如图所示，沿虚线EF将ABCD剪开(BF≠AE)，得到的四边形ABFE是 ( ) A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 10．下列说法中正确的有 ( )①平行四边形的对角线互相平分；② 菱形的对角线互相平分且相等；③矩形的对角线相等；④正方形的对 角线互相平分且相等；⑤等腰梯形的对角线相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．五边形的内角和与外角和之比是 ( ) A．5∶2 B．2∶3 C．3∶2 D．2∶5 12．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 ( ) A．等腰三角形 B．正三角形 C．等腰梯形 D．菱形 13．已知菱形的周长为40,一条对角线长为12，则这个菱形的面积为 ( ) A．190 B．96 C．47 D．40 14．一个多边形截去一个角(不过顶点)后，所成的一个多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是 ( ) A．13 B．15 C．17 D．19 15．平面图形的密铺是指在一定范围的平面内，这些图形间 ( ) A．没有空隙，可以重叠 B．既有空隙，又可重叠 C．可有空隙，但无重叠 D．既无空隙，也不重叠16．若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形 ( ) A．一定是 矩形 B．一定是菱形 C．一定是正方形 D．形状不确定 9．如图所示，设F为正方形ABCD中AD边上一点，CE⊥CF交AB的延长线 于E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为 ( )A．20 B．24 C．25 D．26 10．如图所示，正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CF＝DE，连 接BE，AF相交于点G，则下列结论不正确的是( ) A．∠DAF＝∠BE C B．∠AF B＋∠BE C＝90° C．BE＝AF D．AF⊥BE 三、解答题 平行四边形矩形的性质与判定 1.平行四边形不一定具有的性质是( ) A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 2.下列说法正确的是（ ）． A ．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B ．平行四边形的对角线相等 C ．平行四边形的对角互补，邻角相等 D ．平行四边形的对边平等且相等 3.在四边形ABCD 中，从（1）AB ∥ CD ，（2）BC ∥ AD （3）AB=CD （4）BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ） A 3种 B 4种 C 5种 D 6种 4.在平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C=2：3：2，则∠D=（ ） A. 36° B. 108° C. 72° D. 60° 5.平行四边形的周长为24cm ，相邻两边长的比为3：1，?那么这个平行四边形较短的边长为（ ）． A. 6cm B. 3cm C. 9cm D. 12cm 6. 一个平行四边形的两条邻边的长分别是4cm 和5cm ，它们的夹角是30°，这个平行四边形的面积是（ ）． A ．10cm 2 B ． cm 2 C ．5cm 2 D ． cm 2 7.如下图1，P 是四边形ABCD 的DC 边上的一个动点．当四边形ABCD 满足条件______时，△PBA 的面积始终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可）． 8.如上图2，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线交BC 于点E ．若AB=16cm ，AD=25cm ，则BE=______，EC=________． 9.平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为________ 10.一个四边形的边长依次是a 、b 、c 、d 且 ，则这个四边形的形状为 ；其理由是 . 11.如上图3：平行四边形ABCD 的周长为32cm ，一组邻边AB ：BC ＝3:5，∠B ＝600，E 为AB 边上的任意一点，则ΔCED 的面积为 . bd ac d c b a 222222+=+++ 长方形、正方形和平行四边形的认识(人教版二年级教 案设计) 教学目的 1．引导学生观察长方形、正方形的边和角的特点，认识长方形、正方形的共性和各自的特点． 2．会在方格纸上画长方形、正方形． 3．初步认识平行四边形． 教学重点 掌握长方形、正方形的特征 教学难点 长方形、正方形的区别和联系 教具、学具准备 多媒体课件一套（如果没有，可用学具代替）、长方形、正方形纸片，实物图片，七巧板、直尺、三角板． 教学过程 一、创设情境，提出问题． 出示8根小棒（6长、2短） 1．小组活动：你能用这8根小棒摆一些图形吗？看哪一个小组摆的又快又多． 2．交流：请各小组到投影上边摆边说有几种． 3．设疑：图形之间有很多相同的和不同的地方，提出长方形和正方形，它们各有几条边，几个角？每个角是什么角？它们的边和角的特点都一样吗？这两种图形可不可以变成别的形状？这就是我们这节课要研究的内容．（出示课题） 二、主动探索，研究问题． 1．认识长方形． （1）独立探索，小组交流．从学具中拿出长方报纸片来，动手观察一下它的角和边，会发现什么？（与小组内其他同学交流．）（2）小组汇报：请小组各出一名代表发言，分别说一说通过研究发现了角和边有什么特点，并且说一说怎样想的或者是怎样做的．找几个组说一说．（如果有用折纸这一办法的，请他说明怎样做的，演示一下，并给予表扬） （3）辩论：长方形有什么特征呢？（小组讨论） （4）教师总结：刚才有的同学利用身边的学具量一量，有的同学用折纸这个方法发现长方形相对着的两条边相等，也就是说长方形有两组对边相等，长方形有四个角，四个角都是直角．【演示动画“长方形、正方形”】 （5）学生之间交流长方形的特点．每个人都用纸折折看，再验证一下． 2．认识正方形． （1）独立探索，小组交流． “同学们，刚才你们自己动手研究了长方形的一些知识，那 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结（后附答案）一．正确理解定义 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法． （2）表示方法：ABCD记作，读作“平行四边形ABCD”． 2．熟练掌握性质 平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的． （1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等； （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分； （4）面积：①S= 底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形． =? 3．平行四边形的判别方法 ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形 二、．几种特殊四边形的有关概念 （1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可． （2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可． （3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行； ②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题． 平行四边形 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 平行四边形 （1）平行四边形性质 1）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2）平行四边形的性质（包括边、角、对角线三方面） ： A B D O C 边：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； 角：③平行四边形的两组对角分别相等； 对角线：④平行四边形的对角线互相平分. 【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. （2）平行四边形判定 1）平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面）： A B D O C 边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2）三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 4）平行线间的距离： 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。 两条平行线间的距离处处相等。 Ⅱ. 矩形 （1）矩形的性质 1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2）矩形的性质： ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②矩形的四个角都是直角； ③矩形的对角线相等； ④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点. （2）矩形的判定 1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形. 2）证明一个四边形是矩形的步骤： 方法一：先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等； 第五讲数学培优——平行四边形与矩形 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 3. 理解矩形的概念. 4. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 专题一：平行四边形【要点梳理】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点二、平行四边形的性质 （1）_____________________________；（2）_____________________________； （3）_____________________________；（4）_____________________________； （5）对称性：_____________________________； 要点三、平行四边形的判定 （1）_____________________________；（2）_____________________________； （3）_____________________________；（4）_____________________________； 要点四、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点诠释： 三角形有三条中位线，三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. 要点五、平行线间的距离 （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 （3）平行线间的平行线平行且相等 【典型例题】 类型一、平行四边形的性质 例1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC． 1 2 1 4 1 平行四边形 【基础知识】 Ⅰ. 平行四边形 （1）平行四边形性质 1）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2）平行四边形的性质（包括边、角、对角线三方面） ： A B D O C 边：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； 角：③平行四边形的两组对角分别相等； 对角线：④平行四边形的对角线互相平分. 【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. （2）平行四边形判定 1）平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面）： A B D O C 边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2）三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 4）平行线间的距离： 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行 线间的距离。两条平行线间的距离处处相等。 2 B D Ⅱ. 矩形 （1）矩形的性质 1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2）矩形的性质： ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②矩形的四个角都是直角； ③矩形的对角线相等； ④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点. （2）矩形的判定 1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形. 2）证明一个四边形是矩形的步骤： 方法一：先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对 角线相等； 方法二：若一个四边形中的直角较多，则可证三个角为直角. 3）直角三角形斜边中线定理：（如右图） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. Ⅲ. 菱形 （1）菱形的性质 1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2）菱形的性质： ①菱形具有平行四边形的所有性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线交点. 3）菱形的面积公式： 菱形的两条对角线的长分别为b a ，，则ab S 21 菱形 （2）菱形的判定 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 2. 识别方法小结： (1) 识别平行四边形的方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (2) 识别矩形的方法： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形； ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 (3) 识别菱形的方法： ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四边都相等的四边形是菱形； ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 (4) 识别正方形的方法： ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； ⑥对角线相等的菱形是正方形； ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 小结：把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别方法的编号为(1) ①，其他方法类似） 3.基础达标训练： 3.1填空： （1）两条对角线的四边形是平行四边形；（2）两条对角线的四边形是矩形； （3）两条对角线的四边形是菱形； （4）两条对角线的四边形是正方形； （5）两条对角线的平行四边形是矩形； （6）两条对角线的平行四边形是菱形； 平行四边形和矩形的性质和判定 Ⅰ、平行四边形的性质 Ⅱ、平行四边形的判定 中位线：连接三角线两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，求∠A的度数。 如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E 是AB的中点，连接EF．求证：EF∥BC 1、如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF． 2、如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E、F分别为CA，CB上点，CE=CF，M、N分别为AF、BE的中点，求证：AE=2MN 3、如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且 ∠BAD=∠CAE，求证：PD=PE. 4、如图，在平面直角坐标系中，A(2,1),B(4,-3),且以A，B，O，C为顶点的四边形为平行四形，求点C的坐标。 5、如图，在△ABC和△DEF中，AC=BC，AD=AF，∠ACB=∠DAF=90°，D，A，C在一条直线上，过点D作DE⊥DF，且DE=2AC，连CF，BE，EF。 （1）试判断四边形ADEB的形状，并给予证明 （2）求 EF CF 的值 6、如图，△ABC中，M为BC边上的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D。 （1）求证：DM= 2 1 （AM-AB） （2）若AD=6，BD=8，DM=2，求AC的长。 平行四边形的性质练习题 1．判断题（对的在括号内填“∨”，错的填“×”） （1）平行四边形两组对边分别平行；（ ） （2）平行四边形的四个内角都相等；（ ） （3）平行四边形的相邻两个内角的和等于180°；（ ） （4）如果平行四边形相邻两边长分别是2cm 和3cm ，那么周长是10cm ；（ ） （5）在 ABCD 中，如果∠A=35°，那么∠B=55°；（ ） （6中，如果∠A=35°，那么∠B=145°．（ ） 2．已知O 是 ABCD 的对角线交点，AC=10cm ， BD=18cm ，AD=?12cm ，?则△BOC?的周长是 _______． 3的对角线AC ，BD 交于点O ，△ AOB 的面积为 ABCD 的面积为_____ ． 4中，对角线AC ，BD 交于点 O ，EF 是过点O 的一条直线，交AB 于点E ，? 交DC 于点F ．请写出图中的一对全等三角形是_______． 5．已知平行四边形的两邻边之比为2：3，周长为20cm ，?则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________． 6．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 7中，AC=10，BD=6，则边长AB ，AD 的可能取值为（ ）． （A ）AB=4，AD=4 （B ）AB=4，AD=7 （C ）AB=9，AD=2 （D ）AB=6，AD=2 8．平行四边形一边长为12cm ，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）． （A ）8cm 和14cm （B ）10cm 和14cm （C ）18cm 和20cm （D ）10cm 和34cm 9．在 ABCD 中，AB=2，BC=3，∠B=60 ABCD 的面积为（ ）． （A ）6 （B （C ）（D ）3 10．如图，在 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交DC 于点E ，AD=5cm ，AB=8cm ，求EC 的长． 6．如图，在 ABCD 中，AC ⊥AB ，AB=6，BC=10，求：（1）AB 与CD 的距离；（2）AD 与BC 的距离． 平行四边形知识总结及练习 １. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形矩形菱形正方形图形 性质1.对边 且; ２．对角; 邻角； ３．对角线 ; 4.高两种无数条。 1.对边 且； 2.对角 且四个角都是 ; ３.对角线 ； １.对边 且四条边 都； ２．对 角; 3.对角线 且每条对角线 ； 1.对边 且四条边 都； ２．对角且 四个角都 是; 3.对角线 且每条 对角 线 ； 面积 2. 识别方法小结： (1) 识别平行四边形的方法（三边一角一对角线)： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; ④两组角分对别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (2）识别矩形的方法:（两角两对角线） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形; ③对角线相等且互相平分的四边形是矩形； ④有三个角是直角的四边形矩是形。 (3）识别菱形的方法：（两边两对角线） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形; ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形; ④四边都相等的四边形是菱形。 (4）识别正方形的方法：(两边一角） ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形; ③有一组邻边相等的矩形是正方形; ④对角线互相垂直的矩形是正方形; ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； ⑥对角线相等的菱形是正方形； ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （５）特别提醒:(两边一角） ①直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半； ②中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半;梯形中位线定理是指梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。 ③平行线间的距离:两条平行线中，一条平行线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离，两条平行线间的距离处处相等。 3.1填空： (1）两条对角线的四边形是平行四边形； （２）两条对角线的四边形是矩形; (3）两条对角线的四边形是菱形; (4）两条对角线的四边形是正方形； (5）两条对角线的平行四边形是矩形； (6）两条对角线的平行四边形是菱形； （7)两条对角线的平行四边形是正方形; (8）两条对角线的矩形是正方形; (９)两条对角线的菱形是正方形。?