平行四边形与矩形的综合运用

课题： 平行四边形的判定与性质的综合运用

目标：1.熟练掌握平行四边形的判定与性质，并会灵活运用。

2.总结线段“倍分”、“和差”问题的思路，形成一定的思维模型。

3.培养学生运用知识分析问题解决问题的能力，特别是将题设与结论结合的综合分析能力。

重点：平行四边的性质和判定的综合、灵活运用。

难点：解题思路的获得——辅助线的构造

教学方法：引导分析。

教学过程：

25.(2017年三模题)如图,在平行四边形ABC 中,AC ⊥BC,点E 是CD 的中点,连接AE,作AF ⊥AE 交BC 于F.

(1) 若AC=6，BC=8，求AE 的长;

(2) G 为BC 延长线上一点,且AG+CG=BC,求证:AF=2EG.

(1)小题分析:由勾股定理和直角三角形斜边中线性质易得.

(2)小题分析:

分析思路1

考虑到点E 是CD 中点,且EG 在结论中出现,试着构造“X”形全等三角形,于是延长GE 交AD 于H.易知△CEG ?△DEH,∴CG=DH,GE=EH.由已知AG+CG=BC 及平行四边形的性质得,AG+DH=BC=AD=AH+DH ,∴AG=AH,由等腰三角形“三线合一”得,AE ⊥GH,又AE ⊥AF,∴AF ∥HG,∴四边形AFGH 是平行四边形,∴AF=HG,∴AF=2EG.(全等三角形的判定性质,等腰三角形“三线合一”,平行四边形的判定性质).

分析思路2

仍然从中点E 出发考虑构造“X”形全等三角形,延长AE 与CG 的延长线交于点H,易知△ADE ?△HCE,∴AE=EH,AD=CH,由已知及平行四边形的性质有

AG+CG=BC=AD=CH=GH+CG,∴AG=GH,∴∠4=∠2,因为∠4+∠3=90°,∠2+∠FAG=90°,∴∠3=∠FAG,∴AG=FG,∴GH=FG,∴AF=2EG.

分析思路3

第一点 由题设AG+CG=BC,这是线段和差的典型问题,可考虑“截长”或“补短”.试着延长AG 点M,使GM=CG,则AG+CG=AG+GM=AM,∴AM=AD.因此连接DM,得△ADM 为等腰三角形.∴∠ADM=∠AMD.延长BG 交DM 于点P,则∠ADM=∠GPM,∴∠GPM=∠GMP,∴GP=GM=GC,∴∠CMP=90°.在Rt △CAD 和Rt △CM 中,AE=(1/2)CD=ME.由上易得△AEM ?△AED,∴∠1=∠2,∴AE ⊥MD(三线合一).而AE ⊥AF,∴AF ∥DM.∴四边形AFPD 是平行四边形,∴AF=PD.又易知,PD=2EG(三角形中位线性质).∴AF=2EG.

第二点 从结论AF=2EG 分析,这是线段倍分问题,既可考虑作“分”也可作“倍”(事实上均可，若“分”则用梯形中位线性质,若“倍”则用三角形全等),都能得到平行四边形.如用“倍”即为分析思路1.

(3)后记：

①本题涉及平行线、三角形、四边形的几乎所有重要知识点：垂直于同一直线的直线平行,平行于同一直线的直线平行;等腰三角形定义、性质、“三线合一”;直角三13

24H G E

B D

C A

角形斜边中线的性质及其逆定理；全等三角形的判定与性质;三角形、梯形中位线性质;平行四边形的判定与性质.是一个综合性很强的几何论证题.

②本题设计非常巧妙,必须熟练掌握有关知识及常用辅助线才能进行逐一分析.

③本题最难之处在于如何根据初中知识将题设与结论结合起来分析出思路——辅助线的作法,学生必须具备灵活而严密的思维能力，才能通观全局、综合考虑、步步深入、找到解决问题的金钥匙.

④本题有多种破题思路,题目虽有难度,但可从多角度思考得出相应的解题思路,为更多学生解答此题提供了可能。

⑤本题还可做一些研究,比如,结论可改为“求证BF=2CG”思路类似.

此题告诉我们,数学的核心素养既包括基础知识、基本技能,更要重视思维能力的培养.