课时作业(1)

课时作业(十一)

1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45

答案 B

解析 ∵a 2＋a 3＝13，∴2a 1＋3d ＝13.∵a 1＝2，∴d ＝3. 而a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝42.

2．在等差数列－5，－312，－2，－1

2，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( )

A ．an ＝34n －23

4 B ．an ＝－5－3

2(n －1) C ．an ＝－5－3

4(n －1) D ．an ＝5

4n 2－3n

答案 A

解析 首项为－5，公差为－312＋5

2＝3

4， ∴an ＝－5＋(n －1)·34＝34n －23

4.

3．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图像与x 轴交点的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．1或2

答案 D

解析 ∵a 、b 、c 成等差，∴2b ＝a ＋c . ∴Δ＝(2b )2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.

4．数列{an }中，a 1＝15,3an ＋1＝3an －2，那么该数列中相邻两项的乘积为负数的是( )

A ．a 21和a 22

B ．a 22和a 23

C ．a 23和a 24

D ．a 24和a 25

答案 C

解析 由3an ＋1＝3an －2可知{an }为等差数列，又a 1＝15， ∴an ＝15＋(n －1)·(－23)＝－23n ＋473＝47－2n

3. 令an ·an ＋1<0，即47－2n 3·47－2(n ＋1)3<0. 可得452

2.又n ∈N *，

∴n ＝23.(或由a n ＞0，得n ≤23，∴a 23＞0，a 24＜0)

5．(2013·辽宁)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a n

n }是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4

答案 D

解析 如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a 1＝2×a 2，故p 2是假命题；如数列为{1,2,3，…}，则a n

n ＝1，故p 3是假命题，故选D 项．

6．(2013·广东)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20

解析 因为数列{a n }为等差数列，

所以由等差数列的性质，得a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝a 4＋a 7＝10. 所以3a 5＋a 7＝a 5＋2a 5＋a 7＝a 5＋a 4＋a 6＋a 7＝2×10＝20.

7．(2012·广东)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝

________.

答案 2n －1

解析 设等差数列{a n }的公差为d (d >0)．

由a 3＝a 22－4，得a 1＋2d ＝(a 1＋d )2－4，即1＋2d ＝(1＋d )2－4，d 2＝4.又{a n }

是递增数列，∴d ＝2.

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.

8．在200到600之间，被5除余2的整数有______个． 答案 80

解析 由200≤5n ＋2≤600，得39.6≤n ≤119.6. ∴(119－40)＋1＝80.

9．已知数列{an }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1an ＋1}为等差数列，则an ＝

________.

答案 19－n n ＋5

解析 ∵1

a 7＋1＝1

a 3＋1

＋4d ，∴d ＝1

24.

∴1

a n ＋1＝1

a 3＋1＋(n －3)d ＝n ＋524，∴a n ＝19－n

n ＋5. 10．将等差数列2,7,12,17,22，…中的数按顺序抄写在本子上，见下表，若每行可写12个数，每页共15行，则数1 997应抄在第________页第________行第________个位置上.

答案 解析 an ＝5n －3，由5n －3＝1 997，得n ＝400. 每页共12×15＝180个数，360＜400＜540. 又400－360＝40＝3×12＋4，

∴1 997应抄在第3页，第4行第4个位置上．

11．数列{an }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，an >0，则an ＝____________. 答案

4n －3

12．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.求数列{a n }的通项公式． 解析 因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，

则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d ，得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)．

13．设数列{an }是公差不为零的等差数列，且a 20＝22，|a 11|＝|a 51|，求an .

解析 设公差为d ，∵a 20＝22，|a 11|＝|a 51|， ∴|22－9d |＝|22＋31d |. ∵d ≠0，∴22－9d ＝－22－31d . ∴d ＝－2，∴a 1＝22－19×(－2)＝60. ∴an ＝－2n ＋62.

14．已知函数f (x )＝3x

x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定．

(1)求证：{1

x n

}是等差数列；

(2)当x 1＝1

2时，求x 100. 解析 (1)x n ＝f (x n －1)＝

3x n －1

x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，

所以1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1，

1x n －1x n －1＝13

(n ≥2，n ∈N *)． 所以{1

x n

}是等差数列．

(2)由(1)知{1x n

}的公差为13.又因为x 1＝1

2，

所以1x n ＝1x 1＋(n －1)×13，1x 100＝2＋(100－1)×13＝35.所以x 100＝135.

15．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4

a n －1(n >1)，记

b n ＝1a n －2.

(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．

解析 (1)证明 ∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1

a n －2

＝1(4－4

a n )－2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2

＝a n －2

2(a n －2)＝1

2， 又∵b 1＝1

a 1－2

＝1

2，

∴数列{b n }是首项为12，公差为1

2的等差数列． (2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝1

2n ， ∵b n ＝1

a n －2

，∴a n ＝1b n ＋2＝2

n ＋2.