高中平面解析几何习题(含答案与解析)
平面解析几何式卷七
一、选择题
1、从点P(m, 3)向圆(x + 2)2 + (y + 2)2 = 1引切线, 则一条切线长的最小值为
A．B．5 C．D．
2、若曲线x2－y2 = a2与(x－1)2 + y2 = 1恰有三个不同的公共点, 则a的值为
A．－1 B．0 C．1 D．不存在
3、曲线有一条准线的方程是x = 9, 则a的值为
A． B． C．D．
4、参数方程所表示的曲线是
A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分
*
C．抛物线的一部分, 且过点D．抛物线的一部分, 且过点
5、过点(2, 3)作直线l, 使l与双曲线恰有一个公共点, 这样的直线l共有
A．一条 B．二条 C．三条D．四条
6、定义离心率为的椭圆为“优美椭圆”, 设(a > b > 0)为“优美椭圆”, F、A分别是它的左焦点和右顶点, B是它的短轴的一个端点, 则DABF为
A．60° B．75° C．90° D．120°
7、在圆x2 + y2 = 5x内, 过点有n条弦的长度成等差数列, 最小弦长为数列的首项a, 最大弦长为a n, 若公差, 则n的取值集合为
A．B．C．D．
8、直线与圆x2 + y2 = 1在第一象限内有两个不同的交点, 则m的取值范围是
A．1 < m < 2 B．C．D．
二、填空题
*
1若直线过点（1,2），（3,24+），则此直线的倾斜角是
2、已知直线l 的斜率[]
3,1-∈k ，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 。 3、设直线过点()a ,0，其斜率为1，且与圆22
2
=+y x 相切，则a 的值为 。
4、若过点A （4,0）的直线l 与曲线()122
2
=+-y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 。
5、“1=a ”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的 条件。（在① 充分不必要；② 必要不充分；③ 充要；④ 既不充分也不必要中选一个填空）
6、 已知圆M 经过直线l ：042=-+y x 与圆C ：
01422
2=+-++y x y x 的两个交点，并且有最小面积，则圆M 的方程为 。 7、 在坐标平面内，与点A （1,2）距离为1，且与点B （3,1）距离为2的直线共有 条。
8、 如果点()a ，5在两条平行直线05430186=+-=+-y x y x 和之间，且a 为整数，则=a 4
1log 。
三、解答题
1、求经过点)2,1(A 且到原点的距离等于1的直线方程.
—
2、已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为2
1
的点的轨迹，则求此曲线的方程.
3、求垂直于直线0743=--y x ，且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程
4、．自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程.
#
5、已知三点A(1，-1)，B(4，2m)，C(2m ，0)共线，求m 的值.
6、已知直线(a+2)x+(a 2-2a-3)y-2a=0在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距.
7、.求经过点A(-3,4)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程.
8、求经过两点A(-1,4)、B(3，2)且圆心在y 轴上的圆的方程.
《
参考答案
选择1、A 2、B3、D 4、D5、D6、C7、A 8、A
填空1、6π2、????
????????πππ,433,0 。3、 2± 4、1- 5、③ 6、54514532
2=??? ??-+??? ?
?
-y x 7、2 8、 ???
??
?-3333， 解答题1、解：（1）当过点)2,1(A 的直线与x 轴垂直时，则点)2,1(A 到原点的距离为1，所以1=x 为所求直线方程.（2）当过点)2,1(A 且与x 轴不垂直时，可设所求直线方程为)1(2-=-x k y ，即：02=+--k y kx ，由题意有
11
|2|2
=++-k k ，
解得43=
k ，故所求的直线方程为)1(4
3
2-=-x y ，即0543=+-y x .综上，所求直线方程为1=x 或0543=+-y x .2. 解：在给定的坐标系里，设点(,)M x y 是曲线上的任意一点，则}.2
1
|||||
{==AM OM M P 由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为21)3(222
2=+-+y x y x 两边平方，得41)3(2222=+-+y x y x ，化简整理有：22
230x y x ++-=，化为标准形式：22(1)4x y ++=，所以，所求曲线是以C （－1，0）为圆心，2为半径的圆.3、解：由所求直线能与坐标轴围成三角形，
则所求直线在坐标轴上的截距不为0，故可设该直线在x 轴、y 轴上的截距分别为b a ,，又该直线垂直于直线
0743=--y x ，且与两坐标轴构成周长为10的三角形，故????
?=+++=10
||||3422b a b a a b ， 解得：52103a b ?=????=??或52
103a b ?=-????=-??
，所以所求直线方程为0103y 4x =-+或0103y 4x =++.4、如图3,已知圆的标准方程是：
(x-2)2+(y-2)2=1，它关于x 轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L 所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k 待定），由题设知对称圆的圆心C ′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d=
2
1k +=1.整理得：12k 2+25k+12=0，解得k= -34
或
k= -4
3
.故所求直线方程是y-3= -43
(x+3)，或y-3= -43
(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0. 5.解：∵A 、B 、C 三点共线， ∴直线
AC 、BC 的斜率相等.∴ . 解之得m=±1. 6.解：∵直线在x 轴上的截距是3， ∴直线过(3，0)点.把x ＝3,y ＝0代入直线方
程得3(a ＋2)-2a ＝0，解得a ＝-6.∴直线的方程为-4x ＋45y ＋12＝0.令x ＝0，得y ＝-=-，∴直线在y 轴上的截距为-. 7.解：设
直线在x 、y 轴上的截距分别为a 和-a(a≠0)，则直线l 的方程为.∵直线过点A(-3，4)，∴. 解得a ＝-7.此时直线l 的方
程为x-y ＋7＝0.当a ＝0时，直线过原点，设直线方程为y ＝kx ，过点A(-3,4)，此时直线l 的方程为y ＝-x.∴直线l 的方程为x-y ＋7＝0
或y ＝-x .8.解：设圆心坐标为(0,m)，半径为r ，则圆的方程为x 2+(y-m)2＝r 2.∵圆经过两点A(-1,4)、B(3，2)，∴ 解
得m ＝1,r ＝.∴圆的方程为x 2+(y-1)2＝10.
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
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第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则
????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合． 平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ． 高三数学《平面解析几何》 单元练习七 （考试时间120分 分值160分） 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上) 1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______． 2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________. 3．已知双曲线x 24－y 2 12＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则 p 的值为________． 4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2 b 的最小值为______． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________． 6．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________． 7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 8．已知点A 、B 是双曲线 x 2－ y 2 2 ＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA · OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________． 9．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 2 3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0) 相切，则r ＝________. 10．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2 b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ?＝________. 11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝________. 12．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则 (x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 13．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2 －4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若 AF FB =，,AF FB BA BC =?＝48，则抛物线的方程为______________． 高中平面解析几何全一册 第二章圆锥曲线 第二单元圆 一、教法建议 【抛砖引玉】 本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。 在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质，在这里我们根据圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，建立了圆的标准方程：(x－a)2 + (y－b)2 = r2，它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程，又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质，由圆的标准方程研究了圆的切线方程，并由圆的标准方程解决了一些实际问题。 由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程，我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系，得到了圆的一般方程，最后又研究了用待定系数法求圆的方程。 【指点迷津】 这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程，要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程，并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。对于圆的一般方程，要求学生掌握它的特点，会用配方法把一般方程化为标准方程。 由于圆是平面几何中重点学习的图形，学习了圆的很多性质，特别是和圆有关的直线和线段（直线的一部分）的性质，如圆的切线，割线，弦等的性质在这一单元都会用到，教师可概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。 圆的切线也是这个单元的重要内容，它主要研究了过圆上一点的圆的切线，过圆外一点的圆的切线，已知斜率的圆的切线，要求学生掌握求各种条件下切线的方法，在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西，适当记忆，加快解题速度，特别是解选择题和填空题，如： 过圆x2 + y2 = r2上一点(x1，y1)的切线方程是x1x + y1y = r2 过圆(x－a)2 + (y－b)2 = r2上一点(x1、y1)的切线方程是(x1－a)(x－a) + (y1－b)(y －b) = r2 圆x2 + y2 = r2的斜率为k的切线的方程是y kx r k 12 =±+ 对于圆的一般方程应要求学生明确掌握，二元二次方程的一般形式 A x2 + B xy + C y2 + D x + D y + F = 0必须满足如下三个条件： (1)x2和y2项的系数相同，且不等于零，即A＝C≠0 (2)不含xy项，即B = 0 平面解析几何（附高考预测） 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1．直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1 212x x y y K AB --= 。 (2) .直线的方程 a.点斜式：)(11x x k y y -=-； b.斜截式：b kx y +=； c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+b y a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系 两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有 且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。 若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则 1l ∥2l ?1k ＝2k ，1l ⊥2l ?1k ·2k ＝－１。 （4）点、直线之间的距离 点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d= 2200||B A C By Ax +++。 两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（ 2. 圆 （1）圆方程的三种形式 标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中?? ? ??--22E D ，为圆心F E D 42 122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一 个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程． 参数式：以原点为圆心、 r 为半径的圆的参数方程是???==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）． 直线和圆的方程 一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系 （1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-， 当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的 区别. 6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 （2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1， B 2都不为零时，有以下结论： ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++； （2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 （1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径； （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42 2-+＞0），圆心坐标 为（-2D ，-2 E ），半径为r =2422 F E D -+. 平面解析几何精粹 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝1 2(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.1 2 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y ′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则 ????? x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1 ，解之得? ???? x ＝2 y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1 kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 平面解析几何 一．直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式： )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112 =-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111: l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121 ,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111 =++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121 //C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 高三数学二轮专题复习教案――平面解析几何 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1．直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1 21 2x x y y K AB --=。 (2) .直线的方程 a.点斜式：)(11x x k y y -=-； b.斜截式：b kx y +=； c.两点式： 1 21121x x x x y y y y --= --； d.截距式：1=+b y a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系 两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。 若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则 1l ∥2l ?1k ＝2k ，1l ⊥2l ?1k ·2k ＝－１。 （4）点、直线之间的距离 点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d= 2 2 00| |B A C By Ax +++。 两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（ 2. 圆 （1）圆方程的三种形式 标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中??? ??-- 22 E D ，为圆心 F E D 42122-+为半径， ，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程． 参数式：以原点为圆心、r 为半径的圆的参数方程是?? ?==θθsin , cos r y r x （其中θ为参数）． 以（a ，b ）为圆心、r 为半径的圆的参数方程为???+=+=θ θsin , cos r b y r a x （θ为参数），θ的几何意义是：以 垂直于y 轴的直线与圆的右交点A 与圆心C 的连线为始边、以C 与动点P 的连线为终边的旋转角，如图所示． 三种形式的方程可以相互转化，其流程图为： 2．二元二次方程是圆方程的充要条件 “A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件． 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且0422>-+AF E D ” ，它可根据圆的一般方程推导而得． 3．参数方程与普通方程 我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义． 要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来， 3.圆锥曲线 (1).椭圆的标准方程及其性质 专题05 平面解析几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与 C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??． 在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? =，解得3n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为 22 132 x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=? ， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去 2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得 2 n = ．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 2231x y p p + =的一个焦 点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 【答案】D 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2 p 是椭圆 2231x y p p +=的一个焦点，所以2 3()2 p p p -=，解得8p =，故选D ． 【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为 坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222 x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为 A B C ．2 D 【最新】数学复习题《平面解析几何》专题解析 一、选择题 1．已知曲线()22 22:100x y C a b a b -=＞，＞的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，MO OP =u u u u v u u u v ，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若 122PF PF =，且2120MF N ∠=?则双曲线C 的离心率为（ ） A ． 23 B ．7 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224208c a a =+，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】 由题意，122PF PF =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -= ，可得 124,2PF a PF a == ， 由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=?，可得12120F PF ∠=?， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-???? ， 即有2224208c a a =+，即227c a =，可得7c a =，即7c e a = =. 【点睛】 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a = ； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 平面解析几何——圆的方程 圆的定义与方程 【知识拓展】 1．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2 平面解析几何专题 1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离 心率c e a = =故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ． 1 sin50? D ． 1 cos50? 【答案】D 【解析】由已知可得tan130,tan 50b b a a - =?∴=?， 1cos50c e a ∴======?， 故选D ． 【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a == 对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a == 3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??． 在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ，解得2 n =． 2 2 2 24,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得 223611n n += ，解得n = ．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地 2013年全国各地高考文科数学试题分类 平面解析几何及详解答案 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））设P是圆22 -++=上的动点,Q是直线 x y (3)(1)4 x=-上的动点,则PQ的最小值为（）3 A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 2 ．（2013年高考江西卷（文））如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的 圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为 【答案】B 3 ．（2013年高考天津卷（文））已知过点P(2,2) 的直线与圆225 -相 += x y (1) 切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = （ ） A ．12 - B ．1 C ．2 D ．12 【答案】C 4 ．（2013年高考陕西卷（文））已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 （ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 【答案】B 5 ．（2013年高考广东卷（文））垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一 象限的直线方程是 （ ） A ．20x y +-= B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．20x y ++= 【答案】A 二、填空题 6 ．（2013年高考湖北卷（文））已知圆 O : 225 x y +=,直线 l :cos sin 1x y θθ+=(π 02 θ<<).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则 k =________. 【答案】4 7 ．（2013年高考四川卷（文））在平面直角坐标系内,到点 (1,2)A ,(1,5)B ,(3,6)C ,(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 8 ．（2013年高考江西卷（文））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1相切,则圆C 的方程是_________. 【答案】22325 (2)()2 4 x y -++=高中平面解析几何知识点总结
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