第10章量子力学基础

第十章 量子力学基础

思 考 题

10-1 什么是绝对黑体？它与平常所说的黑色物体有何区别？

答：(1)在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光，这种物体称为绝对黑体，简称黑体。但黑体自身要向外界辐射能量，黑体并不一定是黑色，它的颜色是由它自身所发射的辐射频率决定的。若温度较低，则它辐射的能量就很少，辐射的峰值波长会远大于可见光波长，会呈现黑色；若温度较高，则它辐射的能量就很大，辐射的峰值波长处于可见光波长范围内，会呈现各种颜色。

(2)平常所说的黑色的物体，用肉眼看起来是黑色的，只表明它对可见光强烈吸收，并不能说它对不可见光（红外线、紫外线）都强烈吸收，所以黑色物体的单色吸收本领并不恒等于1，一般不能称为黑体。

10-2 若一个物体的温度(绝对温度数值)增加一倍，它的总辐射能增加到多少倍? 答：根据斯特藩－玻耳兹曼定律，绝对黑体的总辐出度(总辐射能)为

()()40

d T T M T M B B σλλ==?∞

现在，212=T ，于是

1624

4

1212==???

? ??=T T M M 即绝对黑体的温度增加一倍，它的总辐射能将增至为原来的16倍。

10-3 假设人体的热辐射是黑体辐射，请用维恩位移定律估算人体的电磁辐射中单色辐出度的最大波长（设人体的温度为310K ）。

答：根据维恩位移定律

m T b λ=

可得

(m)1035.9310

10898.263

--?=?==T b m λ

10-4 所有物体都能发射电磁辐射，为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？ 答：物体要能够被眼睛观察到，必须需要两个条件：（1）物体要发射或者反射出眼睛能感觉到的可见光，其波长范围大约为0.40～0.78μm ；（2）可见光的能量要达到一定的阈值。根据黑体辐射，任何物体在一定温度下都发射出各种波长的电磁辐射，在不同温度下单色辐出度的峰值波长不同。黑暗中周围物体的温度等于环境温度（近似为人体温度），单色辐出度的峰值波长在10μm 附近，在可见光波长范围的电磁辐射能量都比较低，因此不能引起眼睛的视觉响应。

10-5 请用一些日常生活中所见到的例子说明在物体热辐射的各种波长中单色辐出度最大的波长随物体温度的升高而减小。

答：火焰外焰温度高，内焰相对温度低；观察火焰，发现内焰颜色偏红，外焰颜色偏蓝（红光波长大于蓝光波长），可见单色辐出度的峰值波长随物体温度的升高而减小。

10-6 普朗克提出了能量量子化的概念，在经典物理学范围内有没有量子化的物理量？请举出例子。

答：在经典物理学范围内有量子化的物理量，比如说电荷的量子化。

10-7 什么是爱因斯坦的光量子假说，光子的能量和动量与什么因素有关？

答：爱因斯坦认为，一束光是一束以光速运动的粒子流。这些粒子称为光量子，后来简称光子。不同颜色的光的光子能量不同，若光的频率为ν，一个光子具有的能量为E h ν=，光子的动量为p h /λ=，可见光子的能量和动量都与它的频率或者波长有关。

10-8 光子与其他微观粒子有什么相似和不同？

答：(1)相同点：光子与其他微观粒子（电子、质子、中子等）都具有波粒二象性，都可以用E 、p 、ν和λ等物理量描述；他们都遵守能量守恒与动量守恒定律。

（2）不同点：光子的静止质量为0且呈电中性，而其他微观粒子（如电子）静止质量不为0且有可能带电；光子与其他微观粒子的自旋也不同，服从不同的统计规律。

10-9 “光的强度越大，光子的能量就越大”。这句话对吗？

答：不对,光的强度是单位时间内照射在单位面积上的光的总能量。一定频率的光强度越大，表明光子数量越多，但每个光子的能量是一定的，只与频率有关，而与光子数量无关。

10-10 已知一些材料的逸出功如下：钽4.12 eV ，钨4.50eV ，铝4.20 eV ，钡2.50 eV ，锂2.30 eV 。试问：如果制造在可见光下工作的光电管，应取哪种材料?

答：可见光的波长范围(按能量从低到高排列)可取为(760～400)nm ，对应的光子能量由λνc h h =可知在(1.64～3.11)eV 范围内。根据爱因斯坦光电效应方程，在可见光下能发生光电效应的材料应满足：A h -ν≥0。所以，应取钡和锂。

10-11 日常生活中，为什么觉察不到粒子的波动性和电磁辐射的粒子性？

答：根据德布罗意假设，粒子的动量大，相应的波长就小。日常生活中的粒子动量很大，波长很短，故粒子的波动性不明显。日常生活中的电磁辐射的波长相对较长（频率为M 100数量级，波长为m 1左右），容易绕过障碍物，所以电磁辐射的粒子性很难觉察到。

10-12 一个电子和一个原子具有相同的动能，相应的德布罗意波长哪个大？ 答：电子和原子的动能均为

m

p m E k 22122

==υ

又因为

λ

h

p =

所以

2

2

2λm h E k =

由于原子的质量大于电子的质量，根据上式可知原子的德布罗意波长小于电子的德布罗意波长。

10-13 说明物质波与机械波和电磁波的区别。 答：物质波与机械波和电磁波都有本质的区别。

（1）机械波是机械振动在弹性介质中的传播形成的；电磁波表示电场强度E 和磁场强度H 的周期性变化在空间的传播过程；而物质波（又称德布罗意波）是对实物粒子的统计描述，其振幅的平方只表示粒子出现的概率，是概率波。

（2）机械波)π2(cos x t A y λω-=和电磁波)π2(cos 0x t E E λω-=，当其对应的振幅A 和0E 分别增大为A 2和02E 时，相应的波的能量和强度都增大为原来的4倍；而物质波的波函数乘以任意一个常数后，并不改变粒子的运动状态。所以，对于波函数而言，有意义的是相对概率分布，从相对概率分布角度来说，)(x ψ与)(x c ψ是等价的。

10-14 在经典力学中用粒子的位置和速度来描述粒子的运动状态。在量子力学中，

粒子的运动状态是如何描述的？

答：量子力学指出，微观粒子的运动状态用波函数来描述。一般来说，波函数ψ是空间和时间的函数，即),,,(t z y x ψψ=。在量子力学中，用薛定谔方程来描述势场中的粒子状态（波函数）随时间变化的规律。

10-15 在一维无限深势阱中，如果减小势阱的宽度，其能级将如何变化？如果增大势阱的宽度，其能级又将如何变化？

答：一维无限深的方势阱中粒子可能的能量为

2

2

2

8n h E n ma =

式中a 为势阱宽度。由此可见，能级的能量n E 与2a 成反比关系，如果减小势阱的宽度，每个能级的能量将增大，能级间隔增大；如果增大势阱的宽度，每个能级的能量将减小，能级间隔减小。

练 习 题

10-1 宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景热辐射相当于3 K 辐射，求：(1)此辐射的单色辐射本领在什么波长下有极大值? (2)地球表面接收此辐射的功率有多大?(设地球半径为6106?m)

解：(1)由维恩位移定律得

(m)106693

10898243

m --?=?==..T b λ

(2)根据斯特藩－玻耳兹曼定律

()4T T M B σ=

设地球表面接收此辐射的功率为P ，地球的表面积为S ，则有

()2

44E B R T S T M P πσ==

代入数据，解得

()

92

6

48100821061434310675?=??????=-...P （W ）

10-2 白炽灯工作时的温度为2 400 K ，灯丝可看作黑体，如果灯的功率为100 W ，则灯丝的表面积多大?

解：根据斯特藩一玻耳兹曼定律

()4T T M B σ= 则灯的功率为

()S T M P B = 其中，S 为灯丝的表面积。于是 ()

()

5

48

41035240010675100--?=??==

=..T P T M P S B σ（m 2）

10-3太阳辐射到地球大气层外表面单位面积的辐射通量0I 称为太阳常量，实验测

得20m kW 3.1-?=I 。把太阳近似当作黑体，试由太阳常量估算太阳的表面温度(已知太阳半径为m 10078?.，日地距离为m 105111?.)。

解：根据能量守恒，有

1102M S I S ?=?

其中，21,S S 分别为太阳表面积、以地球和太阳距离为半径的球面积。

220211π4π4r I r M ?=? (1) 其中,21,r r 分别为太阳半径、地球和太阳距离：m 100.781?=r ，m 105.1112?=r 。又根据斯特藩－玻尔兹曼定律

4M T σ= (2) 其中， 810670.5-?=σ42K m W --?? 由式（1）和式（2）可得

4

/12

1

2

20???

? ??=r r I T σ

代入数据可得太阳的表面温度为

)K (107.5)100.7(10670.5)105.1(103.134

/128821134

/12

1

220?=???

? ????????=???

? ??=-r r I T σ

10-4 单位时间内太阳发射到地球上每单位面积的辐射能量为0.14 J ·cm -2·s -1，假 定太阳辐射的平均波长为550nm ，问这相当于每秒钟向地球表面每平方厘米上发射多少个光子?

解：一个光子的能量为

λ

νεc

h h ==

能量为E ＝0.14J 的能量辐射包含的光子数为

17

8

3491087310

0031063610550140?=?????===--....hc E E

n λε个

10-5 在理想条件下，如果正常人的眼睛接收550nm 的可见光，此时只要每秒有100个光子数就会产生光的感觉。试问与此相当的光功率是多少？

解：每个光子能量为νh ，其中h 为普朗克常量（3410626.6-?=h S J ?），则100个波长为550nm 的光子的光功率为

(W)1061.31

1055010310626.6100179

8

34---?=??????====t nhc t nh t E P λν

10-6（1）广播天线以频率1MHz 、功率1kW 发射无线电波，试求它每秒发射的光子数；（2）利用太阳常量20m kW 3.1-?=I ，计算每秒人眼接收到的来自太阳的光子数。假设人的瞳孔面积约为26m 103-?，光波波长约为550nm 。

解：（1）每个光子能量为h ν ，由t

nh t E P ν

==（其中P 、νnh E =分别为辐射功

率和辐射能量）可得广播天线每秒发射的光子数为

306

3431051110

11062661101?=?????==-..h Pt n ν （2） 每秒人眼接收到的来自太阳的光子数为

168

34963001008.110

310626.610550103103.1?=????????===---hc S I h S I n λν

10-7 从钠中脱出一个电子至少需要2.30eV 的能量，若用波长为430nm 的光投射到钠的表面上，试求：(1)钠的截止频率0ν及其相应的波长0λ；(2)出射光电子的最大动能max k E 和最小动能min k E ；(3)截止电压0U 。

解：（1）由光电效应方程

A m h +=22

1

υν

令电子的初动能02

1

2=υm ，得钠的截止频率

(Hz)1055.510

626.61060.130.214

34

190?=???==--h A ν 钠相应的波长为

(m)1041.510

55.51037

14

800-?=??==νλc

（2）当光子能量νh 完全被光电子吸收，并在逸出过程中未因碰撞而损失能量时，该电子克服逸出功而逸出金属后将具有最大动能，即

(J)1043.91060.130.210

43010310

626.620199834

max ----?=??-????=-=A h E k ν 如果在光电子逸出金属的过程中部分能量因碰撞而损失后，使光电子刚好能克服逸出功而逸出金属，这些光电子将具有最小动能，即

0min =k E

（3）光电效应的截止电压为

截止电压 (V)589.010

60.11043.91920

max 0=??==--e E U k

10-8 一束带电量与电子电量相同的粒子经 206V 电压加速后，测得其德布罗意波

长为0.002nm ，试求粒子的质量（已知电子电量为1910601-?.C ）。

解：经过电压U 加速后,带电粒子的动能为

eU m =22

1

υ (1) 其中e 为电子电量。又根据德布罗意公式

λ

υh

m p == (2)

由式（1）和式（2）可得电子质量为

2

2

2λeU h m = （3）

将已知数据代入式（3），得

(kg)1067.1)

10002.0(2061060.12)10626.6(227

2

91923422----?=??????==λeU h m

10-9 热中子平均动能为（3/2）kT ，试问当温度为 300 K 时，一个热中子的动能

为多大？相应的德布罗意波长是多少?(已知热中子的质量为2710671-?.kg )

解：（1）微观粒子的平均平动动能为3

2

kT ε=，其中k 为玻耳兹曼常数，则

232133

1.3810300 6.2110(J)22

kT ε--==???=?

（2） 根据

υm p = 和

22

1

υεm =

由上两式可得

m p ε2=

代入h

p λ

=

，可得德布罗意波长为

(m)104611067110216210626621027

2134

----?=?????=

=

....m

h ελ

10-10 设电子和光子的波长均为 0.50 nm ，试求两者的动量及动能之比。(已知电子的质量为311019-?.kg )

解：（1）根据

h p λ=

对于电子1

1λh

p =

，对于光子2

2λh

p =

。所以，电子和光子的动量之比为

12

21

1p p λλ== （2）电子的动能为

e

m p m E 221212

1=

=υ 光子的动能为

c p mc E 222==

由上两式可得电子和光子的动能之比为

3

9

8313422

121104.210

50.0103101.9210626.6222----?=???????====λc m h c m p c p m p E E e e e

10-11 物理光学的一个基本结论是:在被观测物小于所用照射光波长的情况下，任

何光学仪器都不能把物体的细节分辨出来,这对电子显微镜中的电子德布罗意波同样适用。因此，若要研究线度为0.020μm 的病毒，用光学显微镜是不可能的。然而，电子的德布罗意波长约比病毒的线度小1000倍，用电子显微镜可以形成非常好的病毒的像，问这时电子所需要的加速电压是多少？(已知电子电量为191061-?.C ，电子质量为311019-?. kg 。)

解：经过电压U 加速后,带电粒子的动能为

eU m =22

1

υ 又根据德布罗意公式

λ

υh

m p ==

解得

2

2

2λem h U =

又因为电子波长为1000/10020.06-?=λ（m ），将已知数据代入可得

(V)108.3)1010020.0(101.91060.12)10626.6(23

2

63311923422?=????????==-----λem h U

10-12 设粒子在x 轴运动时，速率的不确定量为1Δ=υcm ·s －1。试估算下列情况下

坐标的不确定量?x ：(1)质量为311019-?.kg 的电子；(2)质量为10-13kg 的布朗粒子；(3)质量为10-4kg 的小弹丸。

解：由不确定关系可得

υ

ΔΔΔ?=

=

m h

p h x x （1）电子的坐标不确定量为

(m)103.710

1101.910626.6ΔΔ2

2

313411----?=????=?=υm h x （2）质量为1310kg -的布朗粒子的坐标不确定量为

(m)106.61011010626.6ΔΔ19

2

133422----?=???=?=υm h x （3）质量为kg 104-的小弹丸的坐标不确定量为

(m)106.610

11010626.6ΔΔ282

434

33----?=???=?=υm h x

10-13 作一维运动的电子，其动量不确定量125s m kg 10Δ--??=x p ，能将这个电子约束在内的最小容器的大概尺寸是多少?

解：根据不确定关系h x p x ≥??，设能约束住电子的最小容器的大概尺寸为min x ，则

349min

256.62610 6.62610(m)10

x h x p ---?===??

10-14 若不确定关系为()π4ΔΔ/h p x ≥，氦氖激光器所发出的红光波长为

λ=632.8nm ，谱线宽度?λ=10--9nm 。试求光子沿运动方向的位置不确定量(即波列长度)。

解：光子具有二象性，所以也应满足不确定关系，由于λh p /=，则

λ

λ

λλ

ΔΔΔ2

p

h

p =-

=

根据不确定关系式π

4ΔΔh

p x ≥

，可得 (m)1019.310

1014.34)108.632(πΔ4Δπ4πΔ4Δ49

92

92?=????===≥---λλλλp h p h x

10-15 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为

a

x

n a n πsin

2=

ψ 试求粒子处于下述状态时在x =0和x =a /3之间找到粒子的概率：(1)粒子处于基态；(2)

粒子处于n =2的状态。

解： 粒子的概率密度正比于波函数模的平方，即

a

x n a x πsin 2)(22

=ψ

在0x =和/3x a =之间找到粒子的概率为

x a

x n a x x P a a d πsin 2d )(2303

02??==ψ

可解得

3π2sin π2131π2sin π

21d )π2cos 1(13030n n a x n n a x x a x n a P a

a

-=??????-=-=? （1） 当n ＝1时，粒子处于基态的概率为

19.0π

43

313π2sin π2131=-=-=

P （2） 当n ＝2时，粒子处于该态的概率为

40.0π

83313π4sin π4131=+=-=

P

10-16 设粒子的波函数为222

1

e )(x a A x -=ψ，a 为常数，求归一化常数A 。

解：由归一化条件

1d )(2

=?+∞

∞

-x x ψ

可知，将本题中的粒子波函数代入归一化条件，可得

1d e 2

22=?

+∞∞

--x A x a

利用积分公式

2

10

2πd e 2

a

x ax =

?

∞

-

解得

12π

22

=a

A 即归一化常数为

21

π???

? ??=a A

10-17 一维运动的粒子处于如下波函数所描述的状态:

)

0()

0(,0,)(<≥??

?=-x x Axe x x λψ 式中λ>0。(1)计算波函数)(x ψ中的归一化常数A ；(2)求粒子的概率分布函数；(3)在何处发现粒子的概率最大?

解：（1）已知归一化条件

1d )(2

=?

+∞

∞

-x x ψ

把波函数代入归一化条件，得

14d e

d e

d 032

220

2220

20

2

===+-∞

+-∞

+∞

-?

?

?λ

λλA x x A x x A x x

x

解得

2A =（2） 粒子的概率分布函数为

2222

(2(0)

()0

(0)x

x e x x x λψ-?≥?=?

=x

x ψ时出现极值，按此条件将概率分布函数求导数，并令其为

零，可得

0)e 2e 2(42223=---x x x x λλλλ

由此解得当0x =，1

x λ

=

和x →∞时，函数2

()x ψ有极值。

又由二阶导数0]

d )(d [

1

2

2

2<=

λ

ψx x x 可知，在1

x λ

=

处，函数2

()x ψ有最大值，即粒子

在该处出现的概率最大。

10-18 计算氢原子光谱中巴耳末系、莱曼系和帕邢系的最短和最长波长。 解：氢原子光谱规律为

)11(122i

f n n R λ-= 式中，=f n 1，2，3，…；1+=f i n n ，2+f n ，…；17m 10097.1-?=R .

（1） 莱曼系的谱线满足

)1

11(122i

n R λ-=，=i n 2，3，4，… 令2=i n ，得该谱系中最长的波长为

nm 5.121max =λ

令→i n ∞，得该谱系中最短的波长为

nm 16.91min =λ

（2） 巴耳末系的谱线满足

)1

21(122i

n R λ-=，=i n 3，4，5，… 同理可得，nm 3.656max =λ，nm 6.364min =λ

（3） 帕邢系的谱线满足

)1

31(122i

n R λ-=，=i n 4，5，6，… 同理可得，μm 875.1max =λ，μm 8204

.0min =λ

10-19在基态氢原子被外来单色光激发后发出的巴耳末系中仅观察到两条光谱线。试计算这两条光谱线的波长及外来激发光的频率。

解：在氢原子光谱中，仅观察到两条巴耳末系谱线，说明氢原子吸收光子后达到的最高能级是4=n 的能级，在它回到基态的过程中，从4=n 向2=n 的能级跃迁和从3=n 向2=n 的能级跃迁形成两条巴耳末系谱线。

（1） 由于巴耳末系的谱线满足

)121(122n

R -=λ

则当3=n 时

)m (10563.6)

9

1

41(10097.11

)3

121(

17722-?=-??=

-=

R λ

当4=n 时

)m (10862.4)

16

1

41(10097.11

)4121(

1772

2-?=-??=

-=

R λ

（2） 外来激发光的频率为

)Hz (10079.310626.61060.1)6.13(16151615415

34

19112114?=???-?-=-=-=-=--h E h E E h E E ν