⑵ 若线性方程组???????=+-=+=+-=+4
143432
32121a x x a x x a x x a x x 有解，则常数4321,,,a a a a 应满足的条件是
04321=+++a a a a 。
⑶ 设三阶矩阵???
?
? ??-=403212221A ，三维列向量T a )1,1,(=α，已知αA 与α线性相
关，
则=a 1- 。
⑷ 若),,0(2k k =β能由)1,1,1(),1,1,1(),1,1,1(321k k k +=+=+=ααα唯一线性表示，则
k 满足条件 0≠k 且3-≠k 。
⑸ 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为1-n ，则线性方程组0
=Ax 的通解为 。
⑹ 由向量组T T T T )3,2,6,2(,)7,1,1,5(,)4,1,1,2(,)1,1,3,1(4321-=-=--=-=αααα生成的向量空间的维数为 。
⒊ 计算题
⑴ λ取何值时，方程组???
??=++=-+=++λ
λλλλ321
3213211
x x x x x x x x x 有唯一解，无解或有无穷多解？在有无
穷多解时求解。
解：对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得
[]1321
313222
221111111111111111110110011001110
01r r r r r r r r B A b λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ?--+????????==-???→-????
????????????
???????→---???→---???
?????------????
所以 当0,1λ≠±时，()()3R A R B ==线性方程组有唯一解。
当0λ=时，()23()R A R B =<=线性方程组无解。 当1λ=±时，()()23R A R B ==<线性方程组有无穷多解。
若
1
λ=，
[]111111010020001000200000r r
B A b ????
????=??→-??→????
????-????
，解为
12131110;00x x c x -??????
??????=+??????????????????
若1λ=，[]111110110200010000000000r r
B A b ----????
????=??→-??→???????????? ， 解为1223110010x x c x -??????
??????=+??????????????????
。
⑵ 已知321,,ααα线性无关，若13322123,2,2αααααα+++a 线性相关，求a 的值。
解：由题意知存在不全为0的321,,k k k ，使得
0)23()2()2(133322211=+++++ααααααk a k k ，整理得 0)3()22()2(332221131=+++++αααk ak k k k k
因为321,,ααα线性无关，从而有齐次线性方程组???
??=+=+=+0
30220
232
2131k ak k k k k
由321,,k k k 不全为0知方程组有非零解，则系数行列式必为02
3
-
=?a ⑶ 设向量t ααα,,,21 是齐次方程组0=Ax 的一个基础解系，向量β不是方程组
0=Ax 的解，即0≠βA 。试证明：向量组t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关。
解： 设有一组数t k k k ,,,1 ，使得
0)()(11=+++++t t k k k αβαββ
整理该式得0)(111=++++++t t t k k k k k ααβ ① 用A 左乘上式两边，注意0=i A α，故有0)(1=+++βA k k k t 因为0≠βA ?01=+++t k k k ②
将②代回①式，得到011=++t t k k αα ，因为t αα,,1 线性无关，故必有
01===t k k ，再由②式，可得01====t k k k
⑷ 已知向量组T T T b a )0,1,(,)1,2,(,)1,1,0(321==-=βββ与向量组T )3,2,1(1-=α，
,)1,0,3(2T =α
T )7,6,9(3-=α具有相同的秩，且3β可由321,,ααα线性表示，求b a ,的值。
解：对矩阵()321,,ααα做初等行变换
???
?
? ??→????? ??--000210931713602931，所以()2,,321=αααR ，且21,αα是一个极大无关组 又因为()=321,,βββR ()321,,αααR ，所以 b a b
a 300
11121
=?=-
另一方面，
3β可由321,,ααα线性表示，所以3β可由21,αα线性表示，即
500
1310231=?=-b b
⑸ 设4元齐次线性方程组（Ⅰ）为???=-=+00
42
21x x x x ，又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）
的通解为T T k k )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+。求：①方程组（Ⅰ）的基础解系；②方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有则求出所有的非零公共解。
①Ⅰ的系数矩阵为???
?
??-=10100011A ，2)(=A R
故Ⅰ的基础解系含有224=-个解向量，可取为)0,1,0,0(和)1,0,1,1(- ②Ⅱ的通解为2421321221,2,2,k x k k x k k x k x =+=+=-=，代入Ⅰ可得
??
?=-+=++-0
20
2221212k k k k k k 21k k -=? 所以当021≠-=k k 时，Ⅰ与Ⅱ有非零公共解，非零公共解为
)1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(121---=-+k k k
⑹ 设有向量组（Ⅰ）：T T T a )2,1,1(,)3,1,1(,)2,0,1(321+-===ααα
和向量组（Ⅱ）：T T T a a a )4,1,2(,)6,1,2(,)3,2,1(321+=+=+=βββ。
试问：当a 为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价？
当a 为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？ 解：对βα,构成的矩阵做初等行变换，
???
?? ??++++-=46323211211022111
1),,,,,(321321a a a a βββααα
????
? ??-+-+-→11110011211022111
1a a a a 所以，①当1-≠a 时，3),,(321=αααR
另外，064
631122
21
,,321≠=+++=
a a a βββ，所以3),,(321=βββR
故==3),,,,,(321321βββαααR =),,(321αααR ),,(321βββR ，向量组等价
②当1-=a 时，???
?
? ??--→2000211011
11),,,(1321βααα，
所以≠),,(321αααR ),,,(1321βαααR ，即1β不能由321,,ααα线性表示，向量组不等价。
⑺ 设线性方程组???
??=++=++=++0
4020
322
1321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a
的值及所有公共解。 方程组和方程的公共解即下述联力方程组的解
???????-=++=++=++=++1
204020
32132
213
21321a x x x x a x x ax x x x x x
对该方程组的增广矩阵做初等行变换，得到
B a a a
a a a =??
??
?
?
?
??------)2)(1(000110010101101，因方程组有解，故210)2)(1(==?=--a a a a 或 当1=a 时，????
??
?
??=00
0000000010
010
1
B ，因此公共解为????
?
??-101k ，k 为任意常数。 当2=a 时，????
??
?
??--=000011001010
1101B ，因此公共解为?????
??-110。
三、思考与深化
⒈如果β可以被向量r ααα,,,21 线性表出，证明表示法唯一的充分必要条件是
r ααα,,,21 线性无关。
证明：略。
⒉ 研究下图中各个符号所代表的数，使得每一横行、竖行、和对角线上的数字之和都是22。
第一行的符号依次为3 7 4 6 2 。
3. 下面的加法算式中，不同的字母表示不同的数字，相同字母表示相同的数字。请求出具体数字。
S E N D M O R E G O L
D M
O
N
E Y
+=
分析方法，先确定M 的值是1，然后按S+G 的和讨论。 注意S ，G 可以互换，R ，L 可以互换。共28组解。
2896485628561038132813487054739693761
09861
35801
35804237967394781502150616249587458356381
5326
1576216740
6054172097341
7508
++++++=
=
=
++++++=
=
=
++=
线性代数考试题库及答案(五)
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
线性代数习题3答案(高等教育出版社)
习题3 1.11101134032αβγαβαβγ ===-+-设（，，），（，，），（，，），求和 1110111003231112011340015αβαβγ-=-=+-=+-=解：（，，）（，，）（，，） （，，）（，，）（，，）（，，） 1231232.32525131015104111αααααααααα -++=+===-设（）（）（），其中（，，，） （，，，），（，，，），求1231233251 32561 [32513210151054111] 6 1234ααααααααααα-++=+=+-=+--=解：因为（）（）（），所以（）， 所以（，，，）（，，，）（，，，）（，，，） 123412343.12111111111111111111,,,βααααβαααα===--=--=--设有（，，，），（，，，），（，，，）， （，，，），（，，，）试将表示成的线性组合。 123412341234123412341234 1211 5111 ,,,; 4444 5111 4444 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x βαααα+++=??+--=? ?-+-=??--+=?===-=-=+--解：因为线性方程组的解为 所以得： 1234.111112313) t ααα===设讨论下面向量组的线性的相关性 （）（，，），（，，），（，， 111 1235, 1355t t t t =-=≠解：因为所以，当时，向量组线性相关，当时线性无关。 . 323232.5213132321321的线性相关性， ，线性无关，讨论，，设αααααααααααα++++++ . 0)23()32()23(.0)32()32()32(332123211321213313223211=++++++++=++++++++ααααααααααααx x x x x x x x x x x x 整理得：解：设
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+(完整word版)线性代数考试题及答案解析
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …
(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。
线性代数习题及解答
线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩 阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是 （ ）
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
线性代数期末考试试卷答案合集
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
西华大学线性代数习题2-3答案
《线性代数》同步练习题 第2次 行列式（二） 专业： 教学班： 学号： 姓名 ： 1． 计算行列式： (1) 2605232112131412- (2) 711002********* 14 12024124105200 11 7 =- =0 =0 (3) 4 11114111 141 1114= D (4) b a a a a b a a a a b a a a a b = = =189 12 13 (2)r r r r +?-+2141 506230505 6 2 --777714111141111411111411711411114=111103007 003000033333a b a b a b a b a b a a a a b a a a a b ++++=1 111(3)a b a a a b a a b a a a a b =+11110 00(3)00000 b a a b b a b a -=+--3 (3)() b a b a =+-
(5） 8 400730062425131 （6） 111111221144118 8 ---- 123434788 =? = 11111122 0033001010 --=-- 1133 111010 =? -- ＝－120 2. 确定下列行列式中常数项和3 x 项的系数： 1 13 509713221341---x x x x 3x 项的系数：－4，常数项：－276 () f x =43243210 ()f x a x a x a x a x a =++++(x 1)(x 2)x(x 1)---0 (0)f a =01431223 1790 5 3 11 a --= -276 =-432452x x x x =-+-
线性代数复习题及答案
《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件；
线性代数练习题答案三
线性代数练习题答案三 一、温习巩固 ?x1?2x2?x3?x4?0? 1. 求解齐次线性方程组?3x1?6x2?x3?3x4?0 ?5x?10x?x?5x?0 234?1 解：化系数矩阵为行最简式 ?121?1??120-1? ??行变换??A??36?1?3??????0010? ?5101?5??0000????? 因此原方程同解于? ?x1??2x2?x4 令x2?k1,x4?k2，可求得原方程的解为 x3?0? ??2??1?????1???0? x?k1???k2??，其中k1,k2为任意常数。 00?????0??1????? ?4x1?2x2?x3?2 ? 2. 求解非齐次线性方程组?3x1?x2?2x3?10 ?11x?3x?8 12?
解：把增广矩阵化为阶梯形 ?42?12??13?3?8??13-3-8? ??r1?r2??行变换?? ??3?1210??????3?1210??????0-101134? ?113?113?0008?08?0-6??????? 因此R?2?R?3，所以原方程组无解。 3. 设??,??。求向量?，使2??3???。 解：?? 151?? ???3,,0,??33?? 4. 求向量组 ?1?T,?2?T,?3?T,?4?T,?5?T的 秩和一个极大线性无关组。 解：将?1,??5作为列向量构成矩阵，做初等行变换 ?1???1A?? 2??4? 二、练习提高⒈ 判断题 03130?11722140 2??1??1??0???50?? ?6???0 312 312??1
303??0 ???1010?? ?2?4?2???0 100 312? ? 101? ?000? 0?4?4?? 所以向量组的秩为3，?1,?2,?4是一个极大线性无关组。 ⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。⑵ 设A为m?n矩阵，Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b的导出组，则 若Ax?0仅有零解，则Ax?b有唯一解。若Ax?0有非零解，则Ax?b有无穷多解。若Ax?b有无穷多解，则Ax?0有非零解。 ?A ⑶ 设A为n阶矩阵，?是n维列向量，若R???T ? ?A???T?
线性代数期末考试试卷答案
线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
2018线性代数复习题
2017-2018学年第二学期 数学Ⅱ(线数) 期末复习题 一、填空题 1. 排列(762589431)的逆序数为 ； 2．A 是3阶矩阵，E A A T 4=，则 =A . 3．四阶行列式的第一行元素为1,2,0,-4，第三行元素的代数余子式分别为6,x -,19,-8, 则x =______. 4．行列式 2 23 5 101 1110 40 3 --中第4行各元素的代数余子式之和为__________. 5．设A ，B 为n 阶方阵，且E AB =，E A B B A ==--11，则22B A +=___ ___. 6. T T ) 2,0,1(,)2,1,0(=-=βα,7230521006B ?? ?= ? ??? 则 T 2()R B αβ=___ _. 7.设矩阵??? ? ? ??=54332221t A ，若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则数t =__ __． 8.如果向量组的秩为r ，则向量组中任何1+r 个向量 （线性相关或线性无关）. 9.已知向量组T T a a )4,,4(,),1,2(21==αα线性无关，则数a 的取值必满足__ ____. 10．已知向量组T T T a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a ____ __. 11.已知线性方程组1231231 234 232 x x x x x ax x x ax ++=?? +-=??+-=?无解，则数=a ____ __. 12．已知向量T )3,0,1,2(=α，T k ),1,2,1(-=β，α与β的内积为2，则数k =__ __． 13．设向量(3,4)T =-α，则α的长度α=__________． 14. 三阶矩阵A 的三个特征值分别为1，-1，2， 矩阵323B A A =-，则B 的特征值为 ,． 15.设向量()T 1,1,3α=，T (1,1,1)β=-，矩阵T A αβ=，则矩阵A 的非零特征值为 _ __． 16.设123α?? ?= ? ???，22t β?? ? = ? ??? ，且α与β正交，则t =__ __． 二、选择题 1.已知3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a =3，那么33 32 31 23222113 12 11222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．-24 B. -12 C. -6 D. 12
8线性代数练习题(带解题过程)
8线性代数练习题(带解题过程)
０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘
１ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(B)及答案
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………
8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+
线性代数习题集(带答案)
第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1
7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1
线性代数二次型习题及答案
·107· 第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 12?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ???A 与12?? ??? B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使 BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(,,)n D μμ==Q B Q L T 11,,. n μμ=B M BM L 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型211 1 ()m i in n i f a x a x == ++∑L ，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式： 2111 ()m i ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L 设A i = 1(,,,,)i ij in a a a L L ),,1(m i Λ=
线性代数期末考试试题含答案
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
