高三数学复习专题函数的奇偶性

高三数学一轮复习——函数的奇偶性

函数的奇偶性、周期性是函数的重要性质，是高考命题热点之一，在考查时，常与其他性质(如单调性)综合在一起，从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主，一般为容易题，周期性与三角函数结合比较明显，但也常出现在抽象函数中，多为求值问题，以选择题或填空题形式出现． 一、要点精讲

1、函数的奇偶性的定义：

对于函数)(x f 定义域内定义域内任意一个x ，若有__________ ___ _____，则函数)(x f 为奇函数；若有______________ _____，那么函数)(x f 为偶函数. 2、奇偶函数的性质：

⑴ 定义域关于原点对称； ⑵ 偶函数的图象关于y 轴对称； ⑶ 奇函数的图象关于原点对称；

⑷ 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇．

⑸ ()f x 为偶函数()(||)f x f x ?=． ⑹ 若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 3、判断函数奇偶性的途径： ⑴ 依据图象的对称性进行判断． ⑵ 依据常见函数奇偶性的结论进行判断．

⑶ 运用定义法判断函数奇偶性，首先考虑定义域是否关于原点对称，其次看f (－x )是否等于－f (x )或f (x )． ⑷对抽象函数奇偶性的判断，要注意挖掘函数“原形”，采用“赋值”等策略． 4、周期性

(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 f (x ＋T )＝ f (x ) ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x ) 的最小正周期． 二、基本训练

1．下面四个结论中，正确命题的个数是( ）

①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)

A.1

B.2

C.3

D.4

解:①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0〔x ∈(-a,a)〕. 2．下列各函数中是奇函数的是

（A ）()()R x x x f ∈+-=2 （B ）()()()+∞∈-=,032

x x x f

（C ）()()R x x x x f ∈-=3

（D ）()()()+∞∈=,0lg 3

x x x f

3.已知函数()x f 是奇函数，当0>x 时，()()x x x f +=1；当0

4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2011)＝( ) A ．－2

B ．2

C ．－98

D ．98

解：由f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2011)＝f (502×4＋3)＝f (3)＝f (－1)， 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (1)＝2×12＝2，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 5．已知函数y ＝f (x )为奇函数，若f (3)－f (2)＝1，则f (－2)－f (－3)＝________. 解：∵y ＝f (x )为奇函数，∴f (－2)－f (－3)＝－f (2)＋f (3)＝1.

6.已知函数f(x)=ax 2

+bx+c(a ≠0)是偶函数，那么g(x)=ax 3

+bx 2

+cx 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析:由f(x)为偶函数，知b=0，有g(x)=ax 3

+cx(a ≠0)为奇函数.

7、已知()b a bx ax x f +++=32

为偶函数，且定义域为]2,1[a a -，则a = ，b = 。

解析:定义域应关于原点对称，故有a-1=-2a ，得a=3

1

. 要使f(-x)=f(x)恒成立，应b=0. 三、典例解析

考点一：函数奇偶性的判断 1、判断下列函数的奇偶性

⑴ 2

|2|1)(2-+-=x x x f ； ⑵ 221

()lg lg f x x x =+； ⑶ x x x x f -+-=11)1()(

⑷ 2

2lg(1)()|2|2x f x x -=--； ⑸2)(2

+--=a x x x f ⑹ f (x )＝?????

x ＋2 (x <－1)0 (－1≤x ≤1)

－x ＋2 (x >1)

解：（1）由22

10

|2|20

x x ?->??--≠??得定义域为(1,0)(0,1)-U ，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=- 奇 (2) 既是奇函数也是偶函数 （3）由

101x

x

+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数． （4）∵2222

lg[1()]lg(1)

()()x x f x x x ----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数

（5）分0=a 与0≠a 两种情况

（6）解：当x <－1时，f (x )＝x ＋2，－x >1，∴f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )．

当x >1时，f (x )＝－x ＋2，－x <－1，∴f (－x )＝(－x )＋2＝－x ＋2＝f (x )． 当－1≤x ≤1时，f (x )＝0，－1≤－x ≤1，∴f (－x )＝0＝f (x )．

综上可知，对于定义域内的每一个x 都有f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 2.（2010广东）若函数与的定义域均为R ，则

A. 与与均为偶函数

B.为奇函数，为偶函数

C. 与与均为奇函数

D.为偶函数，为奇函数 解：D ．．

考点二：函数奇偶性的证明

3、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， ⑴ 求证：()f x 是奇函数；⑵ 若(3)f a -=，用a 表示(12)f ．

解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中， 令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-． 考点三：函数奇偶性的应用

函数奇偶性常见的应用问题有：⑴ 利用奇、偶性求参数的取值或求代数式的值；⑵ 利用奇、偶性求函数解析式或化简解析式．

4. （2010重庆）函数的图象

A. 关于原点对称

B. 关于直线y=x 对称

C. 关于x 轴对称

D. 关于y 轴对称

解： 是偶函数，图像关于y 轴对称 5．(2010课标)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )

A ．{x |x <－2或x >4}

B ．{x |x <0或x >4}

C ．{x |x <0或x >6}

D ．{x |x <－2或x >2} 解：f (x －2)>0等价于f (|x －2|)>0＝f (2)，又∵f (x )＝x 3－8(x ≥0)为增函数，∴|x －2|>2.解得x >4或x <0. 6、定义在R 上的奇函数f （x ）在(0，+∞)上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为 A.（－3，0）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，+∞） C.（－3，0）∪（3，+∞）

D.（－∞，－3）∪（0，3）

x

x

x f -+=3

3)(x

x x g --=3

3)()(x f )(x g )(x f )(x g )(x f )(x g )(x f )(x g ()3

3(),()33()x

x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-()412x x

f x +=)(241214)(x f x f x

x

x x =+=+=

---)(x f ∴

解：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.

7．若函数f(x)是定义在R 上的偶函数,在(-∞,0］上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x 的取值范围是( )

A.(-∞,2)

B.(2,+∞)

C.(-∞-2)∪(2,+∞)

D.(-2,2) 解：由图象法可解,由函数的性质可画出其图象如图所示. 显然f(x)<0的解集为{x|-2

8、已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (1

2)＞0＞f (－3)，

则方程f (x )＝0的根的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

解：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f (1

2)＞0＞f (－3)

＝f (3)，所以函数f (x )在(12，3)上与x 轴有一个交点，必在(－3，－1

2)上也有一个交点，故方程f (x )＝0

的根的个数为2.

9.（10山东）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则 （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3 答案：A

10、(2010江苏)设函数(

)()R x ae

e x x

f x

x ∈+=-)(是偶函数，则实数a ＝________.

解法一：函数的定义域关于原点对称，令g (x )＝e x ＋a e －

x ，

由f (x )是偶函数，知g (x )为奇函数，即g (－x )＝－g (x )，e －

x ＋a e x ＝－e x －a e －

x ， 即(1＋a )e －

x ＋(1＋a )e x ＝0，对一切x ∈R 恒成立，故a ＝－1.故填－1.

解法二：∵f (x )是偶函数，∴g (x )＝e x ＋a e －

x 为奇函数，∴g (0)＝e 0＋a e 0＝0，故a ＝－1.故填－1.

11、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，

)(x f =_______3(1)x x -

12. 已知()x f 是奇函数，当()1,0∈x 时，()x

x f +=11

lg

，那么当()0,1-∈x 时，()x f 的表达式是________. 解：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg

x

-11

=lg （1－x ）. 13. 若)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且,1

1

)()(-=

+x x g x f 则)(x f = ． 14、设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）= 。 解：因为x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）=－f （x ），

()f x R 0x ≥()22x

f x x b =++b (1)f -=

设x ＜0，所以f （x ）=－f （－x ）=－f （1－x ），所以f （－2）=－lo g 33=－1。

点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。

15. 若f （x ）=1

222+-+?x

x a a 为奇函数，求实数a 的值. 解：∵x ∈R ，∴要使f （x ）为奇函数，需f （x ）+f （－x ）=0，即a －

1

22

+x +a －122+-x =0，得a =1.

16. 已知函数f （x ）=c

bx ax ++1

2（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数，又f （1）=2，f （2）＜3，求a 、b 、c 的值.

解：由f （－x ）=－f （x ），得－bx +c =－（bx +c ）. ∴c =0. 由f （1）=2，得a +1=2b .

由f （2）＜3，得

1

1

4++a a ＜3， 解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ， ∴a =0或a =1.若a =0，则b =2

1

，与b ∈Z 矛盾.∴a =1，b =1，c =0.

17、设定义在[]2,2-上的偶函数()x g ，当0≥x 时，()x g 单调递减，若()()m g m g <-1成立，求实数m 的取值范围.

解：由g （1－m ）＜g （m ）及g （x ）为偶函数，可得g （|1－m |）＜g （|m |）.又g （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m |＞|m |，且|1－m |≤2，|m |≤2，解得－1≤m ＜

2

1. 说明：也可以作出g （x ）的示意图，结合图形进行分析. 18、已知函数()??

?

??+-=21121

x

x x f ，（1）判断()x f 的奇偶性； （2）证明：()0>x f 。 解：（1）f （x ）＝x ·)

12(21

2-+x x ，其定义域为x ≠0的实数.

又f （－x ）＝－x ·)12(212-+--x x ＝－x ·)21(221x x -+＝x ·)

12(21

2-+x

x ＝f （x ），∴f （x ）为偶函数. （2）证明：由解析式易见，当x ＞0时，有f （x ）＞0. 又f （x ）是偶函数，且当x ＜0时－x ＞0， ∴当x ＜0时f （x ）＝f （－x ）＞0， 即对于x ≠0的任何实数x ，均有f （x ）＞0. 考点四：函数的周期性

函数的周期性是高考的热点之一，常考查的题型有： ⑴判定函数的周期性，并求其最小正周期．

⑵利用函数的周期性，求特定函数值或求函数表达式． ⑶结合函数的其他性质解决有关问题的综合应用．

19、(2010高考)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( ) A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

解：由于f (x )的周期为5，∴f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)．

又f (x )为在R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1.

20、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)． 解：(1)∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2， 又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x . 又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]，∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．

又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8. (3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，

∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)＝0.

[思维拓展] 本例(3)不易找到思路而无法进行，原因是不能灵活运用函数的奇偶性、周期性．

21、已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x )＋f (x －1)＝1，当x ∈[0,1]时，有f (x )＝x 2，现有三个命题： ①f (x )是以2为周期的函数；②当x ∈[1,2]时，f (x )＝－x 2＋2x ；③f (x )是偶函数． 其中正确命题的序号是_ ．

解：①正确．∵f (x )＋f (x －1)＝1 (1) ∴f (x ＋1)＋f (x )＝1(2)

(2)－(1)得 f (x ＋1)－f (x －1)＝0，∴f (x ＋1)＝f (x －1)，则f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以2为周期的函数． ②正确．当x ∈[1,2]时，x －1∈[0,1]，∴f (x )＝1－f (x －1)＝1－(x －1)2＝2x －x 2(x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2)． ③错误．当x ∈[－1,0]时，x ＋1∈[0,1]．∴f (x )＝1－f (x ＋1)＝1－(x ＋1)2，∴f (x )＝－x 2－2x . 又∵－x ∈[0,1]，∴f (－x )＝(－x )2＝x 2，∴f (x )≠f (－x )，f (x )不是偶函数． 答案：①② 四、反馈练习

1、下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x

B ．f (x )＝－|x ＋1|

C ．f (x )＝12

(a x ＋a －

x )

D ．f (x )＝ln 2－x

2＋x

解：y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x

为奇函数，而y ＝1

2(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．

y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.

2．已知f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，则f (1)等于( ) A ．－1

2

B.1

2

C ．1

D.32

解：由条件知，????? f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴?????

f (1)＋

g (1)＝2g (1)－f (1)＝1

，∴f (1)＝1

2

.

3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是 A ．增函数

B ．减函数

C ．先增后减的函数

D ．先减后增的函数

解：由f (x ＋2)＝f (x )得出周期T ＝2，∵f (x )在[－1,0]上为减函数，

又f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，从而f (x )在[2,3]上为增函数．

4．已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g (x )＝f (x )＋2，则g (x )的最大值与最小值之和为( ) A ．0

B ．2

C ．4

D ．不能确定

解：∵f (x )是定义在[－a ，a ]上的奇函数，∴f (x )的最大值与最小值之和为0，又g (x )＝f (x )＋2是将f (x )的图象向上平移2个单位得到的，故g (x )的最大值与最小值比f (x )的最大值与最小值都大2，故其和为4. 5．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )

1－f (x )，则f (2011)等于( )

A ．2

B ．－3

C ．－1

2

D.13

解：条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝1

3

，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x ∈N *)．

∴f (x )的周期为4， 故f (2011)＝f (3)＝－1

2

.

[点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)

＝－1

f (x )，

∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4. 故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)， 6．设f (x )＝lg ????21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )

A ．(－1,0)

B ．(0,1)

C ．(－∞，0)

D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

解：∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0 得 0

1－x <1，∴－1

7、函数y ＝x

sin x

，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )

解：∵y ＝x sin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ，当x ＝π

6

时，y ＝

π6

sin π6＝π

3>1，排除B ，故

选C.

8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1

2对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝_____.

解：∵f (x )的图象关于直线x ＝1

2

对称，∴f ????12＋x ＝f ????12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x )＝f (－1－x )＝f (2＋x )，

∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝1

2对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.

9．若f (x )＝lg ???

?2x 1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，则a ＝________. 解：∵f (x )＝lg ? ??

??

2x 1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，

即lg ? ????2x 1＋x ＋a ＋lg ? ????－2x 1－x ＋a ＝lg ? ????2x 1＋x ＋a ? ????

2x x －1＋a ＝0. ∴? ????2x 1＋x ＋a ? ??

??

2x x －1＋a ＝1， ∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立， ∴?????

a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0

，∴a ＝－1.

[点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg

(a ＋2)x ＋a

1＋x

为奇函数，显然x ＝

－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－a

a ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多

思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．

10、已知函数f (x )＝lg ???

?－1＋a

2＋x 为奇函数，则使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．

解： ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，

∴lg ? ????－1＋a 2－x ＋lg ? ????－1＋a 2＋x ＝lg ? ????－1＋a 2－x ? ??

??－1＋a 2＋x ＝0， ∴? ????－1＋a 2－x ? ????－1＋a 2＋x ＝1， ∵a ≠0，∴4－a x 2－4＝0，∴a ＝4， ∴f (x )＝lg ? ????－1＋42＋x ＝lg 2－x x ＋2， 由f (x )<－1得，lg 2－x 2＋x

<－1，

∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2

得，x <－2或x >1811，∴18

11

11、判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝

16x

＋1＋2

x

2

x

； (2) f (x )＝???

ln(x ＋1＋x ) (x >0)0 (x ＝0)

ln(1－x ＋

－x ) (x <0)

；

(3)f (x )＝log 2(1－x 2

＋x 2

－1＋1)； (4) f (x )＝a 2－x 2

|x ＋a |－a

(常数a ≠0)．

12. 设0>a ，()x

x e a a e x f +=是R 的偶函数，⑴求a 的值；⑵证明()x f 在()+∞,0上是增函数。

13．已知函数f (x )＝1－4

2a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．

(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；

(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．

解：(1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.

即1－

4

2×a 0＋a

＝0， 解得a ＝2.

(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y 1－y ， 由2x >0知1＋y

1－y >0， ∴－1

(3)不等式tf (x )≥2x －2即为t ·2x －t

2x ＋1≥2x －2. 即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ，

∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]． ∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．

∴?????

12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0

，解得t ≥0.